新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測專題7.3等比數(shù)列及其前n項和（練）解析版

專題7.3等比數(shù)列及其前n項和練基礎(chǔ)練基礎(chǔ)1．（2021·全國高考真題（文））記SKIPIF1<0為等比數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和.若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】A【解析】根據(jù)題目條件可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比數(shù)列，從而求出SKIPIF1<0，進一步求出答案.【詳解】∵SKIPIF1<0為等比數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比數(shù)列∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.故選：A.2．（2021·山東濟南市·）已知Sn是遞增的等比數(shù)列{an}的前n項和，其中S3＝SKIPIF1<0，a32＝a4，則a5＝（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．8 D．16【答案】C【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，根據(jù)題意列方程，解出SKIPIF1<0和q即可.【詳解】解：設(shè)遞增的等比數(shù)列{an}的公比為SKIPIF1<0，且qSKIPIF1<01，∵S3＝SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0（1+q+q2）＝SKIPIF1<0，SKIPIF1<0q4＝SKIPIF1<0q3，解得SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，q＝2；SKIPIF1<0＝2，q＝SKIPIF1<0（舍去）．則SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝8．故選：C．3．（2021·重慶高三其他模擬）設(shè)等比數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】設(shè)等比數(shù)列SKIPIF1<0公比為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0結(jié)合已知條件求SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，再利用等比數(shù)列前n項和公式求SKIPIF1<0.【詳解】設(shè)等比數(shù)列SKIPIF1<0公比為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故選：C4．（2021·合肥市第六中學(xué)高三其他模擬（理））若等比數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】設(shè)等比數(shù)列SKIPIF1<0的公比為q，根據(jù)等比數(shù)列的通項公式建立方程組，解之可得選項.【詳解】設(shè)等比數(shù)列SKIPIF1<0的公比為q，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故選：A.5.（2020·河北省曲陽縣第一高級中學(xué)高一期末）中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中記載了這樣一個問題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請公仔細算相還.”其大意為：有一個人走了378里路，第一天健步行走，從第二天起因腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達目的地，問此人第二天走了（）A．6里 B．24里 C．48里 D．96里【答案】D【解析】根據(jù)題意，記每天走的路程里數(shù)為，可知是公比的等比數(shù)列，由，得，解可得，則；即此人第二天走的路程里數(shù)為96；故選：D．6．（2021·江蘇南通市·高三其他模擬）已知等比數(shù)列SKIPIF1<0的公比為SKIPIF1<0，前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，則“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D【解析】由SKIPIF1<0可得出SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，進而判斷可得出結(jié)論.【詳解】若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以，數(shù)列SKIPIF1<0為遞增數(shù)列，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的既不充分也不必要條件.故選：D.7．（2021·黑龍江大慶市·大慶實驗中學(xué)高三其他模擬（文））在數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0___________.【答案】SKIPIF1<0【解析】由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，得出數(shù)列SKIPIF1<0構(gòu)成以SKIPIF1<0為首項，以SKIPIF1<0為公比的等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，即可求解.【詳解】由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0構(gòu)成以SKIPIF1<0為首項，以SKIPIF1<0為公比的等比數(shù)列，所以SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.8．（2021·浙江杭州市·杭州高級中學(xué)高三其他模擬）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0_____，SKIPIF1<0_______．【答案】SKIPIF1<0SKIPIF1<0【解析】利用SKIPIF1<0求通項公式，再求出SKIPIF1<0.【詳解】對于SKIPIF1<0，當n=1時，有SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<01；當SKIPIF1<0時，有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0為等比數(shù)列，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案為：1，SKIPIF1<0.9.（2021·浙江杭州市·杭州高級中學(xué)高三其他模擬）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0________，SKIPIF1<0________．【答案】SKIPIF1<0SKIPIF1<0【解析】根據(jù)SKIPIF1<0，求出數(shù)列的通項公式，再代入求出SKIPIF1<0．【詳解】解：因為SKIPIF1<0當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0于是SKIPIF1<0是首項為SKIPIF1<0，公比為2的等比數(shù)列，所以SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0故答案為：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；10.（2018·全國高考真題（文））等比數(shù)列an中，a（1）求an（2）記Sn為an的前n項和．若Sm【答案】（1）an=(?2)（2）m=6.【解析】（1）設(shè){an}的公比為q由已知得q4=4q2，解得q=0（舍去），故an=(?2)（2）若an=(?2)n?1，則Sn若an=2n?1，則Sn=2綜上，m=6．練提升TIDHNEG練提升TIDHNEG1．（遼寧省凌源二中2018屆三校聯(lián)考)已知數(shù)列為等比數(shù)列，且，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】由等比數(shù)列的性質(zhì)可得：，，結(jié)合可得：，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)可得：，即：.本題選擇B選項.2．（2021·全國高三其他模擬（文））如圖，“數(shù)塔”的第SKIPIF1<0行第SKIPIF1<0個數(shù)為SKIPIF1<0(其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0).將這些數(shù)依次排成一列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，記作數(shù)列SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．46 B．47 C．48 D．49【答案】C【解析】根據(jù)“數(shù)塔”的規(guī)律，可知第SKIPIF1<0行共有SKIPIF1<0個數(shù)，利用等比數(shù)列求和公式求出第SKIPIF1<0行的數(shù)字之和，再求出前SKIPIF1<0行的和，即可判斷SKIPIF1<0取到第幾行，再根據(jù)每行數(shù)字個數(shù)成等差數(shù)列，即可求出SKIPIF1<0；【詳解】解：“數(shù)塔”的第SKIPIF1<0行共有SKIPIF1<0個數(shù)，其和為SKIPIF1<0，所以前SKIPIF1<0行的和為SKIPIF1<0故前SKIPIF1<0行所有數(shù)學(xué)之和為SKIPIF1<0，因此只需要加上第10行的前3個數(shù)字1,2,4，其和為SKIPIF1<0，易知“數(shù)塔”前SKIPIF1<0行共有SKIPIF1<0個數(shù)，所以SKIPIF1<0故選：C3．（2021·江蘇高三其他模擬）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，則下列結(jié)論中正確的有（）A．SKIPIF1<0是遞增數(shù)列 B．SKIPIF1<0是等比數(shù)列C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】ACD【解析】將遞推公式兩邊同時取指數(shù)，變形得到SKIPIF1<0，構(gòu)造等比數(shù)列可證SKIPIF1<0為等比數(shù)列，求解出SKIPIF1<0通項公式則可判斷A選項；根據(jù)SKIPIF1<0判斷B選項；根據(jù)SKIPIF1<0的通項公式以及對數(shù)的運算法則計算SKIPIF1<0的正負并判斷C選項；將SKIPIF1<0的通項公式放縮得到SKIPIF1<0，由此進行求和并判斷D選項.【詳解】因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是首項為SKIPIF1<0，公比為SKIPIF1<0的等比數(shù)列，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0在SKIPIF1<0時單調(diào)遞增，SKIPIF1<0在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，所以SKIPIF1<0是遞增數(shù)列，故A正確；因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0不是等比數(shù)列，故B錯誤.因為SKIPIF1<0SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0，于是，SKIPIF1<0，故C正確.因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故D正確.故選：ACD.4.（2019·浙江高三期末）數(shù)列的前n項和為，且滿足，Ⅰ求通項公式；Ⅱ記，求證：．【答案】Ⅰ；Ⅱ見解析【解析】Ⅰ，當時，，得，又，，數(shù)列是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，；證明：Ⅱ，，時，，，同理：，故：．5．（2021·河北衡水中學(xué)高三三模）已知數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，且滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0.（1）若SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0；（2）是否存在實數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0使SKIPIF1<0為等比數(shù)列？若存在，求出SKIPIF1<0，若不存在，說明理由.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）存在，SKIPIF1<0.【解析】（1）將SKIPIF1<0代入，由遞推關(guān)系求出通項公式，并檢驗當SKIPIF1<0時是否滿足，即可得到結(jié)果；（2）先假設(shè)存在實數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足題意，結(jié)合已知條件求出滿足數(shù)列SKIPIF1<0是等比數(shù)列的實數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的值，運用分組求和法求出SKIPIF1<0的值.【詳解】（1）由題可知：當SKIPIF1<0時有：SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0滿足上式，故SKIPIF1<0.（2）假設(shè)存在實數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足題意，則當SKIPIF1<0時，由題可得：SKIPIF1<0，和題設(shè)SKIPIF1<0對比系數(shù)可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.此時SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故存在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0是首項為4，公比為2的等比數(shù)列.從而SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0.6．（2021·遼寧本溪市·高二月考）已知數(shù)列SKIPIF1<0，滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為實數(shù)）．（1）求證：SKIPIF1<0是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；（3）若SKIPIF1<0是遞增數(shù)列，求實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍．【答案】（1）證明見解析；（2）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0．【解析】（1）由SKIPIF1<0，變形為SKIPIF1<0，再利用等比數(shù)列的定義證明；（2）由（1）的結(jié)論，利用等比數(shù)列的通項公式求解；（3）根據(jù)SKIPIF1<0是遞增數(shù)列，由SKIPIF1<0,SKIPIF1<0恒成立求解.【詳解】（1）因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是等比數(shù)列．（2）由SKIPIF1<0，公比為2，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．（3）因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0是遞增數(shù)列，所以SKIPIF1<0成立，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成立，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成立，因為SKIPIF1<0是遞減數(shù)列，所以該數(shù)列的最大項是SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0．7．（2021·河南商丘市·高二月考（理））在如圖所示的數(shù)陣中，從任意一個數(shù)開始依次從左下方選出來的數(shù)可組成等差數(shù)列，如：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…；依次選出來的數(shù)可組成等比數(shù)列，如：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，….SKIPIF1<0記第SKIPIF1<0行第SKIPIF1<0個數(shù)為SKIPIF1<0.（Ⅰ）若SKIPIF1<0，寫出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的表達式，并歸納出SKIPIF1<0的表達式；（Ⅱ）求第SKIPIF1<0行所有數(shù)的和SKIPIF1<0.【答案】（Ⅰ）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（Ⅱ）SKIPIF1<0.【解析】（I）由數(shù)陣寫出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由此可歸納出SKIPIF1<0.（II）SKIPIF1<0SKIPIF1<0，利用錯位相減法求得結(jié)果.【詳解】（Ⅰ）由數(shù)陣可知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由此可歸納出SKIPIF1<0.（Ⅱ）SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，錯位相減得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.8．（2021·山東煙臺市·高三其他模擬）已知數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，且滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（1）求SKIPIF1<0的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，按照如下規(guī)律構(gòu)造新數(shù)列SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的前2n項和.【答案】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）數(shù)列SKIPIF1<0的前2n項和為SKIPIF1<0.【解析】（1）由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0可得答案；（2）由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，兩式相除可得數(shù)列SKIPIF1<0的偶數(shù)項構(gòu)成等比數(shù)列，再由（1）可得數(shù)列SKIPIF1<0的前2n項的和.【詳解】（1）由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.又當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，適合上式.所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（2）因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.所以數(shù)列SKIPIF1<0的偶數(shù)項構(gòu)成以SKIPIF1<0為首項?2為公比的等比數(shù)列.故數(shù)列SKIPIF1<0的前2n項的和SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以數(shù)列SKIPIF1<0的前2n項和為SKIPIF1<0.9．（2019·浙江高考模擬）已知數(shù)列中，，（1）令，求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）令，當取得最大值時，求的值.【答案】（I）見解析（2）最大，即【解析】（1）兩式相減，得∴即：∴數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列（2）由（1）可知，即也滿足上式令，則，∴最大，即10.（2021·浙江高三其他模擬）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（1）數(shù)列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的通項公式；（2）若SKIPIF1<0，求使SKIPIF1<0成立(SKIPIF1<0表示不超過SKIPIF1<0的最大整數(shù))的最大整數(shù)SKIPIF1<0的值.【答案】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）最大值為44.【解析】（1）由題得數(shù)列SKIPIF1<0是等比數(shù)列，即求出數(shù)列SKIPIF1<0的通項；由題得SKIPIF1<0是一個以SKIPIF1<0為首項，以1為公差的等差數(shù)列，即得數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；（2）先求出SKIPIF1<0，再求出SKIPIF1<0即得解.【詳解】解：（1）由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0是等比數(shù)列，公比為SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是一個以SKIPIF1<0為首項，以1為公差的等差數(shù)列，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.（2）由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，記SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為單調(diào)遞減且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0的SKIPIF1<0的最大值為44；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0的SKIPIF1<0的最大值為43；故SKIPIF1<0的SKIPIF1<0的最大值為44.練真題TIDHNEG練真題TIDHNEG1．（2021·全國高考真題（理））等比數(shù)列SKIPIF1<0的公比為q，前n項和為SKIPIF1<0，設(shè)甲：SKIPIF1<0，乙：SKIPIF1<0是遞增數(shù)列，則（）A．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【答案】B【解析】當SKIPIF1<0時，通過舉反例說明甲不是乙的充分條件；當SKIPIF1<0是遞增數(shù)列時，必有SKIPIF1<0成立即可說明SKIPIF1<0成立，則甲是乙的必要條件，即可選出答案．【詳解】由題，當數(shù)列為SKIPIF1<0時，滿足SKIPIF1<0，但是SKIPIF1<0不是遞增數(shù)列，所以甲不是乙的充分條件．若SKIPIF1<0是遞增數(shù)列，則必有SKIPIF1<0成立，若SKIPIF1<0不成立，則會出現(xiàn)一正一負的情況，是矛盾的，則SKIPIF1<0成立，所以甲是乙的必要條件．故選：B．2.（2020·全國高考真題（文））記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和．若a5–a3=12，a6–a4=24，則SKIPIF1<0=（）A．2n–1 B．2–21–n C．2–2n–1 D．21–n–1【答案】B【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0.故選：B.3.（2019·全國高考真題（文））已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列的前4項和為15，且，則（）A．16 B．8 C．4 D．2【答案】C【解析】設(shè)正數(shù)的等比數(shù)列{an}的公比為，則，解得，，故選C．4．（2019·全國高考真題（文））記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和.若，則S4=___________．【答案】.【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由已知，即解得，所以．5．（2020·海南省高考真題）已知公比大于SKIPIF1<0的等比數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0的通項公式；（2）求SKIPIF1<0.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【解析】(1)設(shè)等比數(shù)列SKIPIF1<0的公比為q(q>1)，則SKIPIF1<0，整理可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，數(shù)列的通項公