人教A版高中數(shù)學(xué)(必修第一冊(cè))同步講義第32講 第四章 指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù) 章末重點(diǎn)題型大總結(jié)（原卷版）

第10講第四章指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)章末題型大總結(jié)一、思維導(dǎo)圖二、題型精講題型01有關(guān)指數(shù)、對(duì)數(shù)的運(yùn)算【典例1】（2023春·四川雅安·高二統(tǒng)考期末）計(jì)算：(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0.【典例2】（2022秋·四川成都·高一石室中學(xué)校考期中）求下列各式的值：(1)計(jì)算：SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值．【變式1】（2023春·吉林長(zhǎng)春·高二長(zhǎng)春外國(guó)語學(xué)校?？计谀?）已知SKIPIF1<0，求實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的值；（2）SKIPIF1<0【變式2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）計(jì)算(1)SKIPIF1<0.(2)SKIPIF1<0.題型02數(shù)的大小比較問題【典例1】（2023春·貴州六盤水·高一統(tǒng)考期末）設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的大小關(guān)系（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】（2021秋·廣東汕尾·高一海豐縣海城仁榮中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【變式1】（2023春·廣西北?！じ叨y(tǒng)考期末）設(shè)SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【變式2】（2023春·河南安陽(yáng)·高二統(tǒng)考期末）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0題型03定義域問題【典例1】（云南省紅河哈尼族彝族自治州2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題）函數(shù)SKIPIF1<0的定義域?yàn)椋?/p>

）．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】（2023春·重慶永川·高一重慶市永川北山中學(xué)校?？奸_學(xué)考試）已知函數(shù)SKIPIF1<0是定義在R上的增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【變式1】（2023春·北京順義·高二牛欄山一中?？计谀┖瘮?shù)SKIPIF1<0的定義域?yàn)?【變式2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)SKIPIF1<0的定義域?yàn)镾KIPIF1<0，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是．題型04值域問題【典例1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的最大值為．【典例2】（2023春·陜西榆林·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)判斷函數(shù)SKIPIF1<0的奇偶性并予以證明；(2)若存在SKIPIF1<0使得不等式SKIPIF1<0成立，求實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的最大值.【典例3】（2023春·江蘇揚(yáng)州·高一統(tǒng)考開學(xué)考試）已知函數(shù)SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．(1)求實(shí)數(shù)a的值，并用單調(diào)性定義證明SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增；(2)若當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，函數(shù)SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0，求實(shí)數(shù)m的值．【典例4】（2023春·河南焦作·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0，函數(shù)SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上存在零點(diǎn)，求SKIPIF1<0的取值范圍；(2)若a＞1，且對(duì)任意SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0成立，求a的取值范圍．【變式1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)SKIPIF1<0，對(duì)SKIPIF1<0都有SKIPIF1<0成立，則實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍是.【變式2】（2023秋·云南紅河·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)SKIPIF1<0.(1)當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，求SKIPIF1<0的解集；(2)求函數(shù)SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上的最小值SKIPIF1<0.【變式3】（2023春·河南新鄉(xiāng)·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)SKIPIF1<0．(1)求不等式SKIPIF1<0的解集；(2)若不等式SKIPIF1<0對(duì)SKIPIF1<0恒成立，求實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍．【變式4】（2023春·新疆昌吉·高二統(tǒng)考期末）已知SKIPIF1<0（實(shí)數(shù)b為常數(shù)）．(1)當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，求函數(shù)SKIPIF1<0的定義域D；(2)若不等式SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．題型05指數(shù)（型）函數(shù)的圖象與性質(zhì)【典例1】（2023秋·廣西河池·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)SKIPIF1<0,若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】（2023春·陜西寶雞·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)SKIPIF1<0.(1)試判斷函數(shù)的單調(diào)性，并加以證明；(2)若關(guān)于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有解，求實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍.【典例3】（2023春·福建·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）函數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求函數(shù)SKIPIF1<0的定義域；(2)若SKIPIF1<0為奇函數(shù)，求m的值；(3)當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，不等SKIPIF1<0在SKIPIF1<0恒成立，求k的取值范圍.【變式1】（多選）（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）（多選）已知函數(shù)SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0）的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【變式2】（2023春·湖北荊州·高一校聯(lián)考期中）已知函數(shù)SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0的定義域是SKIPIF1<0時(shí)，此時(shí)值域也是SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的值；(2)若SKIPIF1<0，證明SKIPIF1<0為奇函數(shù)，并求不等式SKIPIF1<0的解集.【變式3】（2023春·江蘇南京·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)SKIPIF1<0.(1)當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，解不等式SKIPIF1<0；(2)當(dāng)SKIPIF1<0對(duì)SKIPIF1<0恒成立時(shí)，求整數(shù)SKIPIF1<0的最小值.題型06對(duì)數(shù)（型）函數(shù)的圖象與性質(zhì)【典例1】（2023春·湖北荊門·高二統(tǒng)考期末）設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0在定義域SKIPIF1<0上滿足SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是減函數(shù)，且SKIPIF1<0，則不等式SKIPIF1<0的解集為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】（2023春·陜西寶雞·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)SKIPIF1<0的最小值為0，則實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍是．【典例3】（2023春·浙江麗水·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)SKIPIF1<0是偶函數(shù)．(1)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值；(2)若實(shí)數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范圍．【典例4】（2023秋·重慶長(zhǎng)壽·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)SKIPIF1<0為奇函數(shù).(1)求實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的值，判斷函數(shù)SKIPIF1<0的單調(diào)性并用定義證明；(2)求關(guān)于SKIPIF1<0的不等式SKIPIF1<0的解集.【變式1】（2023春·廣西北?！じ叨y(tǒng)考期末）設(shè)SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為.【變式2】（2023春·山東日照·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)SKIPIF1<0是偶函數(shù)．(1)求k的值；(2)若方程SKIPIF1<0有解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【變式3】（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）已知函數(shù)SKIPIF1<0為定義在SKIPIF1<0上的偶函數(shù)，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0的圖象過點(diǎn)SKIPIF1<0．(1)求a的值：(2)求SKIPIF1<0的解析式；(3)求不等式SKIPIF1<0的解集．題型07函數(shù)與方程【典例1】（2023春·河南商丘·高二商丘市第一高級(jí)中學(xué)校考期末）已知函數(shù)SKIPIF1<0，則函數(shù)SKIPIF1<0的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【典例2】（多選）（2023春·陜西西安·高一西安市鐵一中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)SKIPIF1<0，若函數(shù)SKIPIF1<0有三個(gè)零點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則下列結(jié)論正確的是（

）A．m的取值范圍為SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0最大值為1【典例3】（2023春·山東煙臺(tái)·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)SKIPIF1<0，若方程SKIPIF1<0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為．【變式1】（多選）（2023春·山東德州·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，下列說法正確的是（

）A．若SKIPIF1<0是偶函數(shù)，則SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0的單調(diào)減區(qū)間是SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0的值域是SKIPIF1<0D．當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，函數(shù)SKIPIF1<0有兩個(gè)零點(diǎn)【變式2】（2023秋·云南紅河·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0.函數(shù)SKIPIF1<0(SKIPIF1<0且SKIPIF1<0)，若函數(shù)SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上恰有20個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍為.【變式3】（2023秋·山西運(yùn)城·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)SKIPIF1<0.(1)若函數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求函數(shù)SKIPIF1<0的最小值；(2)設(shè)SKIPIF1<0，若函數(shù)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0圖象有SKIPIF1<0個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍.題型08函數(shù)模型及其應(yīng)用【典例1】（2023春·湖南長(zhǎng)沙·高一湖南師大附中?？计谀┠辰虒W(xué)軟件在剛發(fā)布時(shí)有100名教師用戶，發(fā)布5天后有1000名教師用戶，如果教師用戶人數(shù)SKIPIF1<0與天數(shù)t之間滿足關(guān)系式：SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0為常數(shù)，SKIPIF1<0是剛發(fā)布的時(shí)間，則教師用戶超過30000名至少經(jīng)過的天數(shù)為（

）（參考數(shù)據(jù)：SKIPIF1<0）A．11 B．12 C．13 D．14【典例2】（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）大西洋鮭魚每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域產(chǎn)卵．記鮭魚的游速為v（單位：SKIPIF1<0），鮭魚的耗氧量的單位數(shù)為Q，研究發(fā)現(xiàn)SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，鮭魚的耗氧量的單位數(shù)為51200，則當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，鮭魚的耗氧量的單位數(shù)為（

）A．400 B．800 C．1600 D．3200【典例3】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）科研小組研制鈦合金產(chǎn)品時(shí)添加了一種新材料，該產(chǎn)品的性能指標(biāo)值y是這種新材料的含量SKIPIF1<0（單位：克）的函數(shù)．研究過程中的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：SKIPIF1<0（單位：克）02610…SKIPIF1<0－488SKIPIF1<0…已知當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0為常數(shù)．當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的關(guān)系為以下三種函數(shù)模型中的一個(gè)：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0SKIPIF1<0且SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0SKIPIF1<0且SKIPIF1<0；其中SKIPIF1<0均為常數(shù)．(1)選擇一個(gè)恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型來描述SKIPIF1<0之間的關(guān)系，并求出其解析式；(2)求該新材料的含量SKIPIF1<0為多少克時(shí)，產(chǎn)品的性能達(dá)到最大．【典例4】（2023秋·廣東清遠(yuǎn)·高一統(tǒng)考期末）在無菌培養(yǎng)環(huán)境中，某類細(xì)菌的繁殖在初期會(huì)較快，隨著單位體積內(nèi)細(xì)菌數(shù)量的增加，繁殖速度又會(huì)減慢，在一次實(shí)驗(yàn)中，檢測(cè)到這類細(xì)菌在培養(yǎng)皿中的數(shù)量y（單位：百萬個(gè)）與培養(yǎng)時(shí)間x（單位：小時(shí)）的3組數(shù)據(jù)如下表所示.SKIPIF1<0235SKIPIF1<03.54.55.5(1)當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，根據(jù)表中數(shù)據(jù)分別用模型SKIPIF1<0和SKIPIF1<0建立SKIPIF1<0關(guān)于SKIPIF1<0的函數(shù)解析式.(2)若用某函數(shù)模型根據(jù)培養(yǎng)時(shí)間來估計(jì)某類細(xì)菌在培養(yǎng)皿中的數(shù)量，則當(dāng)實(shí)際的細(xì)菌數(shù)量與用函數(shù)模型得出的估計(jì)值之間的差的絕對(duì)值不超過0.5時(shí)，稱該函數(shù)模型為“理想函數(shù)模型”，已知當(dāng)培養(yǎng)時(shí)間為9小時(shí)時(shí)，檢測(cè)到這類細(xì)菌在培養(yǎng)皿中的數(shù)量為6.2百萬個(gè)，你認(rèn)為（1）中哪個(gè)函數(shù)模型為“理想函數(shù)模型”？說明理由.（參考數(shù)據(jù)：SKIPIF1<0）(3)請(qǐng)用（2）中的“理想函數(shù)模型”估計(jì)17小時(shí)后，該類細(xì)菌在培養(yǎng)皿中的數(shù)量.【變式1】（2023秋·重慶長(zhǎng)壽·高一統(tǒng)考期末）2020年12月17日凌晨，嫦娥五號(hào)返回器攜帶月球樣品在內(nèi)蒙古四子王旗預(yù)定區(qū)域安全著陸，嫦娥五號(hào)返回艙之所以能達(dá)到如此高的再入精度，主要是因?yàn)樗捎脧椞椒祷貜椀?，?shí)現(xiàn)了減速和再入階段彈道調(diào)整，這與“打水漂”原理類似.現(xiàn)將石片扔向水面，假設(shè)石片第一次接觸水面的速率為SKIPIF1<0，這是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率為上一次的SKIPIF1<0，若要使石片的速率低于SKIPIF1<0，則至少需要“打水漂”的次數(shù)為（

）（參考數(shù)據(jù)：取SKIPIF1<0）A．9 B．10 C．11 D．12【變式2】（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）在某種新型材料的研制中，實(shí)驗(yàn)人員獲得了下列一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)．現(xiàn)準(zhǔn)備用下列四個(gè)函數(shù)中的一個(gè)近似地表示這些數(shù)據(jù)的規(guī)律，其中最接近的一個(gè)是（

）SKIPIF1<01.953.003.945.106.12SKIPIF1<00.971.591.982.352.61A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【變式3】（2023秋·四川瀘州·高一統(tǒng)考期末）行駛中的汽車在剎車時(shí)由于慣性作用，要繼續(xù)往前滑行一段距離才能停下，這段距離稱為剎車距離，在某種路面上，經(jīng)過多次實(shí)驗(yàn)測(cè)試，某種型號(hào)汽車的剎車距離SKIPIF1<0（米）與汽車的車速SKIPIF1<0（千米/時(shí)，SKIPIF1<0）的一些數(shù)據(jù)如表．為了描述汽車的剎車距離SKIPIF1<0（米）與汽車的車速SKIPIF1<0（千米時(shí)）的關(guān)系，現(xiàn)有三種函數(shù)模型供選擇：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<00406080SKIPIF1<008.418.632.8(1)請(qǐng)選出你認(rèn)為最符合實(shí)際的函數(shù)模型，并求出相應(yīng)的函數(shù)解析式；(2)如果要求剎車距離不超過SKIPIF1<0米，求行駛的最大速度．三、數(shù)學(xué)思想01數(shù)形結(jié)合的思想1．（2023春·廣東廣州·高一校聯(lián)考期末）已知SKIPIF1<0是定義SKIPIF1<0上的奇函數(shù)，且SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，且SKIPIF1<0為偶函數(shù)，若SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恰好有4個(gè)不同實(shí)數(shù)根SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．2．（2023春·河南商丘·高二商丘市第一高級(jí)中學(xué)?？计谀┒x在R上的函數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，則函數(shù)SKIPIF1<0有個(gè)零點(diǎn)．02分類討論的思想1．（2023秋·吉林·高一吉林省實(shí)驗(yàn)?？计谀┮阎瘮?shù)SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0）是指數(shù)函數(shù)．(1)求SKIPIF1<0