江浙兩省縣域高中發(fā)展共同體2024屆高三上學期10月聯(lián)考數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1江浙兩省縣域高中發(fā)展共同體2024屆高三上學期10月聯(lián)考數(shù)學試題一?單項選擇題1.已知集合，，則（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗集合，當是偶數(shù)時，令，，有，當是奇數(shù)時，令，，有，，，故A，B，D錯誤，C正確.故選：C.2.已知復數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因復數(shù)滿足，所以，所以，故選：B3.在的展開式中，含項的系數(shù)為（）A. B.20 C. D.15〖答案〗A〖解析〗的第項為，令，則，所以的展開式中，含項為，系數(shù)為.故選：A4.若函數(shù)有極大值，則（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由，得，當時，，則在上遞增，所以無極值，當時，，則在上遞減，所以無極值，當時，由，得，當時，，當時，，所以在上遞增，在上遞減，所以時，取得極大值，當時，由，得，當時，，當時，，所以在上遞減，在上遞增，所以時，取得極小值，綜上，當時，有極大值，故選：B.5.已知向量滿足，則向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為，則，可得，且，則，所以向量在向量上的投影向量為.故選：C.6.記為等比數(shù)列的前項和，若，則（）A.6 B. C. D.18〖答案〗D〖解析〗設等比數(shù)列的公比為，若，則由得，不合題意；故，則由得，則，所以，因為，所以，所以，故選：D.7.漏刻是中國古代的一種計時系統(tǒng)，“漏”是指計時器——漏壺，“刻”是指時間，《說文解字》中記載：“漏以銅壺盛水，刻節(jié)，晝夜百刻.”某展覽館根據(jù)史書記載，復原唐代四級漏壺計時器，如圖，計時器由三個圓臺形漏水壺和一個圓柱形受水壺組成，當最上層漏水壺盛滿水時，漂浮在最底層受水壺中的浮箭刻度為0，當最上層漏水壺中水全部漏完時，浮箭刻度為100.已知最上層漏水壺口徑與底徑之比為，則當最上層漏水壺水面下降到其高度的一半時，浮箭刻度約為（）（四舍五入精確到個位）A.38 B.60 C.61 D.62〖答案〗D〖解析〗由題意可知：最上層漏水壺所漏水的體積與浮箭刻度成正比，設最上層漏水壺的口徑與底徑分別為，，高為，則體積為，當最上層漏水壺水面下降到高度的一半時，設此時浮箭刻度為，因為已漏水體積，可得，解得，所以浮箭刻度約為62.故選：D.8.將函數(shù)的圖象向右平移個單位后得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)和在上都恰有兩個極值點，則正整數(shù)的最小值為（）A.7 B.8 C.9 D.10〖答案〗B〖解析〗依題意，解法1：當時，，因為曲線在上恰有兩個極值點，所以，解得.當時，，因為，所以，在內只有一個極值點，不合題意；當時，，因為，所以，在內有兩個極值點：，滿足題意.所以正整數(shù)的最小值為解法2：當時，，因為曲線在上恰有兩個極值點，所以，解得.①由題意，，當時，，由①知，，又函數(shù)在上恰有兩個極值點，所以，解得②由①和②得，的取值范圍是，則正整數(shù)的最小值為.故選：B.二?多項選擇題9.袋中有3個大小?形狀完全相同的小球，其中1個黑球2個白球.從袋中不放回取球2次，每次取1個球，記取得黑球次數(shù)為；從袋中有放回取球2次，每次取1個球，記取得黑球次數(shù)為，則（）A.隨機變量的可能取值為0或1B.隨機變量的可能取值為0或1C.隨機事件的概率與隨機事件的概率相等D.隨機變量的數(shù)學期望與隨機變量的數(shù)學期望相等〖答案〗AD〖解析〗對于A項，從有1個黑球2個白球袋中，不放回取球2次，每次取1個球，記取得黑球次數(shù)為，隨機變量的可能取值為0或1，即A正確；對于B項，從有1個黑球2個白球的袋中，有放回取球2次，每次取1個球，記取得黑球次數(shù)為，隨機變量的可能取值為0或1或2，即B錯誤；對于C項，由題意可知，即C錯誤；對于D項，故，D正確.故選：AD.10.已知正三棱柱分別為棱的中點，則（）A. B.面C. D.面〖答案〗BD〖解析〗對于選項A，顯然與異面，故A錯誤；對于選項B，取中點，連接，因為、為、中點，所以，又因為且為中點，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因為面，面，所以面，故B正確；對于選項C，如圖，連接，取中點，連接，假設，則垂直平分，則，設，則，在正中高，在矩形中對角線.在矩形中，，，則對角線，則，矛盾，故C錯誤；對于選項D，如圖，設，則，在側面上，以點為原點、為橫軸、為縱軸建立平面直角坐標系，則，，，，所以有，，所以，所以，即有.在正三棱柱中為中點，所以，又由面可得，且面，所以面，又因面，所以，又因面，所以面，故D正確.故選：BD.11.已知拋物線的焦點為，其準線與軸的交點為.直線與沒有公共點，直線經(jīng)過點.則（）A. B.與有兩個公共點C.以為直徑的圓與軸相離 D.小于〖答案〗ACD〖解析〗聯(lián)立直線與拋物線方程，消去得，，因為直線與沒有公開點，所以，所以，故點位于拋物線內部.對于A，因為，，且，所以，，故A正確；對于B，因為直線經(jīng)過點，點位于拋物線內部.當直線平行于軸時，與有唯一公共點；當直線與軸不平行時，與有兩個公共點，故B錯誤；對于C，延長交于點，設，設以為直徑的圓的圓心為，為直徑的圓的圓心為，又，所以，又根據(jù)拋物線定義可知，所以，所以以為直徑的圓與軸相切，因為以為直徑的圓與圓內切，切點為，且圓半徑較小，所以圓與軸相離，故C正確；對于，過點與相切的直線的斜率存在，設切線方程為，聯(lián)立與，得，，解得，當切線斜率為1，傾斜角為，又點是位于內部的一點，所以小于，當斜率為，同理可得，故D正確.故選：ACD.12.已知是定義在上的奇函數(shù)，，設函數(shù)，若是偶函數(shù)，則（）A. B.C. D.〖答案〗AC〖解析〗因為是上的奇函數(shù)，所以，則定義域為R，且故也是上的奇函數(shù)，，因為是偶函數(shù)，所以，即，即，則，所以是以4為周期的周期函數(shù).因為周期為4，則，則，所以也是以4為周期的周期函數(shù).對于A，因為，令得，故A正確；對于B，，故B錯誤；對于C，由，，知，所以，故C正確；對于D，因為，令，故；；同理；而；所以，所以，故D錯誤.故選：.三?填空題13.設圓，直線經(jīng)過原點且將圓分成兩部分，則直線的方程為__________.〖答案〗，或〖解析〗由可知：該圓的圓心坐標為，半徑為，因為，所以該圓過原點，設直線與圓相交另一點為點，因為直線經(jīng)過原點且將圓分成兩部分，所以弦所以圓心角為，因為圓的半徑為，所以因此圓心到直線的距離為，當直線不存在斜率時，方程為，顯然到直線的距離為1，符合題意；當直線存在斜率時，設為，方程為，因為圓心到直線的距離為，所以，即方程為，綜上所述：直線的方程為，或，故〖答案〗為：，或14.在中，，，以為焦點且經(jīng)過點的橢圓離心率記為，以為焦點且經(jīng)過點的橢圓離心率記為，則__________.〖答案〗〖解析〗由題意可設，以為焦點且經(jīng)過點的橢圓為，以為焦點且經(jīng)過點的橢圓為，由橢圓定義可得，，故，同理可知，，則，所以.故〖答案〗為：15.已知，則__________.〖答案〗〖解析〗因為，所以，且，且，又，所以，因為，所以.故〖答案〗為：.16.第19屆杭州亞運會的吉祥物是一組名為“江南憶”的機器人：“琮琮”代表世界遺產良渚古城遺址，“蓮蓮”代表世界遺產西湖，“宸宸”代表世界遺產京杭大運河.現(xiàn)有6個不同的吉祥物，其中“琮琮”?“蓮蓮”和“宸宸”各2個，將這6個吉祥物排成前后兩排，每排3個，且每排相鄰兩個吉祥物名稱不同，則排法種數(shù)共有__________.（用數(shù)字作答）〖答案〗336〖解析〗由題意可分兩種情形：①前排含有兩種不同名稱的吉祥物，首先，前排從“琮琮”“蓮蓮”和“宸宸”中取兩種，其中一種取兩個，另一種選一個，有種排法；其次，后排有種排法，故共有種不同的排法；②前排含有三種不同名稱的吉祥物，有種排法；后排有種排法，此時共有種排法；因此，共有種排法，故〖答案〗為：336.四?解答題17.為研究農藥對農作物成長的功效，在甲?乙兩塊試驗田播種同一種農作物，甲試驗田噴灑農藥，乙試驗田沒有噴灑農藥，經(jīng)過一段時間后，從甲?乙兩塊試驗田各隨機選取100株幼苗，統(tǒng)計200株幼苗高度（單位：cm）如下表：幼苗高度甲試驗田10155520乙試驗田10354510附：0.0500.01000013.8416.63510.828，其中（1）分別求甲?乙兩塊試驗田中幼苗的平均高度的估計值（同一組中的數(shù)據(jù)以該組區(qū)間的中點值為代表）；（2）分別統(tǒng)計樣本中甲?乙兩塊試驗田幼苗高度小于和不小于的株數(shù)，完成下列聯(lián)表，并依據(jù)小概率的獨立性檢驗，分析是否噴灑農藥與幼苗生長的高度有關聯(lián)？高度高度噴灑農藥沒有噴灑農藥解：（1）由題知，樣本平均數(shù)為：，所以估計甲塊試驗田中幼苗的平均高度為；估計乙塊試驗田中幼苗的平均高度為10.1.（2）列聯(lián)表為：高度高度合計噴灑農藥2575100沒有噴灑農藥4555100合計70130200根據(jù)列聯(lián)表中數(shù)據(jù)，可得由此推斷犯錯的概率不大于0.01即認為噴灑農藥與幼苗生長的高度有關聯(lián).18.記是數(shù)列的前項和，已知，且.（1）記，求數(shù)列的通項公式；（2）求.解：（1）因為，①所以，②②-①得，，因為，所以，所以數(shù)列的奇數(shù)項和偶數(shù)項分別是以4為公差的等差數(shù)列，令代入，得，由，得，所以，所以數(shù)列是公差為4，首項為5的等差數(shù)列，其通項公式為（2）當為奇數(shù)時，，當為偶數(shù)時，，所以.19.在中，角所對的邊分別為，且有，求（1）；（2）的最大值.解：（1）因為，由正弦定理得，化簡得，所以，又因為，所以；（2）法一：由（1）可知，，所以，所以，當時，，所以的最大值為.法二：，由正弦定理得：，由基本不等式得：，所以，當且僅當，等號成立，解得，所以的最大值為.20.如圖，三棱錐中，平面，是空間中一點，且平面.（1）證明：平面；（2）若，求平面與平面的夾角的余弦值.（1）證明：過點作，垂足為，因為平面平面，所以，因為平面，，所以平面，因為平面，所以，因為平面平面，所以平面.（2）解：設，且，以為坐標原點，BD為y軸，BA為z軸，過B垂直BD（與CD平行）的線為x軸，如圖建立空間直角坐標系，則，又，由（1）設，設平面的一個法向量，則，令，則，所以，設平面的一個法向量，則，令，則，所以，設平面與平面的夾角為，則，所平面與平面的夾角的余弦值為.21.已知函數(shù).（e為自然對數(shù)的底）（1）若曲線在處的切線與曲線也相切，求；（2），求的取值范圍.解：（1）因為，所以，所以曲線在處的切線的方程為設直線與與曲線切于點，又，則直線方程為：，即所以，所以，因為，所以.綜上，的值為（2）因為，，所以，令，則，所以在上遞增，當時，，故在上遞增，所以；滿足題意；當時，因為，所以存在，使得，又在上遞增，當時，，即遞減.所以，故不符合題意.所以的取值范圍為.22.已知雙曲線的離心率為，右頂點到的一條漸近線的距離為.（1）求的方程；（2）是