第3章圓的基本性質(zhì)全章復(fù)習(xí)與檢測(cè)卷（6個(gè)專題3種思想）

第3章圓的基本性質(zhì)全章復(fù)習(xí)攻略與檢測(cè)卷【目錄】倍速學(xué)習(xí)三種方法【6個(gè)專題】1.垂徑定理與勾股定理綜合應(yīng)用2.旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的應(yīng)用3.圓心角與圓周角的綜合應(yīng)用4.圓周角定理的綜合應(yīng)用5.正多邊形的計(jì)算6.弧長(zhǎng)與扇形面積的計(jì)算【3種思想】1.分類討論思想2.數(shù)形結(jié)合思想3.方程思想【檢測(cè)卷】【倍速學(xué)習(xí)三種方法】【6個(gè)專題】1.垂徑定理與勾股定理綜合應(yīng)用1．（2023秋·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，是的直徑，是的弦，且，垂足為，連接．若，，則的長(zhǎng)為（）A．10 B．5 C． D．【答案】C【分析】連接，由是的直徑，是的弦，且，可得的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理可得的長(zhǎng)，從而得出的長(zhǎng)，最后再由勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可得到答案．【詳解】解：連接，

，是的直徑，是的弦，且，，，，，在中，，，在中，，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂徑定理、勾股定理，熟練掌握垂徑定理，添加適當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．2．（2023·浙江衢州·統(tǒng)考二模）一次綜合實(shí)踐的主題為：只用一張矩形紙條和刻度尺，如何測(cè)量一次性紙杯杯口的直徑？小聰同學(xué)所在的學(xué)習(xí)小組想到了如下方法：如圖，將紙條拉直緊貼杯口上，紙條的上下邊沿分別與杯口相交于，，，四點(diǎn)，利用刻度尺量得該紙條寬為，，．請(qǐng)你幫忙計(jì)算紙杯的直徑為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)圓心為O，根據(jù)垂徑定理可以得到，，再根據(jù)勾股定理構(gòu)建方程解題即可．【詳解】設(shè)圓心為O，為紙條寬，連接，，則，，∴，，設(shè)，則，又∵，∴，即，解得：，∴半徑，即直徑為，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理，勾股定理，構(gòu)建直角三角形利用勾股定理計(jì)算是解題的關(guān)鍵．2.旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的應(yīng)用3．（2022秋?浦江縣月考）閱讀下面材料，并解決問(wèn)題：（1）如圖①等邊△ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，若點(diǎn)P到頂點(diǎn)A、B、C的距離分別為3，4，5，求∠APB的度數(shù)．為了解決本題，我們可以將△ABP繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到△ACP′處，此時(shí)△ACP′≌△ABP，這樣就可以利用旋轉(zhuǎn)變換，將三條線段PA、PB、PC轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中，從而求出∠APB＝；（2）基本運(yùn)用請(qǐng)你利用第（1）題的解答思想方法，解答下面問(wèn)題已知如圖②，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F為BC上的點(diǎn)且∠EAF＝45°，求證：EF2＝BE2+FC2；（3）能力提升如圖③，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，點(diǎn)O為Rt△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接AO，BO，CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，求OA+OB+OC的值．【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換前后的兩個(gè)三角形全等，全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等，全等三角形對(duì)應(yīng)角相等以及等邊三角形的判定和勾股定理逆定理解答；（2）把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACE′，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AE′＝AE，CE′＝CE，∠CAE′＝∠BAE，∠ACE′＝∠B，∠EAE′＝90°，再求出∠E′AF＝45°，從而得到∠EAF＝∠E′AF，然后利用“邊角邊”證明△EAF和△E′AF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得E′F＝EF，再利用勾股定理列式即可得證．（3）將△AOB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至△A′O′B處，連接OO′，根據(jù)直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出AB＝2AC，即A′B的長(zhǎng)，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出△BOO′是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的三條邊都相等可得BO＝OO′，等邊三角形三個(gè)角都是60°求出∠BOO′＝∠BO′O＝60°，然后求出C、O、A′、O′四點(diǎn)共線，再利用勾股定理列式求出A′C，從而得到OA+OB+OC＝A′C．【解答】解：（1）∵△ACP′≌△ABP，∴AP′＝AP＝3、CP′＝BP＝4、∠AP′C＝∠APB，由題意知旋轉(zhuǎn)角∠PAP′＝60°，∴△APP′為等邊三角形，PP′＝AP＝3，∠AP′P＝60°，易證△PP′C為直角三角形，且∠PP′C＝90°，∴∠APB＝∠AP′C＝∠AP′P+∠PP′C＝60°+90°＝150°；故答案為：150°；（2）如圖2，把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACE′，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，AE′＝AE，CE′＝BE，∠CAE′＝∠BAE，∠ACE′＝∠B，∠EAE′＝90°，∵∠EAF＝45°，∴∠E′AF＝∠CAE′+∠CAF＝∠BAE+∠CAF＝∠BAC﹣∠EAF＝90°﹣45°＝45°，∴∠EAF＝∠E′AF，在△EAF和△E′AF中，∴△EAF≌△E′AF（SAS），∴E′F＝EF，∵∠CAB＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝45°，∴∠E′CF＝45°+45°＝90°，由勾股定理得，E′F2＝CE′2+FC2，即EF2＝BE2+FC2．（3）如圖3，將△AOB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至△A′O′B處，連接OO′，∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，∴AB＝2，∴BC＝，∵△AOB繞點(diǎn)B順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°，∴△A′O′B如圖所示；∠A′BC＝∠ABC+60°＝30°+60°＝90°，∵∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，∴AB＝2AC＝2，∵△AOB繞點(diǎn)B順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°，得到△A′O′B，∴A′B＝AB＝2，BO＝BO′，A′O′＝AO，∴△BOO′是等邊三角形，∴BO＝OO′，∠BOO′＝∠BO′O＝60°，∵∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，∴∠COB+∠BOO′＝∠BO′A′+∠BOO′＝120°+60°＝180°，∴C、O、A′、O′四點(diǎn)共線，在Rt△A′BC中，A′C＝，∴OA+OB+OC＝A′O′+OO′+OC＝A′C＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，讀懂題目信息，理解利用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造出全等三角形和等邊三角形以及直角三角形是解題的關(guān)鍵．3.圓心角與圓周角的綜合應(yīng)用4．（2023?余杭區(qū)模擬）如圖，AB是半圓O的直徑，點(diǎn)D是弧AC的中點(diǎn)，若∠DAC＝25°．則∠BAC等于（）A．40° B．42° C．44° D．46°【分析】利用圓周角定理和弧與圓心角的關(guān)系求解即可．【解答】解：連接OC，OD，∵點(diǎn)D是弧AC的中點(diǎn)，∴弧AD＝弧CD，又∠DAC＝25°，∴∠AOD＝∠COD＝2∠DAC＝50°，∴∠BOC＝180°﹣∠AOD﹣∠COD＝80°，∴，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓周角定理、弧與圓心角的關(guān)系，熟練掌握?qǐng)A周角定理是解答的關(guān)鍵．4.圓周角定理的綜合應(yīng)用5．（2022·浙江溫州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，內(nèi)接于，，，是上與點(diǎn)關(guān)于圓心成中心對(duì)稱的點(diǎn)，是邊上一點(diǎn)，連接，，．已知，，是線段上一動(dòng)點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交四邊形的一邊于點(diǎn)，且滿足，則的值為．【答案】1或【分析】先根據(jù)圓周角定理和對(duì)稱性質(zhì)證明四邊形是正方形，得到，，根據(jù)題意，分點(diǎn)R在線段上和點(diǎn)R在線段上兩種情況，利用全等三角形的判定與性質(zhì)分別求解即可．【詳解】解：∵內(nèi)接于，，∴是的直徑，∵是上與點(diǎn)關(guān)于圓心成中心對(duì)稱的點(diǎn)，∴，，又，∴，∴四邊形是菱形，又，∴四邊形是正方形，∴，．當(dāng)點(diǎn)R在線段上時(shí)，如圖，在和中，，∴，∴，∵，∴，，在和中，，∴，∴，∴；當(dāng)點(diǎn)R在線段上時(shí)，如圖，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，綜上，滿足條件的的值為1或．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理、對(duì)稱性質(zhì)、菱形的判定、正方形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握?qǐng)A周角定理和正方形的判定與性質(zhì)，證得四邊形是正方形，利用分類討論思想結(jié)合全等三角形的性質(zhì)和等面積法求解是解答的關(guān)鍵6．（2023·浙江·一模）如圖，在中，，以為直徑的圓分別交，于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)．若．(1)求證：．(2)求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析【分析】（1）首先根據(jù)圓直徑的性質(zhì)得到，然后利用等腰三角形三線合一性質(zhì)求解即可；（2）首先利用勾股定理求出，然后利用等面積法得到，最后利用勾股定理即可求出的長(zhǎng)．【詳解】（1）∵是圓的直徑，∴，∵，∴是等腰三角形，∴；（2）∵是圓的直徑，∴，∵，，∴，∴，∵是圓的直徑，∴，∴，∴，∴解得，∴．【點(diǎn)睛】此題考查了直徑所對(duì)的圓周角是直角，等腰三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)．5.正多邊形的計(jì)算7．（2022秋?南潯區(qū)期末）已知正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，連接BD，則∠ABD的度數(shù)是．【分析】根據(jù)多邊形內(nèi)角和定理、正五邊形的性質(zhì)求出∠ABC、CD＝CB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠CBD，計(jì)算即可．【解答】解：∵五邊形ABCDE為正五邊形，∴∠ABC＝∠C＝＝108°，∵CD＝CB，∴∠CBD＝＝36°，∴∠ABD＝∠ABC﹣∠CBD＝72°，故答案為：72°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是正多邊形和圓、多邊形的內(nèi)角和定理，掌握正多邊形和圓的關(guān)系、多邊形內(nèi)角和等于（n﹣2）×180°是解題的關(guān)鍵．8．（2022秋?江北區(qū)期末）劉徽是我國(guó)魏晉時(shí)期卓越的數(shù)學(xué)家，他首次提出“割圓術(shù)”，利用圓內(nèi)接正多邊形逐步逼近圓來(lái)近似計(jì)算圓周率，方法如圖：作正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，取的中點(diǎn)G，OG與AB交于點(diǎn)H；連結(jié)AG、BG；依次對(duì)剩余五段弧取中點(diǎn)可得一個(gè)圓內(nèi)接正十二邊形，記正十二邊形的面積為S1，正六邊形的面積為S2，則＝．【分析】設(shè)⊙O的半徑為R，根據(jù)正多邊形的性質(zhì)、正弦的定義、三角形的面積公式分別表示出S1、S2，計(jì)算即可．【解答】解：設(shè)⊙O的半徑為R，∵點(diǎn)G是的中點(diǎn)，∴OG⊥AB，∠BOG＝∠AOB，∵六邊形ABCDEF為正六邊形，∴△AOB為等邊三角形，∴∠OAB＝60°，∴S2＝R?R?sin60°×6＝R2，S1＝R?R?sin30°×12＝3R2，∴＝＝，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是正多邊形和圓，掌握正多邊形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．6.弧長(zhǎng)與扇形面積的計(jì)算9.（2022秋?寧波期末）如圖，在△ABC中，以邊AB為直徑作⊙O分別交BC，AC于點(diǎn)D，E，點(diǎn)D是BC中點(diǎn)，連接OE，OD．（1）求證：△ABC是等腰三角形．（2）若AB＝6，∠A＝40°，求的長(zhǎng)和扇形EOD的面積．【分析】（1）連接AD，由AB為⊙O直徑，得到∠ADB＝90°，繼而得出AD是線段BC的中垂線，即可求解；（2）由等邊對(duì)等角及三角形外角的性質(zhì)求出∠AOE，∠EOD的度數(shù)，再根據(jù)弧長(zhǎng)公式和扇形面積公式求解即可．【解答】解：（1）連接AD，∵AB為⊙O直徑，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，又∵D是BC中點(diǎn)，∴AD是線段BC的中垂線，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形；（2）∵∠A＝40°，OA＝OE，∴∠A＝∠AEO＝40°，∴∠AOE＝100°，∵AB＝6，∴OA＝OE＝3，∴，∵AB＝AC，OB＝OD，∴∠ABC＝70°＝∠ODB，∴∠AOD＝140°，∴∠EOD＝40°，∴．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)和判定，三角形外角的性質(zhì)，弧長(zhǎng)公式和扇形面積公式，垂直平分線的判定，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．10．（2022秋?上城區(qū)期末）已知AB是圓O的直徑，半徑OD⊥BC于點(diǎn)E，的度數(shù)為60°．（1）求證：OE＝DE；（2）若OE＝1，求圖中陰影部分的面積．【分析】（1）連接BD，證明△OBD是等邊三角形，可得結(jié)論；（2）根據(jù)S陰＝S扇形AOC+S△COE，求解即可．【解答】（1）證明：連接BD，∵的度數(shù)是60°，∴∠BOD＝60°，∵OB＝OD，∴△OBD是等邊三角形，∵OD⊥BC，∴OE＝DE；（2）解：連接OC．∵OD⊥BC，OC＝OB，∴∠COE＝∠BOE＝60°，∴∠OCE＝30°，∴OC＝2OE＝2，∴CE＝＝＝，∴S陰＝S扇形AOC+S△COE＝+××1＝+．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了扇形面積、三角形的面積的計(jì)算，正確證明△BOD是等邊三角形是關(guān)鍵．【3種思想】分類討論思想11．（2022·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）在圓柱形油槽內(nèi)裝有一些油，截面如圖所示，已知截面⊙O半徑為5cm，油面寬AB為6cm，如果再注入一些油后，油面寬變?yōu)?cm，則油面AB上升了（）cmA．1 B．3 C．3或4 D．1或7【答案】D【分析】分兩種情況求解：①如圖1，寬度為8cm的油面，作與的交點(diǎn)為，可知，，，在中，由勾股定理得，解得的值，在中，由勾股定理得，解得的值，計(jì)算即可；②如圖2，寬度為8cm的油面，作與的交點(diǎn)為，連接，由題意知，，，在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，計(jì)算即可．【詳解】解：分兩種情況求解：①如圖1，寬度為8cm的油面，作與的交點(diǎn)為由題意知，，在中，由勾股定理得在中，由勾股定理得∴②如圖2，寬度為8cm的油面，作與的交點(diǎn)為，連接由題意知，，在中，由勾股定理得在中，由勾股定理得∴∴油面AB上升到CD，上升了1cm，油面AB上升到EF，上升了7cm；故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的垂徑定理，勾股定理．解題的關(guān)鍵在于對(duì)兩種情況全面考慮．12．（2023·浙江金華·統(tǒng)考一模）如圖，已知和為等腰直角三角形，，，，連接、．在繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，當(dāng)所在的直線垂直于時(shí)，_______．【答案】或【分析】①當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)上方時(shí)，先判斷出四邊形是矩形，求出，再根據(jù)勾股定理求出，，得出；②當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)下方時(shí)，同①的方法得，，，進(jìn)而得出，即可得出結(jié)論．【詳解】∵為等腰直角三角形，，，①當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)上方時(shí)，如圖③，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于，當(dāng)時(shí)，可證，，，，四邊形是矩形，，矩形是正方形，，在中，根據(jù)勾股定理得，，．②當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)下方時(shí)，如圖④同①的方法得，，，，綜上所述，的長(zhǎng)為或．【點(diǎn)睛】此題是幾何變換綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，正方形和矩形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵是能夠根據(jù)題意進(jìn)行分情況討論．2.數(shù)形結(jié)合思想13．（2022秋·浙江杭州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在兩個(gè)同心圓中，大圓的弦與小圓相交于C，D兩點(diǎn)．(1)求證：．(2)若，大圓的半徑，求小圓的半徑r．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)小圓的半徑r為【分析】（1）過(guò)O作于點(diǎn)E，由垂徑定理可知E為和的中點(diǎn)，則可證得結(jié)論；（2）連接，由條件可求得的長(zhǎng)，則可求得和的長(zhǎng)，在中，利用勾股定理可求得的長(zhǎng)，在中可求得的長(zhǎng)；【詳解】（1）證明：過(guò)O作于點(diǎn)E，如圖1，由垂徑定理可得∴∴（2）解：連接，如圖2，∵，∴，∴，∴，在中，由勾股定理可得，在中，由勾股定理可得∴，即小圓的半徑r為．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理與勾股定理的知識(shí)．此題難度適中，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意輔助線的作法．3.方程思想14．（2023秋·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，的半徑弦于點(diǎn)C，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)E，連接．若，則的長(zhǎng)為（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】垂徑定理得到，三角形中位線定理得到，在中，設(shè)，則，，則，解得，則，，即可得到的長(zhǎng)．【詳解】解：∵的半徑弦于點(diǎn)C，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)E，∴垂直平分，是的直徑，∴，∴是的中位線，∴，在中，設(shè)，則，∵，∴，解得：，即，，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了垂徑定理、勾股定理、三角形中位線定理等知識(shí)，根據(jù)勾股定理得到是解題的關(guān)鍵．15．（2023秋·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，已知，，以點(diǎn)C為圓心、長(zhǎng)為半徑的圓交于點(diǎn)D，，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．4【答案】A【分析】如圖，作于E．連接，在中，設(shè)，利用30度性質(zhì)即可求出，，，再根據(jù)垂徑定理可以求出．【詳解】解：如圖，作于E．連接，則，∴，，∵，，∴，在中，設(shè)，∴，，，∴，∴，∴，∴．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理、三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)垂徑定理添加輔助線，記住直角三角形30度角性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題，中考常考題型．17．（2023秋·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖是一個(gè)圓柱形輸水管橫截面的示意圖，陰影部分為有水部分，如果水面AB的寬為，水面最深的地方高度為，則該輸水管的半徑為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】作半徑于C，連接，設(shè)圓的半徑是，則，，，由勾股定理列出方程求解即可．【詳解】作半徑于C，連接，設(shè)圓的半徑是，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴該輸水管的半徑為，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理，勾股定理，關(guān)鍵是通過(guò)作輔助線構(gòu)造直角三角形，應(yīng)用勾股定理，垂徑定理列出關(guān)于半徑的方程．【檢測(cè)卷】一、單選題1．（2023秋·浙江·九年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）在半徑為3的圓中，90°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)弧長(zhǎng)的公式進(jìn)行解答．【詳解】解：根據(jù)弧長(zhǎng)的公式，得到：．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查弧長(zhǎng)的計(jì)算，熟記弧長(zhǎng)公式是解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．2．（2022秋·浙江寧波·九年級(jí)校考期中）已知的半徑為4cm，點(diǎn)P在上，則的長(zhǎng)為（

）A．2cm B．4cm C．5cm D．8cm【答案】B【分析】根據(jù)點(diǎn)在圓上，點(diǎn)到圓心的距離等于圓的半徑求解即可．【詳解】解：∵的半徑為4cm，點(diǎn)P在上，∴．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：設(shè)的半徑為r，點(diǎn)P到圓心的距離，則有：點(diǎn)P在圓外時(shí)，；點(diǎn)P在圓上時(shí)，；點(diǎn)P在圓內(nèi)時(shí)，．3．（2022秋·浙江寧波·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，點(diǎn)A，B，C在上，，則的度數(shù)是（

）A．50° B．60° C．80° D．90°【答案】A【分析】先求解，再結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)可得．【詳解】解：∵，∴，∵，∴；故選A【點(diǎn)睛】本題考查的是圓周角定理的應(yīng)用，等腰三角形的性質(zhì)，熟記圓周角定理的含義是解本題的關(guān)鍵．4．（2022秋·浙江紹興·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，是的外接圓，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由是的外接圓，，根據(jù)在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半，即可求得的度數(shù)．【詳解】解：∵是的外接圓，，∴．故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了圓周角定理．此題比較簡(jiǎn)單，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．5．（2023秋·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，,將繞點(diǎn)C按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到，則點(diǎn)與點(diǎn)B之間的距離為（）A．4 B． C．3 D．【答案】B【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可證都是等邊三角形，由勾股定理求出BC的長(zhǎng)即可．【詳解】解：如圖，連接，∵將繞點(diǎn)C按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到，∴，∵，∴是等邊三角形，，∴，∴，∴是等邊三角形，∴，在中，，∴，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2023秋·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，是的直徑，點(diǎn)C，D，E都在上，則等于（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)是的直徑，得出，根據(jù)圓周角定理得出最后結(jié)果即可．【詳解】解：∵是的直徑，∴，由圓周角定理得：，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，直接所對(duì)的圓心角為，解題的關(guān)鍵是熟練掌握?qǐng)A周角定理．7．（2023·浙江溫州·校聯(lián)考三模）如圖，在中，，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，使點(diǎn)恰好落在邊上，連結(jié)，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，旋轉(zhuǎn)前后對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等，得出等腰三角形，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求解．【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，，∴，在中，，∴，解得：，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，找出旋轉(zhuǎn)角和旋轉(zhuǎn)前后的對(duì)應(yīng)邊得出等腰三角形是解答此題的關(guān)鍵．8．（2023春·浙江衢州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）六一兒童節(jié)快到了，小亮在圖紙上畫(huà)了一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形，以該正方形的四個(gè)頂點(diǎn)為圓心、長(zhǎng)為半徑作弧，則圖中實(shí)線所示的飾品輪廓的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)圖示，可得，，則的長(zhǎng)為以半徑為的圓的周長(zhǎng)的一半，由此即可求解．【詳解】解：如圖所示，設(shè)正方形為，根據(jù)作圖可知，，，∴，故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的周長(zhǎng)的計(jì)算，理解圖示，掌握?qǐng)A的周長(zhǎng)的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．9．（2023春·浙江嘉興·九年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）如圖，已知內(nèi)接于，為直徑，的平分線交于點(diǎn)D，連結(jié)，若，則圖中陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】：如圖，連接，由題意知，，由平分，可得，由，可得，根據(jù)，計(jì)算求解即可．【詳解】解：如圖，連接，由題意知，，∵平分，∴，∵，∴，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了直徑所對(duì)的圓周角為直角，角平分線，圓周角定理，扇形的面積．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．10．（2023秋·浙江嘉興·九年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）如下圖所示，O為邊長(zhǎng)為1的等邊三角形內(nèi)（不含邊界）任意一點(diǎn)，則的不可能取值為（

）A． B． C． D．2【答案】A【分析】將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，如圖，連接交于點(diǎn)F，連接，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可證是等邊三角形，可得，從而可得，當(dāng)、在一條直線上時(shí)，有最小值，最小值為的值，證明四邊形是菱形，可得，，再利用勾股定理求得，，從而可得，即可求解．【詳解】解：將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，如圖，連接交于點(diǎn)F，連接，∴，，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，∴，∴當(dāng)、在一條直線上時(shí)，有最小值，最小值為的值，此時(shí)，∵是等邊三角形，∴，∴，∴，又∵，∴四邊形是平行四邊形，又∵，∴四邊形是菱形，∴，∴，∵，在中，，∴，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、勾股定理，線段和最小值，熟練掌握相關(guān)定理是解題的關(guān)鍵．二、填空題11．（2023·浙江溫州·校聯(lián)考三模）一個(gè)扇形的圓心角為，半徑為2，則該扇形的面積為．【答案】【分析】根據(jù)扇形面積公式（其中n是扇形圓心角，r是半徑）進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：扇形的面積＝．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了扇形面積，熟練掌握扇形面積公式是解題的關(guān)鍵．12．（2022秋·浙江衢州·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，點(diǎn)，，在上，，則【答案】/度【分析】根據(jù)圓周角定理即可求解．【詳解】解：∵，，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，熟練掌握?qǐng)A周角定理是解題的關(guān)鍵．13．（2023春·浙江嘉興·九年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知的圓心與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，半徑為r，若點(diǎn)在內(nèi)，點(diǎn)在外，則r的取值范圍是．【答案】【分析】由題意知，，，由點(diǎn)在內(nèi)，點(diǎn)在外，可得．【詳解】解：由題意知，，，∵點(diǎn)在內(nèi)，點(diǎn)在外，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，勾股定理．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．14．（2023春·浙江溫州·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）扇形的圓心角為，半徑為，它的弧長(zhǎng)為．【答案】【分析】根據(jù)弧長(zhǎng)公式求解．【詳解】解：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查弧長(zhǎng)的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是掌握弧長(zhǎng)公式．15．（2023春·浙江嘉興·九年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）如圖，在中，，，D為上一點(diǎn)，，以C為圓心，長(zhǎng)為半徑作圓，連結(jié)并延長(zhǎng)交于另一點(diǎn)E，若，則的長(zhǎng)為．【答案】【分析】結(jié)合圓的性質(zhì)證明，設(shè)，過(guò)作，垂足為F，利用直角三角形的性質(zhì)求出，，根據(jù)的長(zhǎng)度以及勾股定理列出方程，解之即可．【詳解】解：∵，點(diǎn)E在上，∴，∴，∵，∴，又，∴，∴，設(shè)，則，過(guò)作，垂足為F，∵，∴，，∴，∴，解得：，即，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的性質(zhì)，勾股定理，含30度的直角三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，知識(shí)點(diǎn)較多，比較復(fù)雜，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理計(jì)算線段長(zhǎng)度．16．（2023秋·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）一個(gè)直角三角形的兩條邊長(zhǎng)是方程的兩個(gè)根，則此直角三角形的外接圓的直徑為．【答案】6或【分析】先解方程求出方程的兩個(gè)根，再根據(jù)較大的根為斜邊和直角邊，兩種情況進(jìn)行討論求解即可．【詳解】解：，，解得：，①當(dāng)直角邊分別為2，6時(shí)，斜邊為：，∵直角三角形的外接圓的直徑即為直角三角形斜邊的長(zhǎng)，∴此時(shí)直角三角形外接圓的直徑為，②當(dāng)斜邊為6時(shí)，此時(shí)直角三角形外接圓直徑為6．故答案為：6或．【點(diǎn)睛】本題考查解一元二次方程，勾股定理，直角三角形的外接圓．解題的關(guān)鍵是正確的求出一元二次方程的根，注意分類討論．17．（2023春·浙江臺(tái)州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在菱形中，，，分別以點(diǎn)、點(diǎn)、點(diǎn)、點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧分別與菱形的邊相交，圖中陰影部分的面積為．(結(jié)果保留【答案】/【分析】連接與交于點(diǎn)，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到，，，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出、，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和是可知四個(gè)扇形可以拼成一個(gè)整圓，再根據(jù)圓的面積公式、菱形面積公式計(jì)算即可．【詳解】解：連接與交于點(diǎn)，∵四邊形是菱形，∴，∴，由勾股定理得，又∵，，∴陰影部分的面積為：故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是圓的面積計(jì)算、菱形的性質(zhì)，推導(dǎo)出四個(gè)扇形拼成一個(gè)整圓是解題的關(guān)鍵．18．（2023秋·浙江溫州·九年級(jí)統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）如圖，在中，，，把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，則的長(zhǎng)為．【答案】/【分析】連接，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，由旋轉(zhuǎn)可得：，，求出，由勾股定理求出，則可得出答案．【詳解】解：連接，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，由旋轉(zhuǎn)可得：，，是等邊三角形，，，是的垂直平分線，，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及等邊三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．三、解答題19．（2020秋·浙江·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)在上，．求證：．【答案】見(jiàn)解析【分析】根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系，由得到，進(jìn)而可得，即可得證．【詳解】證明：，，，即，．【點(diǎn)睛】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等．20．（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，A是上一點(diǎn)，是直徑，點(diǎn)D在上且平分．(1)連接，求證：平分；(2)若，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)．【分析】（1）利用圓周角定理即可證明結(jié)論；（2）利用圓周角定理得到，再利用勾股定理即可求解．【詳解】（1）證明：∵點(diǎn)D在上且平分，∴，∴，∴平分；（2）解：∵是直徑，∴，∵點(diǎn)D在上且平分，∴，∴，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，勾股定理，掌握“直徑所對(duì)的圓周角是直角”是解題的關(guān)鍵．21．（2023秋·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，的位置如圖，網(wǎng)格中小正方形邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)A坐標(biāo)為，請(qǐng)解答下列問(wèn)題：(1)作出繞點(diǎn)O的逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的；(2)計(jì)算的面積．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)找到點(diǎn)A，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，即可；（2）用所在的長(zhǎng)方形的面積減去其周圍三個(gè)直角三角形的面積，即可．【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求；（2）解：的面積為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圖形的旋轉(zhuǎn)，熟練掌握?qǐng)D形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．22．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考二模）如圖，已知的半徑為，四邊形內(nèi)接于，連結(jié)，，．(1)求的長(zhǎng)；(2)求證：平分的外角．【答案】(1)(2)見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)圓周角定理，弧長(zhǎng)計(jì)算公式即可求解；（2）根據(jù)，可得，根據(jù)圓周角定理，同弧所對(duì)圓周角相等，運(yùn)用等量代換即可求證．【詳解】（1）解：如圖所示，連接，∵，的半徑為，∴，根據(jù)弧長(zhǎng)公式得，．（2）解：根據(jù)題意，，∴，在中，，∵，且，∴，∵在中，，∴，∴，∴平分的外角．【點(diǎn)睛】本題主要考查圓與四邊形，等腰三角形的綜合，掌握?qǐng)A周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，等量代換的方法是解題的關(guān)鍵．23．（2023·浙江衢州·校考一模）如圖，為圓O的直徑，點(diǎn)C，D在圓O上，與交于點(diǎn)E，，，連接，．求證：(1)；(2)四邊形是菱形．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】（1）由已知條件根據(jù)全的三角形的判定即可證明；（2）首先根據(jù)平行四邊形的判定證明四邊形是平行四邊形，然后根據(jù)一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形即可證明．【詳解】（1）證明：在和中，∵，∴；（2）∵為的直徑，∴，∵，∴，，∴，，∴四邊形是平行四邊形．∵，∴四邊形是菱形．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)、菱形的判定、圓的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定和特殊平行四邊形的判定是解題的關(guān)鍵．24．（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，為圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線，且點(diǎn)D為的中點(diǎn)；(1)如圖1，若、直接寫(xiě)出與的數(shù)量關(guān)系；(2)如圖2、若、平分，，求的長(zhǎng)度．【答案】(1)(2)【分析】（1）如圖：繞B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)交于E,即，先說(shuō)明是等邊三角形可得；再說(shuō)明是等邊三角形可得，進(jìn)而證明可得，最后根據(jù)即可證明結(jié)論；（2）如圖：連接,交于E，先說(shuō)明為直徑,即，再運(yùn)用圓周角定理和勾股定理可得，進(jìn)而求得、，最后運(yùn)用勾股定理即可解答【詳解】（