2023學(xué)年二輪復(fù)習(xí)解答題專題四十九：與數(shù)學(xué)文化有關(guān)的閱讀理解（解析版）

2023學(xué)年二輪復(fù)習(xí)解答題專題四十九：與數(shù)學(xué)文化有關(guān)的閱讀理解典例分析例.（2022鄭州二模）閱讀下面材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù)：阿基米德是古希臘的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家．在《阿基米德全集》里，他關(guān)于圓的引理的論證如下：命題：設(shè)AB是一個(gè)半圓的直徑，并且過(guò)點(diǎn)B的切線與過(guò)該半圓上的任意一點(diǎn)D的切線交于點(diǎn)T，如果作DE垂直AB于點(diǎn)E，且與AT交于點(diǎn)F，則DF=EF．證明：如圖①，延長(zhǎng)AD與BT交于點(diǎn)H，連接OD，OT．∵DT，BT與⊙O相切∴……，①∴BT=DT∵AB是半⊙O的直徑，∠ADB=90°，②在△BDH中，BT=DT，得到∠TDB=∠TBD，可得∠H=∠TDH，∴BT=DT=HT．又∵DE∥BH，∴=，=∴=又∵BT=HT，∴DF=EF．任務(wù)：（1）請(qǐng)將①部分證明補(bǔ)充完整；（2）證明過(guò)程中②的證明依據(jù)是；（3）如圖②，△BED是等邊三角形，BE是⊙O的切線，切點(diǎn)是B，D在⊙O上，CD⊥AB，垂足為C，連接AE，交CD于點(diǎn)F，若⊙O的半徑為2，求CE的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）直徑所對(duì)的圓周角是直角；（3）【解析】【分析】（1）通過(guò)DT、BT為切線，易得Rt△ODT≌Rt△OBT，從而可以繼續(xù)證明；（2）直徑所對(duì)的圓周角是直角；（3）先根據(jù)∠EBD=60°，得到∠DBA=30°，由外角得到∠DOC=60°，△ODA為等邊三角形，并求出OC、CD，再求出BD、ED，最后再Rt△EBC求出結(jié)果即可．【小問(wèn)1詳解】如圖，連接OD，OT，∴∠ODT=∠OBT=90°，在Rt△ODT和Rt△OBT中，，∴Rt△ODT≌Rt△OBT（HL）；【小問(wèn)2詳解】直徑所對(duì)的圓周角是直角；故答案為：直徑所對(duì)的圓周角是直角．【小問(wèn)3詳解】如圖，連接OD，CE，∵△BED是等邊三角形，∴∠EBD=60°，∵BE是⊙O的切線，∴∠EBA=90°，∴∠DBA=30°，∴∠DOC=60°，∵OD=OA，∴△ODA為等邊三角形，∵OD=2，CD⊥AB，∴OC=OA=1，DC=，∴BD=2=BE，∵OB=2，∴BC=3，在Rt△EBC中，由勾股定理得：CE=．【點(diǎn)睛】本題考查圓的切線的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)、利用相切轉(zhuǎn)化直角并通過(guò)勾股定理求出線段是解題的關(guān)鍵．專題過(guò)關(guān)1.（2022濟(jì)寧中考）知識(shí)再現(xiàn)：如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別為a，b，c．∵，∴，∴（1）拓展探究：如圖2，在銳角ABC中，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別為a，b，c．請(qǐng)?zhí)骄浚?，之間的關(guān)系，并寫出探究過(guò)程．（2）解決問(wèn)題：如圖3，為測(cè)量點(diǎn)A到河對(duì)岸點(diǎn)B的距離，選取與點(diǎn)A在河岸同一側(cè)的點(diǎn)C，測(cè)得AC＝60m，∠A＝75°，∠C＝60°．請(qǐng)用拓展探究中的結(jié)論，求點(diǎn)A到點(diǎn)B的距離．【答案】（1），證明見(jiàn)解析（2）米【解析】【分析】拓展研究：作CD⊥AB于點(diǎn)D，AE⊥BC于點(diǎn)E，根據(jù)正弦的定義得AE=csinB，AE=bsin∠BCA，CD=asinB，CD=bsin∠BAC，從而得出結(jié)論；解決問(wèn)題：由拓展探究知，代入計(jì)算即可．【小問(wèn)1詳解】（拓展探究）證明：作CD⊥AB于點(diǎn)D，AC⊥BC于點(diǎn)E．在RtΔABE中，，同理：，．．．．．【小問(wèn)2詳解】（解答問(wèn)題）解：在ΔABC中，∴解得：答：點(diǎn)A到點(diǎn)B的距離為m．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形，對(duì)于銳角三角形，利用正弦的定義，得出是解題的關(guān)鍵．2.（2022蘭州中考）綜合與實(shí)踐問(wèn)題情境：我國(guó)東周到漢代一些出土實(shí)物上反映出一些幾何作圖方法，如侯馬鑄銅遺址出土車軎范、芯組成的（如圖1），它的端面是圓形，如圖2是用“矩”（帶直角的角尺）確定端面圓心的方法：將“矩”的直角尖端A沿圓周移動(dòng)，直到，在圓上標(biāo)記A，B，C三點(diǎn)；將“矩”向右旋轉(zhuǎn)，使它左側(cè)邊落在A，B點(diǎn)上，“矩”的另一條邊與圓的交點(diǎn)標(biāo)記為D點(diǎn)，這樣就用“矩”確定了圓上等距離的A，B，C，D四點(diǎn)，連接AD，BC相交于點(diǎn)，這樣就用“矩”確定了圓上等距離的A，B，C，D四點(diǎn)，鏈接AD，BC相較于點(diǎn)O，即O為圓心．（1）問(wèn)題解決：請(qǐng)你根據(jù)“問(wèn)題情境”中提供的方法，用三角板還原我國(guó)古代幾何作圖確定圓心O．如圖3，點(diǎn)A，B，C在上，，且，請(qǐng)作出圓心O．（保留作圖痕跡，不寫作法）（2）類比遷移：小梅受此問(wèn)題的啟發(fā)，在研究了用“矩”（帶直角的角尺）確定端面圓心的方法后發(fā)現(xiàn)，如果AB和AC不相等，用三角板也可以確定圓心O．如圖4，點(diǎn)A，B，C在上，，請(qǐng)作出圓心O．（保留作圖痕跡，不寫作法）（3）拓展探究：小梅進(jìn)一步研究，發(fā)現(xiàn)古代由“矩”度量確定圓上等距離點(diǎn)時(shí)存在誤差，用平時(shí)學(xué)的尺規(guī)作圖的方法確定圓心可以減少誤差．如圖5，點(diǎn)A，B，C是上任意三點(diǎn)，請(qǐng)用不帶刻度的直尺和圓規(guī)作出圓心O．（保留作圖痕跡，不寫作法）請(qǐng)寫出你確定圓心的理由：______________________________．【答案】（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析（3）見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）作∠ABD=90°，BD與圓相交于D，連接BC、AD相交于點(diǎn)O，即可；（2）作∠ABD=90°，BD與圓相交于D，連接BC、AD相交于點(diǎn)O，即可；（3）作AB的垂直平分線DE，作AC的垂直平分線MN，DE交MN于O，即可，則垂徑定理得出確定圓心的理由即可．【小問(wèn)1詳解】解：如圖所示，點(diǎn)O就是圓的圓心．作∠ABD=90°，BD與圓相交于D，連接BC、AD相交于點(diǎn)O，∵∠CAB=∠ABC=90°，∴BC、AD是圓的直徑，∴點(diǎn)O是圓的圓心．小問(wèn)2詳解】解：如圖所示，點(diǎn)O就是圓的圓心．作∠ABD=90°，BD與圓相交于D，連接BC、AD相交于點(diǎn)O，∵∠CAB=∠ABC=90°，∴BC、AD是圓的直徑，∴點(diǎn)O是圓的圓心．【小問(wèn)3詳解】解：如圖所示，點(diǎn)O就是圓的圓心．作AB的垂直平分線DE，作AC的垂直平分線MN，DE交MN于O，∵DE垂直平分AB，∴DE經(jīng)過(guò)圓心，即圓心必在直線DE上，∵M(jìn)N垂直平分AC，∴MN經(jīng)過(guò)圓心，即圓心必在直線MN上，∴DE與MN的交點(diǎn)O是圓心．確定圓心的理由：弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理的推論，垂徑定理的推論，尺規(guī)作線段垂直平分線，熟練掌握直角的圓周角所對(duì)的弦是直徑是解題的關(guān)鍵．3.（2022臺(tái)州中考）圖1中有四條優(yōu)美的“螺旋折線”，它們是怎樣畫出來(lái)的呢？如圖2，在正方形各邊上分別取點(diǎn)，，，，使，依次連接它們，得到四邊形；再在四邊形各邊上分別取點(diǎn)，，，，使，依次連接它們，得到四邊形；…如此繼續(xù)下去，得到四條螺旋折線．

圖1（1）求證：四邊形是正方形；（2）求的值；（3）請(qǐng)研究螺旋折線…中相鄰線段之間關(guān)系，寫出一個(gè)正確結(jié)論并加以證明．【答案】（1）見(jiàn)解析（2）（3）螺旋折線…中相鄰線段的比均為或，見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）證明，則，同理可證，再證明有一個(gè)角為直角，即可證明四邊形為正方形；（2）勾股定理求解的長(zhǎng)度，再作比即可；（3）兩個(gè)結(jié)論：螺旋折線…中相鄰線段的比均為或；螺旋折線…中相鄰線段的夾角的度數(shù)不變，選一個(gè)證明即可，證明過(guò)程見(jiàn)詳解．【小問(wèn)1詳解】在正方形中，，，又∵，∴．∴．∴，．又∵，∴．∴．同理可證：．∴四邊形是正方形．【小問(wèn)2詳解】∵，設(shè)，則．∴．∴由勾股定理得：．∴．【小問(wèn)3詳解】結(jié)論1：螺旋折線…中相鄰線段比均為或．證明：∵，∴．同理，．…∴．同理可得，…∴螺旋折線…中相鄰線段的比均為或．結(jié)論2：螺旋折線…中相鄰線段的夾角的度數(shù)不變．證明：∵，，∴，∴．同理得：，∵，∴，即．同理可證．∴螺旋折線…中相鄰線段的夾角的度數(shù)不變．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)與判定、勾股定理、相似三角形的性質(zhì)與判定、全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定、相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．4.（2022張家界中考）閱讀下列材料：

在△ABC中，∠A、∠B、∠C所對(duì)的邊分別為a、b、c，求證：asinA=bsinB．

證明：如圖1，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，則：

在Rt△BCD中，CD=asinB

在Rt△ACD中，CD=bsinA

∴asinB=bsinA

∴asinA=bsinB

根據(jù)上面的材料解決下列問(wèn)題：

(1)如圖2，在△ABC中，∠A、∠B、∠C所對(duì)的邊分別為a、b、c，求證：bsinB=csinC；

(2)為了辦好湖南省首屆旅游發(fā)展大會(huì)，張家界市積極優(yōu)化旅游環(huán)境．如圖321.【答案】(1)證明：如圖2，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，

在Rt△ABD中，AD=csinB，

在Rt△ACD中，AD=bsinC，

∴csinB=bsinC，

∴bsinB=csinC；

(2)解：如圖3，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，

∵∠BAC=67°，∠B=53°，

∴∠C=60°，

在Rt△ACE中，AE=AC?sin60°=80×32=403(m)，

又∵【解析】(1)根據(jù)題目提供的方法進(jìn)行證明即可；

(2)根據(jù)(1)的結(jié)論，直接進(jìn)行計(jì)算即可．

本題考查解直角三角形的應(yīng)用，掌握直角三角形的邊角關(guān)系，即銳角三角函數(shù)的定義是解決問(wèn)題的前提．

5.（2022鄭州楓楊外國(guó)語(yǔ)二模）在數(shù)學(xué)課上，當(dāng)老師講到直線與圓的位置關(guān)系時(shí)，張明同學(xué)突發(fā)奇想，特殊線與圓在不同的位置情況下會(huì)有怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？于是在課下他查閱了老師推薦他的《幾何原本》，這本書是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得所著的一部數(shù)學(xué)著作．它是歐洲數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，總結(jié)了平面幾何五大公設(shè)，被廣泛地認(rèn)為是歷史上學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)幾何部分最成功的教科書．其中第三卷命題36-2圓冪定理（切割線定理）內(nèi)容如下：切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)比例中項(xiàng)．（比例中項(xiàng)的定義：如果、、三個(gè)量成連比例即，則叫做和的比例中項(xiàng)）（1）為了說(shuō)明材料中定理的正確性，需要對(duì)其進(jìn)行證明，下面已經(jīng)寫了不完整的“己知”和“求證”，請(qǐng)補(bǔ)充完整，并寫出證明過(guò)程．已知：如圖，是圓外一點(diǎn)，是圓的切線，直線為圓的割線．求證：證明：（2）已知，，則的長(zhǎng)度是．【答案】（1），證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)比例中項(xiàng)的定義寫出“求證”，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，先根據(jù)圓的切線的性質(zhì)可得，再根據(jù)圓周角定理可得，從而可得，然后根據(jù)相似三角形的判定證出，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得證；（2）先根據(jù)線段和差求出，再根據(jù)（1）的結(jié)論即可得．【小問(wèn)1詳解】求證：．證明：如圖，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，是的切線，，，由圓周角定理得：，，，在和中，，，，．【小問(wèn)2詳解】解：，，，由（1）已證：，，解得或（不符題意，舍去），故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的切線的性質(zhì)、圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握?qǐng)A的切線的性質(zhì)和圓周角定理是解題關(guān)鍵．6.（2022駐馬店六校聯(lián)考三模）復(fù)習(xí)鞏固切線：直線和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，這時(shí)這條直線和圓相切，我們把這條直線叫做圓的切線，這個(gè)點(diǎn)叫做切點(diǎn).如圖1，直線l1為⊙O的切線割線：直線和圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，這時(shí)這條直線和圓相交，我們把這條直線叫做圓的割線.如圖1，直線l2為⊙O的割線切線長(zhǎng)：過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的切線，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間線段的長(zhǎng)，叫做這點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng).閱讀材料《幾何原本》是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得所普的一部數(shù)學(xué)著作.它是歐州數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，總結(jié)了平面幾何五大公設(shè)，被廣泛地認(rèn)為是歷史上學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)幾何部分最成功的教科書其中第三卷命題36一2圓冪定理（切割線定理）內(nèi)容如下：切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng).為了說(shuō)明材料中定理的正確性，需要對(duì)其進(jìn)行證明，下面已經(jīng)寫了不完整的“已知”和“求證”，請(qǐng)補(bǔ)充完整，并寫出證明過(guò)程已知：如圖2，A是⊙O外一點(diǎn)，．求證：[提示]輔助線可先考慮作⊙O的直徑DE．【答案】AD是⊙O的切線，直線ABC為⊙O的割線；；證明見(jiàn)解析．【解析】【分析】按照題設(shè)要求，寫出“已知”和“求證”，然后證明△ABD∽△ADC，即可求解．【詳解】解：（已知：如圖，A是⊙O外一點(diǎn)，）AD是⊙O的切線，直線ABC為⊙O的割線．求證：．故答案為：AB是⊙O的切線，直線ACD為⊙O的割線，．證明：連接BD，連接DO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)E，連接BE，∵AD是⊙O的切線，∴，∵DE是圓的直徑，∴，∴，又∵，∴，∵，∴△ABD∽△ADC，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)、同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等以及相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，正確作出輔助線是解決本題的關(guān)鍵．7.（2022河南商城一模）弦切角定理（弦切角等于它所夾的弧所對(duì)的圓周角）在證明角相等、線段相等、線段成比例等問(wèn)題時(shí)，有非常重要的作用，為了說(shuō)明弦切角定理的正確性，小明同學(xué)進(jìn)行了以下探索過(guò)程：?jiǎn)栴}的提出：若一直線與圓相交，過(guò)交點(diǎn)作圓的切線，則此切線與直線的交角中的任意一個(gè)稱為直線和圓的交角，其中所夾弧為劣弧的角為劣交角，所夾弧為優(yōu)弧的角為優(yōu)交角．直線和圓的交角有以下性質(zhì)：直線和圓的交角等于所夾弧所對(duì)的圓周角．問(wèn)題的證明：（只證明劣交角即可）

（1）請(qǐng)將不完整的已知和求證補(bǔ)充完整，并寫出證明過(guò)程；已知：如圖1，直線l與⊙O相交于點(diǎn)A，B，過(guò)點(diǎn)B作．求證：∠ABD＝．（2）如圖2，直線l與⊙O相交于點(diǎn)A，B，AD為⊙O的直徑，BC切⊙O于點(diǎn)B，交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C，若AD＝BC，AC＝2，求⊙O的半徑．【答案】（1）的切線DE，∠C，證明見(jiàn)解析

（2）

【解析】【分析】（1）根據(jù)弦切角的定義，進(jìn)行填空即可，如圖1，連接，由題意知，，，，有，在中根據(jù)三角形內(nèi)角和定理等找出角度的數(shù)量關(guān)系，然后證明即可；（2）如圖2，連接，由（1）可知，，，有，求解滿足要求的值，進(jìn)而可得半徑．【小問(wèn)1詳解】解：由題意知：已知：如圖1，直線l與⊙O相交于點(diǎn)A，B，過(guò)點(diǎn)B作的切線．求證：∠ABD＝．證明：如圖1，連接，

由題意知，，，∴∵∴∴∵∴即結(jié)論得證．故答案為：的切線，∠ABD＝．【小問(wèn)2詳解】解：如圖2，連接，

由（1）可知，∴∴∴解得或（不符合題意，舍去）∴∴⊙O的半徑為．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，等邊對(duì)等角，三角形的內(nèi)角和定理，三角形相似等知識(shí)．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的靈活運(yùn)用．8.（2022商丘二模）請(qǐng)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．戰(zhàn)國(guó)時(shí)的《墨經(jīng)》就有“圓，一中同長(zhǎng)也”的記載．與圓有關(guān)的定理有很多，弦切角定理就是其中之一．我們把頂點(diǎn)在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角．弦切角定理：弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧所對(duì)的圓周角度數(shù)．下面是弦切角定理的部分證明過(guò)程：證明：如圖1，與相切于點(diǎn)A．當(dāng)圓心O在弦上時(shí)，容易得到，所以弦切角．如圖2，與相切于點(diǎn)A．當(dāng)圓心O在的外部時(shí)，過(guò)點(diǎn)A作直徑交于點(diǎn)F，連接．∵是直徑，∴，∴，∵與相切于點(diǎn)A，∴，∴；∴．（1）如圖3，與相切于點(diǎn)A，當(dāng)圓心O在的內(nèi)部時(shí)，過(guò)點(diǎn)A作直徑交于點(diǎn)D，在上任取一點(diǎn)E，連接，求證：；（2）如圖3，已知的半徑為1，弦切角，求的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)直徑的性質(zhì)及切線的特點(diǎn)即可求解；（2）先求出的圓心角度數(shù)，利用弧長(zhǎng)公式即可求解．【詳解】（1）∵是的直徑∴∠DEA=90°∵與相切于點(diǎn)A，∴∠DAB=90°∵∠CED=∠CAD∴∠CED+∠DEA=∠CAD+∠DAB∴（2）如圖，連接CO∵∴∴∴的長(zhǎng)==．【點(diǎn)睛】此題主要考查切線的性質(zhì)與弧長(zhǎng)的求解，解題的關(guān)鍵是熟知切線的性質(zhì)定理、弧長(zhǎng)公式的運(yùn)用．9.（2022三門峽一模）請(qǐng)閱讀材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．在數(shù)學(xué)探究課上，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)改變圖1中圓周角的頂點(diǎn)P的位置，可以得到類似和這樣頂點(diǎn)在圓外和圓內(nèi)的角．結(jié)合數(shù)學(xué)課上學(xué)習(xí)的圓周角的概念，對(duì)頂點(diǎn)在圓外和圓內(nèi)的角進(jìn)行定義：頂點(diǎn)在圓外，兩邊都與圓相交的角叫做圓外角．頂點(diǎn)在圓內(nèi)的角叫做圓內(nèi)角，如圖1，和分別是AB所對(duì)的圓外角和圓內(nèi)角．

如圖2，點(diǎn)A，B在上，為所對(duì)的一個(gè)圓外角．AP，BP分別交于點(diǎn)C，D．若，所對(duì)的圓心角為50°，求的度數(shù)．探索小組的解題過(guò)程（部分）如下：解：如圖2，連接AD，OC，OD．∵是所對(duì)的圓周角，且，∴．…

任務(wù)：（1）將探索小組的解題過(guò)程補(bǔ)充完整；（2）如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在內(nèi)時(shí)，所對(duì)的一個(gè)圓內(nèi)角，延長(zhǎng)AP交于點(diǎn)C，延長(zhǎng)BP交于點(diǎn)D，若設(shè)，所對(duì)的圓心角為n°，則∠APB的度數(shù)為_(kāi)_____．

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)圓周角定理可得∠，∠，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求解即可；（2）和（1）的思路相同即可求解．【小問(wèn)1詳解】連接，如圖2，

∵∠是的圓周角，且∠∴∠∵∠∴∠∵∠是△外角∴∠；【小問(wèn)2詳解】連接，如圖3∵∠是的圓周角，且∠∴∠∵∠∴∠∵∠是△外角∴∠故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓心角和圓周角的關(guān)系，以及三角形外角的性質(zhì)，正確識(shí)別圖形是解答本題的關(guān)鍵，這種探究性問(wèn)題，通常按照題目的順序逐次求解，一般容易解答．10.（2022南陽(yáng)內(nèi)鄉(xiāng)一模）弦切角定理（弦切角等于它所夾的弧所對(duì)的圓周角）在證明角相等、線段相等、線段成比例等問(wèn)題時(shí)，有非常重要的作用，為了說(shuō)明弦切角定理的正確性，小明同學(xué)進(jìn)行了以下探索過(guò)程：?jiǎn)栴}的提出：若一直線與圓相交，過(guò)交點(diǎn)作圓的切線，則此切線與直線的交角中的任意一個(gè)稱為直線和圓的交角，其中所夾弧為劣弧的角為劣交角，所夾弧為優(yōu)弧的角為優(yōu)交角．直線和圓的交角有以下性質(zhì)：直線和圓的交角等于所夾弧所對(duì)的圓周角．問(wèn)題的證明：（只證明劣交角即可）

（1）請(qǐng)將不完整的已知和求證補(bǔ)充完整，并寫出證明過(guò)程；已知：如圖1，直線l與⊙O相交于點(diǎn)A，B，過(guò)點(diǎn)B作．求證：∠ABD＝．（2）如圖2，直線l與⊙O相交于點(diǎn)A，B，AD為⊙O直徑，BC切⊙O于點(diǎn)B，交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C，若AD＝BC，AC＝2，求⊙O的半徑．【21題答案】【答案】（1）的切線DE，∠C，證明見(jiàn)解析

（2）

【解析】【分析】（1）根據(jù)弦切角的定義，進(jìn)行填空即可，如圖1，連接，由題意知，，，，有，在中根據(jù)三角形內(nèi)角和定理等找出角度的數(shù)量關(guān)系，然后證明即可；（2）如圖2，連接，由（1）可知，，，有，求解滿足要求的值，進(jìn)而可得半徑．【小問(wèn)1詳解】解：由題意知：已知：如圖1，直線l與⊙O相交于點(diǎn)A，B，過(guò)點(diǎn)B作的切線．求證：∠ABD＝．證明：如圖1，連接，

由題意知，，，∴∵∴∴∵∴即結(jié)論得證．故答案為：的切線，∠ABD＝．【小問(wèn)2詳解】解：如圖2，連接，

由（1）可知，∴∴∴解得或（不符合題意，舍去）∴∴⊙O的半徑為．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，等邊對(duì)等角，三角形的內(nèi)角和定理，三角形相似等知識(shí)．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的靈活運(yùn)用．11.（2022洛陽(yáng)伊川一模）我們知道，直線與圓有三種位置關(guān)系：相交、相切、相離．當(dāng)直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)（即直線與圓相交）時(shí)，這條直線就叫做圓的割線．割線也有一些相關(guān)的定理．比如，割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓交點(diǎn)的距離的積相等．下面給出了不完整的定理“證明一”，請(qǐng)補(bǔ)充完整．已知：如圖①，過(guò)外一點(diǎn)作的兩條割線，一條交于、點(diǎn)，另一條交于、點(diǎn)．求證：．證明一：連接、，∵和為所對(duì)的圓周角，∴______．又∵，∴______，∴______．即．研究后發(fā)現(xiàn)，如圖②，如果連接、，即可得到學(xué)習(xí)過(guò)的圓內(nèi)接四邊形．那么或許割線定理也可以用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)來(lái)證明．請(qǐng)根據(jù)提示，獨(dú)立完成證明二．證明二：連接、，【答案】證明一：，∽，；證明二見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）證明∽即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得，進(jìn)一步證明∽【詳解】解：證明一：連接、，∵和為所對(duì)的圓周角，∴．又∵，∴∽，∴．即．故答案為：，∽，，證明二：連接、，∵四邊形為圓內(nèi)接四邊形，∴，又∵，∴，又∵，∴∽，∴，即．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定方法是解題關(guān)鍵．12.（2022河南鄧州二模）（1）[教材呈現(xiàn)]圓周角定理推論：的圓周角所對(duì)的弦是直徑．如圖①，已知：A、B、C三，點(diǎn)在上，求證：為直經(jīng)．證明：∵為圓周角所對(duì)的弦，為圓周角所對(duì)應(yīng)的圓心角∴，且∴……（）∴點(diǎn)O在線段上，即三點(diǎn)共線．則為的直徑．上述推理：得，依據(jù)為_(kāi)____________．（2）[小試牛刀]如圖②，A、B、C三點(diǎn)在上且，過(guò)點(diǎn)A作垂直的切線于點(diǎn)D，若，．求的長(zhǎng)．（3）[拓展應(yīng)用]如圖③，已知是等邊三角形，以為底邊在外作等腰直角，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，連接，請(qǐng)直接寫出的度數(shù)．【答案】（1）圓周角定理（2）（3）105°【解析】【分析】（1）根據(jù)圓周角定理：同弧所對(duì)圓周角等于圓心角的一半，解答即可；（2）連接AB，OC，先證AB是⊙O的直徑，即點(diǎn)O在AB上，再由勾股定理求出AB長(zhǎng)，再證△ADC∽△ACB，得出，代入即可求解；（3）連接AE，利用圓周角定理推論，證明A，E，C，D在以AC為直徑的圓上，然后由等邊三角形的性質(zhì)、等腰直角三角形性質(zhì)與圓周角定理，求出∠ADE=60°，∠DEC=45°，代入即可求解．【詳解】解：（1）證明：∵為圓周角所對(duì)的弦，為圓周角所對(duì)應(yīng)的圓心角，∴，且∴……（圓周角定理）∴點(diǎn)O在線段上，即三點(diǎn)共線．則為的直徑．上述推理：得，依據(jù)為圓周角定理．故答案為：圓周角定理；（2）如圖①，連接AB，OC，∵∴AB是⊙O的直徑，即點(diǎn)O在AB上，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，在Rt△ACB中，由勾股定理，得AB=，∵CD是⊙O的的切線，∴OC⊥CD，∵AD⊥CD，∴ADOC，∴∠DAC=∠OCA，∴∠DAC=∠OAC，∵∠ADC=∠ACB=90°，∴△ADC∽△ACB，∴，即，∴AD=，（3）如圖②，連接AE，∵△ABC是等邊三角形，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，∴AE⊥BC，∴∠AEC=90°，∵△ACD為等腰直角三角形，∴∠ADC=90°，由（1）可知A，E，C，D在以AC為直徑的圓上，∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB=60°，∴∠ADE=∠ACB=60°，∵△ACD為等腰直角三角形，∴∠DAC=45°，∴∠DEC=∠DAC=45°，∴∠ADE+∠DEC=60°+45°=105°．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，切線的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握?qǐng)A周角定理是解題的關(guān)鍵．13.（2022山西三模）閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．用對(duì)稱思想解決幾何問(wèn)題對(duì)稱思想是一種借助“形”或“式”的對(duì)稱關(guān)系來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的思想方法．通過(guò)研究線段、角、等腰三角形及一些特殊四邊形等平面圖形的時(shí)稱性質(zhì)，我們得到啟發(fā)，可以運(yùn)用對(duì)稱思想來(lái)巧妙地解決一類幾何問(wèn)題．下面以兩個(gè)例題來(lái)說(shuō)明．例1．如圖1，在中，，，，求的面積．解題思路：可作輔助線，延長(zhǎng)到點(diǎn)M使，連接，過(guò)點(diǎn)M作于點(diǎn)N．先求出的長(zhǎng)，再求出的面積，從而求出的面積．例2．如圖2，中，，是的高線，且，，求的面積．解題思路：分別作點(diǎn)H關(guān)于，的對(duì)稱點(diǎn)D，F(xiàn)，連接，，，，延長(zhǎng)和交于點(diǎn)E．可證，，，，，，判定四邊形的形狀→判定的形狀→設(shè)，并列方程求解．任務(wù)：（1）請(qǐng)根據(jù)例1的解題思路，寫出解答過(guò)程．（2）填空：例2中四邊形的形狀為_(kāi)___________；例2中的面積為_(kāi)_________．【答案】（1）（2）正方形；【解析】【分析】（1）根據(jù)題目所給思路解題補(bǔ)充完整即可；（2）根據(jù)題目所給思路解題補(bǔ)充完整即可．【小問(wèn)1詳解】解：延長(zhǎng)到點(diǎn)M使，連接，過(guò)點(diǎn)M作于點(diǎn)N．∵【小問(wèn)2詳解】解：分別作點(diǎn)H關(guān)于，的對(duì)稱點(diǎn)D，F(xiàn)，連接，，，，延長(zhǎng)和交于點(diǎn)E．∵∴同理∴，∴四邊形是正方形∵，，設(shè)即，解得：（舍去）【點(diǎn)睛】本題主要考查圖形對(duì)稱的性質(zhì)、三角形的全等、勾股定理，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．14.（2022運(yùn)城二模）閱讀下列材料，并按要求解答相關(guān)問(wèn)題：【思考發(fā)現(xiàn)】根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角，我們可以推出“如果一條定邊所對(duì)的角始終為直角，那么所有滿足條件的直角頂點(diǎn)組成的圖形是以定邊為直徑的圓或圓?。ㄖ睆降膬蓚€(gè)端點(diǎn)除外）”這一正確的結(jié)論．如圖1，若AB是一條定線段，且，則所有滿足條件的直角頂點(diǎn)P組成的圖形是定邊AB為直徑的（直徑兩端點(diǎn)A、B除外）（1）已知：如圖2，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為8的正方形，點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)F從點(diǎn)C出發(fā)以相同的速度向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，連接AE，BF相交于點(diǎn)P．①當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C的過(guò)程中，的大小是否發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不發(fā)生變化，請(qǐng)直接寫出的度數(shù)．②當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C的過(guò)程中，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路徑是（）A.線段；B.?。籆.半圓；D.圓③點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路經(jīng)長(zhǎng)是_____．（2）已知：如圖3，在圖2的條件下，連接CP，請(qǐng)直接寫出E、F運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，CP的最小值．【答案】（1）①90°；②B；③2π；（2）【解析】【分