新高考數(shù)學一輪復習考點精講講練學案 復數(shù)范圍內(nèi)方程的根（含解析）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第第頁參考答案1．D【解析】【分析】設，代入原方程，根據(jù)復數(shù)相等和可得答案.【詳解】設（且），代入原方程可得，所以，解得，因為，所以.故選：D.2．B【解析】【分析】根據(jù)復數(shù)乘方運算及復數(shù)相等列方程得解.【詳解】由題可得，化簡得，解得，．由韋達定理知，該方程的另一個復數(shù)解為．故選：B.3．A【解析】【分析】根據(jù)一元二次方程在復數(shù)域內(nèi)的兩個虛根互為共軛復數(shù)及韋達定理即可求解.【詳解】因為是關于的方程在復數(shù)范圍內(nèi)的一個根，所以關于的方程的另一個根為，由韋達定理，得，解得，或（舍），所以.故選：A.4．D【解析】【分析】在復數(shù)范圍內(nèi)解方程得,進而根據(jù)復數(shù)除法運算求解即可.【詳解】解：根據(jù)題意，在復數(shù)范圍內(nèi)解方程得，由于在復平面上的對應點在第一象限所以，所以故選：D5．C【解析】【分析】結(jié)合一元二次方程的復數(shù)根、復數(shù)模、復數(shù)對應點、向量運算等知識對選項逐一分析，由此確定正確選項.【詳解】對于A：復數(shù)是關于的方程的一個根，所以：，，故A錯誤；對于B：設復數(shù)，在復平面內(nèi)對應的點分別為，，若，即這兩個向量的模長相等，但是與不一定重合，故B錯誤；對于C：若，設，故：，整理得：，故，故C正確；對于D：已知復數(shù)，，在復平面內(nèi)對應的點分別為，，，若，所以，，，解得：，，故，故D錯誤．故選：C．6．A【解析】【分析】求出方程兩根，進而可得對應點的坐標，即可得解.【詳解】由題意，方程的兩個根，所以該方程兩根在復平面上對應的點為，距離為.故選：A.7．A【解析】【分析】關于的實系數(shù)方程兩個虛根為，，所以，可得，利用根與系數(shù)的關系可得，設，則，根據(jù)，可得可求得答案.【詳解】關于的實系數(shù)方程兩個虛根為，，，所以設所以，即，即由，即，解得或.又，，則，所以所以故選：A【點睛】本題考查了實系數(shù)一元二次方程的虛根成對原理、判別式、根與系數(shù)的關系、復數(shù)的模的計算公式，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題．8．D【解析】【分析】由實系數(shù)一元二次方程的的虛數(shù)根成對出現(xiàn)，它們互為共軛復數(shù)的性質(zhì)，設，則，然后由是實數(shù)，得出的關系，再計算后可得．【詳解】因為是實系數(shù)一元二次方程的兩個根，且是虛數(shù)，則也是虛數(shù)，且是的共軛復數(shù)，設，則，則，又是實數(shù)，所以，又，所以，，，由于，，所以，所以．故選：D．9．D【解析】【分析】先由方程解出，，再由復數(shù)的運算及復數(shù)的模判斷4個選項即可.【詳解】由方程得，由求根公式得，不妨設，.，A錯誤；，B錯誤；，C錯誤；，D正確.故選：D.10．C【解析】【分析】根據(jù)實系數(shù)一元二次方程的虛數(shù)根互為共軛復數(shù)，即可根據(jù)根與系數(shù)的關系求出．【詳解】因為是關于x的方程的一個根，則方程的另一根為，所以，解得：，即．故選：C．11．C【解析】【分析】令，再根據(jù)復數(shù)的運算及復數(shù)的模，解方程.【詳解】令，則，得當時，，或；當時，，或（舍）.綜上共有6個解：，，，故選；C.12．C【解析】【分析】分析可知實系數(shù)一元二次方程的兩個虛根分別為、，利用韋達定理可求得、的值，即可得解.【詳解】因為是實系數(shù)一元二次方程的一個虛根，則該方程的另一個虛根為，由韋達定理可得，所以.故選：C.13．B【解析】根據(jù)充分必要條件的定義判斷．【詳解】時，方程為，只有實根，無虛根，不充分，一元二次方程有虛根，則，，是必要的，因此是必要不充分條件．故選：B．14．B【解析】【分析】由，可得復數(shù)范圍內(nèi)方程的兩根為，然后根據(jù)復數(shù)的模長公式即可求解.【詳解】解：因為方程，所以，所以，不妨令，則，故選：B.15．D【解析】【分析】分別求出實系數(shù)一元二次方程的兩根都是虛數(shù)，存在復數(shù)z同時滿足且的等價條件，分析二者的關系即可得出結(jié)論.【詳解】∵實系數(shù)一元二次方程的兩根都是虛數(shù)，∴，∴；設，由可得，表示以為圓心，以2為半徑的圓；由可得是以為圓心，以1為半徑的圓.由題意可知復平面上的圓和圓有公共交點.所以，即，所以，實數(shù)，因為不能推出，也不能推出，所以“實系數(shù)一元二次方程的兩根都是虛數(shù)”是“存在復數(shù)z同時滿足且”的既不是充分條件也不是必要條件.故選：D.16．D【解析】【分析】把代入方程，整理后由復數(shù)相等的定義列方程組求解.【詳解】由題意1i是關于的實系數(shù)方程∴，即∴，解得.故選：D．17．A【解析】【分析】根據(jù)給定條件可得與互為共軛復數(shù)，設，可得，再將或代入方程，經(jīng)計算整理借助復數(shù)為0即可得解.【詳解】因方程有兩個虛根，則與互為共軛復數(shù)，設，有，由得，解得，把代入得：，整理得，而，于是得，且，解得，，若，同理得，，所以實數(shù)m的值為.故選：A18．C【解析】【分析】利用求根公式和復數(shù)的模求解.【詳解】解：因為復數(shù)，是關于x的方程的兩個根，所以，所以或．故選：C19．C【解析】設，代入方程，化簡后按或進行分類討論，由此求得方程的解，進而得出正確選項.【詳解】設，代入方程得，化簡得①，所以或，當時，由①得，即，對應的復數(shù)為.當時，由①得，解得或，對應的復數(shù)為、.綜上所述，共有個解.故選：C【點睛】本小題主要考查方程在復數(shù)范圍內(nèi)的解，屬于中檔題.20．C【解析】【分析】n次方程在復數(shù)范圍內(nèi)有n個根，除去實根剩下即為虛根.【詳解】，易得方程的實根為2和-2，于是方程有4個虛根.故選：C.21．A【解析】【分析】由實系數(shù)一元二次方程虛根的性質(zhì)可得，，再由韋達定理即可得解.【詳解】由題意，該方程的一個根為，則該方程的另一個根，由，可得方程可以為.故選：A.22．B【解析】【分析】由題可得，即得.【詳解】∵復數(shù)滿足，∴，∴.故選：B.23．B【解析】【分析】解方程可得與，進而判斷各選項.【詳解】由，得，，故，A選項錯誤；，，B選項正確；，C選項錯誤；，D選項錯誤；故選：B.24．D【解析】【分析】設方程的根為，帶入方程利用復數(shù)相等解出，可判斷根的情況.【詳解】解：設方程的根為，則有，即，即，解得：，所以方程的根為或.故選：D.25．C【解析】【分析】將復數(shù)代入方程即可求得a的值．【詳解】由題意可得，即，解得a＝－6．故選：C．26．B【解析】【分析】設方程為，根據(jù)韋達定理分別將用表示，即可得出答案.【詳解】解：設方程為，則，所以，，所以，則方程為，故只有B選項符合題意.故選：B.27．ABD【解析】【分析】把已知等式變形，利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，然后逐一分析四個選項得答案．【詳解】解：由，得．，故A正確；，故B正確；平面內(nèi)表示復數(shù)的點的坐標為，位于第二象限，故C錯誤；，復數(shù)是方程的一個根，故D正確．故選：ABD．28．BD【解析】【分析】設，根據(jù)復數(shù)相等可求得實數(shù)、的值，可判斷A選項的正誤；利用復數(shù)的模長公式可判斷B選項的正誤；利用共軛復數(shù)的定義可判斷C選項的正誤；解方程可判斷D選項的正誤.【詳解】設，則，可得，解得，所以，，A錯；，B對；，C錯；解方程，即，解得或，D對.故選：BD.29．AC【解析】【分析】根據(jù)實系數(shù)一元二次方程求根公式求出，然后逐一判斷即可.【詳解】由，或，顯然與互為共軛復數(shù)，因此選項A正確；因為，所以選項B不正確；因為，所以選項C正確；因為，所以選項D不正確，故選：AC30．BC【解析】【分析】根據(jù)虛數(shù)定義可判斷A；根據(jù)復數(shù)的分類可判斷B；把，代入驗證可判斷C；分別計算、可判斷D.【詳解】因為都是虛數(shù)，所以不能比較大小，故A錯誤；因為，所以的虛部為1，故B正確；因為，所以，所以為方程的根，故C正確；，，所以，故D錯誤.故選：BC.31．【解析】【分析】利用根與系數(shù)關系可得，，進而求，即可求模長.【詳解】由題設，，，，故，所以.故答案為：32．【解析】【分析】設，（且），將原方程變?yōu)?，則①且②；再對分類討論可得；【詳解】解：設，（且）則原方程變?yōu)樗裕偾?，②；?）若，則解得，當時①無實數(shù)解，舍去；從而，此時，故滿足條件；（2）若，由②知，或，顯然不滿足，故，代入①得，所以綜上滿足條件的所以復數(shù)的和為故答案為：【點睛】本題考查復數(shù)的運算，復數(shù)相等的充要條件的應用，屬于中檔題.33．【解析】【分析】根據(jù)實系數(shù)一元二次方程的根的特征，可得的共軛復數(shù)也是方程的根，利用韋達定理得到方程，計算可得；【詳解】解：因為為實系數(shù)一元二次方程的一根，所以也為方程的根，所以，解得，所以；故答案為：34．1【解析】【分析】利用實系數(shù)方程虛根成對定理，轉(zhuǎn)化求解即可．【詳解】因為是關于的實系數(shù)方程的一個復數(shù)根，所以也是方程的根，由根與系數(shù)的關系可知：，所以，．所以故答案為：1．35．±1【解析】【分析】設z＝x+yi(x,y∈R)是的一個根，由復數(shù)的性質(zhì)可得是另外一個根，進而可得，即可求a的值．【詳解】設z＝x+yi(x,y∈R)是的一個根，∴是的另一個根，由＝5，即a2＝1，解得a＝±1；故答案為：±1．36．9【解析】【分析】設方程的一個虛根為，則，再根據(jù)韋達定理得到方程，解得即可；【詳解】解：設方程的一個虛根為，則另一個虛根為，依題意可得，由韋達定理可得，即，所以，解得故答案為：37．【解析】【分析】利用方程的根適合方程并化簡，再結(jié)合復數(shù)相等的定義列方程，解方程即得結(jié)果.【詳解】由題意關于x的方程有實數(shù)根n，則n適合方程，即n2＋(m＋2i)n＋2＋2i＝0，即，故，解得∴.故答案為：.38．（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）設方程的解為，將代入原方程，整理化簡，令實部與虛部分別為零解的值及的值；（2）先假設存在一個實數(shù)，使原方程有純虛數(shù)根，并設純虛數(shù)根為，然后將代入原式推出矛盾，證明假設錯誤.【詳解】（1）解：設方程的實數(shù)解為t，則，所以，所以，所以．因為，所以．（2）證明：假設原方程有純虛數(shù)根，令，且，則，整理可得，即

對于①，由于判別式，所以方程①無解，故方程組無解，故假設不成立，故原方程不可能有純虛數(shù)根．【點睛】本題考查復數(shù)的綜合運算，考查了復數(shù)與二次方程的結(jié)合，難度一般.解答時注意方程的實數(shù)根與虛數(shù)根的區(qū)別，結(jié)合二次方程有解的條件判斷即可.39．(1)，(2)或【解析】【分析】（1）若該方程沒有實根，則，解之即可，由，可得，即可在復數(shù)范圍內(nèi)對進行因式分解；（2）分和兩種情況討論，結(jié)合韋達定理從而可得出答案.(1)解：若該方程沒有實根，則，解得，由，得，所以，即，所以在復數(shù)范圍內(nèi)對；(2)解：當，即時，則都是實數(shù)，由韋達定理可知，故都是非負數(shù)，所以，所以；當，即時，方程有兩個共軛虛根，設為，則，故，解得或（舍去），綜上所述，或.40．【解析】【分析】根據(jù)實數(shù)系一元二次方程虛根成對原理，寫出的值，再代入式子計算即可.【詳解】∵為實系數(shù)一元二次方程的兩個虛根，不妨設，則，，，則,即，∴∵n≠0,∴即∴

，若則若

，則綜上所述，

故答案為：41．（1）；（2）2．【解析】【詳解】分析：（1）因為，所以，求出，即可得到的共軛復數(shù)；（2）將代入方程，根據(jù)復數(shù)相等可求求實數(shù)的值.詳解：（1）因為，所以，所以復數(shù)的共軛