2018年中考四邊形綜合題集(壓軸題)

./四邊形綜合題集評(píng)卷人得分一．選擇題〔共9小題1．如圖,在菱形ABCD中,AB=BD,點(diǎn)E、F分別是AB、AD上任意的點(diǎn)〔不與端點(diǎn)重合,且AE=DF,連接BF與DE相交于點(diǎn)G,連接CG與BD相交于點(diǎn)H．給出如下幾個(gè)結(jié)論：①△AED≌△DFB；②S四邊形BCDG=CG2；③若AF=2DF,則BG=6GF；④CG與BD一定不垂直；⑤∠BGE的大小為定值．其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)為〔A．4 B．3 C．2 D．12．如圖,正方形ABCD中,點(diǎn)E,F分別在BC,CD上,△AEF是等邊三角形,連接AC交EF于點(diǎn)G,下列結(jié)論：①CE=CF,②∠AEB=75°,③AG=2GC,④BE+DF=EF,⑤S△CEF=2S△ABE,其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為〔A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)3．如圖,邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中,AE平分∠DAC,AE交CD于點(diǎn)F,CE⊥AE,垂足為點(diǎn)E,EG⊥CD,垂足為點(diǎn)G,點(diǎn)H在邊BC上,BH=DF,連接AH、FH,FH與AC交于點(diǎn)M,以下結(jié)論：①FH=2BH；②AC⊥FH；③S△ACF=1；④CE=AF；⑤EG2=FG?DG,其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為〔A．2 B．3 C．4 D．54．如圖,在正方形ABCD中,E、F分別為BC、CD的中點(diǎn),連接AE,BF交于點(diǎn)G,將△BCF沿BF對(duì)折,得到△BPF,延長(zhǎng)FP交BA延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q,下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是〔①AE=BF；②AE⊥BF；③sin∠BQP=；④S四邊形ECFG=2S△BGE．A．4 B．3 C．2 D．15．如圖,在矩形ABCD中,BC=AB,∠ADC的平分線交邊BC于點(diǎn)E,AH⊥DE于點(diǎn)H,連接CH并延長(zhǎng)交邊AB于點(diǎn)F,連接AE交CF于點(diǎn)O,給出下列命題：〔1∠AEB=∠AEH〔2DH=2EH〔3OH=AE〔4BC﹣BF=EH其中正確命題的序號(hào)〔A．〔1〔2〔3 B．〔2〔3〔4 C．〔2〔4 D．〔1〔36．如圖,在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中,動(dòng)點(diǎn)F,E分別以相同的速度從D,C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)向C和B運(yùn)動(dòng)〔任何一個(gè)點(diǎn)到達(dá)即停止,過點(diǎn)P作PM∥CD交BC于M點(diǎn),PN∥BC交CD于N點(diǎn),連接MN,在運(yùn)動(dòng)過程中,則下列結(jié)論：①△ABE≌△BCF；②AE=BF；③AE⊥BF；④CF2=PE?BF；⑤線段MN的最小值為．其中正確的結(jié)論有〔A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)7．如圖,正方形ABCD中,以AD為底邊作等腰△ADE,將△ADE沿DE折疊,點(diǎn)A落到點(diǎn)F處,連接EF剛好經(jīng)過點(diǎn)C,再連接AF,分別交DE于G,交CD于H．在下列結(jié)論中：①△ABM≌△DCN；②∠DAF=30°；③△AEF是等腰直角三角形；④EC=CF；⑤S△HCF=S△ADH,其中正確的結(jié)論有〔A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)8．如圖,在矩形ABCD中,E是AD邊的中點(diǎn),BE⊥AC于點(diǎn)F,連接DF,分析下列四個(gè)結(jié)論：①△AEF∽△CAB；②CF=2AF；③DF=DC；④S四邊形CDEF=S△AEF,其中正確的結(jié)論有〔個(gè)．A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④9．如圖,正方形ABCD的邊CD與正方形CGFE的邊CE重合,O是EG的中點(diǎn),∠EGC的平分線GH過點(diǎn)D,交BE于H,連接OH、FH、EG與FH交于M,對(duì)于下面四個(gè)結(jié)論：①GH⊥BE；②HOBG；③點(diǎn)H不在正方形CGFE的外接圓上；④△GBE∽△GMF．其中正確的結(jié)論有〔A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)評(píng)卷人得分二．填空題〔共7小題10．如圖,在正方形ABCD外取一點(diǎn)E,連接AE、BE、DE．過點(diǎn)A作AE的垂線交DE于點(diǎn)P．若AE=AP=1,PB=．下列結(jié)論：①△APD≌△AEB；②EB⊥ED；③點(diǎn)B到直線AE的距離為；④S△APD+S△APB=1+；⑤S正方形ABCD=4+．其中正確結(jié)論的序號(hào)是．11．如圖,已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,E是邊BC上的動(dòng)點(diǎn),BF⊥AE交CD于點(diǎn)F,垂足為G,連結(jié)CG．下列說法：①AG＞GE；②AE=BF；③點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為π；④CG的最小值為﹣1．其中正確的說法是．〔把你認(rèn)為正確的說法的序號(hào)都填上12．如圖,在菱形ABCD中,AB=6,∠DAB=60°,AE分別交BC、BD于點(diǎn)E、F,CE=2,連接CF,以下結(jié)論：①△ABF≌△CBF；②點(diǎn)E到AB的距離是2；③tan∠DCF=；④△ABF的面積為．其中一定成立的是〔把所有正確結(jié)論的序號(hào)都填在橫線上．13．如圖,在矩形ABCD中,AB=2,AD=,在邊CD上有一點(diǎn)E,使EB平分∠AEC．若P為BC邊上一點(diǎn),且BP=2CP,連接EP并延長(zhǎng)交AB的延長(zhǎng)線于F．給出以下五個(gè)結(jié)論：①點(diǎn)B平分線段AF；②PF=DE；③∠BEF=∠FEC；④S矩形ABCD=4S△BPF；⑤△AEB是正三角形．其中正確結(jié)論的序號(hào)是．14．如圖,在矩形ABCD中,AD=AB,∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)E,DH⊥AE于點(diǎn)H,連接BH并延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)F,連接DE交BF于點(diǎn)O,下列結(jié)論：①∠AED=∠CED；②OE=OD；③BH=HF；④BC﹣CF=2HE；⑤AB=HF,其中正確的有．15．如圖所示,在正方形ABCD的對(duì)角線上取點(diǎn)E,使得∠BAE=15°,連結(jié)AE,CE．延長(zhǎng)CE到F,連結(jié)BF,使得BC=BF．若AB=1,則下列結(jié)論：①AE=CE；②F到BC的距離為；③BE+EC=EF；④；⑤．其中正確的是．16．如圖,Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3cm,AB=5cm．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AC以1.5cm/s的速度向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng),到達(dá)點(diǎn)C后立刻以原來的速度沿CA返回；點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BA以1cm/s的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)．伴隨著P、Q的運(yùn)動(dòng),DE保持垂直平分PQ,且交PQ于點(diǎn)D,交折線PC﹣CB﹣BQ于點(diǎn)E．點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā),當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)A時(shí)停止運(yùn)動(dòng),點(diǎn)P也隨之停止．設(shè)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒〔t＞0,則當(dāng)t=秒時(shí),四邊形BQDE為直角梯形．評(píng)卷人得分三．解答題〔共34小題17．在正方形ABCD中,動(dòng)點(diǎn)E,F分別從D,C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),以相同的速度在直線DC,CB上移動(dòng)．〔1如圖1,當(dāng)點(diǎn)E在邊DC上自D向C移動(dòng),同時(shí)點(diǎn)F在邊CB上自C向B移動(dòng)時(shí),連接AE和DF交于點(diǎn)P,請(qǐng)你寫出AE與DF的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系,并說明理由；〔2如圖2,當(dāng)E,F分別在邊CD,BC的延長(zhǎng)線上移動(dòng)時(shí),連接AE,DF,〔1中的結(jié)論還成立嗎？〔請(qǐng)你直接回答"是"或"否",不需證明；連接AC,請(qǐng)你直接寫出△ACE為等腰三角形時(shí)CE：CD的值；〔3如圖3,當(dāng)E,F分別在直線DC,CB上移動(dòng)時(shí),連接AE和DF交于點(diǎn)P,由于點(diǎn)E,F的移動(dòng),使得點(diǎn)P也隨之運(yùn)動(dòng),請(qǐng)你畫出點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)路徑的草圖．若AD=2,試求出線段CP的最大值．18．如圖,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC=6．點(diǎn)P在邊AC上運(yùn)動(dòng),過點(diǎn)P作PD⊥AB于點(diǎn)D,以AP、AD為鄰邊作?PADE．設(shè)□PADE與△ABC重疊部分圖形的面積為y,線段AP的長(zhǎng)為x〔0＜x≤6．〔1求線段PE的長(zhǎng)〔用含x的代數(shù)式表示．〔2當(dāng)點(diǎn)E落在邊BC上時(shí),求x的值．〔3求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．〔4直接寫出點(diǎn)E到△ABC任意兩邊所在直線距離相等時(shí)x的值．19．問題探究〔1如圖①,已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4．點(diǎn)M和N分別是邊BC、CD上兩點(diǎn),且BM=CN,連接AM和BN,交于點(diǎn)P．猜想AM與BN的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論．〔2如圖②,已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4．點(diǎn)M和N分別從點(diǎn)B、C同時(shí)出發(fā),以相同的速度沿BC、CD方向向終點(diǎn)C和D運(yùn)動(dòng)．連接AM和BN,交于點(diǎn)P,求△APB周長(zhǎng)的最大值；問題解決〔3如圖③,AC為邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD的對(duì)角線,∠ABC=60°．點(diǎn)M和N分別從點(diǎn)B、C同時(shí)出發(fā),以相同的速度沿BC、CA向終點(diǎn)C和A運(yùn)動(dòng)．連接AM和BN,交于點(diǎn)P．求△APB周長(zhǎng)的最大值．20．如圖1,在邊長(zhǎng)為4的菱形ABCD中,AC為其對(duì)角線,∠ABC=60°點(diǎn)M、N分別是邊BC、邊CD上的動(dòng)點(diǎn),且MB=NC．連接AM、AN、MN．MN交AC于點(diǎn)P．〔1△AMN是什么特殊的三角形？說明理由．并求其面積最小值；〔2求點(diǎn)P到直線CD距離的最大值；〔3如圖2,已知MB=NC=1,點(diǎn)E、F分別是邊AM、邊AN上的動(dòng)點(diǎn),連接EF、PF,EF+PF是否存在最小值？若存在,求出最小值及此時(shí)AE、AF的長(zhǎng)；若不存在,請(qǐng)說明理由．21．如圖①,正方形ABCD邊長(zhǎng)為1,將正方形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α度后得到正方形AB'C'D'〔0°＜α＜90°,C'D'與直線CD相交于點(diǎn)E,C'B'與直線CD相交于點(diǎn)F．問題發(fā)現(xiàn)：〔1試猜想∠EAF=；三角形EC'F的周長(zhǎng)．問題探究：如圖②,連接B'D'分別交AE,AF于P,Q兩點(diǎn)．〔2在旋轉(zhuǎn)過程中,若D'P=a,QB'=b,試用a,b來表示PQ,并說明理由．〔3在旋轉(zhuǎn)過程中△APQ的面積是否存在最小值,若存在,請(qǐng)求出這個(gè)值；若不存在,請(qǐng)說明理由．22．如圖,在矩形ABCD中,AB=CD=4cm,AD=BC=6cm,AE=DE=3cm,點(diǎn)P從點(diǎn)E出發(fā),沿EB方向勻速運(yùn)動(dòng),速度為1cm/s；同時(shí),點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā),沿CD方向勻速運(yùn)動(dòng),速度為2cm/s,連接PQ,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t〔s〔0＜t＜2,解答下列問題：〔1當(dāng)t為何值時(shí),PQ⊥CD？〔2設(shè)四邊形PBCQ的面積為y〔cm2,求y與t的函數(shù)關(guān)系式；〔3是否存在某一時(shí)刻t,使S四邊形PBCQ：S四邊形PQDE=22：5？若存在,求出t的值；若不存在,說明理由．〔4是否存在某一時(shí)刻t,使A,P,Q三點(diǎn)在同一直線上？若存在,求出t的值；若不存在,說明理由．23．已知,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,AD=2,AB=4,BC=5,在射線BC任取一點(diǎn)M,聯(lián)結(jié)DM,作∠MDN=∠BDC,∠MDN的另一邊DN交直線BC于點(diǎn)N〔點(diǎn)N在點(diǎn)M的左側(cè)．〔1當(dāng)BM的長(zhǎng)為10時(shí),求證：BD⊥DM；〔2如圖〔1,當(dāng)點(diǎn)N在線段BC上時(shí),設(shè)BN=x,BM=y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并寫出它的定義域；〔3如果△DMN是等腰三角形,求BN的長(zhǎng)．24．如圖,在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中,點(diǎn)P是邊AD上的動(dòng)點(diǎn)〔點(diǎn)P不與點(diǎn)A、點(diǎn)D重合,點(diǎn)Q是邊CD上一點(diǎn),聯(lián)結(jié)PB、PQ,且∠PBC=∠BPQ．〔1當(dāng)QD=QC時(shí),求∠ABP的正切值；〔2設(shè)AP=x,CQ=y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；〔3聯(lián)結(jié)BQ,在△PBQ中是否存在度數(shù)不變的角？若存在,指出這個(gè)角,并求出它的度數(shù)；若不存在,請(qǐng)說明理由．25．已知在矩形ABCD中,AB=2,AD=4．P是對(duì)角線BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)〔點(diǎn)P不與點(diǎn)B、D重合,過點(diǎn)P作PF⊥BD,交射線BC于點(diǎn)F．聯(lián)結(jié)AP,畫∠FPE=∠BAP,PE交BF于點(diǎn)E．設(shè)PD=x,EF=y．〔1當(dāng)點(diǎn)A、P、F在一條直線上時(shí),求△ABF的面積；〔2如圖1,當(dāng)點(diǎn)F在邊BC上時(shí),求y關(guān)于x的函數(shù)解析式,并寫出函數(shù)定義域；〔3聯(lián)結(jié)PC,若∠FPC=∠BPE,請(qǐng)直接寫出PD的長(zhǎng)．26．在正方形ABCD中,點(diǎn)E,F分別在邊BC,CD上,且∠EAF=∠CEF=45°．〔1將△ADF繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到△ABG〔如圖①,求證：△AEG≌△AEF；〔2若直線EF與AB,AD的延長(zhǎng)線分別交于點(diǎn)M,N〔如圖②,求證：EF2=ME2+NF2；〔3將正方形改為長(zhǎng)與寬不相等的矩形,若其余條件不變〔如圖③,請(qǐng)你直接寫出線段EF,BE,DF之間的數(shù)量關(guān)系．27．已知：如圖,菱形ABCD中,對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,且AC=12cm,BD=16cm．點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā),沿BA方向勻速運(yùn)動(dòng),速度為1cm/s；同時(shí),直線EF從點(diǎn)D出發(fā),沿DB方向勻速運(yùn)動(dòng),速度為1cm/s,EF⊥BD,且與AD,BD,CD分別交于點(diǎn)E,Q,F；當(dāng)直線EF停止運(yùn)動(dòng)時(shí),點(diǎn)P也停止運(yùn)動(dòng)．連接PF,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t〔s〔0＜t＜8．解答下列問題：〔1當(dāng)t為何值時(shí),四邊形APFD是平行四邊形？〔2設(shè)四邊形APFE的面積為y〔cm2,求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；〔3是否存在某一時(shí)刻t,使S四邊形APFE：S菱形ABCD=17：40？若存在,求出t的值,并求出此時(shí)P,E兩點(diǎn)間的距離；若不存在,請(qǐng)說明理由．28．如圖1,矩形OABC頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為〔8,3,定點(diǎn)D的坐標(biāo)為〔12,0,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā),以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿x軸的正方向勻速運(yùn)動(dòng),動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā),以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿x軸的負(fù)方向勻速運(yùn)動(dòng),PQ兩點(diǎn)同時(shí)運(yùn)動(dòng),相遇時(shí)停止．在運(yùn)動(dòng)過程中,以PQ為斜邊在x軸上方作等腰直角三角形PQR．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．〔1當(dāng)t=時(shí),△PQR的邊QR經(jīng)過點(diǎn)B；〔2設(shè)△PQR和矩形OABC重疊部分的面積為S,求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；〔3如圖2,過定點(diǎn)E〔5,0作EF⊥BC,垂足為F,當(dāng)△PQR的頂點(diǎn)R落在矩形OABC的內(nèi)部時(shí),過點(diǎn)R作x軸、y軸的平行線,分別交EF、BC于點(diǎn)M、N,若∠MAN=45°,求t的值．29．△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,點(diǎn)D為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)〔點(diǎn)D不與B,C重合,以AD為邊在AD右側(cè)作正方形ADEF,連接CF．〔1觀察猜想如圖1,當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí),①BC與CF的位置關(guān)系為：．②BC,CD,CF之間的數(shù)量關(guān)系為：；〔將結(jié)論直接寫在橫線上〔2數(shù)學(xué)思考如圖2,當(dāng)點(diǎn)D在線段CB的延長(zhǎng)線上時(shí),結(jié)論①,②是否仍然成立？若成立,請(qǐng)給予證明；若不成立,請(qǐng)你寫出正確結(jié)論再給予證明．〔3拓展延伸如圖3,當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí),延長(zhǎng)BA交CF于點(diǎn)G,連接GE．若已知AB=2,CD=BC,請(qǐng)求出GE的長(zhǎng)．30．已知：四邊形ABCD中,對(duì)角線的交點(diǎn)為O,E是OC上的一點(diǎn),過點(diǎn)A作AG⊥BE于點(diǎn)G,AG、BD交于點(diǎn)F．〔1如圖1,若四邊形ABCD是正方形,求證：OE=OF；〔2如圖2,若四邊形ABCD是菱形,∠ABC=120°．探究線段OE與OF的數(shù)量關(guān)系,并說明理由；〔3如圖3,若四邊形ABCD是等腰梯形,∠ABC=α,且AC⊥BD．結(jié)合上面的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),探究線段OE與OF的數(shù)量關(guān)系為〔直接寫出答案．31．如圖,矩形ABCD中,AB=3,AD=4,E為AB上一點(diǎn),AE=1,M為射線AD上一動(dòng)點(diǎn),AM=a〔a為大于0的常數(shù),直線EM與直線CD交于點(diǎn)F,過點(diǎn)M作MG⊥EM,交直線BC于點(diǎn)G．〔1若M為邊AD中點(diǎn),求證△EFG是等腰三角形；〔2若點(diǎn)G與點(diǎn)C重合,求線段MG的長(zhǎng)；〔3請(qǐng)用含a的代數(shù)式表示△EFG的面積S,并指出S的最小整數(shù)值．32．已知,在△ABC中,∠BAC=90°,∠ABC=45°,點(diǎn)D為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)〔點(diǎn)D不與點(diǎn)B,C重合．以AD為邊作正方形ADEF,連接CF〔1如圖1,當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)．求證：CF+CD=BC；〔2如圖2,當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí),其他條件不變,請(qǐng)直接寫出CF,BC,CD三條線段之間的關(guān)系；〔3如圖3,當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的反向延長(zhǎng)線上時(shí),且點(diǎn)A,F分別在直線BC的兩側(cè),其他條件不變；①請(qǐng)直接寫出CF,BC,CD三條線段之間的關(guān)系；②若正方形ADEF的邊長(zhǎng)為2,對(duì)角線AE,DF相交于點(diǎn)O,連接OC．求OC的長(zhǎng)度．33．已知：如圖,在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=8cm,對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)O．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),沿AD方向勻速運(yùn)動(dòng),速度為1cm/s；同時(shí),點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā),沿DC方向勻速運(yùn)動(dòng),速度為1cm/s；當(dāng)一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí),另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．連接PO并延長(zhǎng),交BC于點(diǎn)E,過點(diǎn)Q作QF∥AC,交BD于點(diǎn)F．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t〔s〔0＜t＜6,解答下列問題：〔1當(dāng)t為何值時(shí),△AOP是等腰三角形？〔2設(shè)五邊形OECQF的面積為S〔cm2,試確定S與t的函數(shù)關(guān)系式；〔3在運(yùn)動(dòng)過程中,是否存在某一時(shí)刻t,使S五邊形S五邊形OECQF：S△ACD=9：16？若存在,求出t的值；若不存在,請(qǐng)說明理由；〔4在運(yùn)動(dòng)過程中,是否存在某一時(shí)刻t,使OD平分∠COP？若存在,求出t的值；若不存在,請(qǐng)說明理由．34．如圖1,在正方形ABCD內(nèi)作∠EAF=45°,AE交BC于點(diǎn)E,AF交CD于點(diǎn)F,連接EF,過點(diǎn)A作AH⊥EF,垂足為H．〔1如圖2,將△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG．①求證：△AGE≌△AFE；②若BE=2,DF=3,求AH的長(zhǎng)．〔2如圖3,連接BD交AE于點(diǎn)M,交AF于點(diǎn)N．請(qǐng)?zhí)骄坎⒉孪耄壕€段BM,MN,ND之間有什么數(shù)量關(guān)系？并說明理由．35．給出定義,若一個(gè)四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對(duì)角線的平方,則稱該四邊形為勾股四邊形．〔1在你學(xué)過的特殊四邊形中,寫出兩種勾股四邊形的名稱；〔2如圖,將△ABC繞頂點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得到△DBE,連接AD,DC,CE,已知∠DCB=30°．①求證：△BCE是等邊三角形；②求證：DC2+BC2=AC2,即四邊形ABCD是勾股四邊形．36．如圖1,直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=8,BC=6,點(diǎn)M從點(diǎn)D出發(fā),以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng),同時(shí),點(diǎn)N從點(diǎn)B出發(fā),以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)．其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí),另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．過點(diǎn)N作NP⊥AD于點(diǎn)P,連接AC交NP于點(diǎn)Q,連接MQ．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．〔1AM=,AP=．〔用含t的代數(shù)式表示〔2當(dāng)四邊形ANCP為平行四邊形時(shí),求t的值〔3如圖2,將△AQM沿AD翻折,得△AKM,是否存在某時(shí)刻t,①使四邊形AQMK為為菱形,若存在,求出t的值；若不存在,請(qǐng)說明理由②使四邊形AQMK為正方形,則AC=．37．已知,如圖1,BD是邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD的對(duì)角線,BE平分∠DBC交DC于點(diǎn)E,延長(zhǎng)BC到點(diǎn)F,使CF=CE,連接DF,交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．〔1求證：△BCE≌△DCF；〔2求CF的長(zhǎng)；〔3如圖2,在AB上取一點(diǎn)H,且BH=CF,若以BC為x軸,AB為y軸建立直角坐標(biāo)系,問在直線BD上是否存在點(diǎn)P,使得以B、H、P為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形？若存在,直接寫出所有符合條件的P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在,說明理由．38．如圖,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于點(diǎn)D,BC=10cm,AD=8cm,E點(diǎn)F點(diǎn)分別為AB,AC的中點(diǎn)．〔1求證：四邊形AEDF是菱形；〔2求菱形AEDF的面積；〔3若H從F點(diǎn)出發(fā),在線段FE上以每秒2cm的速度向E點(diǎn)運(yùn)動(dòng),點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā),在線段BC上以每秒3cm的速度向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng),問當(dāng)t為何值時(shí),四邊形BPHE是平行四邊形？當(dāng)t取何值時(shí),四邊形PCFH是平行四邊形？39．如圖,四邊形OABC是邊長(zhǎng)為4的正方形,點(diǎn)P為OA邊上任意一點(diǎn)〔與點(diǎn)O、A不重合,連接CP,過點(diǎn)P作PM⊥CP交AB于點(diǎn)D,且PM=CP,過點(diǎn)M作MN∥OA,交BO于點(diǎn)N,連接ND、BM,設(shè)OP=t．〔1求點(diǎn)M的坐標(biāo)〔用含t的代數(shù)式表示．〔2試判斷線段MN的長(zhǎng)度是否隨點(diǎn)P的位置的變化而改變？并說明理由．〔3當(dāng)t為何值時(shí),四邊形BNDM的面積最小．40．如圖〔1,E是正方形ABCD的邊BC上的一個(gè)點(diǎn)〔E與B、C兩點(diǎn)不重合,過點(diǎn)E作射線EP⊥AE,在射線EP上截取線段EF,使得EF=AE；過點(diǎn)F作FG⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．〔1求證：FG=BE；〔2連接CF,如圖〔2,求證：CF平分∠DCG；〔3當(dāng)=時(shí),求sin∠CFE的值．41．如圖,已知在矩形ABCD中,AD=10,CD=5,點(diǎn)E從點(diǎn)D出發(fā),沿線段DA以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)A方向移動(dòng),同時(shí)點(diǎn)F從點(diǎn)C出發(fā),沿射線CD方向以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)的速度移動(dòng),當(dāng)B、E、F三點(diǎn)共線時(shí),兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng),此時(shí)BF⊥CE．設(shè)點(diǎn)E移動(dòng)的時(shí)間為t〔秒．〔1求當(dāng)t為何值時(shí),兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)；〔2求當(dāng)t為何值時(shí),EC是∠BED的平分線；〔3設(shè)四邊形BCFE的面積為S,求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出t的取值范圍；〔4求當(dāng)t為何值時(shí),△EFC是等腰三角形．〔直接寫出答案42．如圖1,將矩形ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至矩形B點(diǎn)正好落在CD上的點(diǎn)E處,連結(jié)BE．〔1求證：∠BAE=2∠CBE；〔2如圖2,連BG交AE于M,點(diǎn)N為BE的中點(diǎn),連MN、AF,試探究AF與MN的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論；〔3若AB=5,BC=3,直接寫出BG的長(zhǎng)．43．將一矩形紙片OABC放在直角坐標(biāo)系中,O為原點(diǎn),C在x軸上,OA=6,OC=10．〔1如圖〔1,在OA上取一點(diǎn)E,將△EOC沿EC折疊,使O點(diǎn)落在AB邊上的D點(diǎn),求E點(diǎn)的坐標(biāo)；〔2如圖〔2,在OA、OC邊上選取適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)E′、F,將△E′OF沿E′F折疊,使O點(diǎn)落在AB邊上D′點(diǎn),過D′作D′G∥AO交E′F于T點(diǎn),交OC于G點(diǎn),求證：TG=AE′；〔3在〔2的條件下,設(shè)T〔x,y．①探求：y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．②指出變量x的取值范圍．44．如圖,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AD=16cm,AB=12cm,BC=21cm,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā),沿射線BC的方向以每秒2cm的速度運(yùn)動(dòng),動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā),在線段AD上以每秒1cm的速度向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng),點(diǎn)P,Q分別從點(diǎn)B,A同時(shí)出發(fā),當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí),點(diǎn)P隨之停止運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t〔秒．〔1當(dāng)t為何值時(shí),四邊形PQDC是平行四邊形．〔2當(dāng)t為何值時(shí),以C,D,Q,P為頂點(diǎn)的梯形面積等于60cm2？〔3是否存在點(diǎn)P,使△PQD是等腰三角形〔不考慮QD=PD？若存在,請(qǐng)求出所有滿足要求的t的值,若不存在,請(qǐng)說明理由．45．如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,四邊形OABC是矩形,其中點(diǎn)A在x軸的正半軸上,點(diǎn)B的坐標(biāo)為〔4,2,點(diǎn)D為對(duì)角線OB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)〔不包括端點(diǎn),∠BCD的平分線交OB于點(diǎn)E．〔1求線段OB所在直線的函數(shù)表達(dá)式,并寫出CD的取值范圍．〔2當(dāng)∠BCD的平分線經(jīng)過點(diǎn)A時(shí),求點(diǎn)D的坐標(biāo)．〔3點(diǎn)P是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求CD十DP的最小值．46．如圖,在四邊形ABCD中,∠A=90°,AD∥BC,E為AB的中點(diǎn),連接CE,BD,過點(diǎn)E作FE⊥CE于點(diǎn)E,交AD于點(diǎn)F,連接CF,已知2AD=AB=BC．〔1求證：CE=BD；〔2若AB=4,求AF的長(zhǎng)度；〔3求sin∠EFC的值．47．如圖①,在長(zhǎng)方形ABCD中,AB=DC=3cm,BC=5cm,點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā),以1cm/s的速度沿BC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng),設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts．〔1PC=cm．〔用含t的代數(shù)式表示；〔2當(dāng)t為何值時(shí),△ABP≌△DCP,請(qǐng)說明理由；〔3如圖②,當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)B開始運(yùn)動(dòng)時(shí),點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā),以acm/s的速度沿CD向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng),是否存在這樣a的值,使得△ABP與△PCQ全等？若存在,請(qǐng)求出a的值,若不存在,請(qǐng)說明理由．48．如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,四邊形ABCD是平行四邊形,AD=6,若OA、OB的長(zhǎng)是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣7x+12=0的兩個(gè)根,且OA＞OB．〔1求OA、OB的長(zhǎng)．〔2若點(diǎn)E為x軸上的點(diǎn),且S△AOE=,試判斷△AOE與△AOD是否相似？并說明理由．〔3在直線AB上是否存在點(diǎn)F,使以A、C、F為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？如果存在,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)．49．如圖,已知四邊形ABCD中,AB∥DC,AB=DC,且AB=6cm,BC=8cm,對(duì)角線AC=l0cm．〔1求證：四邊形ABCD是矩形；〔2如圖〔2,若動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā),在CA邊上以每秒5cm的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng),同時(shí)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā),在BC邊上以每秒4cm的速度向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒〔0≤t＜2,連接BQ、AP,若AP⊥BQ,求t的值；〔3如圖〔3,若點(diǎn)Q在對(duì)角線AC上,CQ=4cm,動(dòng)點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā),以每秒1cm的速度沿BC運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)C止．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)了t秒,請(qǐng)你探索：從運(yùn)動(dòng)開始,經(jīng)過多少時(shí)間,以點(diǎn)Q、P、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？請(qǐng)求出所有可能的結(jié)果．50．如圖,點(diǎn)E為正方形ABCD的邊BC所在直線上的一點(diǎn),連接AE,過點(diǎn)C作CF⊥AE于F,連接BF．〔1如圖1,當(dāng)點(diǎn)E在CB的延長(zhǎng)線上,且AC=EC時(shí),求證：BF=；〔2如圖2,當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上,且AE平分∠BAC時(shí),求證：AB+BE=AC；〔3如圖3,當(dāng)點(diǎn)E繼續(xù)往右運(yùn)動(dòng)到BC中點(diǎn)時(shí),過點(diǎn)D作DH⊥AE于H,連接BH．求證：∠BHF=45°．四邊形綜合題集參考答案與試題解析一．選擇題〔共9小題1．如圖,在菱形ABCD中,AB=BD,點(diǎn)E、F分別是AB、AD上任意的點(diǎn)〔不與端點(diǎn)重合,且AE=DF,連接BF與DE相交于點(diǎn)G,連接CG與BD相交于點(diǎn)H．給出如下幾個(gè)結(jié)論：①△AED≌△DFB；②S四邊形BCDG=CG2；③若AF=2DF,則BG=6GF；④CG與BD一定不垂直；⑤∠BGE的大小為定值．其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)為〔A．4 B．3 C．2 D．1[分析]①先證明△ABD為等邊三角形,根據(jù)"SAS"證明△AED≌△DFB；②證明∠BGE=60°=∠BCD,從而得點(diǎn)B、C、D、G四點(diǎn)共圓,因此∠BGC=∠DGC=60°,過點(diǎn)C作CM⊥GB于M,CN⊥GD于N．證明△CBM≌△CDN,所以S四邊形BCDG=S四邊形CMGN,易求后者的面積；③過點(diǎn)F作FP∥AE于P點(diǎn),根據(jù)題意有FP：AE=DF：DA=1：3,則FP：BE=1：6=FG：BG,即BG=6GF；④因?yàn)辄c(diǎn)E、F分別是AB、AD上任意的點(diǎn)〔不與端點(diǎn)重合,且AE=DF,當(dāng)點(diǎn)E,F分別是AB,AD中點(diǎn)時(shí),CG⊥BD；⑤∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°．[解答]解：①∵ABCD為菱形,∴AB=AD,∵AB=BD,∴△ABD為等邊三角形,∴∠A=∠BDF=60°,又∵AE=DF,AD=BD,∴△AED≌△DFB,故本選項(xiàng)正確；②∵∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°=∠BCD,即∠BGD+∠BCD=180°,∴點(diǎn)B、C、D、G四點(diǎn)共圓,∴∠BGC=∠BDC=60°,∠DGC=∠DBC=60°,∴∠BGC=∠DGC=60°,過點(diǎn)C作CM⊥GB于M,CN⊥GD于N〔如圖1,則△CBM≌△CDN〔AAS,∴S四邊形BCDG=S四邊形CMGN,S四邊形CMGN=2S△CMG,∵∠CGM=60°,∴GM=CG,CM=CG,∴S四邊形CMGN=2S△CMG=2××CG×CG=CG2,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；③過點(diǎn)F作FP∥AE交DE于P點(diǎn)〔如圖2,∵AF=2FD,∴FP：AE=DF：DA=1：3,∵AE=DF,AB=AD,∴BE=2AE,∴FP：BE=FP：2AE=1：6,∵FP∥AE,∴PF∥BE,∴FG：BG=FP：BE=1：6,即BG=6GF,故本選項(xiàng)正確；④當(dāng)點(diǎn)E,F分別是AB,AD中點(diǎn)時(shí)〔如圖3,由〔1知,△ABD,△BDC為等邊三角形,∵點(diǎn)E,F分別是AB,AD中點(diǎn),∴∠BDE=∠DBG=30°,∴DG=BG,在△GDC與△BGC中,,∴△GDC≌△BGC,∴∠DCG=∠BCG,∴CH⊥BD,即CG⊥BD,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；⑤∵∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°,為定值,故本選項(xiàng)正確；綜上所述,正確的結(jié)論有①③⑤,共3個(gè),故選：B．[點(diǎn)評(píng)]此題綜合考查了菱形的性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì),全等三角形的判定和性質(zhì),作出輔助線構(gòu)造出全等三角形,把不規(guī)則圖形的面轉(zhuǎn)化為兩個(gè)全等三角形的面積是解題的關(guān)鍵．2．如圖,正方形ABCD中,點(diǎn)E,F分別在BC,CD上,△AEF是等邊三角形,連接AC交EF于點(diǎn)G,下列結(jié)論：①CE=CF,②∠AEB=75°,③AG=2GC,④BE+DF=EF,⑤S△CEF=2S△ABE,其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為〔A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)[分析]通過條件可以得出△ABE≌△ADF,從而得出∠BAE=∠DAF,BE=DF,得到CE=CF；由正方形的性質(zhì)就可以得出∠AEB=75°；設(shè)EC=x,由勾股定理得到EF,表示出BE,利用三角形的面積公式分別表示出S△CEF和2S△ABE,再通過比較大小就可以得出結(jié)論．[解答]解：∵四邊形ABCD是正方形,∴AB=BC=CD=AD,∠B=∠BCD=∠D=∠BAD=90°．∵△AEF等邊三角形,∴AE=EF=AF,∠EAF=60°．∴∠BAE+∠DAF=30°．在Rt△ABE和Rt△ADF中,,Rt△ABE≌Rt△ADF〔HL,∴BE=DF,∴CE=CF,故①正確；∵∠BAE=∠DAF,∴∠DAF+∠DAF=30°,即∠DAF=15°,∴∠AEB=75°,故②正確；設(shè)EC=x,由勾股定理,得EF=x,CG=x,AG=AEsin60°=EFsin60°=2×CGsin60°=x,∴AG≠2GC,③錯(cuò)誤；∵CG=x,AG=x,∴AC=x∴AB=AC?=x,∴BE=x﹣x=x,∴BE+DF=〔﹣1x,∴BE+DF≠EF,故④錯(cuò)誤；∵S△CEF=x2,S△ABE=×BE×AB=x×x=x2,∴2S△ABE═S△CEF,故⑤正確．綜上所述,正確的有3個(gè),故選：B．[點(diǎn)評(píng)]本題考查了正方形的性質(zhì)的運(yùn)用,全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用,勾股定理的運(yùn)用,等邊三角形的性質(zhì)的運(yùn)用,三角形的面積公式的運(yùn)用,解答本題時(shí)運(yùn)用勾股定理的性質(zhì)解題時(shí)關(guān)鍵．3．如圖,邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中,AE平分∠DAC,AE交CD于點(diǎn)F,CE⊥AE,垂足為點(diǎn)E,EG⊥CD,垂足為點(diǎn)G,點(diǎn)H在邊BC上,BH=DF,連接AH、FH,FH與AC交于點(diǎn)M,以下結(jié)論：①FH=2BH；②AC⊥FH；③S△ACF=1；④CE=AF；⑤EG2=FG?DG,其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為〔A．2 B．3 C．4 D．5[分析]①②、證明△ABH≌△ADF,得AF=AH,再得AC平分∠FAH,則AM既是中線,又是高線,得AC⊥FH,證明BH=HM=MF=FD,則FH=2BH；所以①②都正確；③可以直接求出FC的長(zhǎng),計(jì)算S△ACF≠1,錯(cuò)誤；④根據(jù)正方形邊長(zhǎng)為2,分別計(jì)算CE和AF的長(zhǎng)得結(jié)論正確；還可以利用圖2證明△ADF≌△CDN得：CN=AF,由CE=CN=AF；⑤利用相似先得出EG2=FG?CG,再根據(jù)同角的三角函數(shù)列式計(jì)算CG的長(zhǎng)為1,則DG=CG,所以⑤也正確．[解答]解：①②如圖1,∵四邊形ABCD是正方形,∴AB=AD,∠B=∠D=90°,∠BAD=90°,∵AE平分∠DAC,∴∠FAD=∠CAF=22.5°,∵BH=DF,∴△ABH≌△ADF,∴AH=AF,∠BAH=∠FAD=22.5°,∴∠HAC=∠FAC,∴HM=FM,AC⊥FH,∵AE平分∠DAC,∴DF=FM,∴FH=2DF=2BH,故選項(xiàng)①②正確；③在Rt△FMC中,∠FCM=45°,∴△FMC是等腰直角三角形,∵正方形的邊長(zhǎng)為2,∴AC=2,MC=DF=2﹣2,∴FC=2﹣DF=2﹣〔2﹣2=4﹣2,S△AFC=CF?AD≠1,所以選項(xiàng)③不正確；④AF===2,∵△ADF∽△CEF,∴,∴,∴CE=,∴CE=AF,故選項(xiàng)④正確；⑤延長(zhǎng)CE和AD交于N,如圖2,∵AE⊥CE,AE平分∠CAD,∴CE=EN,∵EG∥DN,∴CG=DG,在Rt△FEC中,EG⊥FC,∴EG2=FG?CG,∴EG2=FG?DG,故選項(xiàng)⑤正確；本題正確的結(jié)論有4個(gè),故選：C．[點(diǎn)評(píng)]本題是四邊形的綜合題,綜合考查了正方形、相似三角形、全等三角形的性質(zhì)和判定；求邊時(shí)可以利用三角形相似列比例式,也可以直接利用同角三角函數(shù)列式計(jì)算；同時(shí)運(yùn)用了勾股定理求線段的長(zhǎng),勾股定理在正方形中運(yùn)用得比較多．4．如圖,在正方形ABCD中,E、F分別為BC、CD的中點(diǎn),連接AE,BF交于點(diǎn)G,將△BCF沿BF對(duì)折,得到△BPF,延長(zhǎng)FP交BA延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q,下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是〔①AE=BF；②AE⊥BF；③sin∠BQP=；④S四邊形ECFG=2S△BGE．A．4 B．3 C．2 D．1[分析]首先證明△ABE≌△BCF,再利用角的關(guān)系求得∠BGE=90°,即可得到①AE=BF；②AE⊥BF；△BCF沿BF對(duì)折,得到△BPF,利用角的關(guān)系求出QF=QB,解出BP,QB,根據(jù)正弦的定義即可求解；根據(jù)AA可證△BGE與△BCF相似,進(jìn)一步得到相似比,再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解．[解答]解：∵E,F分別是正方形ABCD邊BC,CD的中點(diǎn),∴CF=BE,在△ABE和△BCF中,,∴Rt△ABE≌Rt△BCF〔SAS,∴∠BAE=∠CBF,AE=BF,故①正確；又∵∠BAE+∠BEA=90°,∴∠CBF+∠BEA=90°,∴∠BGE=90°,∴AE⊥BF,故②正確；根據(jù)題意得,FP=FC,∠PFB=∠BFC,∠FPB=90°∵CD∥AB,∴∠CFB=∠ABF,∴∠ABF=∠PFB,∴QF=QB,令PF=k〔k＞0,則PB=2k在Rt△BPQ中,設(shè)QB=x,∴x2=〔x﹣k2+4k2,∴x=,∴sin=∠BQP==,故③正確；∵∠BGE=∠BCF,∠GBE=∠CBF,∴△BGE∽△BCF,∵BE=BC,BF=BC,∴BE：BF=1：,∴△BGE的面積：△BCF的面積=1：5,∴S四邊形ECFG=4S△BGE,故④錯(cuò)誤．故選：B．[點(diǎn)評(píng)]本題主要考查了四邊形的綜合題,涉及正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)以及折疊的性質(zhì)的知識(shí)點(diǎn),解決的關(guān)鍵是明確三角形翻轉(zhuǎn)后邊的大小不變,找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)邊,角的關(guān)系求解．5．如圖,在矩形ABCD中,BC=AB,∠ADC的平分線交邊BC于點(diǎn)E,AH⊥DE于點(diǎn)H,連接CH并延長(zhǎng)交邊AB于點(diǎn)F,連接AE交CF于點(diǎn)O,給出下列命題：〔1∠AEB=∠AEH〔2DH=2EH〔3OH=AE〔4BC﹣BF=EH其中正確命題的序號(hào)〔A．〔1〔2〔3 B．〔2〔3〔4 C．〔2〔4 D．〔1〔3[分析]〔1根據(jù)矩形的性質(zhì)得到AD=BC=AB=CD,由DE平分∠ADC,得到△ADH是等腰直角三角形,△DEC是等腰直角三角形,得到DE=CD,得到等腰三角形求出∠AED=67.5°,∠AEB=67.5°,得到〔1正確；〔2設(shè)DH=1,則AH=DH=1,AD=DE=,求出HE=﹣1,得到2HE≠1,所以〔2不正確；〔3通過角的度數(shù)求出△AOH和△OEH是等腰三角形,從而得到〔3正確；〔4由△AFH≌△CHE,到AF=EH,由△ABE≌△AHE,得到BE=EH,于是得到BC﹣BF=〔BE+CE﹣〔AB﹣AF=〔CD+EH﹣〔CD﹣EH=2EH,從而得到〔4不正確．[解答]解：〔1在矩形ABCD中,AD=BC=AB=CD,∠ADC=∠BCD=90°,∵DE平分∠ADC,∴∠ADE=∠CDE=45°,∵AH⊥DE,∴△ADH是等腰直角三角形,∴AD=AH,∴AH=AB=CD,∵△DEC是等腰直角三角形,∴DE=CD,∴AD=DE,∴∠AED=67.5°,∴∠AEB=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°,∴∠AEH=∠AEB,所以〔1結(jié)論正確；〔2設(shè)DH=1,則AH=DH=1,AD=DE=,∴HE=DE﹣DH=﹣1,∴2HE=2〔﹣1=4﹣2≠1,所以〔2結(jié)論不正確；〔3∵∠AEH=67.5°,∴∠EAH=22.5°,∵DH=CD,∠EDC=45°,∴∠DHC=67.5°,∴∠OHA=180°﹣90°﹣67.5°=22.5°,∴∠OAH=∠OHA=22.5°,∴OA=OH,∴∠AEH=∠OHE=67.5°,∴OH=OE=OA,∴OH=AE,所以〔3正確；〔4∵AH=DH,CD=CE,在△AFH與△CHE中,,∴△AFH≌△CHE,∴AF=EH,在Rt△ABE與Rt△AHE中,,∴△ABE≌△AHE,∴BE=EH,∴BC﹣BF=〔BE+CE﹣〔AB﹣AF=〔CD+EH﹣〔CD﹣EH=2EH,所以〔2不正確,故選：D．[點(diǎn)評(píng)]本題考查了矩形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),角平分線的定義,等腰三角形的判定與性質(zhì),熟記各性質(zhì)并仔細(xì)分析題目條件,根據(jù)相等的度數(shù)求出相等的角,從而得到三角形全等的條件或判斷出等腰三角形是解題的關(guān)鍵,也是本題的難點(diǎn)．6．如圖,在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中,動(dòng)點(diǎn)F,E分別以相同的速度從D,C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)向C和B運(yùn)動(dòng)〔任何一個(gè)點(diǎn)到達(dá)即停止,過點(diǎn)P作PM∥CD交BC于M點(diǎn),PN∥BC交CD于N點(diǎn),連接MN,在運(yùn)動(dòng)過程中,則下列結(jié)論：①△ABE≌△BCF；②AE=BF；③AE⊥BF；④CF2=PE?BF；⑤線段MN的最小值為．其中正確的結(jié)論有〔A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)[分析]由正方形的性質(zhì)及條件可判斷出①△ABE≌△BCF,即可判斷出②AE=BF,∠BAE=∠CBF,再根據(jù)∠BAE+∠BEA=90°,可得∠CBF+∠BEA=90°,可得出∠APB=90°,即可判斷③,由△BPE∽△BCF,利用相似三角形的性質(zhì),結(jié)合CF=BE可判斷④；然后根據(jù)點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)中保持∠APB=90°,可得點(diǎn)P的路徑是一段以AB為直徑的弧,設(shè)AB的中點(diǎn)為G,連接CG交弧于點(diǎn)P,此時(shí)CP的長(zhǎng)度最小,最后在Rt△BCG中,根據(jù)勾股定理,求出CG的長(zhǎng)度,再求出PG的長(zhǎng)度,即可求出線段CP的最小值,可判斷⑤．[解答]解：如圖,∵動(dòng)點(diǎn)F,E的速度相同,∴DF=CE,又∵CD=BC,∴CF=BE,在△ABE和△BCF中,∴△ABE≌△BCF〔SAS,故①正確；∴∠BAE=∠CBF,AE=BF,故②正確；∵∠BAE+∠BEA=90°,∴∠CBF+∠BEA=90°,∴∠APB=90°,故③正確；在△BPE和△BCF中,∵∠BPE=∠BCF,∠PBE=∠CBF,∴△BPE∽△BCF,∴=,∴CF?BE=PE?BF,∵CF=BE,∴CF2=PE?BF,故④正確；∵點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)中保持∠APB=90°,∴點(diǎn)P的路徑是一段以AB為直徑的弧,設(shè)AB的中點(diǎn)為G,連接CG交弧于點(diǎn)P,此時(shí)CP的長(zhǎng)度最小,在Rt△BCG中,CG===,∵PG=AB=,∴CP=CG﹣PG=﹣=,即線段CP的最小值為,故⑤正確；綜上可知正確的有5個(gè),故選：D．[點(diǎn)評(píng)]本題為四邊形的綜合應(yīng)用,涉及全等三角形、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、正方形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)．在判定三角形全等時(shí),關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件,證明△ABE≌△BCF是解題的關(guān)鍵．本題考查知識(shí)點(diǎn)較多,綜合性較強(qiáng),難度較大．7．如圖,正方形ABCD中,以AD為底邊作等腰△ADE,將△ADE沿DE折疊,點(diǎn)A落到點(diǎn)F處,連接EF剛好經(jīng)過點(diǎn)C,再連接AF,分別交DE于G,交CD于H．在下列結(jié)論中：①△ABM≌△DCN；②∠DAF=30°；③△AEF是等腰直角三角形；④EC=CF；⑤S△HCF=S△ADH,其中正確的結(jié)論有〔A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)[分析]首先證明∠HCF=∠FHC=67.5°,由此可以判定③正確,②錯(cuò)誤,再證明AC∥DF,推出S△DFA=S△FDC,由此判斷⑤正確,根據(jù)ASA可以判斷①正確,在△EAF中,由∠CAE=∠CAF,∠AEC=90°,作CK⊥AF于K,推出CE=CK＜CF,由此判斷④錯(cuò)誤．[解答]解：如圖,連接AC、以D為圓心DA為半徑畫圓．∵四邊形ABCD是正方形,∴DA=DC=AB=BC,∠ADC=∠B=∠DCB=90°,∠ACD=∠DAC=45°∵△DEF是由△DEA翻折得到,∴DA=DF=DC,EA=EF,∠AED=∠DEF,∴∠AFC=∠ADC=45°∴∠EFA=∠EAF=45°,∴∠AEF=90°,∴∠DEF=∠DEA=45°,∵EA=ED=EF,∴∠DAE=∠ADE=∠EDF=∠EFD=67.5°,∴∠DAF=∠DFA=22.5°,∴∠ADF=180°﹣∠DAF﹣∠DFA=135°,∴∠CDF=∠ADF﹣∠ADC=45°,∴∠DCF=180°﹣∠CDF﹣∠DFC=67.5°,∵∠CHF=∠CDF+∠DFA=67.5°,∴∠HCF=∠FHC,∴△CFH是等腰三角形,故③正確．②錯(cuò)誤,∵∠ACD=∠CDF,∴AC∥DF,∴S△DFA=S△FDC,∴S△ADH=S△CHF,故⑤正確,∵EA=ED,∴∠EAD=∠EDA,∴∠BAM=∠CDN,在△ABM和△DCN中,,∴△ABM≌△DCN,故①正確,在△EAF中,∵∠CAE=∠CAF,∠AEC=90°,作CK⊥AF于K,∴CE=CK＜CF,∴CE≠CF故④錯(cuò)誤．∴①③⑤正確,選B．[點(diǎn)評(píng)]本題考查四邊形綜合題、圓的有關(guān)性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識(shí),解題的關(guān)鍵是添加輔助線,構(gòu)造圓利用圓的有關(guān)性質(zhì)解決問題,屬于中考?？碱}型．8．如圖,在矩形ABCD中,E是AD邊的中點(diǎn),BE⊥AC于點(diǎn)F,連接DF,分析下列四個(gè)結(jié)論：①△AEF∽△CAB；②CF=2AF；③DF=DC；④S四邊形CDEF=S△AEF,其中正確的結(jié)論有〔個(gè)．A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④[分析]①四邊形ABCD是矩形,BE⊥AC,則∠ABC=∠AFB=90°,又∠BAF=∠CAB,于是△AEF∽△CAB,故①正確；②由AE=AD=BC,又AD∥BC,所以==,故②正確；③過D作DM∥BE交AC于N,得到四邊形BMDE是平行四邊形,求出BM=DE=BC,得到CN=NF,根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)可得結(jié)論,故③正確；④根據(jù)△AEF∽△CBF得到==,求出S△AEF=S△ABF,S△ABF=S矩形ABCDS四邊形CDEF=S△ACD﹣S△AEF=S矩形ABCD﹣S矩形ABCD=S矩形ABCD,即可得到S四邊形CDEF=5S△AEF=,故④錯(cuò)誤．[解答]解：過D作DM∥BE交AC于N,∵四邊形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∠ABC=90°,AD=BC,∵BE⊥AC于點(diǎn)F,∴∠EAC=∠ACB,∠ABC=∠AFE=90°,∴△AEF∽△CAB,故①正確；∵AD∥BC,∴△AEF∽△CBF,∴==,∵AE=AD=BC,∴=,∴CF=2AF,故②正確,∵DE∥BM,BE∥DM,∴四邊形BMDE是平行四邊形,∴BM=DE=BC,∴BM=CM,∴CN=NF,∵BE⊥AC于點(diǎn)F,DM∥BE,∴DN⊥CF,∴DF=DC,故③正確；∵△AEF∽△CBF,∴==,∴S△AEF=S△ABF,S△ABF=S矩形ABCD∴S△AEF=S矩形ABCD,又∵S四邊形CDEF=S△ACD﹣S△AEF=S矩形ABCD﹣S矩形ABCD=S矩形ABCD,∴S四邊形CDEF=5S△AEF故④錯(cuò)誤；故選：B．[點(diǎn)評(píng)]本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì),矩形的性質(zhì),圖形面積的計(jì)算,正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．9．如圖,正方形ABCD的邊CD與正方形CGFE的邊CE重合,O是EG的中點(diǎn),∠EGC的平分線GH過點(diǎn)D,交BE于H,連接OH、FH、EG與FH交于M,對(duì)于下面四個(gè)結(jié)論：①GH⊥BE；②HOBG；③點(diǎn)H不在正方形CGFE的外接圓上；④△GBE∽△GMF．其中正確的結(jié)論有〔A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)[分析]〔1由四邊形ABCD和四邊形CGFE是正方形,得出△BCE≌△DCG,推出∠BEC+∠HDE=90°,從而得GH⊥BE；〔2由GH是∠EGC的平分線,得出△BGH≌△EGH,再由O是EG的中點(diǎn),利用中位線定理,得HOBG；〔3△EHG是直角三角形,因?yàn)镺為EG的中點(diǎn),所以O(shè)H=OG=OE,得出點(diǎn)H在正方形CGFE的外接圓上；〔4連接CF,由點(diǎn)H在正方形CGFE的外接圓上,得到∠HFC=∠CGH,由∠HFC+∠FMG=90°,∠CGH+∠GBE=90°,得出∠FMG=∠GBE,所以△GBE∽△GMF．[解答]解：〔1如圖,∵四邊形ABCD和四邊形CGFE是正方形,∴BC=CD,CE=CG,∠BCE=∠DCG,在△BCE和△DCG中,∴△BCE≌△DCG〔SAS,∴∠BEC=∠BGH,∵∠BGH+∠CDG=90°,∠CDG=∠HDE,∴∠BEC+∠HDE=90°,∴GH⊥BE．故①正確；〔2∵GH是∠EGC的平分線,∴∠BGH=∠EGH,在△BGH和△EGH中∴△BGH≌△EGH〔ASA,∴BH=EH,又∵O是EG的中點(diǎn),∴HO是△EBG的中位線,∴HOBG,故②正確；〔3由〔1得△EHG是直角三角形,∵O為EG的中點(diǎn),∴OH=OG=OE,∴點(diǎn)H在正方形CGFE的外接圓上,故③錯(cuò)誤；〔4如圖2,連接CF,由〔3可得點(diǎn)H在正方形CGFE的外接圓上,∴∠HFC=∠CGH,∵∠HFC+∠FMG=90°,∠CGH+∠GBE=90°,∴∠FMG=∠GBE,又∵∠EGB=∠FGM=45°,∴△GBE∽△GMF．故④正確,故選：C．[點(diǎn)評(píng)]本題主要考查了四邊形的綜合題,解題的關(guān)鍵是能靈活利用三角形全等的判定和性質(zhì)來解題．二．填空題〔共7小題10．如圖,在正方形ABCD外取一點(diǎn)E,連接AE、BE、DE．過點(diǎn)A作AE的垂線交DE于點(diǎn)P．若AE=AP=1,PB=．下列結(jié)論：①△APD≌△AEB；②EB⊥ED；③點(diǎn)B到直線AE的距離為；④S△APD+S△APB=1+；⑤S正方形ABCD=4+．其中正確結(jié)論的序號(hào)是①②⑤．[分析]①首先利用已知條件根據(jù)邊角邊可以證明△APD≌△AEB；②由①可得∠BEP=90°,故BE不垂直于AE過點(diǎn)B作BM⊥AE延長(zhǎng)線于M,由①得∠AEB=135°所以∠EMB=45°,可以得出∠PEB=90°就可以得出②正確,③所以△EMB是等腰Rt△,故B到直線AE距離為BF=,故③是錯(cuò)誤的；④由△APD≌△AEB,可知S△APD+S△APB=S△AEB+S△APB,然后利用已知條件計(jì)算即可判定；⑤連接BD,根據(jù)三角形的面積公式得到S△BPD=PD×BE=,所以S△ABD=S△APD+S△APB+S△BPD=2+,由此即可判定．[解答]解：∵四邊形ABCD是正方形,∴AB=BC=CD=AD,∠BAD=90°．∵AP⊥AE,∴∠EAP=90°,∴∠BAD=∠EAP,∴∠BAD﹣∠BAP=∠EAP﹣∠BAP,即∠DAP=∠BAE．∵在△APD和△AEB中,,∴△APD≌△AEB〔SAS,故①正確；∴∠AEB=∠APD,∵∠AEP=∠APE=45°,∴∠APD=∠AEB=135°,∴∠BEP=90°,∴EB⊥ED,故②正確．過B作BF⊥AE,交AE的延長(zhǎng)線于F,則BF的長(zhǎng)是點(diǎn)B到直線AE的距離,在Rt△AEP中,由勾股定理得PE=,在Rt△BEP中,PB=,PE=,由勾股定理得：BE=,∵∠PAE=∠PEB=∠EFB=90°,AE=AP,∴∠AEP=45°,∴∠BEF=180°﹣45°﹣90°=45°,∴∠EBF=45°,∴EF=BF,在Rt△EFB中,由勾股定理得：EF=BF=,故③是錯(cuò)誤的；∵△APD≌△AEB,∴PD=BE=,∴S△APD+S△APB=S△AEB+S△APB=S△AEP+S△BEP=+,因此④是錯(cuò)誤的；連接BD,則S△BPD=PD×BE=,所以S△ABD=S△APD+S△APB+S△BPD=2+,所以S正方形ABCD=2S△ABD=4+．故⑤正確；綜上可知,正確的有①②⑤．故答案為：①②⑤．[點(diǎn)評(píng)]本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)與判定、三角形的面積及勾股定理的運(yùn)用,綜合性比較強(qiáng),解題時(shí)要求熟練掌握相關(guān)的基礎(chǔ)知識(shí)才能很好解決問題．11．如圖,已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,E是邊BC上的動(dòng)點(diǎn),BF⊥AE交CD于點(diǎn)F,垂足為G,連結(jié)CG．下列說法：①AG＞GE；②AE=BF；③點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為π；④CG的最小值為﹣1．其中正確的說法是②④．〔把你認(rèn)為正確的說法的序號(hào)都填上[分析]根據(jù)正方形對(duì)角線的性質(zhì)可得出當(dāng)E移動(dòng)到與C重合時(shí),F點(diǎn)和D點(diǎn)重合,此時(shí)G點(diǎn)為AC中點(diǎn),故①錯(cuò)誤；求得∠BAE=∠CBF,根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB=BC,∠ABC=∠C=90°,然后利用"角角邊"證明△ABE和△BCF全等,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得AE=BF,判斷出②正確；根據(jù)題意,G點(diǎn)的軌跡是以AB中點(diǎn)O為圓心,AO為半徑的圓弧,然后求出弧的長(zhǎng)度,判斷出③錯(cuò)誤；由于OC和OG的長(zhǎng)度是一定的,因此當(dāng)O、G、C在同一條直線上時(shí),CG取最小值,根據(jù)勾股定理求出最小CG長(zhǎng)度．[解答]解：∵在正方形ABCD中,BF⊥AE,∴∠AGB保持90°不變,∴G點(diǎn)的軌跡是以AB中點(diǎn)O為圓心,AO為半徑的圓弧,∴當(dāng)E移動(dòng)到與C重合時(shí),F點(diǎn)和D點(diǎn)重合,此時(shí)G點(diǎn)為AC中點(diǎn),∴AG=GE,故①錯(cuò)誤；∵BF⊥AE,∴∠AEB+∠CBF=90°,∵∠AEB+∠BAE=90°,∴∠BAE=∠CBF,在△ABE和△BCF中,,∴△ABE≌△BCF〔AAS,∴故②正確；∵當(dāng)E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)停止,∴點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)的軌跡為圓,圓弧的長(zhǎng)=×2=,故③錯(cuò)誤；由于OC和OG的長(zhǎng)度是一定的,因此當(dāng)O、G、C在同一條直線上時(shí),CG取最小值,OC==,CG的最小值為OC﹣OG=﹣1,故④正確；綜上所述,正確的結(jié)論有②④．故答案為②④．[點(diǎn)評(píng)]本題考查了正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),弧長(zhǎng)的計(jì)算,勾股定理的應(yīng)用,熟記性質(zhì)并求出△ABE和△BCF全等是解題的關(guān)鍵,用阿拉伯?dāng)?shù)字加弧線表示角更形象直觀．12．如圖,在菱形ABCD中,AB=6,∠DAB=60°,AE分別交BC、BD于點(diǎn)E、F,CE=2,連接CF,以下結(jié)論：①△ABF≌△CBF；②點(diǎn)E到AB的距離是2；③tan∠DCF=；④△ABF的面積為．其中一定成立的是①②③〔把所有正確結(jié)論的序號(hào)都填在橫線上．[分析]利用SAS證明△ABF與△CBF全等,得出①正確,根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)得出點(diǎn)E到AB的距離是2,得出②正確,同時(shí)得出；△ABF的面積為得出④錯(cuò)誤,得出tan∠DCF=,得出③正確．[解答]解：∵菱形ABCD,∴AB=BC=6,∵∠DAB=60°,∴AB=AD=DB,∠ABD=∠DBC=60°,在△ABF與△CBF中,,∴△ABF≌△CBF〔SAS,∴①正確；過點(diǎn)E作EG⊥AB,過點(diǎn)F作MH⊥CD,MH⊥AB,如圖：∵CE=2,BC=6,∠ABC=120°,∴BE=6﹣2=4,∵EG⊥AB,∴EG=,∴點(diǎn)E到AB的距離是2,故②正確；∵BE=4,EC=2,∴S△BFE：S△FEC=4：2=2：1,∴S△ABF：S△FBE=3：2,∴△ABF的面積為=,故④錯(cuò)誤；∵,∴=,∵,∴FM=,∴DM=,∴CM=DC﹣DM=6﹣,∴tan∠DCF=,故③正確；故答案為：①②③[點(diǎn)評(píng)]此題考查了四邊形綜合題,關(guān)鍵是根據(jù)菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)分析．此題難度較大,注意掌握輔助線的作法,注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．13．如圖,在矩形ABCD中,AB=2,AD=,在邊CD上有一點(diǎn)E,使EB平分∠AEC．若P為BC邊上一點(diǎn),且BP=2CP,連接EP并延長(zhǎng)交AB的延長(zhǎng)線于F．給出以下五個(gè)結(jié)論：①點(diǎn)B平分線段AF；②PF=DE；③∠BEF=∠FEC；④S矩形ABCD=4S△BPF；⑤△AEB是正三角形．其中正確結(jié)論的序號(hào)是①②③⑤．[分析]由角平分線的定義和矩形的性質(zhì)可證明∠AEB=∠ABE,可求得AE=AB=2,在Rt△ADE中可求得DE=1,則EC=1,又可證明△PEC∽△PBF,可求得BF=2,可判定①；在Rt△PBF中可求得PF,可判定②；在Rt△BCE中可求得BE=2,可得∠BEF=∠F,可判定③；容易計(jì)算出S矩形ABCD和S△BPF；可判定④；由AE=AB=BE可判定⑤；可得出答案．[解答]解：∵四邊形ABCD為矩形,∴AB∥CD,∴∠CEB=∠ABE,又∵BE平分∠AEC,∴∠AEB=∠CEB,∴∠AEB=∠ABE,∴AE=AB=2,在Rt△ADE中,AD=,AE=2,由勾股定理可求得DE=1,∴CE=CD﹣DE=2﹣1=1,∵DC∥AB,∴△PCE∽△PBF,∴=,即==,∴BF=2,∴AB=BF,∴點(diǎn)B平分線段AF,故①正確；∵BC=AD=,∴BP=,在Rt△BPF中,BF=2,由勾股定理可求得PF===,∵DE=1,∴PF=DE,故②正確；在Rt△BCE中,EC=1,BC=,由勾股定理可求得BE=2,∴BE=BF,∴∠BEF=∠F,又∵AB∥CD,∴∠FEC=∠F,∴∠BEF=∠FEC,故③正確；∵AB=2,AD=,∴S矩形ABCD=AB?AD=2×=2,∵BF=2,BP=,∴S△BPF=BF?BP=×2×=,∴4S△BPF=,∴S矩形ABCD=≠4S△BPF,故④不正確；由上可知AB=AE=BE=2,∴△AEB為正三角形,故⑤正確；綜上可知正確的結(jié)論為：①②③⑤．故答案為：①②③⑤．[點(diǎn)評(píng)]本題主要考查矩形的性質(zhì)和相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、等邊三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)的綜合應(yīng)用．根據(jù)條件求得AE=AB,求得DE的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵,從而可求得BF、PF、BE等線段的長(zhǎng)容易判斷②③④⑤．本題知識(shí)點(diǎn)較多,綜合性較強(qiáng),難度較大．在解題時(shí)注意勾股定理的靈活運(yùn)用．14．如圖,在矩形ABCD中,AD=AB,∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)E,DH⊥AE于點(diǎn)H,連接BH并延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)F,連接DE交BF于點(diǎn)O,下列結(jié)論：①∠AED=∠CED；②OE=OD；③BH=HF；④BC﹣CF=2HE；⑤AB=HF,其中正確的有①②③④．[分析]①根據(jù)角平分線的定義可得∠BAE=∠DAE=45°,可得出△ABE是等腰直角三角形,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AE=AB,從而得到AE=AD,然后利用"角角邊"證明△ABE和△AHD全等,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得BE=DH,再根據(jù)等腰三角形兩底角相等求出∠ADE=∠AED=67.5°,根據(jù)平角等于180°求出∠CED=67.5°,從而判斷出①正確；②求出∠AHB=67.5°,∠DHO=∠ODH=22.5°,然后根據(jù)等角對(duì)等邊可得OE=OD=OH,判斷出②正確；③求出∠EBH=∠OHD=22.5°,∠AEB=∠HDF=45°,然后利用"角邊角"證明△BEH和△HDF全等,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得BH=HF,判斷出③正確；④根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得DF=HE,然后根據(jù)HE=AE﹣AH=BC﹣CD,BC﹣CF=BC﹣〔CD﹣DF=2HE,判斷出④正確；⑤判斷出△ABH不是等邊三角形,從而得到AB≠BH,即AB≠HF,得到⑤錯(cuò)誤．[解答]解：∵在矩形ABCD中,AE平分∠BAD,∴∠BAE=∠DAE=45°,∴△ABE是等腰直角三角形,∴AE=AB,∵AD=AB,∴AE=AD,在△ABE和△AHD中,,∴△ABE≌△AHD〔AAS,∴BE=DH,∴AB=BE=AH=HD,∴∠ADE=∠AED=〔180°﹣45°=67.5°,∴∠CED=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°,∴∠AED=∠CED,故①正確；∵∠AHB=〔180°﹣45°=67.5°,∠OHE=∠AHB〔對(duì)頂角相等,∴∠OHE=∠AED,∴OE=OH,∵∠DOH=90°﹣67.5°=22.5°,∠ODH=67.5°﹣45°=22.5°,∴∠DOH=∠ODH,∴OH=OD,∴OE=OD=OH,故②正確；∵∠EBH=90°﹣67.5°=22.5°,∴∠EBH=∠OHD,又∵BE=DH,∠AEB=∠HDF=45°在△BEH和△HDF中∴△BEH≌△HDF〔ASA,∴BH=HF,HE=DF,故③正確；由上述①、②、③可得CD=BE、DF=EH=CE,CF=CD﹣DF,∴BC﹣CF=〔CD+HE﹣〔CD﹣HE=2HE,所以④正確；∵AB=AH,∠BAE=45°,∴△ABH不是等邊三角形,∴AB≠BH,∴即AB≠HF,故⑤錯(cuò)誤；綜上所述,結(jié)論正確的是①②③④．故答案為：①②③④．[點(diǎn)評(píng)]本題考查了矩形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),角平分線的定義,等腰三角形的判定與性質(zhì),熟記各性質(zhì)并仔細(xì)分析題目條件,根據(jù)相等的度數(shù)求出相等的角,從而得到三角形全等的條件或判斷出等腰三角形是解題的關(guān)鍵,也是本題的難點(diǎn)．15．如圖所示,在正方形ABCD的對(duì)角線上取點(diǎn)E,使得∠BAE=15°,連結(jié)AE,CE．延長(zhǎng)CE到F,連結(jié)BF,使得BC=BF．若AB=1,則下列結(jié)論：①AE=CE；②F到BC的距離為；③BE+EC=EF；④；⑤．其中正確的是①③⑤．[分析]根據(jù)正方形的性質(zhì)得出AB=BC,∠ABD=∠CBD=45,利用SAS證明△ABE≌△CBE,即可判斷①正確；過F作FH⊥BC于H,先求出∠FBH=30°,再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出FH,即可判斷②錯(cuò)誤；在EF上取一點(diǎn)N,使BN=BE,由∠BEN=60°,得出△NBE為等邊三角形,再利用ASA證明△FBN≌△CBE,得出NF=EC,從而判斷③正確；過A作AM⊥BD交于M,根據(jù)勾股定理求出BD,解直角△ADM與直角△AEM,求出AM、DM與EM的值,根據(jù)三角形的面積公式求出S△AED=DE×AM=+,即可判斷④錯(cuò)誤；根據(jù)S△EBF=S△FBC﹣S△EBC及S△CBE=S△ABE=S△ABM﹣S△AEM,求出S△EBF=,進(jìn)而判斷⑤正確．[解答]解：①∵四邊形ABCD是正方形,∴AB=BC,∠ABD=∠CBD=45°,∵BE=BE,∴△ABE≌△CBE,∴AE=CE,∴①正確；②過F作FH⊥BC于H．∵△ABE≌△CBE,∴∠BAE=∠BCE=15°．∵BF=BC=1,∴∠BFC=∠FCB=15°,∴∠FBH=∠BFC+∠FCB=30°,∴FH=BF=,∴②錯(cuò)誤；③在EF上取一點(diǎn)N,使BN=BE,又∵∠BEN=∠EBC+∠ECB=45°+15°=60°,∴△NBE為等邊三角形,∴∠ENB=60°,又∵∠NFB=15°,∴∠NBF=45°,又∵∠EBC=45°,∴∠NBF=∠EBC,又∵BF=BC,∠NFB=∠ECB=15°,∴△FBN≌△CBE,∴NF=EC,故BE+EC=EN+NF=EF,∴③正確；④過A作AM⊥BD交于M．在直角△ABM中,∵∠BAD=90°,AB=AD=1,∴BD=,在直角△ADM中,∵∠AMD=90°,∠ADM=45°,AD=1,∴DM=AM=,在直角△AEM中,∵∠AME=90°,∠AEM=60°,AM=,∴EM==,∴S△AED=DE×AM=〔+×=+,∴④錯(cuò)誤；⑤∵BD=,AM=DM=,EM=,∴BM=BD﹣DM=﹣=,BM﹣EM=﹣,∴S△ABE=S△ABM﹣S△AEM=BM?AM﹣EM?AM=AM〔BM﹣EM=××〔﹣=﹣．∵△ABE≌△CBE,∴S△ABE=S△CBE=﹣,∴S△EBF=S△FBC﹣S△EBC=×1×﹣〔﹣=,∴⑤正確．故答案為①③⑤．[點(diǎn)評(píng)]本題是四邊形的綜合題,主要考查了正方形的性質(zhì),全等三角形的性質(zhì)和判定,三角形的面積,解直角三角形等知識(shí),綜合性較強(qiáng),有一定難度．準(zhǔn)確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．16．如圖,Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3cm,AB=5cm．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AC以1.5cm/s的速度向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng),到達(dá)點(diǎn)C后立刻以原來的速度沿CA返回；點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BA以1cm/s的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)．伴隨著P、Q的運(yùn)動(dòng),DE保持垂直平分PQ,且交PQ于點(diǎn)D,交折線PC﹣CB﹣BQ于點(diǎn)E．點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā),當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)A時(shí)停止運(yùn)動(dòng),點(diǎn)P也隨之停止．設(shè)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒〔t＞0,則當(dāng)t=或秒時(shí),四邊形BQDE為直角梯形．[分析]由四邊形QBED為直角梯形,分為∠PQB=90°和∠CPQ=90°兩種情況,得出三角形相似,利用相似比求出相應(yīng)t的值即可．[解答]解：在Rt△ABC中,BC=3cm,AB=5cm,根據(jù)勾股定理得：AC==4cm,設(shè)P、Q運(yùn)動(dòng)t秒時(shí),四邊形QBED為直角梯形,①當(dāng)∠PQB=90°時(shí),得DE∥QB,則四邊形QBED是直角梯形〔如圖1,此時(shí)△APQ∽△ABC,則=,即=,解得：t=；②當(dāng)∠CPQ=90°時(shí),得PQ∥BC,則四邊形QBED是直角梯形〔如圖2,此時(shí)△APQ∽△ACB,則=,即=,解得：t=,綜上,當(dāng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)或秒時(shí),四邊形QBED是直角梯形．故答案為：或[點(diǎn)評(píng)]此題考查了四邊形綜合題,涉及的知識(shí)有：相似三角形的判定與性質(zhì),直角梯形的性質(zhì),利用了分類討論及數(shù)形結(jié)合的思想,解題的關(guān)鍵是由直角梯形的直角的可能情況,利用平行線得相似三角形,分類求解．三．解答題〔共34小題17．在正方形ABCD中,動(dòng)點(diǎn)E,F分別從D,C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),以相同的速度在直線DC,CB上移動(dòng)．〔1如圖1,當(dāng)點(diǎn)E在邊DC上自D向C移動(dòng),同時(shí)點(diǎn)F在邊CB上自C向B移動(dòng)時(shí),連接AE和DF交于點(diǎn)P,請(qǐng)你寫出AE與DF的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系,并說明理由；〔2如圖2,當(dāng)E,F分別在邊CD,BC的延長(zhǎng)線上移動(dòng)時(shí),連接AE,DF,〔1中的結(jié)論還成立嗎？〔請(qǐng)你直接回答"是"或"否",不需證明；連接AC,請(qǐng)你直接寫出△ACE為等腰三角形時(shí)CE：CD的值；〔3如圖3,當(dāng)E,F分別在直線DC,CB上移動(dòng)時(shí),連接AE和DF交于點(diǎn)P,由于點(diǎn)E,F的移動(dòng),使得點(diǎn)P也隨之運(yùn)動(dòng),請(qǐng)你畫出點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)路徑的草圖．若AD=2,試求出線段CP的最大值．[分析]〔1根據(jù)正方形的性質(zhì)得出AD=DC,∠ADE=∠DCF=90°,求出DE=CF,根據(jù)SAS推出△ADE≌△DCF,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出AE=DF,∠DAE=∠FDC即可；〔2有兩種情況：①當(dāng)AC=CE時(shí),設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a,由勾股定理求出AC=CE=a即可；②當(dāng)AE=AC時(shí),設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a,由勾股定理求出AC=AE=a,根據(jù)正方形的性質(zhì)∠ADC=90°,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出DE=CD=a即可；〔3根據(jù)〔1〔2知：點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)中保持∠APD=90°,得出點(diǎn)P的路徑是以AD為直徑的圓,設(shè)AD的中點(diǎn)為Q,連接CQ并延長(zhǎng)交圓弧于點(diǎn)P,此時(shí)CP的長(zhǎng)度最大,求出QC即可．[解答]解：〔1AE=DF,AE⊥DF,理由是：∵四邊形ABCD是正方形,∴AD=DC,∠ADE=∠DCF=90°,∵動(dòng)點(diǎn)E,F分別從D,C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),以相同的速度在直線DC,CB上移動(dòng),∴DE=CF,在△ADE和△DCF中,∴△ADE≌△DCF,∴AE=DF,∠DAE=∠FDC,∵∠ADE=90°,∴∠ADP+○CDF=90°,∴∠ADP+∠DAE=90°,∴∠APD=180°﹣90°=90°,∴AE⊥DF；〔2〔1中的結(jié)論還成立,CE：CD=或2,理由是：有兩種情況：①如圖1,當(dāng)AC=CE時(shí),設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a,由勾股定理得：AC=CE==a,則CE：CD=a：a=；②如圖2,當(dāng)AE=AC時(shí),設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a,由勾股定理得：AC=AE==a,∵四邊形ABCD是正方形,∴∠ADC=90°,即AD⊥CE,∴DE=CD=a,∴CE：CD=2a：a=2；即CE：CD=或2；〔3∵點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)中保持∠APD=90°,∴點(diǎn)P的路徑是以AD為直徑的圓,如圖3,設(shè)AD的中點(diǎn)為Q,連接CQ并延長(zhǎng)交圓弧于點(diǎn)P,此時(shí)CP的長(zhǎng)度最大,∵在Rt△QDC中,QC===,∴CP=QC+QP=+1,即線段CP的最大值是+1．[點(diǎn)評(píng)]本題考查了正方形的性質(zhì),勾股定理,圓周角定理,全等三角形的性質(zhì)和判定,等腰三角形的性質(zhì),三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用,能綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵,用了分類討論思想,難度偏大．18．如圖,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC=6．點(diǎn)P在邊AC上運(yùn)動(dòng),過點(diǎn)P作PD⊥AB于點(diǎn)D,以AP、AD為鄰邊作?PADE．設(shè)□PADE與△ABC重疊部分圖形的面積為y,線段AP的長(zhǎng)為x〔0＜x≤6．〔1求線段PE的長(zhǎng)〔用含x的代數(shù)式表示．〔2當(dāng)點(diǎn)E落在邊BC上時(shí),求x的值．〔3求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．〔4直接寫出點(diǎn)E到△ABC任意兩邊所在直線距離相等時(shí)x的值．[分析]〔1先由∠C=90°,AC=BC,得出∠A=45°,再解等腰直角△APD,得出AD=AP?cos∠A=x=PD,然后根據(jù)平行四邊形對(duì)邊相等得出PE=AD=x；〔2當(dāng)點(diǎn)E落在邊BC上時(shí),先由平行線的性質(zhì)得出∠CPE=∠A=45°,再解等腰直角△CPE,得出PC=PE?cos∠CPE=x?=x,再根據(jù)AP+PC=AC列出方程x+x=6,解方程即可；〔3分兩種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)0＜x≤4時(shí),y=S?PADE,根據(jù)平行四邊形面積公式求解即可；②當(dāng)4＜x≤6時(shí),設(shè)DE與BC交于G,PE與BC交于F．求出GE=DE﹣DG=x﹣〔6﹣x=x﹣6,再根據(jù)y=S?PADE﹣S△GFE計(jì)算即可；〔4由〔2知,x=4時(shí),點(diǎn)E落在邊BC上,此時(shí)點(diǎn)E到△ABC任意兩邊所在直線距離均不相等,所以分兩種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)E在△ABC內(nèi)部時(shí),0＜x＜4．過E作EL⊥AC于L,EM⊥AB于M,延長(zhǎng)DE交BC于N,則EN⊥BC．求出EL=x,EM=x,EN=6﹣x．由于x≠x,即EL≠EM．所以分EL=EN與EM=EN分別列出方程,求解即可；②當(dāng)E在△ABC外部時(shí),4＜x≤6,過E作EL⊥AC交AC延長(zhǎng)線于L,EM⊥AB于M,易知EG⊥BC．求出EL=x,EM=x,EG=x﹣6．由于x≠x,即EL≠EM．所以分EL=EN與EM=EN分別列出方程,求解即可．[解答]解：〔1∵在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,∴∠A=45°,∵PD⊥AB,∴AD=AP?cos∠A=x=PD,∵四邊形PADE是平行四邊形,∴PE=AD=x；〔2當(dāng)點(diǎn)E落在邊BC上時(shí),如圖1．∵PE∥AD,∴∠CPE=∠A=45°,∵∠C=90°,∴PC=PE?cos∠CPE=x?=x．∵AP+PC=AC,∴x+x=6,∴x=4；〔3①當(dāng)0＜x≤4時(shí),如圖2．y=S?PADE=AD?PD=x?x=x2,即y=x2；②當(dāng)4＜x≤6時(shí),如圖3,設(shè)DE與BC交于G,PE與BC交于F．∵AD=x,AB=AC=6,∴DB=AB﹣AD=6﹣x,∴DG=DB?sin∠B=〔6﹣x?=6﹣x,∴GE=DE﹣DG=x﹣〔6﹣x=x﹣