專題12 趙爽弦圖模型與勾股樹模型（解析版）

專題12趙爽弦圖模型與勾股樹模型趙爽弦圖分為內(nèi)弦圖與外弦圖，是中國古代數(shù)學(xué)家趙爽發(fā)現(xiàn)，既可以證明勾股定理，也可以以此命題，相關(guān)的題目有一定的難度，但解題方法也常常是不唯一的。弦圖之美，美在簡約，然不失深厚，經(jīng)典而久遠(yuǎn)，被譽(yù)為“中國數(shù)學(xué)界的圖騰”。弦圖蘊(yùn)含的割補(bǔ)思想，數(shù)形結(jié)合思想、圖形變換思想更是課堂教學(xué)中數(shù)學(xué)思想滲透的絕佳載體。一個(gè)弦圖集合了初中平面幾何線與形，位置與數(shù)量，方法與思想，小身板，大能量，它就是數(shù)學(xué)教育里的不老神話。廣受數(shù)學(xué)教師和數(shù)學(xué)愛好者研究，近年來也成為了各地中考的熱點(diǎn)問題。模型1、弦圖模型（1）內(nèi)弦圖模型：如圖1，在正方形ABCD中，AE⊥BF于點(diǎn)E，BF⊥CG于點(diǎn)F，CG⊥DH于點(diǎn)G，DH⊥AE于點(diǎn)H，則有結(jié)論：△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH；S正方形ABCD=4S△EAB+S正方形EFGH。圖1圖2圖3（2）外弦圖模型：如圖2，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是正方形ABCD各邊上的點(diǎn)，且四邊形EFGH是正方形，則有結(jié)論：△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DGH；S正方形ABCD=4S△EAB+S正方形EFGH。（3）內(nèi)外組合型弦圖模型：如圖3，2S正方形EFGH=S正方形ABCD+S正方形PQMN.例1．（2023春·安徽·八年級(jí)統(tǒng)考期末）“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲，如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形．設(shè)直角三角形較長直角邊長為a，較短直角邊長為b，若，大正方形的面積為625，則小正方形的邊長為（

）

A．7 B．24 C．17 D．25【答案】C【分析】勾股定理得：，又，由此即可求出，因此小正方形的邊長為17．【詳解】解：由題意知小正方形的邊長是，由勾股定理得：，，，小正方形的邊長為17．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的證明，正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．例2．（2023春·遼寧鞍山·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個(gè)全等的直角三角形拼接而成的．已知，正方形的面積為80．連接，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接．則圖中陰影部分的面積之和為（

）．

A．8 B．12 C．16 D．20【答案】C【分析】設(shè)，，根據(jù)正方形的面積公式和勾股定理可求得，再根據(jù)題意和三角形的面積公式可推導(dǎo)出，進(jìn)而推出陰影部分的面積之和為梯形的面積，利用梯形面積公式求解即可．【詳解】解：由題意，，，，∴，，，∴，∴，∴，，∵，∴設(shè)，則，，∴，∴，∴陰影部分的面積之和為，∵正方形的面積為，∴即，∴，∴陰影部分的面積之和為16．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、梯形的面積、三角形的面積，解答的關(guān)鍵是理解題意，找尋圖形中線段間的關(guān)系，然后利用勾股定理和梯形的面積公式以及轉(zhuǎn)化的思想方法求解．例3．（2022·遼寧阜新·八年級(jí)期末）如圖，是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個(gè)全等的直角三角形圍成的，若AC＝12，BC＝7，將四個(gè)直角三角形中邊長為12的直角邊分別向外延長一倍，得到如圖所示的“數(shù)學(xué)風(fēng)車”，則這個(gè)風(fēng)車的外圍周長是（）A．148 B．100 C．196 D．144【答案】A【分析】通過勾股定理可求出“數(shù)學(xué)風(fēng)車”的斜邊長，然后求出風(fēng)車外圍的周長即可．【詳解】解：如圖，設(shè)將延長到點(diǎn)，連接，由題意得：，，，∴這個(gè)風(fēng)車的外圍周長是，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解題關(guān)鍵．例4．（2022·中山八年級(jí)期末）中國數(shù)學(xué)史上最先完成勾股定理證明的數(shù)學(xué)家是公元3世紀(jì)三國時(shí)期的趙爽，他為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一副“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”（如圖1）．圖2由弦圖變化得到，它是由八個(gè)全等的直角三角形拼接而成．將圖中正方形MNKT，正方形EFGH，正方形ABCD的面積分別記為,，．若,則正方形EFGH的面積為_______．【答案】6【分析】設(shè)四邊形MTKN的面積為x，八個(gè)全等的三角形面積一個(gè)設(shè)為y，構(gòu)建方程組，利用整體的思想思考問題，求出x+4y即可．【解析】解：設(shè)四邊形MTKN的面積為x，八個(gè)全等的三角形面積一個(gè)設(shè)為y，∵正方形MNKT，正方形EFGH，正方形ABCD的面積分別為S1，S2，S3，S1+S2+S3=18，∴得出S1=x，S2=4y+x，S3=8y+x，∴S1+S2+S3=3x+12y=18，故3x+12y=18，x+4y=6，所以S2=x+4y=6，即正方形EFGH的面積為6．故答案為6【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的證明，正方形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)，構(gòu)建方程組解決問題．例5．（2023·廣東·九年級(jí)專題練習(xí)）公元三世紀(jì)，我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》題時(shí)給出了“趙爽弦圖”．將兩個(gè)“趙爽弦圖”（如圖1）中的兩個(gè)正方形和八個(gè)直角三角形按圖2方式擺放圍成正方形，記空隙處正方形，正方形的面積分別為，，則下列四個(gè)判斷：①②；③若，則；④若點(diǎn)A是線段的中點(diǎn)，則，其中正確的序號(hào)是

【答案】①②③【分析】設(shè)“趙爽弦圖”中，直角三角形的較短直角邊為，較長直角邊為，斜邊為，則小正方形的邊長為，正方形的邊長為，正方形的邊長為，正方形的邊長為，由正方形面積公式，勾股定理逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【詳解】設(shè)“趙爽弦圖”中，直角三角形的較短直角邊為，較長直角邊為，斜邊為，則小正方形的邊長為，正方形的邊長為，正方形的邊長為，正方形的邊長為，∴，，．∴．∴．故①正確；∵，∴．∴．∴．故②正確；∵，，∴．即．∴．∴．故③正確；∵點(diǎn)A是線段的中點(diǎn)，∴．即．∴．∴．∴．故④不正確；故答案是①②③．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，正方形的面積，關(guān)鍵是設(shè)“趙爽弦圖”中，直角三角形的較短直角邊為，較長直角邊為，斜邊為，用表示出相關(guān)線段的長度，從而解決問題．模型2.勾股樹模型例1．（2022·重慶市八年級(jí)期中）如圖所示，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長為7cm，正方形A、B、C的面積分別是，，，則正方形D的面積是______．【答案】15【分析】根據(jù)勾股定理有S正方形1+S正方形2=S大正方形=49，S正方形C+S正方形D=S正方形2，S正方形A+S正方形B=S正方形1，等量代換即可求正方形D的面積．【詳解】解：如圖，根據(jù)勾股定理可知，∵S正方形1+S正方形2=S大正方形=49，S正方形C+S正方形D=S正方形2，S正方形A+S正方形B=S正方形1，∴S大正方形=S正方形C+S正方形D+S正方形A+S正方形B=49．∴正方形D的面積=49-8-12-14=15（cm2）；故答案為：15．【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股定理，注意根據(jù)正方形的面積公式以及勾股定理得到圖中正方形的面積之間的關(guān)系：以直角三角形的兩條直角邊為邊長的兩個(gè)正方形的面積和等于以斜邊為邊長的面積．例2．（2022·浙江·樂清市八年級(jí)期中）如圖，在四邊形ABCD中，，分別以AB，BC，CD，DA為一邊向外作正方形甲、乙、丙、丁，若用S甲，S乙，S丙，S丁來表示它們的面積，那么下列結(jié)論正確的是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】連接AC，根據(jù)勾股定理可得甲的面積+乙的面積=丙的面積+丁的面積，依此即可求解．【詳解】解：連接AC，由勾股定理得AB2+BC2=AC2，AD2+CD2=AC2，∴甲的面積+乙的面積=丙的面積+丁的面積，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的知識(shí)，要求能夠運(yùn)用勾股定理證明4個(gè)正方形的面積之間的關(guān)系．例3．（2022·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，正方形的邊長為2，其面積標(biāo)記為，以為斜邊作等腰直角三角形，以該等腰直角三角形的一條直角邊為邊向外作正方形，其面積標(biāo)記為，…，按照此規(guī)律繼續(xù)下去，則的值為___________．【答案】【分析】根據(jù)勾股定理可得，從而得到，依次類推，即可得到，找出規(guī)律，進(jìn)而得到S2022的值．【詳解】解：如圖所示，△CDE為等腰直角三角形，則CE=DE，，∴，即，同理可得：，，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理與正方形面積的關(guān)鍵找出規(guī)律．例4．（2023春·重慶·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖是按照一定規(guī)律“生長”的“勾股樹”：經(jīng)觀察可以發(fā)現(xiàn)：圖（1）中共有3個(gè)正方形，圖（2）在圖（1）的基礎(chǔ)上增加了4個(gè)正方形，圖（3）在圖（2）的基礎(chǔ)上增加了8個(gè)正方形，……，照此規(guī)律“生長”下去，圖（6）應(yīng)在圖（5）的基礎(chǔ)上增加的正方形的個(gè)數(shù)是（

）A．12 B．32 C．64 D．128【答案】C【分析】通過觀察已知圖形可以發(fā)現(xiàn)：圖（2）比圖（1）多出4個(gè)正方形，圖（3）比圖（2）多出8個(gè)正方形，圖（4）比圖（3）多出16個(gè)正方形，……，以此類推可得圖形的變換規(guī)律．【詳解】解：由題可得，圖（2）比圖（1）多出4個(gè)正方形，圖（3）比圖（2）多出8個(gè)正方形，；圖（4）比圖（3）多出16個(gè)正方形，；圖（5）比圖（4）多出32個(gè)正方形，；照此規(guī)律，圖（n）比圖（n-1）多出正方形的個(gè)數(shù)為：故圖（6）比圖（5）多出正方形的個(gè)數(shù)為：；故答案為：C．【點(diǎn)睛】此題考查了圖形的變化類問題，主要考核學(xué)生的觀察能力和空間想象能力．首先應(yīng)找出圖形哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的，通過分析找到各部分的變化規(guī)律后直接利用規(guī)律求解．探尋規(guī)律要認(rèn)真觀察、仔細(xì)思考，善用聯(lián)想來解決這類問題．例5．（2022·廣東珠?！ぐ四昙?jí)期末）如圖為直角三角形，斜邊，以兩條直角邊為直徑構(gòu)成兩個(gè)半圓，則兩個(gè)半圓的面積之和為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)勾股定理得出，再根據(jù)圓的面積公式表示出，整理解得得出答案．【詳解】解：∵為直角三角形，斜邊，∴，∴故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理的內(nèi)容．例6．（2023·江蘇八年級(jí)期末）如圖，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分別以△ABC的三條邊為直角邊作三個(gè)等腰直角三角形：△ABD、△ACE、△BCF，若圖中陰影部分的面積S1＝6.5，S2＝3.5，S3＝5.5，則S4＝_____．【答案】2.5【分析】分別交、于點(diǎn)、點(diǎn)；設(shè)AB＝BD＝a，AC＝CE＝b，BC＝CF＝c，，，由，可得，由此構(gòu)建關(guān)系式，通過計(jì)算即可得到答案．【詳解】如圖，分別交、于點(diǎn)、點(diǎn)∵△ABD、△ACE、△BCF均是等腰直角三角形∴AB＝BD，AC＝CE，BC＝CF，設(shè)AB＝BD＝a，AC＝CE＝b，BC＝CF＝c，，∵∴∵，，∴∴故答案為：2.5．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形、直角三角形的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握等腰三角形、勾股定理的性質(zhì)，從而完成求解．例7．（2023·四川達(dá)州·八年級(jí)校考階段練習(xí)）勾股定理有著悠久的歷史，它曾引起很多人的興趣．1955年希臘發(fā)行了二枚以勾股圖為背景的郵票．所謂勾股圖是指以直角三角形的三邊為邊向外作正方形構(gòu)成（圖1：△ABC中，∠BAC=90°）．（1）如圖2，若以直角三角形的三邊為邊向外作等邊三角形，則它們的面積、、之間的數(shù)量關(guān)系是（

）．（2）如圖3，若以直角三角形的三邊為直徑向外作半圓，則它們的面積、、之間的數(shù)量關(guān)系是（

），請(qǐng)說明理由．（3）如圖4，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＋∠BCD=90°，BC=2AD，分別以AB、CD、AD、BC為邊向四邊形外作正方形，其面積分別為、、、，則、、、之間的數(shù)量關(guān)系式為（），請(qǐng)說明理由．【答案】（1）；（2）；理由見解析；（3），理由見解析．【分析】（1）利用直角的邊長就可以表示出等邊三角形、、的大小，滿足勾股定理；（2）利用直角的邊長就可以表示出半圓、、的大小，滿足勾股定理；（3）利用BC、AD的長分別表示正方形、、、的大小，根據(jù)BC=2AD，即可求解．【詳解】解：（1）由題意可得：，，，，，故答案為：；（2）由題意得：，，，，故答案為：；（3）過D作，交BC于點(diǎn)E，∵AD∥BC，∴四邊形ABED為平行四邊形，故，又∵BC=2AD，∴，，∴，∵，，，，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是三角形、正方形、圓形的計(jì)算面積以及勾股定理，熟練掌握三角形、正方形、圓形的面積的計(jì)算公式是解答本題的關(guān)鍵．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023·北京初二期中）如圖所示，直角三邊形三邊上的半圓面積從小到大依次記為、、，則、、的關(guān)系是（）A．+= B． C． D．【答案】A分析：設(shè)直角三角形各邊長為2a、2b、2c，如圖所示：【解析】∵三角形是直角三角形，∴（2a）2+（2b）2=（2c）2，化簡得：a2+b2=c2，S1=πa2，S2=πb2，S3=πc2；S1+S2=π（a2+b2）=πc2=S3．故選A．考點(diǎn)：勾股定理．2．（2022成都市八年級(jí)數(shù)學(xué)期中）有一個(gè)面積為的正方形，經(jīng)過一次“生長”后，在它的左右“肩”上“生出”兩個(gè)小正方形，這個(gè)正方形圍成的三角形是直角三角形，再經(jīng)過一次“生長”后，變成了如圖所示的圖形，如果繼續(xù)“生長”下去，它將變得“枝繁葉茂”，則“生長”了次后形成的圖形中所有正方形的面積和為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)勾股定理求出“生長”了次后形成的圖形中所有的正方形的面積和，結(jié)合圖形總結(jié)規(guī)律，根據(jù)規(guī)律解答即可．【詳解】解：如圖，設(shè)直角三角形的三條邊分別是，，，根據(jù)勾股定理，得，即正方形的面積正方形的面積正方形的面積，同理：正方形D的面積+正方形E的面積+正方形F的面積+正方形G的面積=正方形的面積正方形的面積正方形的面積，推而廣之，“生長”了次后形成的圖形中所有的正方形的面積和是．故選：D【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理，熟練掌握勾股定理，理解“勾股樹”的關(guān)系是解題關(guān)鍵．3．（2022·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）勾股定理是人類最偉大的科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，在我國古算書《周髀算經(jīng)》中早有記載．如圖1，以直角三角形的各邊為邊分別向外作正方形，再將較小的兩個(gè)正方形分別繞直角三角形斜邊上的兩頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到圖2．則圖2中陰影部分面積等于（

）A．直角三角形的面積 B．最大正方形的面積C．最大正方形與直角三角形的面積和 D．較小兩個(gè)正方形重疊部分的面積【答案】D【分析】根據(jù)勾股定理得到，再根據(jù)正方形的面積公式、矩形面積公式計(jì)算即可．【詳解】解：如圖，設(shè)直角三角形的較短直角邊為a，較長直角邊為b，斜邊為c，由勾股定理可得，，陰影部分面積，較小兩個(gè)正方形重疊部分的面積，∴陰影部分面積=較小兩個(gè)正方形重疊部分的面積．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的知識(shí)，解題關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想分析問題．4．（2022·江蘇·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，△ABC中，，以其三邊分別向外側(cè)作正方形，然后將整個(gè)圖形放置于如圖所示的長方形中，若要求圖中兩個(gè)陰影部分面積之和，則只需知道（

）A．以BC為邊的正方形面積 B．以AC為邊的正方形面積C．以AB為邊的正方形面積 D．△ABC的面積【答案】D【分析】如圖所示，過點(diǎn)C作CN⊥AB于N，延長AB、BA分別交正方形兩邊于H、E，證明△ADE≌△CAN得到，AE=CN同理可證△BGH≌△CBN，得到，BH=CN，則，即可推出由此即可得到答案．【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)C作CN⊥AB于N，延長AB、BA分別交正方形兩邊于H、E，∴∠CNA=∠DEA=∠DAC=90°，∴∠DAE+∠EDA=∠DAE+∠CAN=90°，∴∠ADE=∠CAN，又∵AD=CA，∴△ADE≌△CAN（AAS），∴，AE=CN同理可證△BGH≌△CBN，∴，BH=CN∴，∴，∴只需要知道△ABC的面積的面積即可求出陰影部分的面積，故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵在于能夠正確作出輔助線，構(gòu)造全等三角形．5．（2022·廣東湛江·八年級(jí)期末）如圖，所有陰影部分四邊形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、B、D的面積依次為6、10、24，則正方形C的面積為（）A．4 B．6 C．8 D．12【答案】C【分析】根據(jù)勾股定理的幾何意義：S正方形A+S正方形B=S正方形E，S正方形D-S正方形C=S正方形E解得即可．【詳解】解：由題意：S正方形A+S正方形B=S正方形E，S正方形D-S正方形C=S正方形E，∴S正方形A+S正方形B=S正方形D-S正方形C∵正方形A、B、D的面積依次為6、10、24，∴24-S正方形C=6+10，∴S正方形C=8．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，要熟悉勾股定理的幾何意義，知道直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．6．（2023春·廣東潮州·九年級(jí)?？计谀┪覈糯鷶?shù)學(xué)家趙爽巧妙地用“弦圖”證明了勾股定理，標(biāo)志著中國古代的數(shù)學(xué)成就．如圖所示的“弦圖”，是由四個(gè)全等的直角三角形和中間的一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形．直角三角形的斜邊長為13，一條直角邊長為12，則小正方形的面積的大小為（

）

A．144 B．100 C．49 D．25【答案】C【分析】首先利用勾股定理求得另一直角邊的長度，然后結(jié)合圖形求得小正方形的邊長，易得小正方形的面積．【詳解】解：如圖，

根據(jù)勾股定理，得．所以．所以正方形的面積為：．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用勾股定理求得直角三角形的另一直角邊的長度．7．（2023春·湖北武漢·八年級(jí)統(tǒng)考期末）大約公元222年我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為《周髀算經(jīng)》一書作序時(shí)介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”，如圖，四個(gè)全等的直角三角形拼成大正方形，中空的部分是小正方形，連接相交于點(diǎn)O，與相交于點(diǎn)P，若，則直角三角形的邊與之比是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】先證明，得出，再根據(jù)已知條件，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)求得，進(jìn)而證明，得出，設(shè)，得到，進(jìn)而求解.【詳解】解：∵四邊形、是正方形，∴，，，∴，∵四個(gè)全等的直角三角形拼成大正方形，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，設(shè)，則，∴，∴，∴；故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)圖形的性質(zhì)定理、證明三角形全等是解題的關(guān)鍵.8．（2023春·山東臨沂·八年級(jí)統(tǒng)考期末）勾股定理是幾何中的一個(gè)重要定理，在我國古算書《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載．如圖1是由邊長相等的小正方形和直角三角形構(gòu)成的，可以用其面積關(guān)系驗(yàn)證勾股定理．圖2是由圖1放入長方形內(nèi)得到的，，點(diǎn)D，E，F(xiàn)，G，H，I都在長方形的邊上，則長方形的面積為（

）A．420 B．440 C．430 D．410【答案】B【分析】延長交于P，延長交于Q，可得全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得，然后求出和的長，再根據(jù)長方形的面積公式列式計(jì)算即可得解．【詳解】解：如圖，延長交于P，延長交于Q，由題意得，，∴，∴，∴，同理可證，∴，∵圖2是由圖1放入長方形內(nèi)得到，∴，，∴長方形的面積．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的證明，全等三角形的性質(zhì)與判定，作輔助線構(gòu)造出全等三角形并得到長方形的鄰邊的長是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．9．（2023春·廣西南寧·八年級(jí)統(tǒng)考期末）“趙爽弦圖”是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲，它巧妙利用面積關(guān)系證明了勾股定理，如圖所示的“弦圖”，是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，設(shè)直角三角形較短直角邊長為a，較長直角邊長為b，若大正方形的面積為17，每個(gè)直角三角形面積為4，那么為．

【答案】1【分析】結(jié)合圖形，得出，，再整體代入求解即可．【詳解】解：根據(jù)題意得：，，∴即∴故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的證明，正確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．10．（2022·江蘇宿遷·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，、、分別是以的三邊為直徑所畫半圓的面積，其中，，則．

【答案】【分析】先分別算出、、的面積，然后根據(jù)勾股定理即可解答．【詳解】解：∵，，∴∵∴．∵，，∴故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，勾股定理的內(nèi)容是直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方．11．（2023·湖北孝感·統(tǒng)考三模）“勾股樹”是以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形，重復(fù)這一過程所畫出來的圖形，因?yàn)橹貜?fù)數(shù)次后的形狀好似一棵樹而得名．假設(shè)如圖分別是第一代勾股樹、第二代勾股樹、第三代勾股樹，按照勾股樹的作圖原理作圖，則第五代勾股樹中正方形的個(gè)數(shù)為．【答案】【分析】由已知圖形觀察規(guī)律，即可得到第五代勾股樹中正方形的個(gè)數(shù)．【詳解】解：由題意可知第一代勾股樹中正方形有（個(gè)），第二代勾股樹中正方形有（個(gè)），第三代勾股樹中正方形有（個(gè)），由此推出第五代勾股樹中正方形有（個(gè)）故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了圖形類規(guī)律探索的相關(guān)問題，仔細(xì)觀察從圖中找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．12．（2022秋·廣東深圳·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖1，是一個(gè)封閉的勾股水箱，其中I，II，III部分是可盛水的正方形，且相互聯(lián)通，已知∠ACB=90°，AC=6，BC=8，開始時(shí)III剛好盛滿水，而I，II無水．如圖2擺放時(shí)，水面剛好經(jīng)過III的中心O(正方形兩條對(duì)角線的交點(diǎn)），則II中有水部分的面積為．【答案】14【分析】由勾股定理求出AB=10，根據(jù)已知條件得到Ⅲ部分的水為整個(gè)正方形面積的一半，即Ⅲ部分的有水部分的面積為50，于是得到結(jié)論．【詳解】解：∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8，∴AB=，∴Ⅲ部分的面積是100，∵水面剛好經(jīng)過Ⅲ的中心O，∴Ⅲ部分的水為整個(gè)正方形面積的一半，即Ⅲ部分的有水部分的面積為50，∴Ⅱ中有水部分的面積為100-36-50=14，故答案為：14．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，正方形的面積的計(jì)算，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．13．（2022·廣西·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，Rt△ABC的兩條直角邊，．分別以Rt△ABC的三邊為邊作三個(gè)正方形．若四個(gè)陰影部分面積分別為，，，，則的值為______，的值為______．【答案】

24

0【分析】先證明從而可得再利用圖形的面積關(guān)系可得：兩式相減可得：而證明從而可得第二空的答案.【詳解】解：如圖，以Rt△ABC的三邊為邊作三個(gè)正方形，兩式相減可得：而故答案為：24，0【點(diǎn)睛】本題考查的是正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，圖形面積之間的關(guān)系，證明是解本題的關(guān)鍵.14．（2022·山東臨沂·統(tǒng)考二模）中國古代的數(shù)學(xué)家們對(duì)于勾股定理的發(fā)現(xiàn)和證明，在世界數(shù)學(xué)史上具有獨(dú)特的貢獻(xiàn)和地位尤其是三國時(shí)期的數(shù)學(xué)家趙爽，不僅最早對(duì)勾股定理進(jìn)行了證明，而且創(chuàng)制了“勾股圓方圖”，開創(chuàng)了“以形證數(shù)”的思想方法．在圖中，小正方形ABCD的面積為1，如果把它的各邊分別延長一倍得到正方形A1B1C1D1（如圖1），則正方形的面積為；再把正方形A1B1C1D1的各邊分別延長一倍得到正方形A2B2C2D2（如圖2），如此進(jìn)行下去，得到的正方形AnBnCnDn的面積為（用含n的式子表示，n為正整數(shù)）．【答案】5【分析】利用正方形ABCD的面積為1，求出其邊長為1，可求出正方形A1B1C1D1的邊長為：，面積為：，再求出正方形A2B2C2D2的邊長為：，面積為：，正方形A3B3C3D3的邊長為：，面積為：，正方形A4B4C4D4的邊長為：，面積為：，依次可推出：正方形AnBnCnDn的面積為：．【詳解】解：∵正方形ABCD的面積為1，∴其邊長為1，∵把它的各邊分別延長一倍得到正方形A1B1C1D1，∴正方形A1B1C1D1的邊長為：，∴正方形A1B1C1D1的面積：；∵正方形A1B1C1D1的各邊分別延長一倍得到正方形A2B2C2D2，∴正方形A2B2C2D2的邊長為：，∴正方形A2B2C2D2的面積為：；同理可得：正方形A3B3C3D3的邊長為：，∴正方形A3B3C3D3的面積為：；正方形A4B4C4D4的邊長為：，∴正方形A4B4C4D4的面積為：；依次可推出：正方形AnBnCnDn的面積為：．故答案為：5；【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用，正方形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是求出每一個(gè)正方形的邊長，即可求出其面積．15．（2023山西八年級(jí)期中）勾股定理是人類最偉大的十個(gè)科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，西方國家稱之為畢達(dá)哥拉斯定理，在我國古書《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”（如圖1），后人稱之為“趙爽弦圖”，流傳至今．（1）①請(qǐng)敘述勾股定理；②勾股定理的證明，人們已經(jīng)找到了400多種方法，請(qǐng)從下列幾種常見的證明方法中任選一種證明該定理；（以下圖形均滿足證明勾股定理所需的條件）（2）如圖4，以直角三角形的三邊為直徑，分別向外部作半圓，則，，滿足的關(guān)系是______．（3）如圖5，直角三角形的兩直角邊長分別為3，5，分別以直角三角形的三邊為直徑作半圓，則圖中兩個(gè)月形圖案（陰影部分）的面積為______．【答案】（1）①直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方（如果用，和分別表示直角三角形的兩直角邊和斜邊，那么）；②證明見解析；（2）；（3）．【分析】（1）①根據(jù)勾股定理的內(nèi)容即可得；②圖1和圖2：利用四個(gè)小直角三角形的面積與小正方形的面積的和等于大正方形的面積即可得；圖3：利用三個(gè)直角三角形的面積之和等于直角梯形的面積即可得；（2）根據(jù)勾股定理、圓的面積公式即可得；（3）根據(jù)陰影部分的面積等于以兩直角邊為直徑的兩個(gè)半圓面積與直角三角形的面積之和減去以斜邊為直徑的半圓面積即可得．【詳解】（1）①直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方（如果用，和分別表示直角三角形的兩直角邊和斜邊，那么）；②圖1：大正方形的面積為，四個(gè)小直角三角形的面積與小正方形的面積的和為，則；圖2：大正方形的面積為，四個(gè)小直角三角形的面積與小正方形的面積的和為，則，即；圖3：直角梯形的面積為，三個(gè)直角三角形的面積之和為，則，即；（2）設(shè)對(duì)應(yīng)的直角邊長為，對(duì)應(yīng)的直角邊長為，對(duì)應(yīng)的斜邊長為，由圓的面積公式得：，，，由勾股定理得：，則，即，故答案為：；（3）設(shè)直角三角形的兩直角邊長分別為，斜邊長為，由（2）可知，，則陰影部分的面積為，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的定義、證明、以及應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解題關(guān)鍵．16．（2023·江蘇揚(yáng)州·七年級(jí)校聯(lián)考期中）一個(gè)直角三角形的兩條直角邊分別為、，斜邊為．我國古代數(shù)學(xué)家趙爽用四個(gè)這樣的直角三角形拼成了如圖的正方形，(1)探究活動(dòng)：如圖1，中間圍成的小正方形的邊長為（用含有、的代數(shù)式表示）；(2)探究活動(dòng)：如圖1，用不同的方法表示這個(gè)大正方形的面積，并寫出你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論；(3)新知運(yùn)用：根據(jù)你所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論完成下列問題．①某個(gè)直角三角形的兩條直角邊、滿足式子，求它的斜邊的值；②由①中結(jié)論，此三角形斜邊上的高為．③如圖2，這個(gè)勾股樹圖形是由正方形和直角三角形組成的，若正方形、、、的面積分別為，4，，．則最大的正方形的邊長是．【答案】(1)(2)(3)①，②，③3【分析】（1）小正方形的邊長為較長的直角邊減去較短的直角邊；（2）大正方形的面積等于4個(gè)直角三角形的面積＋中間的小正方形的面積；（3）①把原式用完全平方差公式化為非負(fù)數(shù)的和求a，b后，用勾股定理求c；②用三角形的面積公式求斜邊上的高；③分別以直角三角形斜邊，直角邊向外作正方形，則以斜邊為邊的正方形的面積等于以直角邊為邊的正方形的面積的和．【詳解】（1）解：中間圍成的小正方形的邊長為較長的直角邊減去較短的直角邊，即b－a，故答案為：b-a；（2）因?yàn)榇笳叫蔚拿娣e等于4個(gè)直角三角形的面積＋中間的小正方形的面積，可表示為：正方形的面積還可以表示為：所以，化簡得．（3）①，則，即，所以a－3＝0，b－4＝0，則a＝3，b＝4．由勾股定理得．②設(shè)斜邊c上的高為h，因?yàn)?S＝ab＝ch，所以3×4＝5h，解得，故答案為：2.4．③如圖，設(shè)正方形的邊長分別為根據(jù)勾股定理可得：∴正方形的面積之和等于正方形E的面積，同理可得：正方形E的面積等于正方形A，B，C，D的面積的和，所以正方形E的面積為2＋4＋1＋2＝9，所以正方形E的邊長為3，故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理及勾股定理的證明方法，因?yàn)楣垂啥ɡ砩婕暗礁鬟叺钠椒?，而邊長的平方正是正方形的面積，所以勾股定理與正方形的面積密切相關(guān)，理解勾股定理與正方形或其它圖形的關(guān)系，對(duì)后面的解題非常重要．17．（2022春·廣西南寧·八年級(jí)南寧三中校考期末）【背景閱讀】勾股定理是人類最偉大的十個(gè)科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，西方國家稱之為畢達(dá)哥拉斯定理．在我國古書《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了驗(yàn)證勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”（如圖1），后人稱之為“趙爽弦圖”，流傳至今．【實(shí)踐操作】勾股定理的證明，人們已經(jīng)找到了400多種方法，圖1、圖2、圖3是三種常見的證明方法，請(qǐng)你從中任選一種證明勾股定理（圖中出現(xiàn)的直角三角形