萬(wàn)有引力理論的成就（原卷版）

7.3萬(wàn)有引力理論的成就知識(shí)點(diǎn)一稱(chēng)量天體質(zhì)量1．求天體質(zhì)量的思路繞中心天體運(yùn)動(dòng)的其他天體或衛(wèi)星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，做圓周運(yùn)動(dòng)的天體(或衛(wèi)星)的向心力等于它與中心天體的萬(wàn)有引力，利用此關(guān)系建立方程求中心天體的質(zhì)量．2．計(jì)算天體的質(zhì)量下面以地球質(zhì)量的計(jì)算為例，介紹幾種計(jì)算天體質(zhì)量的方法：(1)若已知月球繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T(mén)，半徑為r，根據(jù)萬(wàn)有引力等于向心力，即eq\f(GM地·m月,r2)＝m月eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2r，可求得地球質(zhì)量M地＝eq\f(4π2r3,GT2).(2)若已知月球繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r和月球運(yùn)行的線速度v，由于地球?qū)υ虑虻囊Φ扔谠虑蜃鰟蛩賵A周運(yùn)動(dòng)的向心力，根據(jù)牛頓第二定律，得Geq\f(M地·m月,r2)＝m月eq\f(v2,r)，解得地球的質(zhì)量為M地＝eq\f(rv2,G).(3)若已知月球運(yùn)行的線速度v和運(yùn)行周期T，由于地球?qū)υ虑虻囊Φ扔谠虑蜃鰟蛩賵A周運(yùn)動(dòng)的向心力，根據(jù)牛頓第二定律，得Geq\f(M地·m月,r2)＝m月·v·eq\f(2π,T)Geq\f(M地·m月,r2)＝eq\f(m月v2,r)以上兩式消去r，解得M地＝eq\f(v3T,2πG).(4)若已知地球的半徑R和地球表面的重力加速度g，根據(jù)物體的重力近似等于地球?qū)ξ矬w的引力，得mg＝Geq\f(M地·m,R2)解得地球質(zhì)量為M地＝eq\f(R2g,G).（2023春?丹陽(yáng)市期中）一探月衛(wèi)星繞月球做圓周運(yùn)動(dòng)，由天文觀測(cè)可得，該衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)周期為T(mén)，速率為v。引力常量為G，由以上條件不能求出的是（）A．衛(wèi)星的軌道半徑 B．月球的質(zhì)量 C．衛(wèi)星的質(zhì)量 D．衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)的加速度（2023?重慶模擬）北斗衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，軌道離地高度約為3R（R為地球半徑），周期為T(mén)。北斗衛(wèi)星質(zhì)量為m，萬(wàn)有引力常量為G，則有（）A．北斗衛(wèi)星線速度大小為6πRTB．北斗衛(wèi)星所受萬(wàn)有引力大小為16πC．地球質(zhì)量為144πD．地球表面重力加速度為16（2023?龍華區(qū)校級(jí)學(xué)業(yè)考試）2022年8月10日，我國(guó)在太原衛(wèi)星發(fā)射中心用長(zhǎng)征六號(hào)運(yùn)載火箭成功將“吉林一號(hào)”組網(wǎng)星中的16顆衛(wèi)星發(fā)射升空，衛(wèi)星順利進(jìn)入預(yù)定的環(huán)繞地球運(yùn)動(dòng)軌道，發(fā)射任務(wù)取得圓滿成功。這16顆衛(wèi)星的軌道平面各異，高度不同，通過(guò)測(cè)量發(fā)現(xiàn)，它們的軌道半徑的三次方與運(yùn)動(dòng)周期的二次方成正比，且比例系數(shù)為p。已知萬(wàn)有引力常量為G，由此可知地球的質(zhì)量為（）A．2πpG B．4πpG C．4π2（2023春?津南區(qū)校級(jí)月考）利用500米口徑球面射電望遠(yuǎn)鏡（FAST），我國(guó)天文學(xué)家探測(cè)到了一個(gè)新天體，命名為FASTJ0139+4328。這個(gè)新發(fā)現(xiàn)的天體是孤立的，該星質(zhì)量相對(duì)較低，主要由暗物質(zhì)組成。已知FASTJ0139+4328和地球的半徑分別為R1、R2，F(xiàn)ASTJ0139+4328和地球表面的重力加速度為g1、g2，則FASTJ0139+4328和地球的質(zhì)量比為（）A．g1R12gC．g2R12知識(shí)點(diǎn)二計(jì)算天體的密度根據(jù)密度的公式ρ＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)，只要先求出天體的質(zhì)量就可以代入此式計(jì)算天體的密度．(1)由天體表面的重力加速度g和半徑R，求此天體的密度．由mg＝eq\f(GMm,R2)和M＝ρ·eq\f(4,3)πR3，得ρ＝eq\f(3g,4πGR).(2)若天體的某個(gè)行星(或衛(wèi)星)的軌道半徑為r，運(yùn)行周期為T(mén)，中心天體的半徑為R，則由Geq\f(Mm,r2)＝mreq\f(4π2,T2)和M＝ρ·eq\f(4,3)πR3，得ρ＝eq\f(3πr3,GT2R3).注意R、r的意義不同，一般地R指中心天體的半徑，r指行星或衛(wèi)星的軌道半徑，若繞近地軌道運(yùn)行，則有R＝r，此時(shí)ρ＝eq\f(3π,GT2).（2023春?庫(kù)爾勒市校級(jí)期末）若月球繞地球的運(yùn)動(dòng)可近似看作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，并且已知月球繞地球運(yùn)動(dòng)的軌道半徑r、繞地球運(yùn)動(dòng)的周期T，引力常量為G，由此可以知道（）A．月球的質(zhì)量m=πB．地球的質(zhì)量M=4C．月球的平均密度ρ=3πD．地球的平均密度ρ（2023?紅塔區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）哈勃望遠(yuǎn)鏡被稱(chēng)為宇宙之眼，人類(lèi)利用哈勃望遠(yuǎn)鏡觀察發(fā)現(xiàn)了很多新天體，現(xiàn)觀察發(fā)現(xiàn)銀河系中存在一顆行星，在若干年前并未發(fā)生自轉(zhuǎn)，若干年后的今天正在自轉(zhuǎn)且越轉(zhuǎn)越快，經(jīng)測(cè)量，該星球現(xiàn)在以角速度ω自轉(zhuǎn)，同一物體對(duì)赤道處的壓力減為原來(lái)的34A．3ω22πG B．9ω24πG C（2023?邢臺(tái)一模）宇宙飛船繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，它的軌道距地心的距離等于地球半徑的k倍，它的運(yùn)動(dòng)周期為T(mén)，引力常量為G，則地球的平均密度ρ的表達(dá)式為（）A．ρ=3πk3GTC．ρ=3π(（2023春?寧蒗縣校級(jí)期末）如果把水星和金星繞太陽(yáng)的運(yùn)動(dòng)視為勻速圓周運(yùn)動(dòng)，從水星與金星在同一條直線上開(kāi)始計(jì)時(shí)，若天文學(xué)家測(cè)得在相同時(shí)間內(nèi)水星轉(zhuǎn)過(guò)的角度為θ1；金星轉(zhuǎn)過(guò)的角度為θ2（θ1、θ2均為銳角），如圖所示，則由此條件不可求的是（）?A．水星和金星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的周期之比 B．水星和金星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的向心加速度之比 C．水星和金星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的軌道半徑之比 D．水星和金星的密度之比（2023?河南二模）黑洞是一種密度極大、體積極小的天體，引力大到光都無(wú)法逃脫其“魔掌”，所以黑洞無(wú)法直接被觀測(cè)，但可以通過(guò)觀測(cè)繞其運(yùn)動(dòng)的恒星，大致推測(cè)出黑洞的質(zhì)量。觀察發(fā)現(xiàn)，某恒星繞銀河系中心黑洞人馬座A*的周期為n年，此恒星到人馬座A*的平均距離為.（地球到太陽(yáng)的平均距離為1A.U.），不考慮相對(duì)論效應(yīng)，則人馬座A*的質(zhì)量與太陽(yáng)質(zhì)量的比值為（）A．m3n2 B．m2n3 C（2023?樂(lè)清市校級(jí)模擬）一衛(wèi)星繞某一行星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其高度恰好與行星半徑相等，線速度大小為v。而該行星的環(huán)繞周期（即沿行星表面附近飛行的衛(wèi)星運(yùn)行的周期）為T(mén)。已知引力常量為G，則這顆行星的質(zhì)量為（）A．v3T2πG B．2v3T2πG （2023?西城區(qū)校級(jí)模擬）假設(shè)地球可視為質(zhì)量均勻分布的球體，已知地球表面的重力加速度在兩極的大小為g0，在赤道的大小為g；地球自轉(zhuǎn)的周期為T(mén)，引力常數(shù)為G，則地球的密度為（）A．103π(g0-g)gGTC．3πGT2（2023?海南模擬）2021年9月20日北京時(shí)間15時(shí)10分，搭載天舟三號(hào)貨運(yùn)飛船的長(zhǎng)征七號(hào)遙四運(yùn)載火箭在我國(guó)文昌航天發(fā)射場(chǎng)點(diǎn)火發(fā)射。當(dāng)天22時(shí)08分，天舟三號(hào)成功對(duì)接于空間站天和核心艙后向端口。我國(guó)自主研發(fā)的空間站“天和”核心艙繞地球的運(yùn)行可視為勻速圓周運(yùn)動(dòng)，已知引力常量，由下列物理量能計(jì)算出地球質(zhì)量的是（）A．核心艙的質(zhì)量和繞地半徑 B．核心艙的質(zhì)量和繞地周期 C．核心艙的繞地角速度和繞地周期 D．核心艙的繞地線速度和繞地半徑（2023春?青島期中）我國(guó)“嫦娥二號(hào)”可視為在月球表面附近做圓周運(yùn)動(dòng)。已知引力常量，要測(cè)定月球的密度，僅僅需要（）A．測(cè)定飛船的運(yùn)行周期 B．測(cè)定飛船的環(huán)繞半徑 C．測(cè)定月球的體積 D．測(cè)定飛船的運(yùn)行速度（2023春?河西區(qū)期中）已知地球半徑為R，地心與月球中心之間的距離為r，地球中心和太陽(yáng)中心之間的距離為s。月球公轉(zhuǎn)周期為T(mén)1，地球自轉(zhuǎn)周期為T(mén)2，地球公轉(zhuǎn)周期為T(mén)3，近地衛(wèi)星的運(yùn)行周期為T(mén)4，萬(wàn)有引力常量為G，由以上條件可知不正確的選項(xiàng)是（）A．月球公轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的加速度為4πB．地球的密度為3πGC．地球的密度為3πGD．太陽(yáng)的質(zhì)量為4（2023?河南模擬）如圖所示，某衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，從衛(wèi)星觀測(cè)地球的最大張角為θ，已知地球的半徑為R，引力常量未知，忽略地球的自轉(zhuǎn)，下列說(shuō)法正確的是（）A．θ越大，衛(wèi)星的運(yùn)行周期越長(zhǎng) B．θ越小，衛(wèi)星的線速度越大 C．若衛(wèi)星的周期已知，則可測(cè)得地球的質(zhì)量 D．若衛(wèi)星的線速度已知，則可測(cè)得地球表面的重力加速度（2023?湖北模擬）2022年2月27日11時(shí)06分，我國(guó)在文昌發(fā)射場(chǎng)使用長(zhǎng)征八號(hào)運(yùn)載火箭，以“1箭22星”方式，成功地將22顆地球衛(wèi)星發(fā)射升空。22顆衛(wèi)星繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑的三次方r3與各自繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的周期的平方T2的關(guān)系如圖所示，圖中直線斜率為k。已知某一衛(wèi)星A做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T(mén)0，萬(wàn)有引力常量為G，根據(jù)已知條件，無(wú)法求出的是（）A．衛(wèi)星A做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑 B．衛(wèi)星A做圓周運(yùn)動(dòng)線速度的大小 C．地球的質(zhì)量 D．地球的密度（2023?山西模擬）如圖所示，已知空間站離地面的高度為h，地球的半徑為R，地球表面的重力加速度為g，引力常量為G，忽略地球自轉(zhuǎn)，若空間站可視為繞地心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則下列說(shuō)法正確的是（）A．地球的質(zhì)量為g(R+h)B．空間站的線速度大小為gRC．地球的平均密度為3g4πG(R+h)D．空間站的周期為2π（2023?京口區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）黑洞是一種密度極大、引力極大的天體，以至于光都無(wú)法逃逸，科學(xué)家一般通過(guò)觀測(cè)繞黑洞運(yùn)行的天體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律間接研究黑洞。已知某黑洞的逃逸速度為v=2GMR，其中引力常量為G，M是該黑洞的質(zhì)量，R是該黑洞的半徑。若天文學(xué)家觀測(cè)到與該黑洞相距為r的天體以周期（1）該黑洞的質(zhì)量；（2）該黑洞的最大