專題21.10一元二次方程的應(yīng)用：面積問題（限時滿分培優(yōu)訓(xùn)練）-【拔尖特訓(xùn)】2023-2024學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊尖子生培優(yōu)必刷題（解析版）【人教版】

【拔尖特訓(xùn)】2023-2024學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊尖子生培優(yōu)必刷題（人教版）專題21.10一元二次方程的應(yīng)用：面積問題（限時滿分培優(yōu)訓(xùn)練）班級：___________________姓名：_________________得分：_______________注意事項：本試卷滿分100分，試題共23題，其中選擇10道、填空6道、解答7道．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（2023·新疆喀什·統(tǒng)考三模）為大力實施城市綠化行動，某小區(qū)規(guī)劃設(shè)置一片面積為1000平方米的矩形綠地，并且長比寬多30米，設(shè)綠地長為x米，根據(jù)題意可列方程為（

）A．xx+30=1000 B．xx-30=1000 C．【答案】B【分析】設(shè)綠地長為x米，則寬為x-30米，根據(jù)矩形綠地的面積為1000平方米列出方程即可．【詳解】解：設(shè)綠地長為x米，則寬為x-30米，根據(jù)題意得：xx-30=1000，故故選：B．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握矩形的面積公式．2．（2023春·八年級單元測試）有一矩形長邊8米，短邊6米，現(xiàn)將長邊加長x米、短邊同時縮短x米，使變化后的矩形面積為40，則下列方程正確的是（

）A．8×6-x2=40C．8+x6-x÷2=40 D【答案】B【分析】先求得變化后的矩形的長和寬，再利用矩形的面積公式列式即可．【詳解】解：變化后的矩形長邊為8+x米，短邊為6-x米，依題意得8+x6-x故選：B．【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，掌握數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．3．（2023·上?！ぐ四昙壖倨谧鳂I(yè)）如圖，在高3m，寬4m的長方形墻面上有一塊長方形裝飾板(圖中陰影部分)，裝飾板的上面和左右兩邊都留有寬度為xm的空白墻面.若長方形裝飾板的面積為4A．3-x4-x=4 B．3-x4-2x=4 C．【答案】B【分析】根據(jù)長方形裝飾板的面積為4m【詳解】解：根據(jù)題意，得4-2x3-x故選：B．【點睛】本題考查由實際問題抽象出一元二次方程，理解題意是解題的關(guān)鍵．4．（2023·上?！ぐ四昙壖倨谧鳂I(yè)）如圖，某小區(qū)計劃在一塊長為32m，寬為20m的矩形空地上修建三條同樣寬的道路，剩余的空地上種植草坪，使草坪的面積為570m2，若設(shè)道路的寬為xmA．32×20-32x-20x+2x2=570C．(32-2x)(20-x)=570 D．(32-x)(20-2x)=570【答案】C【分析】六塊矩形空地正好能拼成一個矩形，設(shè)道路的寬為xm，根據(jù)草坪的面積是570【詳解】解：設(shè)道路的寬為xm，根據(jù)題意得：(32-2x)(20-x)=570故選：C．【點睛】本題考查的知識點是由實際問題抽象出一元二次方程，解題關(guān)鍵是利用平移把不規(guī)則的圖形變?yōu)橐?guī)則圖形，進(jìn)而即可列出方程．5．（2023秋·甘肅慶陽·九年級統(tǒng)考期末）一農(nóng)戶，有27m長的籬笆，要圍成一邊靠住房墻（墻長12m）的面積為90m2的長方形花園，且垂直于住房墻的一邊留一個1m的門，設(shè)垂直于住房墻的其中一邊長為xm，則可列方程為（

）A．x28-x2=90C．x27-x2=90【答案】D【分析】由題意可知該長方形花園的長為28-2xm，然后問題可求解．【詳解】解：由題意可列方程為x28故選D．【點睛】本題主要考查一元二次方程的應(yīng)用，熟練掌握一元二次方程的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．6．（2023春·安徽池州·八年級統(tǒng)考期末）王叔叔從市場上買了一塊長40cm，寬30cm的矩形鐵皮，準(zhǔn)備制作一個工具箱：如圖，他把鐵皮的四個角各剪掉一個邊長為xcm的正方形后，剩余的部分剛好能圍成一個底面積為600

A．40-x30-x=600 BC．40×30-2×40+30x=600 D【答案】B【分析】根據(jù)題意可知裁剪后的底面的長為40-2xcm，寬為30-2x【詳解】解：由題意，得40-2x30-2x故選：B．【點睛】本題考查由實際問題抽象出一元二次方程，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出題目中的等量關(guān)系，列出相應(yīng)的方程．7．（2023·山西運城·山西省運城中學(xué)校?？既＃┤鐖D，將一張正方形鐵皮的四個角同時切去邊長為2的四個小正方形，制成一個無蓋箱子，若箱子的底面邊長為x，原正方形鐵皮的面積為x2+24x

A．1 B．4 C．6 D．9【答案】D【分析】根據(jù)題意，得出原正方形鐵皮的邊長為x+4，從而得到原正方形鐵皮的面積為x+42，即x2+24x=x+42【詳解】解：∵正方形鐵皮的四個角同時切去邊長為2的四個小正方形，制成一個無蓋箱子，若箱子的底面邊長為x，∴原正方形鐵皮的邊長為x+4，∴原正方形鐵皮的面積為x+42又∵正方形鐵皮的面積為x2∴x2解得x=1，∴無蓋箱子的外表面積為1+4×2x=1+8=9，故選：D．【點睛】本題考查方程的實際應(yīng)用，讀懂題意，準(zhǔn)確表示出各個邊長，根據(jù)等量關(guān)系列出方程求解是解決問題的關(guān)鍵．8．（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=12cm，AC=13cm，點M從點A出發(fā)沿邊AB向點B以2cm/s的速度移動，點N從點B出發(fā)沿BC邊向點C以1cm/s的速度移動．當(dāng)一個點先到達(dá)終點時，另一個點也停止運動，當(dāng)△MBN的面積為A．2s B．3s C．4s【答案】B【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理可求出BC的長度，當(dāng)運動時間為ts0≤t≤5時，BN=tcm，BM=12-2tcm，根據(jù)【詳解】解：在Rt△ABC中，∠B=90°∴BC=A當(dāng)運動時間為ts(0≤t≤5)時，依題意得：12BN?BM=9，即整理得：t2解得：t1∴點M，N的運動時間為3s故選：B．【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．9．（2022秋·山東德州·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12cm，BC=9cm．現(xiàn)有動點P從點A出發(fā)，沿AC向點C方向運動，動點Q從頂點C出發(fā)，沿線段CB向點B方向運動，如果點P的速度是2cm/s，點Q的速度是1cm/s，它們同時出發(fā)，當(dāng)有一點到達(dá)所在線段的端點時，就停止運動，當(dāng)P，Q兩點運動()秒時，Rt△CPQ的面積等于5cm2A．1 B．3 C．3或5 D．1或5【答案】D【分析】由題意可得CP=AC-2t，CQ=t，則利用三角形的面積公式即可求解．【詳解】解：設(shè)運動的時間為ts，由題意得：CP=AC-2t，CQ=t，∴12解得：t1=1，即當(dāng)t=1或t=5時，Rt△CPQ的面積等于5故選：D．【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，三角形的面積公式，正確地列出方程是解題的關(guān)鍵．10．（2023春·安徽蚌埠·八年級統(tǒng)考期末）我國古代數(shù)學(xué)專著《增減算法統(tǒng)宗》記載“圓中方形”問題，其大意為：有一塊圓形的田，中間有一塊正方形水池，測量出除水池外，圓內(nèi)可耕地的面積恰好為72平方步，從水池邊到圓周，每邊相距3步遠(yuǎn)．如果你能求出正方形的邊長，那么你的計算水平就是第一了．如圖，設(shè)正方形的邊長是x步，則列出方程正確的是（

）A．πx+32-C．πx+32-【答案】B【分析】直接利用圓的面積減去正方形面積進(jìn)而得出答案．【詳解】解：設(shè)正方形的邊長是x步，則列出的方程是：πx故選：B．【點睛】此題主要考查了由實際問題抽象出一元二次方程，正確表示出圓的面積是解題關(guān)鍵．二、填空題11．（2023春·八年級單元測試）要為一幅長29cm．寬為22cm的照片配一個相框（相框不遮擋照片），要求相框的四條邊寬度相等，且相框所占面積為照片面積的四分之一，相框邊的寬度應(yīng)是多少厘米？設(shè)相框邊的寬度是xcm，則列出的方程應(yīng)為【答案】29+2x【分析】根據(jù)相框邊的寬度為x厘米，配上相框的照片的長為29+2xcm，寬為22+2xcm，結(jié)合相框所占面積為照片面積的四分之一，即可得出關(guān)于x的一元二次方程．【詳解】解：∵設(shè)相框邊的寬度是xcm∴配上相框后長為29+2xcm，寬為22+2xcm，根據(jù)題意得：29+2x22+2x故答案為：29+2x22+2x【點睛】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．12．（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）如圖，李大斧要建一個矩形羊圈，羊圈的一邊利用長為12m的住房墻，另外三邊用25m長的彩鋼圍成，為了方便進(jìn)出，在垂直于住房墻的一邊留了一扇1m寬的門．若要使羊圈的面積為80m【答案】8【分析】設(shè)所圍矩形與墻垂直的一邊長為x米時，羊圈面積為80平方米，此時所圍矩形與墻平行的一邊長為(25+1-2x)米，利用矩形的面積計算公式，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再結(jié)合住房墻的長度為12米，即可確定所圍矩形與墻垂直的一邊長的長度．【詳解】解：設(shè)所圍矩形與墻垂直的一邊長為x米時，羊圈面積為80平方米，此時所圍矩形與墻平行的一邊長為(25+1-2x)米，依題意得：x(25+1-2x)=80，整理得：x2解得：x1=5，當(dāng)x=5時，25+1-2x=25+1-2×5=16>12，不符合題意，舍去；當(dāng)x=8時，25+1-2x=25+1-2×8=10<12，符合題意．即：當(dāng)所圍矩形與墻垂直的一邊長為8米時，羊圈面積為80平方米．故答案為：8．【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．13．（2021秋·山西朔州·九年級校考階段練習(xí)）如圖，某單位在直角墻角處用可建60米長圍墻的建筑材料圍成一個矩形堆物場地，中間用同樣的材料分隔為兩間，問AB為多長時，所圍成的矩形面積是450平方米．設(shè)AB的長為x米，則可列方程為．【答案】x(60﹣2x)＝450【分析】設(shè)AB的長為x米，則EF也長x米，那么BC長(60﹣2x)米，然后根據(jù)矩形的面積公式即可列出方程．【詳解】解：依題意得EF也長x米，那么BC長(60﹣2x)米，∴x(60﹣2x)＝450．故答案為：x(60﹣2x)＝450．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，確定等量關(guān)系是列方程的關(guān)鍵．14．（2023春·浙江·八年級期中）如圖，利用一面墻（墻長25米），用總長度49米的柵欄（圖中實線部分）圍成一個矩形圍欄ABCD，且中間共留兩個1米的小門，設(shè)柵欄BC長為x米．若矩形圍欄ABCD面積為210平方米，要求柵欄BC的長，則可列出方程．【答案】(51-3x)x=210【分析】根據(jù)柵欄的全長49米結(jié)合中間共留2個1米的小門，可以得出AB的長，再利用矩形圍欄ABCD面積為210平方米列方程即可．【詳解】解：由柵欄的全長49米可得：3x+AB-2=49，∴AB=(49+2-3x)（m）．又∵矩形圍欄ABCD面積為210平方米，即AB?BC=210（m2∴可列出方程是：(51-3x)x=210．故答案是：(51-3x)x=210．【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用中的列方程．正確理解題意，求出用x表示AB是解題的關(guān)鍵是．15．（2023春·浙江溫州·八年級校聯(lián)考期中）如圖所示，某市世紀(jì)廣場有一塊長方形綠地長18m，寬15m，在綠地中開辟三條道路后，剩余綠地的面積為224m2，則圖中x

【答案】1【分析】由題意列出一元二次方程，解方程即可．【詳解】解：根據(jù)題意得：(18-2x)(15-x)=224，整理得：x2解得：x1=1，即圖中x的值為1m故答案為：1m【點睛】此題考查了一元二次方程的應(yīng)用題，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．16．（2023·湖北恩施·統(tǒng)考中考真題）《九章算術(shù)》被稱為人類科學(xué)史上應(yīng)用數(shù)學(xué)的“算經(jīng)之首”．書中記載：“今有戶不知高、廣，竿不知長短．橫之不出四尺，從之不出二尺，邪之適出．問戶高、廣、邪各幾何？”譯文：今有門，不知其高寬；有竿，不知其長短，橫放，竿比門寬長出4尺；豎放，竿比門高長出2尺；斜放，竿與門對角線恰好相等．問門高、寬和對角線的長各是多少（如圖）？答：門高、寬和對角線的長分別是尺．

【答案】8，6，10【分析】設(shè)竿的長為x尺，則門高為x-2尺，門寬為x-4尺，利用勾股定理求解即可．【詳解】解：設(shè)竿的長為x尺，則門高為x-2尺，門寬為x-4尺，根據(jù)題意可得：x2解得：x=10或x=2（舍去），∴x-2=8（尺），x-4=6（尺），即門高、寬和對角線的長分別是8，6，10尺，故答案為：8，6，10．【點睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用和解一元二次方程，正確設(shè)未知數(shù)找到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．三、解答題17．（2023·陜西西安·高新一中校考模擬預(yù)測）如圖，在一塊長15米、寬10米的矩形空地上，修建兩條同樣寬的相互垂直的道路，剩余部分栽種花草．要使綠化面積為126平方米，則修建的路寬應(yīng)是多少米？

【答案】1米【分析】把所修的兩條道路分別平移到矩形的最上邊和最左邊，則剩下的草坪是一個長方形，根據(jù)長方形的面積公式列方程求解即可．【詳解】解：設(shè)道路的寬為x米，根據(jù)題意得：10-x15-x解得：x1=1，則道路的寬應(yīng)為1米．【點睛】此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，把中間修建的兩條道路分別平移到矩形地面的最上邊和最左邊是解題的關(guān)鍵．18．（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）光明中學(xué)準(zhǔn)備在校園里利用圍墻（墻長19m）和42m長的籬笆墻圍建勞動實踐基地．該校某數(shù)學(xué)興趣小組設(shè)計了如下的圍建方案（除圍墻外，實線部分均為籬笆墻，且不浪費籬笆墻）：利用圍墻和籬笆圍成Ⅰ，Ⅱ兩塊矩形勞動實踐基地，且在Ⅱ區(qū)中留一個寬度EH=1m的花池．已知CG=2DG，勞動基地的總面積（不包含花池）為132m2，求【答案】10【分析】設(shè)DG的長是xm，則CG=2xm，AD=13【詳解】解：設(shè)DG的長是xm，則CG=2xm，AD=根據(jù)題意得：3x?14-x整理得：3x解得：x=103或答：DG的長是103【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．19．（2023春·北京石景山·八年級統(tǒng)考期末）如圖，矩形草地ABCD中，AB=16m，AD=10m，點O為邊AB中點，草地內(nèi)鋪了一條長和寬分別相等直角折線甬路（PO=PQ，OM=QN），若草地總面積（兩部分陰影之和）為132m2【答案】2m【分析】設(shè)甬路的寬為xm，先得出PQ=OB=8，即MB=OB-OM=8-x，再據(jù)題意列一元二次方程，解方程即可求解．【詳解】解：設(shè)甬路的寬為xm，∵矩形ABCD中，PO=PQ，OM=QN，∴四邊形OPQB是正方形，∵點O為邊AB中點，AB=16m，∴OB=1∴PQ=OB=8，即MB=OB-OM=8-x，即據(jù)題意列方程，得：2×8x-x整理，得x2解得

x1=2，答：甬路的寬為2m．【點睛】本題考查一元二次方程的實際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是得出MB=OB-OM=8-x以及找到等量關(guān)系．20．（2023春·江蘇南通·八年級統(tǒng)考期末）某學(xué)校在“美化校園，幸福學(xué)習(xí)”活動中，計劃利用如圖所示的直角墻角（陰影部分，兩邊足夠長），用20m長的籬笆圍成一個矩形花園ABCD（籬笆只圍AB，AD

(1)若花園的面積為75m2，求(2)若在直角墻角內(nèi)點P處有一棵桂花樹，且到墻CD的距離為12m，若要將這棵樹圍在矩形花園內(nèi)（含邊界，不考慮樹的粗細(xì)），問該花園的面積能否為100m2【答案】(1)5米或15米(2)不能，理由見解析【分析】1由矩形面積公式得出方程，解方程即可；2根據(jù)題意可得方程x20-x=100，求出x的值，然后再根據(jù)【詳解】（1）解：設(shè)AB=x米，則BC=由題意得：x20-x解得：x1=5，答：AB的長為5米或15米；（2）解：花園的面積不能為100米?2設(shè)AB=x米，則BC=由題意得：x20-x解得：x1當(dāng)x=10時，20-x=20-10=10，即當(dāng)AB=10米，CD=10米<12米，這棵樹沒有被圍在花園內(nèi)，∴將這棵樹圍在矩形花園內(nèi)(含邊界，不考慮樹的粗細(xì))，則花園的面積不能為100米?2【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．21．（2023春·廣東廣州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，為培養(yǎng)學(xué)生正確的勞動價值觀和良好的勞動品質(zhì)，某校為此規(guī)劃出矩形苗圃ABCD，苗圃的一面靠墻（墻最長可用長度為15米），另外三邊用木欄圍成，中間也用垂直于墻的木欄隔開，分成面積相等的兩個區(qū)域，并在兩個區(qū)域中各留1米寬的門（門不用木欄），修建所用木欄總長28米，設(shè)矩形ABCD的一邊長CD為x米．(1)求矩形ABCD的另一邊長BC是多少米？（用含x的代數(shù)式表示）(2)矩矩形ABCD的面積能否為72m2？若能，求出【答案】(1)（30﹣3x）米(2)能，6【分析】（1）根據(jù)題中條件即可求出BC的長；（2）根據(jù)矩形ABCD的面積為72m【詳解】（1）∵修建所用木欄總長28米，且兩處各留1米寬的門（門不用木欄），∴BC=2+28-3x=(30-3x)米，即另一邊長BC是(30-3x)米；（2）矩形ABCD的面積能為72m由題意得：x(30-3x)=72，整理得：x2解得：x1=4，當(dāng)x=4時，30-3x=30-3×4=18>15，不符合題意，舍去；當(dāng)x=6時，30-3x=30-3×6=12<15，符合題意；答：矩形ABCD的面積能為72m2，CD的長為【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．22．（2022秋·遼寧阜新·九年級阜新實驗中學(xué)?？计谥校┯每傞L400cm的木板制作矩形置物架ABCD（如圖），已知該置物架上面部分為正方形ABFE，下面部分是兩個全等的矩形DGMN和矩形CNMH，中間部分為矩形EFHG．已知DG=40cm，設(shè)正方形的邊長為

(1)當(dāng)x=45時，EG的長為________cm；(2)置物架ABCD的高AD的長為________cm（用含x的代數(shù)式表示）；(3)為了便于置放物品，EG的高度不小于26cm，若矩形ABCD的面積為3850cm2【答案】(1)5；(2)180-2x；(3)x=35【分析】（1）根據(jù)矩形和正方形的性質(zhì)直接計算即可；（2）根據(jù)矩形和正方形的性質(zhì)直接列式即可；（3）結(jié)合（2）列出方程，解方程即可．【詳解】（1）解：當(dāng)x=45時，則AB=AE=BF=EF=GH=DC=45cm，DG=MN=HC=40EG=故答案為：5；（2）置物架ABCD的高AD的長為400-4x-402=180-2x（故答案為：180-2x；（3）根據(jù)題意，由（2）得，(1