2021中考數(shù)學分類練習：反比例函數(shù)的神奇

讓咱們一路領會反比例函數(shù)的奇特

一、個人對反比例函數(shù)的幾點困惑與感悟

1,為何正比例函數(shù)的比例系數(shù)是比上=上，而反比例函數(shù)的比例系數(shù)卻不是比

X

k=xy?

2,為何我市中考的反比例函數(shù)題目總不像其它函數(shù)那么深入？只會商部分皮毛題目！至

多會商一下女的幾何意義（面積），例似2021年臺州市中考考查的也是“函數(shù)的探

索

通法”，同時非特意深入探索反比例函數(shù).

3,已往咱們碰到稍難一點的反比例函數(shù)題目，就只有“暴力設元”這一路徑，總無法藏開

多元方程、分式方程、高次方程.

4,個人信任做為老師，不該當只應對中考，而該當探索更地道的數(shù)學，站在更高的位

置來

領會數(shù)學本色！做到居高臨下、解有依據(jù)!

5,事實上，反比例函數(shù)中也存在很多的“比”，歪比、直比（縱比、橫比、縱橫比）、

面積

比，可以講“比比皆是”！如今就讓咱們一路來比出出色、比稀罕特.

二、一道曾經(jīng)困惑我多時的中考題

某年寧波市中考的填空壓軸題：似圖，皿OB的極點8（2,4）,雙曲線y=!經(jīng)過

X

點C、D,當以8、C、。為極點的三角形與ZUOB的相近時，那么發(fā)

1,通例性解法:

通過設元，例似設C（機，2m）,那么。（2,舟，再依照前

列方程:

(1)操縱BC=2CD、BC2=4C￡>2、BD=辰D或BD?=5CZ)2列方程;

(2)操縱4-%=2(旌—%)列方程;

（3）操縱“一線三等角”模型、和丹?旌=4?力列方程?

事實上，在上述通例操作方式中，差不多透著一點智慧、一點靈性啦，具體操縱方式

中也具

備了必然的伎倆性.但我本人對此，卻一貫難言對勁，耿耿于懷!

2,發(fā)掘隱含性質，巧解此題

(1)事實上，此圖中含有部分非常關鍵的性質:

過點C作CP_Ly軸于P,毗連尸4,直線8分不交

坐標軸于點歷、N.

那么有①我//CD；

②PC=AN,PM=AD；

③MC=DN,MD=CN.

基于以上這些性質，有似下解法.

(2)我的第一種解法(全體理念)：

由ON=2OM,4N=2AD=2PM可得，ON—AN=2（OM—PM）,

即OA=2OP,于是OP=-OA=1,PC=-OP=-,

222

(3)我一個同事的解法(歪邊轉直比)：

由MC：(9C：CN=1：2：4,MC=DN可得，MC：CD：DNI3\,

轉為橫比，xc：(xD-xc)：(xN-xo)=1：3：1,是以Xc=；O/=g,...

(4)我一個學生的解法(歪等轉直等)：

由A/D=CN得xN—xc-OA—2,那么"=g(x,，v一%)=1，...

(5)我的第二種解法(平行導角度)：

由我〃CD得,ZPAO=AMNO=ZB,于是OP=-OA=1,...

2

(6)下面咱們要著重處理兩件事：

①上述性質是否永世成立？如果何證明？

②解題伎倆除上述方式：全體理念、歪邊轉直比、歪等轉直等、平行導角度外，還有歪

長轉直長、面積比與邊比互轉、純面積轉化等等，背面將一、一講解.

三、會商性質

1,似圖，雙曲線y='與矩形38C邊交于點M、N,直線MV交坐標軸于點。、E.

①似圖1,如果4W：48=1：2,那么CN：C3=

②似圖2,如果NAZ：48=1：4,那么CN：C3=

③似圖3,如果4W：48=1",那么CN：C8=

直線跖V與/C的位置關系是，EN與MD的大小關系,

點C，請會商直線與月。的位置關系，線段EN與“。的大小關系.

②似圖2,雙曲線y="與直線EF交于點“、N,軸于H,軸于C,

X

凡。_1卜軸于。，NB_Lx軸于8,請會商直線AW與HB、8的位置關系，以及

線段ME與川的大小關系.

圖1

最常見理念方式（歪轉直）：歪

直比、歪等轉直等、歪長轉直長

1,似圖，直線y=—x+4反比例函數(shù)y=2(x>0)圖象交直線加

X

于點C、D,且18=2C￡>,那么發(fā)的值為.

(1)通例方式(歪長轉直長)：

?

CD——AB-2V2,那么x—xr=---CD=2,

22

可設C(w,4—機),那么D(掰+2,2—m),列方程處理;

(2)口算巧解(歪邊轉直比)：

由=4B=2CD得,/C：C。：。8=1：2：1,轉為橫比得，

Xc：(x°—%)：(乙-%)=1：2：1,那么xc=1,Vc=4-1=3,??

2,同類變式題:

似圖，直線y=-x+2交坐標軸于點4、B,

雙曲線y交直線于點C、D.

X

如果CO=2/18,那么左的值為

3,難題展示(中國數(shù)學教導名師講堂481230254,追日一題第8題，2021/3/29)

似圖，點/(2,2),8,C在雙曲線上，N歷1C=45",分不交x,y軸于。，F(xiàn),

NC分不交x,y軸于。，E.

(1)求AOOf'的面積;

⑵求證:勿加=S四過加旌丁

4,原創(chuàng)清爽小題和近年的中考題:

⑴似圖1,AB=BC,44。8的面積為3,那么4的值為.

(2)似圖2,點、4,B在雙曲線y=4上運動，/8JLX軸，AC=BC.

①在運動環(huán)節(jié)中，418C的面積是不是定值？答:

②如果《=26，且A48C是正三角形，那么點/的坐標為.

(3)似圖3,UOABC中,ZB=60",0/1=3,雙曲線經(jīng)過點C和中點。，那么該雙

曲線的解析式為

11k

(4)似圖4,直線y=—x與y=-x+3分不與雙曲線y=—交于點心B,OA=1BC,

22x

圖4

雙曲線經(jīng)過點

（5）（十堰）似圖5,正408的邊長為5,y=2CD,且C￡>J_Q8,

X

那么人的值為一.

k

（6）似圖6,雙曲線y=—與直線y=+6交于點C、D.

①（原創(chuàng)、鋪墊②）如果機=-6、b=6,電AB=?：D,那么在=

②（常州模擬?改編）如果b=6,且他那么上”=

③（杭州模擬?改編）如果用=-6,且4040=8,那么A=—.

2

（7）（據(jù)上題改編）似圖7,P為雙曲線y=——上的動點，過點P作矩形?498,直

x

線

C。的解析式為y=2x+b,交矩形邊于M,N,那么CA^ZW=

二圖511

五、面01AxoK--未~X~~7DB-0X積比、

邊比互轉

=gx與雙曲線y=9交于點力，C為雙曲線上一

1,①（原創(chuàng)、鋪墊）似圖1①，直線y

點，

射線C4交y軸于點。，如果△c?！醯拿娣e為9,那么點c坐標為____；

二與雙曲線y=9交于點/、B,C為雙曲線上一點，

②（成都）似圖1②，直線y

2x

射線。交y軸于點。，如果ABCQ的面積為20,那么點c坐標為_____.

2,（無錫）似圖2,AB曲，8C〃x軸，雙曲線過點C、D,且OD：=1：2,

已知Ao?。的面積為3那么%的值為一.

圖1①卜圖1

圖3

91

3,（寧波）似圖3,正A4O3的極點力在雙曲線y二一上,雙曲線y=一與邊04交于點

xx

C,

毗連8C,那么A48C的面積為.

4

4,（麗水）似圖4,雙曲線歹=—與直線y=—x+b交于點/、B,軸，設點力的

橫坐標為m.

①用含機的式子示意人=

②如果所。/與四邊形5CE尸的面積和為4,那么加=.

k

5,似圖5,雙曲線y=—與直線y=的+6交于點C、D.

①（常州模擬）如果b=6,且那么hm=

②（改編自①）如果"=6、，"=一6，且4B=2C￡>,那么§△<"=

圖3圖4圖5

6,似圖6,N8_Lx軸，C為力8中點，耽擱OC到E,耽擱。4到。，如果雙曲線卜=一恰

X

好經(jīng)過點。，E,且OC=CE,那么。4：8=.

7,似圖7,雙曲線y="過點/,B,y="過點C,D,如果/C,Q均與x軸平行,

XX

AC=6,80=4,且它們之間的間隔E尸長為5,那么占―0=

8,似圖8,直線交雙曲線y=3于點c,D,如果SA,M=8,那么SAB℃=

X

擱線交y軸于E,如果

△5CE的面積為4,那么上的值為

10,似圖，點力、B在雙曲線卜=4上，ZC_Lx軸，BD_Lx軸，垂足C、O分不在x軸

x

的

,CD=k,AB='AC,E是力8的中點，如果用廢面積是LADE

正半軸和負半軸上

2

的2倍，那么"的值為一.

六、反比例函數(shù)圖象中的“一線三等

角”組織，初探黃金比例

1,似圖1,A4BC中，OB=BA,Z.OBA=90",雙曲線y=勺經(jīng)過點月、B,且點3的

縱坐標為2,那么女的值為

(1)解析：對于坐標系中的一個直角，如果兩條邊均“傾歪”，咱們常常組織“K”形全

等或相近，即“一線三等角”模型，或叫“矩形大法”，見圖2,得加=逐—1.

(2)后感：咱們可以發(fā)覺，矩形OACE恰好是一個“黃金矩形”，這畢竟是一種間或的巧

合，仍是一種必然的存在呢？這有待于咱們進一步會商…

(3)會商(2021臨沐模擬)：似圖3,雙曲線y='與矩形8CE的邊交于點力，B,如

X

果

設點8的坐標為(a,h),且有=OB1AB,那么a"=

yyy

圖1圖2圖3

2,相近題:

①（2021臨海模擬?填空壓軸題）

似圖，OA=AB,/O4B=90：雙曲線y=2經(jīng)過

x

點雙曲線y=-上經(jīng)過點B,已知點Z的縱坐標

X

為一2,那么左=,點8的坐標為.

②（個人原創(chuàng)）似圖2,A18。中，OB=BA,ZOBA=90S

kk+1

雙曲線y=￡經(jīng)過點3,雙曲線尸=二經(jīng)過點4,且

XX

點5的縱坐標為2,那么%的值為

3,難題展示（常州?于新華老師原創(chuàng)題）

（1）似圖1,點4（3,4）,B均在雙曲線y=勺上,過點“作y軸垂線，過點8作x軸

X

垂線，兩垂線交于點尸，垂足分不為E,F,將沿18翻折，點P恰好落在

x軸上的點。處.求點3的坐標.

(2)似圖2,點力(3,4),8均在雙曲線y='上，過點力作y軸垂線，過點8作x軸

X

垂線，兩垂線交于點尸，垂足分不為E,F,將麗/臺沿翻折，點P恰好落在

x軸上的點0處.求點5的坐標.

圖2

4,似圖，ABCD

的邊加析式為

_m

y=kx+2,極點C,。在雙曲線y=一上.

x

①如果tan4/M=2,那么點。的坐標為

②毗連比，OD,如果Aco〃是等邊三角形,

那么\GX\￡ADB=.

后感：如果能發(fā)覺W=本題將更簡單!

拓展：似圖，正方形N88的極點/、B在雙曲

線上3，C、D在雙曲線y=7」上

xx

那么正方形力8。的面積為.

5,(2021湖州模擬)似圖1,矩形N5C的極點4、B在

雙曲線y=±上，如果點/(I,2),那么點B的坐標為

X

1),點C,。在雙曲線歹=!上，如

6,似圖2,矩形49czi中，48=240,點力(0,

X

果E為

相中點，那么k的值為

圖2

2

7,①似圖1,點力，B在雙曲線夕=—上運動，感覺在底邊作等腰直角A48C,那么

X

點

C也在一條雙曲線上運動，那么該雙曲線的解析式為

2

②似圖2,點心B在雙曲線y=—上運動，感覺力8底邊作等腰A43C,那么點C也

x

在一條雙曲線上運動，如果十￡111/08=2,那么該雙曲線解析式為

③似圖3,點力，B在雙曲線y=與上運動，感覺18底作等腰A15C,點。在另一

X

k

雙曲線夕=一上運動，如果tan/C49=加，請用機，k示意k=.

X

圖1圖2圖3

七、平行導角度，角度導比例

1,似圖，點力，B在雙曲線》=2上，

48經(jīng)過原點O,過點力作ZC〃x軸，毗連4c

X

同時耽擱，交雙曲線于點Q.

①求證：AD=CD；

②求3：8。的值.

依照本題的發(fā)覺，改編了一個清爽小題:

kr-

似圖，點力，B在雙曲線y=—上，經(jīng)過原點。，過點4的直線y=JJx+8交該

x

雙曲線于點C,分不交x軸，y軸于點。，E,如果8C=4,AC=8.