專題23反比例函數(shù)的應(yīng)用

專題23反比例函數(shù)的應(yīng)用【知識(shí)梳理】知識(shí)點(diǎn)01利用反比例函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題1.基本思路：建立函數(shù)模型，即在實(shí)際問(wèn)題中求得函數(shù)解析式，然后應(yīng)用函數(shù)的圖象和性質(zhì)等知識(shí)解決問(wèn)題.2.一般步驟如下：（1）審清題意，根據(jù)常量、變量之間的關(guān)系，設(shè)出函數(shù)解析式，待定的系數(shù)用字母表示.（2）由題目中的已知條件，列出方程，求出待定系數(shù).（3）寫出函數(shù)解析式，并注意解析式中變量的取值范圍.（4）利用函數(shù)解析式、函數(shù)的圖象和性質(zhì)等去解決問(wèn)題.知識(shí)點(diǎn)02反比例函數(shù)在其他學(xué)科中的應(yīng)用1.當(dāng)圓柱體的體積一定時(shí)，圓柱的底面積是高的反比例函數(shù)；2.當(dāng)工程總量一定時(shí)，做工時(shí)間是做工速度的反比例函數(shù)；3.在使用杠桿時(shí)，如果阻力和阻力臂不變，則動(dòng)力是動(dòng)力臂的反比例函數(shù)；4.電壓一定，輸出功率是電路中電阻的反比例函數(shù).【題型探究】1.心理學(xué)家研究發(fā)現(xiàn)，一般情況下，一節(jié)課40分鐘中，學(xué)生的注意力隨教師講課的變化而變化．開(kāi)始上課時(shí)，學(xué)生的注意力逐步增強(qiáng)，中間有一段時(shí)間學(xué)生的注意力保持較為理想的穩(wěn)定狀態(tài)，隨后學(xué)生的注意力開(kāi)始分散．經(jīng)過(guò)實(shí)驗(yàn)分析可知，學(xué)生的注意力指標(biāo)數(shù)y隨時(shí)間x（分鐘）的變化規(guī)律如下圖所示（其中AB、BC分別為線段，CD為雙曲線的一部分）：（1）開(kāi)始上課后第五分鐘時(shí)與第三十分鐘時(shí)相比較，何時(shí)學(xué)生的注意力更集中？（2）一道數(shù)學(xué)競(jìng)賽題，需要講19分鐘，為了效果較好，要求學(xué)生的注意力指標(biāo)數(shù)最低達(dá)到36，那么經(jīng)過(guò)適當(dāng)安排，老師能否在學(xué)生注意力達(dá)到所需的狀態(tài)下講解完這道題目？【點(diǎn)撥】（1）先用代定系數(shù)法分別求出AB和CD的函數(shù)表達(dá)式，再分別求第五分鐘和第三十分鐘的注意力指數(shù)，最后比較判斷；（2）分別求出注意力指數(shù)為36時(shí)的兩個(gè)時(shí)間，再將兩時(shí)間之差和19比較，大于19則能講完，否則不能．【解析】解：（1）設(shè)線段AB所在的直線的解析式為y1=k1x+20，把B（10，40）代入得，k1=2，∴y1=2x+20．設(shè)C、D所在雙曲線的解析式為y2=，把C（25，40）代入得，k2=1000，∴當(dāng)x1=5時(shí)，y1=2×5+20=30，當(dāng)，∴y1＜y2∴第30分鐘注意力更集中．（2）令y1=36，∴36=2x+20，∴x1=8令y2=36，∴，∴∵27.8﹣8=19.8＞19，∴經(jīng)過(guò)適當(dāng)安排，老師能在學(xué)生注意力達(dá)到所需的狀態(tài)下講解完這道題目．【總結(jié)】主要考查了函數(shù)的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是根據(jù)實(shí)際意義列出函數(shù)關(guān)系式，從實(shí)際意義中找到對(duì)應(yīng)的變量的值，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，再根據(jù)自變量的值求算對(duì)應(yīng)的函數(shù)值．2.某商場(chǎng)出售一批名牌襯衣，襯衣的進(jìn)價(jià)為80元，在營(yíng)銷中發(fā)現(xiàn)，該襯衣的日銷售量(件)是日銷售價(jià)元的反比例函數(shù)，且當(dāng)售價(jià)定為100元時(shí)，每日可售出30件．(1)請(qǐng)求出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式(不必寫自變量的取值范圍)；(2)若商場(chǎng)計(jì)劃經(jīng)營(yíng)此種襯衣的日銷售利潤(rùn)為1800元，則其單價(jià)應(yīng)是多少元?【點(diǎn)撥】（1）因?yàn)閥與x成反比例函數(shù)關(guān)系，可設(shè)出函數(shù)式，然后根據(jù)當(dāng)售價(jià)定為100元/件時(shí)，每天可售出30件可求出的值．（2）設(shè)單價(jià)是元，根據(jù)每天可售出件，每件的利潤(rùn)是（－80）元，總利潤(rùn)為1800元，根據(jù)利潤(rùn)＝售價(jià)－進(jìn)價(jià)可列方程求解．【解析】解：(1)設(shè)所求函數(shù)關(guān)系式為，則因?yàn)楫?dāng)＝100時(shí)＝30，所以＝3000，所以；(2)設(shè)單價(jià)應(yīng)為元，則(－80)·＝1800，解得＝200．經(jīng)檢驗(yàn)＝200是原方程的解，符合題意．即其單價(jià)應(yīng)定為200元／件．【總結(jié)】本題考查反比例函數(shù)的概念，設(shè)出反比例函數(shù)，確定反比例函數(shù)，以及知道利潤(rùn)＝售價(jià)－進(jìn)價(jià)，然后列方程求解的問(wèn)題．3.如圖，是藥品研究所所測(cè)得的某種新藥在成人用藥后，血液中的藥物濃度y（微克/毫升）用藥后的時(shí)間x（小時(shí)）變化的圖象（圖象由線段OA與部分雙曲線AB組成）．并測(cè)得當(dāng)y=a時(shí)，該藥物才具有療效．若成人用藥4小時(shí)，藥物開(kāi)始產(chǎn)生療效，且用藥后9小時(shí)，藥物仍具有療效，則成人用藥后，血液中藥物濃則至少需要多長(zhǎng)時(shí)間達(dá)到最大度？【點(diǎn)撥】利用待定系數(shù)法分別求出直線OA與雙曲線的函數(shù)解析式，再令它們相等得出方程，解方程即可求解．【解析】解：設(shè)直線OA的解析式為y=kx，把（4，a）代入，得a=4k，解得k=，即直線OA的解析式為y=x．根據(jù)題意，（9，a）在反比例函數(shù)的圖象上，則反比例函數(shù)的解析式為y=．當(dāng)x=時(shí)，解得x=±6（負(fù)值舍去），故成人用藥后，血液中藥物則至少需要6小時(shí)達(dá)到最大濃度．【總結(jié)】本題考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用，直線與雙曲線交點(diǎn)的求法，利用待定系數(shù)法求出關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．4．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考中考真題）在直角坐標(biāo)系中，已知，設(shè)函數(shù)與函數(shù)的圖象交于點(diǎn)和點(diǎn)．已知點(diǎn)的橫坐標(biāo)是2，點(diǎn)的縱坐標(biāo)是．(1)求的值．(2)過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，在第二象限交于點(diǎn)；過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，在第四象限交于點(diǎn)．求證：直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)．【答案】(1)，；(2)見(jiàn)解析【分析】（1）首先將點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，然后代入求出，然后將點(diǎn)的縱坐標(biāo)代入求出，然后代入即可求出；（2）首先根據(jù)題意畫(huà)出圖形，然后求出點(diǎn)C和點(diǎn)D的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出所在直線的表達(dá)式，進(jìn)而求解即可．【詳解】（1）∵點(diǎn)的橫坐標(biāo)是2，∴將代入∴，∴將代入得，，∴，∵點(diǎn)的縱坐標(biāo)是，∴將代入得，，∴，∴將代入得，，∴解得，∴；（2）如圖所示，由題意可得，，，∴設(shè)所在直線的表達(dá)式為，∴，解得，∴，∴當(dāng)時(shí)，，∴直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)．【點(diǎn)睛】此題考查了反比例函數(shù)和一次函數(shù)綜合，待定系數(shù)法求函數(shù)表達(dá)式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)．5．（2023·四川瀘州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與，軸分別相交于點(diǎn)A，B，與反比例函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)C，已知，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為2．(1)求，的值；(2)平行于軸的動(dòng)直線與和反比例函數(shù)的圖象分別交于點(diǎn)D，E，若以B，D，E，O為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．【答案】(1)，；(2)點(diǎn)D的坐標(biāo)為或【分析】（1）求得，利用待定系數(shù)法即可求得直線的式，再求得，據(jù)此即可求解；（2）設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，利用平行四邊形的性質(zhì)得到，解方程即可求解．【詳解】（1）解：∵，∴，∵直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，∴，解得，，∴直線的解析式為，∵點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為2，∴，∴，∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，∴；（2）解：由（1）得反比例函數(shù)的解析式為，令，則，∴點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，∵以B，D，E，O為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，∴，∴，整理得或，由得，整理得，解得，∵，∴，∴點(diǎn)；由得，整理得，解得，∵，∴，∴點(diǎn)；綜上，點(diǎn)D的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】此題是反比例函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，平行四邊形的性質(zhì)，解一元二次方程，用方程的思想解決問(wèn)題是解本題的關(guān)鍵．6．（2023·四川南充·統(tǒng)考中考真題）如圖，一次函數(shù)圖象與反比例函數(shù)圖象交于點(diǎn)，，與x軸交于點(diǎn)C，與y軸交于點(diǎn)D．(1)求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式；(2)點(diǎn)M在x軸上，若，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．【答案】(1)反比例函數(shù)解析式為，一次函數(shù)的解析式為；(2)M點(diǎn)的坐標(biāo)為或【分析】（1）設(shè)反比例函數(shù)解析式為，將代入，根據(jù)待定系數(shù)法，即可得到反比例函數(shù)解析式，將代入求得的反比例函數(shù)，解得a的值，得到B點(diǎn)坐標(biāo)，最后根據(jù)待定系數(shù)法即可求出一次函數(shù)解析式；（2）求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，根據(jù)求出，分兩種情況：M在O點(diǎn)左側(cè)；M點(diǎn)在O點(diǎn)右側(cè)，根據(jù)三角形面積公式即可解答．【詳解】（1）解：設(shè)反比例函數(shù)解析式為，將代入，可得，解得，反比例函數(shù)的解析式為，把代入，可得，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，是方程的解，，設(shè)一次函數(shù)的解析式為，將，代入，可得，解得，一次函數(shù)的解析式為；（2）解：當(dāng)時(shí)，可得，解得，，，，，，，M在O點(diǎn)左側(cè)時(shí)，；M點(diǎn)在O點(diǎn)右側(cè)時(shí)，，綜上，M點(diǎn)的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)和反比例函數(shù)，一次函數(shù)與三角形面積問(wèn)題，熟練求出是解題的關(guān)鍵．【隨堂演練】1．（2023·浙江·統(tǒng)考中考真題）如果的壓力作用于物體上，產(chǎn)生的壓強(qiáng)要大于，則下列關(guān)于物體受力面積的說(shuō)法正確的是（

）A．小于 B．大于 C．小于 D．大于【答案】A【分析】根據(jù)壓力壓強(qiáng)受力面積之間的關(guān)系即可求出答案.【詳解】解：假設(shè)為，為，.，.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查的是反比例函數(shù)值的取值范圍，解題的關(guān)鍵是要知道壓力壓強(qiáng)受力面積之間的關(guān)系以及越大，越小2．（2023·湖北隨州·統(tǒng)考中考真題）已知蓄電池的電壓為定值，使用某蓄電池時(shí)，電流I(單位：A)與電阻R(單位：)是反比例函數(shù)關(guān)系，它的圖象如圖所示，則當(dāng)電阻為時(shí)，電流為(

)A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)該反比函數(shù)解析式為，根據(jù)當(dāng)時(shí)，，可得該反比函數(shù)解析式為，再把代入，即可求出電流I．【詳解】解：設(shè)該反比函數(shù)解析式為，由題意可知，當(dāng)時(shí)，，，解得：，設(shè)該反比函數(shù)解析式為，當(dāng)時(shí)，，即電流為，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出反比例函數(shù)解析式是解題關(guān)鍵．3．小明乘車從縣城到懷化，行車的速度和行車時(shí)間之間函數(shù)圖是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根據(jù)路程s、速度v、時(shí)間t之間的公式可知，當(dāng)路程一定時(shí)，速度與時(shí)間成反比例關(guān)系，并且結(jié)合實(shí)際意義可知，時(shí)間t＞0，由此分析即可．【詳解】∵小明乘車從縣城到懷化的路程固定，設(shè)為s，且，∴，，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查反比例函數(shù)的實(shí)際引用，理解路程固定時(shí)，速度與時(shí)間成反比，并且結(jié)合實(shí)際意義分析是解題關(guān)鍵．4．如圖，點(diǎn)是正比例函數(shù)（k為常數(shù)，且）和反比例函數(shù)（m為常數(shù)，且）圖象的交點(diǎn)，則關(guān)于x的方程的解是（）A．1 B．2 C．1或2 D．1或【答案】D【分析】根據(jù)正比例函數(shù)和反比例函數(shù)圖象的特征求出另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)即可得．【詳解】解：正比例函數(shù)與反比例函數(shù)圖象的一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)，它們的另一個(gè)交點(diǎn)為，又正比例函數(shù)與反比例函數(shù)圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為關(guān)于的方程的解，所求方程的解為或，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象，熟練掌握正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象特點(diǎn)是解題關(guān)鍵．5．關(guān)于函數(shù)，下列判斷正確的是（）A．點(diǎn)該函數(shù)的圖像上B．該函數(shù)的圖像在第二、四象限C．若點(diǎn)和在該函數(shù)圖像上，則D．若點(diǎn)在該函數(shù)的圖像上，則點(diǎn)也在該函數(shù)的圖像上【答案】D【分析】根據(jù)k=1>0，則雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，在每個(gè)象限內(nèi)y隨x的增大而減小，反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)橫縱坐標(biāo)之積=k可得答案.【詳解】點(diǎn)(1，1)代入y=并不成立，因此不在圖象上，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；∵k=1>0∴圖象過(guò)一、三象限，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)x=2時(shí)，y1=，當(dāng)x=1時(shí)，y2=1，則y1<y2，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；若點(diǎn)(a，b)在該函數(shù)的圖像上，則點(diǎn)(b，a)也在該函數(shù)的圖像上，故Ｄ選項(xiàng)正確；故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是熟練掌握反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)．6．防汛期間，下表記錄了某水庫(kù)16h內(nèi)水位的變化情況，其中x表示時(shí)間（單位：h），y表示水位高度（單位：m），當(dāng)x＝8h時(shí)，達(dá)到警戒水位，開(kāi)始開(kāi)閘放水，此時(shí)，y與xx/h012810121416y/足我們學(xué)過(guò)的某種函數(shù)關(guān)系．其中開(kāi)閘放水有一組數(shù)據(jù)記錄錯(cuò)誤，它是（）A．第1小時(shí) B．第10小時(shí) C．第14小時(shí) D．第16小時(shí)【答案】C【分析】先選擇合適的數(shù)據(jù)、運(yùn)用待定系數(shù)法確定x與y的函數(shù)關(guān)系式，然后再進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：由圖表可得yx+14（0≤x≤8）設(shè)y與x的函數(shù)表達(dá)式為y=（8≤x≤16），由圖表可得：k=8×18=10×14.4=12×12=144∴y=（8≤x≤16）當(dāng)x=14時(shí)，y=，即第14小時(shí)這一組數(shù)據(jù)記錄錯(cuò)誤．故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了運(yùn)用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，求出反比例函數(shù)的解析式是解答本題的關(guān)鍵．7．某氣球內(nèi)充滿了一定質(zhì)量的氣體，當(dāng)溫度不變時(shí)，氣球內(nèi)氣體的氣壓（kPa）是氣體體積（）的反比例函數(shù)，其圖象如圖所示，當(dāng)氣體體積為時(shí)，氣壓為（）kPa．A．150 B．120 C．96 D．84【答案】C【分析】設(shè)反比例函數(shù)的解析式為：，先由點(diǎn)代入求出，當(dāng)氣體體積為，代入求得，即可得出答案．【詳解】設(shè)反比例函數(shù)的解析式為：把點(diǎn)代入得：當(dāng)時(shí)，則故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查反比例函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，要求學(xué)生熟練掌握反比例函數(shù)的表達(dá)式的求法，從圖中找出相應(yīng)的已知量并求解出反比例函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．7．如圖，點(diǎn)分別在函數(shù)的圖像上，點(diǎn)在軸上．若四邊形為正方形，點(diǎn)在第一象限，則的坐標(biāo)是_____________．【答案】（2，3）【分析】根據(jù)正方形和反比例函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為（m，），則A點(diǎn)坐標(biāo)為（，），進(jìn)而列出方程求解．【詳解】解：∵四邊形為正方形，∴設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為（m，），則A點(diǎn)坐標(biāo)為（，），∴m（）=，解得：m=±2（負(fù)值舍去），經(jīng)檢驗(yàn)，m=2是方程的解，∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3），故答案是：（2，3）．【點(diǎn)睛】本題主要考查反比例函數(shù)與平面幾何的綜合，掌握反比例函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，是解題的關(guān)鍵．8．教室里的飲水機(jī)接通電源就進(jìn)入自動(dòng)程序，開(kāi)機(jī)加熱時(shí)每分鐘上升，加熱到停止加熱，水溫開(kāi)始下降，此時(shí)水溫（）與開(kāi)機(jī)后用時(shí)（）成反比例關(guān)系，直至水溫降至，飲水機(jī)關(guān)機(jī)，飲水機(jī)關(guān)機(jī)后即刻自動(dòng)開(kāi)機(jī)，重復(fù)上述自動(dòng)程序．若在水溫為時(shí)接通電源，水溫（）與時(shí)間（）的關(guān)系如圖所示：（1）分別寫出水溫上升和下降階段與（）之間的函數(shù)表達(dá)式；（2）嘉淇同學(xué)想喝高于的水，請(qǐng)問(wèn)她最多需要等待多長(zhǎng)時(shí)間？【答案】（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖象和題意可以求得y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，注意函數(shù)圖象是循環(huán)出現(xiàn)的；（1）根據(jù)（2）中的函數(shù)解析式，當(dāng)時(shí)分別求出x的值，相減即可；【詳解】解：（1）觀察圖象，可知：當(dāng)時(shí)，水溫，當(dāng)時(shí)，設(shè)關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為：，，得即當(dāng)時(shí)，關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為；當(dāng)時(shí)，設(shè)，，得，即當(dāng)時(shí)，關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為，當(dāng)時(shí)，，與的函數(shù)關(guān)系式為：關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式每分鐘重復(fù)出現(xiàn)一次；（2）將代入，得，將代入，得，，，嘉淇同學(xué)想喝高于的水，她最多需要等待；【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)的應(yīng)用、一次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問(wèn)題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想和函數(shù)的思想解答．9．實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)顯示，一般成人喝半斤低度白酒后，小時(shí)內(nèi)其血液中酒精含量（毫克/百毫升）與時(shí)間x（時(shí)）成正比例；小時(shí)后（包括小時(shí)）y與x成反比例．根據(jù)圖中提供的信息，解答下列問(wèn)題：（1）求一般成人喝半斤低度白酒后，y與之間的兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式及相應(yīng)的自變量取值范圍；（2）依據(jù)人的生理數(shù)據(jù)顯示，當(dāng)時(shí)，肝部正被嚴(yán)重?fù)p傷，請(qǐng)問(wèn)喝半斤低度白酒后，肝部被嚴(yán)重?fù)p傷持續(xù)多少小時(shí)？【答案】（1）（2）小時(shí)【分析】1）直接利用待定系數(shù)法分別求出反比例函數(shù)以及一次函數(shù)的解析式得出答案；

（2）根據(jù)題意得出y=80時(shí)x的值進(jìn)而得出答案．【詳解】解：（1）由題意可得：當(dāng)0≤x時(shí)，設(shè)函數(shù)關(guān)系式為：y=kx，

則k，

解得：k=100，

故y=100x，

當(dāng)1.5≤x時(shí)，設(shè)函數(shù)關(guān)系式為：則a=150×1.5=225，

解得：a=225，故綜上所述：y與x之間的兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式為：（2）當(dāng)y=80時(shí)，80=100x，解得x，

當(dāng)y=80時(shí)，，解得x，

由圖象可知，肝部被嚴(yán)重?fù)p傷持續(xù)時(shí)間（小時(shí)）【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)的應(yīng)用、一次函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活掌握待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，學(xué)會(huì)利用函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題．10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象與軸相交于點(diǎn)，與反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象相交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)．（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）求的面積．【答案】（1）；（2）6【分析】（1）因?yàn)橐淮魏瘮?shù)與反比例函數(shù)交于點(diǎn)，將代入到一次函數(shù)解析式中，可以求得點(diǎn)坐標(biāo)，從而求得，得到反比例函數(shù)解析式；（2）因?yàn)檩S，所以，利用一次函數(shù)解析式可以求得它與軸交點(diǎn)的坐標(biāo)，由，，三點(diǎn)坐標(biāo)，可以求得和的長(zhǎng)度，并且軸，所以，即可求解．【詳解】解：（1）∵點(diǎn)是直線與反比例函數(shù)交點(diǎn)，∴點(diǎn)坐標(biāo)滿足一次函數(shù)解析式，∴，∴，∴，∴，∴反比例函數(shù)的解析式為；（2）∵軸，∴，軸，∴，令，則，∴，∴，∴，∴的面積為6【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)交點(diǎn)問(wèn)題，三角形的面積，同時(shí)要注意在平面直角坐標(biāo)系中如何利用坐標(biāo)表示水平線段和豎直線段．11．某司機(jī)駕駛汽車從甲地去乙地，他以70km/h的平均速度用3h到達(dá)目的地．（1）當(dāng)他按原路勻速返回時(shí)，汽車的速度與時(shí)間有怎樣的函數(shù)關(guān)系？（2）如果該司機(jī)返回到甲地的時(shí)間不超過(guò)，那么返程的平均速度不能小于多少？【答案】（1）；（2）返程時(shí)的平均速度不能低于84km/h．【分析】（1）直接求出總路程，再利用路程÷時(shí)間=速度，進(jìn)而得出關(guān)系式；（2）由題意可得v=210t，進(jìn)而得出答案．【詳解】(1)由題意得，兩地路程為，∴汽車的速度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系為．(2)由，得．∴．∵v＞0∴v．∴v≥84．答：返程時(shí)的平均速度不能低于．【點(diǎn)睛】此題主要考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用，正確得出函數(shù)解析式是解題關(guān)鍵．12．如圖，一次函數(shù)的圖象與軸、軸分別交于點(diǎn)，，與反比例函數(shù)（）的圖象交于點(diǎn)，．（1）分別求出兩個(gè)函數(shù)的解析式；（2）連接，求的面積．【答案】（1），；（2）3【分析】（1）將點(diǎn)C、D的橫、縱坐標(biāo)代入反比例函數(shù)的解析式，求得m、n的值，從而點(diǎn)D縱坐標(biāo)已知，將點(diǎn)C、D的橫、縱坐標(biāo)代入一次函數(shù)的解析式，求得k、b的值，從而兩個(gè)函數(shù)解析式可求；（2）求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，可知OB的長(zhǎng)，利用三角形的面積公式可求三角形BOD的面積．【詳解】解：（1）∵雙曲線（m>0）過(guò)點(diǎn)C（1，2）和D（2，n），∴，解得，．∴反比例函數(shù)的解析式為．∵直線過(guò)點(diǎn)C（1，2）和D（2，1），∴，解得，．∴一次函數(shù)的解析式為．（2）當(dāng)x=0時(shí)，y1=3，即B（0，3）．∴．如圖所示，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥y軸于點(diǎn)E．∵D（2，1），∴DE=2．∴【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二元一次方程組、三角形的面積等知識(shí)點(diǎn)，熟知解析式、點(diǎn)坐標(biāo)、線段長(zhǎng)三者的相互轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵．13．如圖所示，直線與雙曲線交于兩點(diǎn)．（1）求t的值；（2）若點(diǎn)和是雙曲線上任意兩點(diǎn)，且滿足，求的值．【答案】（1）；（2）【分析】（1）將代入雙曲線，得m．將A代入雙曲線得t的值．（2）將點(diǎn)代入雙曲線，得p的表達(dá)式，將點(diǎn)代入雙曲線，得q的表達(dá)式．把的表達(dá)式代入中，即可求值．【詳解】（1）將代入雙曲線得，∴雙曲線，將代入雙曲線得，；（2），∴點(diǎn)為點(diǎn)，將點(diǎn)代入雙曲線，得：，，將點(diǎn)代入雙曲線，得：，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式,解題的關(guān)鍵是求出點(diǎn)A的坐標(biāo)．第二問(wèn)考查了求反比例函數(shù)圖像上的點(diǎn)的特點(diǎn)，分式的計(jì)算；本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式是關(guān)鍵．【高分突破】1．已知雙曲線與直線交于，，若，，則（）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】根據(jù)交點(diǎn)坐標(biāo)的意義，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化方程，不等式問(wèn)題判定即可．【詳解】由題意得方程的兩根分別為，，∴+=，=，∵∴，∴，∴k、異號(hào)，∵，∴=，∵，∴＞0，∵，∴＞0，∴，∴，．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系定理，不等式思想，熟練運(yùn)用交點(diǎn)坐標(biāo)的意義，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題，不等式問(wèn)題求解是解題的關(guān)鍵．2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，直線與函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．若點(diǎn)的橫坐標(biāo)是點(diǎn)的橫坐標(biāo)的2倍，則的值為（）

A． B．2 C．1 D．【答案】D【分析】根據(jù)直線與函數(shù)有交點(diǎn)，解方程組求解交點(diǎn)坐標(biāo)，再使用待定系數(shù)法求出k．【詳解】解：與相交，∴k＞0，設(shè)A坐標(biāo)為，B坐標(biāo)為，代入得∴∴（舍去）或，故答案選：D【點(diǎn)睛】3．（2023·廣東·統(tǒng)考中考真題）某蓄電池的電壓為，使用此蓄電池時(shí)，電流(單位：)與電阻(單位：)的函數(shù)表達(dá)式為，當(dāng)時(shí)，的值為_(kāi)______．【答案】4【分析】將代入中計(jì)算即可；【詳解】解：∵，∴故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查已知自變量的值求函數(shù)值，掌握代入求值的方法是解題的關(guān)鍵．4．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考中考真題）在溫度不變的條件下，通過(guò)一次又一次地對(duì)汽缸頂部的活塞加壓，加壓后氣體對(duì)汽缸壁所產(chǎn)生的壓強(qiáng)P（）與汽缸內(nèi)氣體的體積V（）成反比例，P關(guān)于V的函數(shù)圖象如圖所示．若壓強(qiáng)由加壓到，則氣體體積壓縮了___________．【答案】20【分析】由圖象易得P關(guān)于V的函數(shù)解析式為，然后問(wèn)題可求解．【詳解】解：設(shè)P關(guān)于V的函數(shù)解析式為，由圖象可把點(diǎn)代入得：，∴P關(guān)于V的函數(shù)解析式為，∴當(dāng)時(shí)，則，∴壓強(qiáng)由加壓到，則氣體體積壓縮了；故答案為：20．【點(diǎn)睛】本題主要考查反比例函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握反比例函數(shù)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．5．（2023·湖南常德·統(tǒng)考中考真題）如圖所示，一次函數(shù)與反比例函數(shù)相交于點(diǎn)A和點(diǎn)．(1)求m的值和反比例函數(shù)解析式；(2)當(dāng)時(shí)，求x的取值范圍．【答案】(1)，；(2)或【分析】（1）根據(jù)一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于、B兩點(diǎn)可得的值，進(jìn)而可求反比例函數(shù)的表達(dá)式；（2）觀察函數(shù)圖象，寫出一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象上方所對(duì)應(yīng)的自變量的范圍即可．【詳解】（1）將點(diǎn)代入得：解得：將代入得：∴（2）由得：，解得所以的坐標(biāo)分別為由圖形可得：當(dāng)或時(shí)，【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，解決本題的關(guān)鍵是掌握反比例函數(shù)與一次函數(shù)的性質(zhì)．6．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)是，點(diǎn)B的坐標(biāo)是，點(diǎn)C為中點(diǎn)，將繞著點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到．(1)反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求該反比例函數(shù)的表達(dá)式；(2)一次函數(shù)圖像經(jīng)過(guò)A、兩點(diǎn)，求該一次函數(shù)的表達(dá)式．【答案】(1)；(2)【分析】（1）由點(diǎn)B的坐標(biāo)是，點(diǎn)C為中點(diǎn)，可得，，由旋轉(zhuǎn)可得：，，可得，可得，從而可得答案；（2）如圖，過(guò)作于，則，而，，證明，可得，，，設(shè)直線為，再建立方程組求解即可．【詳解】（1）解：∵點(diǎn)B的坐標(biāo)是，點(diǎn)C為中點(diǎn)，∴，，由旋轉(zhuǎn)可得：，，∴，∴，∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為；（2）如圖，過(guò)作于，則，而，