專題01開放探索型問題-2022年中考數(shù)學(xué)專題拓展提高講練(解析版)

1.考點(diǎn)解析所謂開放探索型問題指的是有些數(shù)學(xué)問題的條件、結(jié)論或解決方法不確定或不唯一，需要根據(jù)題目的特點(diǎn)進(jìn)行分析、探索，從而確定出符合要求的答案(一個(gè)、多個(gè)或所有答案)或探索出解決問題的多種方法．?????2.考點(diǎn)分類：考點(diǎn)分類見下表考點(diǎn)分類考點(diǎn)內(nèi)容考點(diǎn)分析與常見題型?？紵狳c(diǎn)等腰三角形構(gòu)成解答題求符合要求的點(diǎn)坐標(biāo)一般考點(diǎn)平行四邊形的構(gòu)成解答題求符合要求的點(diǎn)坐標(biāo)冷門考點(diǎn)圓的相切討論解答題求動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間【方法點(diǎn)撥】?由于開放探究型試題的知識(shí)覆蓋面較大，綜合性較強(qiáng)，靈活選擇方法的要求較高，再加上題意新穎，構(gòu)思精巧，具有相當(dāng)?shù)纳疃群碗y度，所以要求同學(xué)們在復(fù)習(xí)時(shí)，首先對于基礎(chǔ)知識(shí)一定要復(fù)習(xí)全面，并力求扎實(shí)牢靠；其次是要加強(qiáng)對解答這類試題的練習(xí)，注意各知識(shí)點(diǎn)之間的因果聯(lián)系，選擇合適的解題途徑完成最后的解答．由于題型新穎、綜合性強(qiáng)、結(jié)構(gòu)獨(dú)特等，此類問題的一般解題思路并無固定模式或套路，但是可以從以下幾個(gè)角度考慮：??1．利用特殊值（特殊點(diǎn)、特殊數(shù)量、特殊線段、特殊位置等）進(jìn)行歸納、概括，從特殊到一般，從而得出規(guī)律．?2．反演推理法（反證法），即假設(shè)結(jié)論成立,根據(jù)假設(shè)進(jìn)行推理，看是推導(dǎo)出矛盾還是能與已知條件一致．?3．分類討論法．當(dāng)命題的題設(shè)和結(jié)論不唯一確定，難以統(tǒng)一解答時(shí)，則需要按可能出現(xiàn)的情況做到既不重復(fù)也不遺漏，分門別類加以討論求解，將不同結(jié)論綜合歸納得出正確結(jié)果．?4．類比猜想法．即由一個(gè)問題的結(jié)論或解決方法類比猜想出另一個(gè)類似問題的結(jié)論或解決方法，并加以嚴(yán)密的論證一、中考題型分析本節(jié)考點(diǎn)在2019年中考數(shù)學(xué)試卷中出現(xiàn)概率還會(huì)很高，也會(huì)延續(xù)以前的考查方式和規(guī)律，不會(huì)有很大變化。由于開放探究型問題對考查學(xué)生思維能力和創(chuàng)造能力有積極的作用，是近幾年中考命題的一個(gè)熱點(diǎn)．通常這類題目有以下幾種類型：條件開放與探索，結(jié)論開放和探索，條件與結(jié)論都開放與探索及方案設(shè)計(jì)、命題組合型、問題開放型等。二、典例精析★考點(diǎn)一：全等三角形，相似三角形問題◆典例一：問題背景：如圖1，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，EF分別是BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝60°，探究圖中線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系.小王同學(xué)探究此問題的方法是延長FD到點(diǎn)G，使DG＝BE，連結(jié)AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是 ；探索延伸：如圖2，若在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝∠BAD，上述結(jié)論是否仍然成立，并說明理由；結(jié)論應(yīng)用：如圖3，在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心(O處)北偏西30°的A處，艦艇乙在指揮中心南偏東70°的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等．接到行動(dòng)指令后，艦艇甲向正東方向以60海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，艦艇乙沿北偏東50°的方向以80海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，1.5小時(shí)后，指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)E，F(xiàn)處，且兩艦艇與指揮中心O之間夾角∠EOF=70°，試求此時(shí)兩艦艇之間的距離．能力提高：如圖4，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)M，N在邊BC上，且∠MAN＝45°．若BM＝1，CN＝3，則MN的長為 ．【考點(diǎn)】全等三角形，構(gòu)造全等【解析】本題的核心是根據(jù)已知的相等線段的條件構(gòu)造出一組全等三角形，然后再利用二次全等去證明線段之間的關(guān)系。如何利用全等三角形的性質(zhì)和角度之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵解答：問題背景：EF＝BE＋FD.………………2分◆典例二：如圖2－1－1，在矩形ABCD中，E是AD邊的中點(diǎn)，BE⊥AC，垂足為F，連結(jié)DF，分析下列四個(gè)結(jié)論：①△AEF∽△CAB；②CF＝2AF；③DF＝DC；④tan∠CAD＝eq\r(2).其中正確的結(jié)論有 ()A．4個(gè) B．3個(gè)C．2個(gè) D．1個(gè)圖2－1－1第1題答圖【考點(diǎn)】相似三角形，相似比，三角函數(shù)學(xué)科#￥網(wǎng)【解析】如答圖，過點(diǎn)D作DM∥BE交AC于點(diǎn)N，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝BC，∠EAC＝∠ACB，∵BE⊥AC于點(diǎn)F，∴∠ABC＝∠EFA＝90°，∴△AEF∽△CAB.故①正確；∵AD∥BC，∴△AEF∽△CBF，∴eq\f(AE,BC)＝eq\f(AF,CF)，∵AE＝eq\f(1,2)AD＝eq\f(1,2)BC，∴eq\f(AF,CF)＝eq\f(1,2)，∴CF＝2AF.故②正確；∵DE∥BM，BE∥DM，∴四邊形BMDE是平行四邊形，∴BM＝DE＝eq\f(1,2)BC，∴BM＝CM，∴CN＝NF，∵BE⊥AC于點(diǎn)F，DM∥BE，∴DN⊥CF，∴DF＝DC.故③正確；設(shè)EF＝1，則BF＝2，∵∠BAD＝90°，BE⊥AC，∴∠BAF＋∠FAE＝90°，∠FAE＋∠AEF＝90°，∴∠BAF＝∠AEF，∴△ABF∽△EAF，∴eq\f(AF,EF)＝eq\f(BF,AF)，∴AF＝eq\r(EF·BF)＝eq\r(2)，∴tan∠CAD＝tan∠ABF＝eq\f(AF,BF)＝eq\f(\r(2),2).故④錯(cuò)誤．故選B.★考點(diǎn)二：等腰三角形線段與角度的關(guān)系探究◆典例一：已知O為直線MN上一點(diǎn)，OP⊥MN，在等腰直角三角形ABO中，∠BAO＝90°，AC∥OP交OM于C，D為OB的中點(diǎn)，DE⊥DC交MN于E.圖2－1－8(1)如圖2－1－8①，若點(diǎn)B在OP上，則①AC__＝__OE(選填“>”“<”或“＝”)；②線段CA，CO，CD滿足的等量關(guān)系式是__CO＋CA＝eq\r(2)CD__；(2)將圖①中的等腰直角三角形ABO繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α(0°<α<45°)，如圖②，那么(1)中的結(jié)論②是否成立？請說明理由；(3)將圖①中的等腰直角三角形ABO繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α(45°<α<90°)，請你在圖③中畫出圖形，并直接寫出線段CA，CO，CD滿足的等量關(guān)系式__CO－CA＝eq\r(2)CD__．【考點(diǎn)】圖形的旋轉(zhuǎn)，全等三角形【解答】解：(1)①＝；②CO＋CA＝eq\r(2)CD；(2)如答圖①，連結(jié)AD，∵D為等腰直角三角形ABO斜邊OB的中點(diǎn)，∴AD＝OD，AD⊥DO，又∵DE⊥DC，∴∠ADC＝∠ODE，又∵AC⊥OC，∴∠ADO＋∠ACO＝180°，∴∠DAC＋∠DOC＝180°，∴∠DAC＝∠DOE，∴△ACD≌△OED，∴AC＝OE，在Rt△CDE中，CO＋OE＝CO＋CA＝eq\r(2)CD. 第9題答圖①第9題答圖②(3)如答圖②，CO－CA＝eq\r(2)CD.學(xué)#￥科網(wǎng)◆典例二：如圖2－2－1，點(diǎn)P為定角∠AOB的平分線上的一個(gè)定點(diǎn)，且∠MPN與∠AOB互補(bǔ)，若∠MPN在繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)的過程中，其兩邊分別與OA，OB相交于M，N兩點(diǎn)，則以下結(jié)論：①PM＝PN恒成立；②OM＋ON的值不變；③四邊形PMON的面積不變；④MN的長不變，其中正確的個(gè)數(shù)為(B)A．4B．3 C．2 D．1 圖2－2－1 第1題答圖∴EM＝NF，PM＝PN，故①正確；∴S△PEM＝S△PNF，∴S四邊形PMON＝S四邊形PEOF＝定值，故③正確；∵OM＋ON＝OE＋ME＋OF－NF＝2OE＝定值，故②正確；MN的長度是變化的，故④錯(cuò)誤．故選B.1.如圖2－1－5，CD是經(jīng)過∠BCA頂點(diǎn)C的一條直線，CA＝CB.E，F(xiàn)分別是直線CD上兩點(diǎn)，且∠BEC＝∠CFA＝∠α.(1)若直線CD經(jīng)過∠BCA的內(nèi)部，且E，F(xiàn)在射線CD上，請解決下面兩個(gè)問題：①如圖①，若∠BCA＝90°，∠α＝90°，則BE____CF；EF____|BE－AF|(選填“＞”“＜”或“＝”)；②如圖②，若0°＜∠BCA＜180°，請?zhí)砑右粋€(gè)關(guān)于∠α與∠BCA關(guān)系的條件__，使①中的兩個(gè)結(jié)論仍然成立，并證明兩個(gè)結(jié)論成立．(2)如圖③，若直線CD經(jīng)過∠BCA的外部，∠α＝∠BCA，請寫出EF，BE，AF三條線段數(shù)量關(guān)系的合理猜想(不要求證明)．圖2－1－5【考點(diǎn)】全等三角形的證明，圖形角度的關(guān)系替換∴△BCE≌△CAF(AAS)，∴BE＝CF，CE＝AF，又∵EF＝CF－CE，∴EF＝|BE－AF|.(2)猜想：EF＝BE＋AF.證明：∵∠BEC＝∠CFA＝∠α，∠α＝∠BCA，∠BCA＋∠BCE＋∠ACF＝180°，∠CFA＋∠CAF＋∠ACF＝180°，∴∠BCE＝∠CAF，又∵BC＝CA，∴△BCE≌△CAF(AAS)．∴BE＝CF，EC＝FA，∴EF＝EC＋CF＝BE＋AF.2.如圖2－2－3，∠AOB＝45°，點(diǎn)M，N在邊OA上，OM＝x，ON＝x＋4，點(diǎn)P是邊OB上的點(diǎn)，若使點(diǎn)P，M，N構(gòu)成等腰三角形的點(diǎn)P恰好有三個(gè)，則x的值是___．【考點(diǎn)】等腰三角形構(gòu)成問題，注意分類討論，可以通過兩圓一線法來找點(diǎn)學(xué)科￥%網(wǎng)以MN為半徑畫圓，與直線OB相離，說明此時(shí)以∠PNM為頂角，以MN為腰，符合條件的點(diǎn)P不存在，還有一個(gè)是以NM為底邊的符合條件的點(diǎn)P；點(diǎn)M沿OA運(yùn)動(dòng)，到M1時(shí)，發(fā)現(xiàn)⊙M1與直線OB有一個(gè)交點(diǎn)，∴當(dāng)4＜x＜4eq\r(2)時(shí)，圓M在移動(dòng)過程中，則會(huì)與OB除了O外有兩個(gè)交點(diǎn)，滿足點(diǎn)P恰好有三個(gè)．綜上所述，若使點(diǎn)P，M，N構(gòu)成等腰三角形的點(diǎn)P恰好有三個(gè)，則x的值是x＝0或x＝4eq\r(2)－4或4＜x＜4eq\r(2).3.如圖2－2－4，正方形ABCD邊長為1，以AB為直徑作半圓，P是CD中點(diǎn)，BP與半圓交于點(diǎn)Q，連結(jié)DQ.給出如下結(jié)論：①DQ＝1；②eq\f(PQ,BQ)＝eq\f(3,2)；③S△PDQ＝eq\f(1,8)；④cos∠ADQ＝eq\f(3,5).其中正確結(jié)論是____(填序號(hào))． 圖2－2－4第3題答圖【考點(diǎn)】圓的切線長定理，以及相似三角形，勾股定理4.如圖2－2－8①，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A(－1，0)，點(diǎn)B(0，eq\r(3))．(1)求∠BAO的度數(shù)；(2)如圖①，將△AOB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得△A′OB′，當(dāng)A′恰好落在AB邊上時(shí)，設(shè)△AB′O的面積為S1，△BA′O的面積為S2，則S1與S2有何關(guān)系？為什么？(3)若將△AOB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到如圖②所示的位置，S1與S2的關(guān)系發(fā)生變化了嗎？證明你的判斷．① ②【考點(diǎn)】三角函數(shù)與旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)【解析】(1