2023學(xué)年完整公開課版探究課

高考導(dǎo)航立體幾何是研究空間幾何體的基礎(chǔ)和必備內(nèi)容，也是歷年高考命題的熱點(diǎn)．其中有兩個(gè)：一是空間幾何體的三視圖與其表面積、體積的求解綜合，多以選擇題或填空題的形式進(jìn)行考查，試題難度不大；二是空間平行與垂直關(guān)系的證明與探索性問題，難度中等．熱點(diǎn)一求解空間幾何體的表面積和體積 對(duì)于空間幾何體的表面積與體積，高考考查的形式已經(jīng)由原來的簡(jiǎn)單套用公式漸變?yōu)槿晥D與柱、錐、球的接、切問題相結(jié)合，特別地，已知空間幾何體的三視圖求其表面積、體積已成為近兩年高考考查的熱點(diǎn)．而求解棱錐的體積時(shí)，等體積轉(zhuǎn)化是常用的方法，轉(zhuǎn)化原則是其高易求，底面放在已知幾何體的某一面上．求不規(guī)則幾何體的體積，常用分割或補(bǔ)形的思想，將不規(guī)則幾何體轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何體以便于求解．【例1】

(2014·重慶卷)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為 (

) A．12

B．18

C．24

D．30審題流程一審：三視圖，根據(jù)三視圖的規(guī)則還原幾何體．二審：所求幾何體的構(gòu)成(由一個(gè)直三棱柱截掉一個(gè)三棱錐)．三審：體積的計(jì)算．答案C

【例2】

(2014·福建卷)如圖，在三棱錐A－BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD. (1)求證：CD⊥平面ABD；

(2)若AB＝BD＝CD＝1，M為AD中點(diǎn)，求三棱錐A－MBC的體積．(1)證明∵AB⊥平面BCD，CD?平面BCD，∴AB⊥CD.又∵CD⊥BD，AB∩BD＝B，AB?平面ABD，BD?平面ABD，∴CD⊥平面ABD.法二由AB⊥平面BCD知，平面ABD⊥平面BCD，又平面ABD∩平面BCD＝BD，如圖，過點(diǎn)M作MN⊥BD交BD于點(diǎn)N，探究提高組合體的表面積與體積的求解是高考考查的重點(diǎn)，解決此類問題可通過分割或補(bǔ)形將組合體變?yōu)橐?guī)則的柱體、錐體、球等幾何體的表面積和體積問題，然后根據(jù)幾何體表面積與體積的構(gòu)成用它們的和或差來表示．在求解過程中應(yīng)注意兩個(gè)問題，一是注意表面積與側(cè)面積的區(qū)別，二是注意幾何體重疊部分的表面積、挖空部分的體積的計(jì)算．【訓(xùn)練1】(1)一個(gè)半徑為2的球體經(jīng)過切割之后所得幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為________．

第(1)題圖第(2)題圖

(2)如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，E為線段B1C上的一點(diǎn)，則三棱錐A－DED1的體積為________．熱點(diǎn)二空間平行關(guān)系和垂直關(guān)系 直線與平面的位置關(guān)系是立體幾何的核心內(nèi)容，高考始終把直線與平面的平行、垂直關(guān)系作為考查的重點(diǎn)，以多面體為載體的線面位置關(guān)系的論證是歷年必考內(nèi)容，其中既有單獨(dú)考查直線和平面的位置關(guān)系的試題，也有以簡(jiǎn)單幾何體體積的計(jì)算為載體考查直線和平面的位置關(guān)系的試題．從內(nèi)容上看，主要考查對(duì)定義、定理的理解及符號(hào)語言、圖形語言、文字語言之間的相互轉(zhuǎn)換；從能力上來看，主要考查考生的空間想象能力和邏輯思維能力．【例3】

(14分)(2014·北京卷)如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F(xiàn)分別是A1C1，BC的中點(diǎn)．

(1)求證：平面ABE⊥平面B1BCC1；

(2)求證：C1F∥平面ABE；

(3)求三棱錐E－ABC的體積．(1)證明在三棱柱ABC－A1B1C1中，BB1⊥底面ABC.所以BB1⊥AB. (1分)又因?yàn)锳B⊥BC，所以AB⊥平面B1BCC1. (2分)所以平面ABE⊥平面B1BCC1. (3分)圖1圖2

構(gòu)建模板證明線面平行問題(一)第一步：作(找)出所證線面平行中的平面內(nèi)的一條直線．第二步：證明線線平行．第三步：根據(jù)線面平行的判定定理證明線面平行．第四步：反思回顧．檢查關(guān)鍵點(diǎn)及答題規(guī)范．證明線面平行問題(二)第一步：在多面體中作出要證線面平行中的線所在的平面．第二步：利用線面平行的判定定理證明所作平面內(nèi)的兩條相交直線分別與所證平面平行；第三步：證明所作平面與所證平面平行．第四步：轉(zhuǎn)化為線面平行．第五步：反思回顧，檢查答題規(guī)范．證明面面垂直問題第一步：根據(jù)已知條件確定一個(gè)平面內(nèi)的一條直線垂直于另一個(gè)平面內(nèi)的一條直線．第二步：結(jié)合已知條件證明確定的這條直線垂直于另一平面內(nèi)的兩條相交直線．第三步：得出確定的這條直線垂直于另一平面．第四步：轉(zhuǎn)化為面面垂直．第五步：反思回顧，檢查答題規(guī)范．

探究提高線線、線面關(guān)系是立體幾何的核心內(nèi)容之一，它在空間線面位置關(guān)系的推理證明中起著承上啟下的橋梁作用．證明線面位置關(guān)系不僅要考慮線面位置關(guān)系的判定和性質(zhì)，更要注意幾何體中幾何特征的靈活應(yīng)用．證明的依據(jù)是空間線面位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理，根據(jù)線線、線面、面面的平行與垂直的相互轉(zhuǎn)化．另外，根據(jù)幾何體的數(shù)據(jù)，通過計(jì)算也可得到線線垂直的關(guān)系，所以要注意幾何體中數(shù)據(jù)的正確利用．熱點(diǎn)三線面位置關(guān)系中的探索性問題 立體幾何中的探索性問題在近幾年的高考中經(jīng)常出現(xiàn)，這種題型有利于學(xué)生的歸納、判斷等各方面能力的培養(yǎng)，也有利于創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)．立體幾何中的探索性問題的主要類型有：(1)探索條件，即探索能使結(jié)論成立的條件是什么；(2)探索結(jié)論，即在給定的條件下命題的結(jié)論是什么．【例4】

(2014·海口調(diào)研)如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，AC⊥BC，E在線段B1C1上，B1E＝3EC1，AC＝BC＝CC1＝4.(1)求證：BC⊥AC1；(2)試探究：在AC上是否存在點(diǎn)F，滿足EF∥平面A1ABB1？若存在，請(qǐng)指出點(diǎn)F的位置，并給出證明；若不存在，請(qǐng)說明理由．(1)證明

∵AA1⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴BC⊥AA1.又∵BC⊥AC，AA1∩AC＝A，∴BC⊥平面AA1C1C，又AC1?平面AA1C1C，∴BC⊥AC1.

(2)解法一當(dāng)AF＝3FC時(shí)，EF∥平面A1ABB1.證明如下：如圖1，在平面A1B1C1內(nèi)過點(diǎn)E作EG∥A1C1交A1B1于點(diǎn)G，連接AG.審題流程一審：條件，B1E＝3EC1與結(jié)論：EF∥平面A1ABB1猜想點(diǎn)F的位置．二審：證明EF∥平面A1ABB1，從兩個(gè)角度入手：一是在平面A1ABB1內(nèi)作輔助線與EF平行；二是作EF所在平面與平面A1ABB1平行．三審：規(guī)范答題過程．∴四邊形AFEG為平行四邊形，∴EF∥AG，又EF?平面A1ABB1，AG?平面A1ABB1，∴EF∥平面A1ABB1.圖1圖2

法二當(dāng)AF＝3FC時(shí)，F(xiàn)E∥平面A1ABB1.證明如下：如圖2，在平面BCC1B1內(nèi)過點(diǎn)E作EG∥BB1交BC于點(diǎn)G，連接FG.∵EG∥BB1，EG?平面A1ABB1，BB1?平面A1ABB1，∴EG∥平面A1ABB1.∵B1E＝3EC1，∴BG＝3GC，∴FG∥AB，又AB?平面A1ABB1，F(xiàn)G?平面A1ABB1，∴FG∥平面A1ABB1.又EG?平面EFG，F(xiàn)G?平面EFG，EG∩FG＝G，∴平面EFG∥平面A1ABB1.∵EF?平面EFG，∴EF∥平面A1ABB1.探究提高(1)對(duì)命題條件的探索常采用以下三種方法：①先猜后證，即先觀察與嘗試給出條件再證明；②先通過命題成立的必要條件探索出命題成立的條件，再證明其充分性；③把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，探索命題成立的條件．(2)對(duì)命題結(jié)論的探索常采用以下方法：首先假設(shè)結(jié)論成立，然后在這個(gè)假設(shè)下進(jìn)行推理論證，如果通過推理得到了合理的結(jié)論就肯定假設(shè)，如果得到了矛盾的結(jié)果就否定假設(shè)．解(1)取AB的中點(diǎn)E，連接DE，CE.∵△ADB是等邊三角形，∴DE⊥AB.

(2)當(dāng)△ADB以AB為軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，總有AB⊥CD.證明如下：①當(dāng)D