高數(shù)多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用

平面點(diǎn)集和區(qū)域多元函數(shù)的極限多元函數(shù)連續(xù)的概念極限運(yùn)算多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)多元函數(shù)概念第9章多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用1高階偏導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則全微分形式的不變性多元函數(shù)的極值全微分概念偏導(dǎo)數(shù)概念21、區(qū)域（1）鄰域連通的開(kāi)集稱為區(qū)域或開(kāi)區(qū)域.（2）區(qū)域設(shè)是平面上的一個(gè)點(diǎn),.與點(diǎn)的距離小于的點(diǎn)的全體,稱為點(diǎn)的鄰域,記為

,即3（3）聚點(diǎn)設(shè)E是平面上的一個(gè)點(diǎn)集,P是平面上的一個(gè)點(diǎn),如果點(diǎn)P的任何一個(gè)去心的鄰域內(nèi)總有無(wú)限多個(gè)點(diǎn)屬于點(diǎn)集E,則稱P為E的聚點(diǎn).2、多元函數(shù)概念z=f(x,y)

或z=f(P),個(gè)點(diǎn),變量z

按照一定的法則總有確定定義設(shè)D

是坐標(biāo)平面上的一個(gè)點(diǎn)集,如果對(duì)于每的值和它對(duì)應(yīng),則稱z是變量x,y

的二元函數(shù),記為43、多元函數(shù)的極限都有 成立,則稱A為函數(shù)f(x,y)當(dāng)時(shí)的極限,記為總存在正數(shù),使得當(dāng)點(diǎn)

時(shí),或定義:設(shè)函數(shù)

f(P)=f(x,y)的定義域?yàn)镈,是其聚點(diǎn).如果存在常數(shù)A,對(duì)于任意給定的正數(shù),5說(shuō)明：（1）定義中的方式是任意的；（2）二元函數(shù)的極限也叫二重極限（3）二元函數(shù)的極限運(yùn)算法則與一元函數(shù)類似．64、多元函數(shù)的連續(xù)性定義:為D的聚點(diǎn).設(shè)二元函數(shù)f(P)=f(x,y)的定義域?yàn)镈,如果函數(shù)

f(x,y)在不連續(xù),則稱為函數(shù)f(x,y)的間斷點(diǎn).在點(diǎn)連續(xù).則稱函數(shù)f(x,y)如果且,7在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù),在D上至少取得它的最大值和最小值各一次.在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù),如果在D上取得兩個(gè)不同的函數(shù)值,則它在D上取得介于這兩值之間的任何值至少一次.（1）最大值和最小值定理（2）介值定理5、多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)86、偏導(dǎo)數(shù)概念義,當(dāng)y

固定在而x在處有增量時(shí),相應(yīng)地函數(shù)有增量

,如果存在,則稱此極限為函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù),

定義或設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在的某鄰域內(nèi)有定記為9同理可定義函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)處對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù):或如果函數(shù)z=f(x,y)在區(qū)域D

內(nèi)任一點(diǎn)(x,y)處對(duì)x(或y)的偏導(dǎo)數(shù)都存在,那么這個(gè)偏導(dǎo)數(shù)就是x,y的函數(shù),稱為函數(shù)z=f(x,y)對(duì)自變量x(或y)的偏導(dǎo)函數(shù),記作107、高階偏導(dǎo)數(shù)純偏導(dǎo)混合偏導(dǎo)118、全微分概念如果函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)的全增量可以表示為其中

A,B

不依賴于而僅與x,y有關(guān),點(diǎn)(x,y)可微分,稱為函數(shù)在點(diǎn)(x,y)的即則稱函數(shù)在全微分,記作12多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系函數(shù)可微函數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)可導(dǎo)139、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則全導(dǎo)數(shù)141510、全微分形式不變性無(wú)論是自變量的函數(shù)或中間變量的函數(shù),它的全微分形式是一樣的.1611、隱函數(shù)的求導(dǎo)法則直接求導(dǎo)法1712、多元函數(shù)的極值定義極大值、極小值統(tǒng)