新教材2024版高中數(shù)學(xué)第四章指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)4.4對(duì)數(shù)函數(shù)第3課時(shí)不同函數(shù)增長(zhǎng)的差異課件新人教A版必修第一冊(cè)

第四章指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)4.4對(duì)數(shù)函數(shù)第3課時(shí)不同函數(shù)增長(zhǎng)的差異學(xué)習(xí)目標(biāo)素養(yǎng)要求1．結(jié)合現(xiàn)實(shí)情境中的具體問(wèn)題，通過(guò)計(jì)算比較對(duì)數(shù)函數(shù)、一元一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)速度的差異數(shù)學(xué)運(yùn)算2．理解直線上升、指數(shù)爆炸、對(duì)數(shù)增長(zhǎng)的含義以及三種函數(shù)模型性質(zhì)的比較數(shù)學(xué)運(yùn)算3．會(huì)分析具體的實(shí)際問(wèn)題，能夠建模解決實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)抽象數(shù)學(xué)建模|自學(xué)導(dǎo)引|

三類(lèi)不同的函數(shù)模型增長(zhǎng)的比較1．三類(lèi)常見(jiàn)不同函數(shù)增長(zhǎng)的差異性質(zhì)函數(shù)y＝kx(k＞0)y＝ax(a＞1)y＝logax(a＞1)單調(diào)性遞增增長(zhǎng)速度不變先慢后快先快后慢圖象變化隨x的增大，圖象均勻上升隨x的增大，圖象上升的速度逐漸變快，當(dāng)x很大時(shí)，呈“爆炸式”增長(zhǎng)隨x的增大，圖象上升的速度逐漸變慢2．函數(shù)y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)和y＝xn(n＞0)增長(zhǎng)速度的對(duì)比(1)對(duì)于指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞1)和冪函數(shù)y＝xn(n＞0)，在區(qū)間(0，＋∞)上，無(wú)論n比a大多少，盡管在x的一定范圍內(nèi)，ax會(huì)小于xn，但由于__________快于__________，因此總存在一個(gè)x0，當(dāng)x＞x0時(shí)，就會(huì)有________．(2)對(duì)于對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a＞1)和冪函數(shù)y＝xn(n＞0)，在區(qū)間(0，＋∞)上，盡管在x的一定范圍內(nèi)，logax可能會(huì)大于xn，但由于logax的增長(zhǎng)慢于xn的增長(zhǎng)，因此總存在一個(gè)x0，當(dāng)x＞x0時(shí)，就會(huì)有__________．a(chǎn)x的增長(zhǎng)xn的增長(zhǎng)ax＞xn

logax＜xn

(3)在區(qū)間(0，＋∞)上，盡管函數(shù)y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)和y＝xn(n＞0)都單調(diào)遞增，但它們的增長(zhǎng)__________，而且不在同一個(gè)“檔次”上．隨著x的增大，總會(huì)存在一個(gè)x0，當(dāng)x＞x0時(shí)，就會(huì)有______________．速度不同logax＜xn＜ax

在函數(shù)y＝3x，y＝log3x，y＝3x，y＝x3中增長(zhǎng)速度最快的是哪一個(gè)函數(shù)？【提示】y＝3x．【預(yù)習(xí)自測(cè)】|課堂互動(dòng)|題型1幾類(lèi)函數(shù)模型的增長(zhǎng)差異

(1)下列函數(shù)中，增長(zhǎng)速度最快的是 (

)A．y＝2023x B．y＝2023C．y＝log2023x D．y＝2023xA．f(x)遞減速度越來(lái)越慢，g(x)遞減速度越來(lái)越快，h(x)遞減速度越來(lái)越慢B．f(x)遞減速度越來(lái)越快，g(x)遞減速度越來(lái)越慢，h(x)遞減速度越來(lái)越快C．f(x)遞減速度越來(lái)越慢，g(x)遞減速度越來(lái)越慢，h(x)遞減速度不變D．f(x)遞減速度越來(lái)越快，g(x)遞減速度越來(lái)越快，h(x)遞減速度越來(lái)越快【答案】(1)A

(2)C常見(jiàn)的函數(shù)模型及增長(zhǎng)特點(diǎn)(1)線性函數(shù)模型：線性函數(shù)模型y＝kx＋b(k＞0)的增長(zhǎng)特點(diǎn)是直線上升，其增長(zhǎng)速度不變．(2)指數(shù)函數(shù)模型：能用指數(shù)型函數(shù)f(x)＝abx＋c(a，b，c為常數(shù)，a＞0，b＞1)表達(dá)的函數(shù)模型，其增長(zhǎng)特點(diǎn)是隨著自變量x的增大，函數(shù)值增長(zhǎng)的速度越來(lái)越快，常稱(chēng)之為“指數(shù)爆炸”．(3)對(duì)數(shù)函數(shù)模型：能用對(duì)數(shù)型函數(shù)f(x)＝mlogax＋n(m，n，a為常數(shù)，m＞0，x＞0，a＞1)表達(dá)的函數(shù)模型，其增長(zhǎng)的特點(diǎn)是開(kāi)始階段增長(zhǎng)得較快，但隨著x的逐漸增大，其函數(shù)值變化得越來(lái)越慢，常稱(chēng)之為“蝸牛式增長(zhǎng)”．(4)冪函數(shù)模型：能用冪型函數(shù)f(x)＝axα＋b(a，b，α為常數(shù)，a≠0，α≠1)表達(dá)的函數(shù)模型，其增長(zhǎng)情況由a和α的取值確定．【答案】A【解析】指數(shù)函數(shù)y＝ax，在a＞1時(shí)呈爆炸式增長(zhǎng)，并且a的值越大，增長(zhǎng)速度越快．故選A．題型2函數(shù)增長(zhǎng)速度的比較

(1)(多選)如圖，能使得不等式log2x＜x2＜2x成立的x的取值范圍是

(

)A．x＞2B．x＞4C．0＜x＜2D．2＜x＜4(2)已知函數(shù)f(x)＝lnx，g(x)＝0.5x－1的圖象如圖所示．①指出圖中曲線C1，C2分別對(duì)應(yīng)哪一個(gè)函數(shù)；②借助圖象，比較f(x)和g(x)的大?。敬鸢浮?1)BC【解析】結(jié)合圖象可知，當(dāng)x∈(0，2)∪(4，＋∞)時(shí)，有l(wèi)og2x＜x2＜2x．故選BC．(2)解：①C1對(duì)應(yīng)的函數(shù)為g(x)＝0.5x－1，C2對(duì)應(yīng)的函數(shù)為f(x)＝lnx．②當(dāng)x∈(0，x1)時(shí)，g(x)＞f(x)；當(dāng)x∈(x1，x2)時(shí)，g(x)＜f(x)；當(dāng)x∈(x2，＋∞)時(shí)，g(x)＞f(x)；當(dāng)x＝x1或x＝x2時(shí)，g(x)＝f(x)．綜上，當(dāng)x＝x1或x＝x2時(shí)，g(x)＝f(x)；當(dāng)x∈(x1，x2)時(shí)，g(x)＜f(x)；當(dāng)x∈(0，x1)或(x2，＋∞)時(shí)，g(x)＞f(x)．由圖象判斷指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的方法根據(jù)圖象判斷增長(zhǎng)型的指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)時(shí)，通常是觀察函數(shù)圖象上升的快慢，即隨著自變量的增長(zhǎng)，圖象最“陡”的函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，圖象趨于平緩的函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)．2．函數(shù)f(x)＝2x和g(x)＝2x的圖象如圖所示，設(shè)兩函數(shù)的圖象交于點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2．(1)請(qǐng)指出圖中曲線C1，C2分別對(duì)應(yīng)的函數(shù)；題型3函數(shù)模型的選擇問(wèn)題某化工廠開(kāi)發(fā)研制了一種新產(chǎn)品，在前三個(gè)月的月生產(chǎn)量依次為100t，120t，130t．為了預(yù)測(cè)今后各個(gè)月的生產(chǎn)量，需要以這三個(gè)月的月產(chǎn)量為依據(jù)，用一個(gè)函數(shù)來(lái)模擬月產(chǎn)量y(t)與月序數(shù)x之間的關(guān)系．對(duì)此模擬函數(shù)可選用二次函數(shù)y＝f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c均為待定系數(shù)，x∈N*)或函數(shù)y＝g(x)＝pqx＋r(p，q，r均為待定系數(shù)，x∈N*)．現(xiàn)在已知該廠這種新產(chǎn)品在第四個(gè)月的月產(chǎn)量為137t，則選用這兩個(gè)函數(shù)中的哪一個(gè)作為模擬函數(shù)較好？所以y＝f(x)＝－5x2＋35x＋70．①同理，y＝g(x)＝－80×0.5x＋140．②再將x＝4分別代入①②得，f(4)＝－5×42＋35×4＋70＝130，g(4)＝－80×0.54＋140＝135．與f(4)相比，g(4)在數(shù)值上更為接近第四個(gè)月的實(shí)際月產(chǎn)量，所以②式作為模擬函數(shù)比①式更好，故選用函數(shù)y＝g(x)＝pqx＋r作為模擬函數(shù)較好．建立函數(shù)模型應(yīng)遵循的三個(gè)原則(1)簡(jiǎn)化原則：建立函數(shù)模型，原型一定要簡(jiǎn)化，抓主要因素，主要變量，盡量建立較低階、較簡(jiǎn)便的模型．(2)可推演原則：建立模型，一定要有意義，既能作理論分析，又能計(jì)算、推理，且能得出正確結(jié)論．(3)反映性原則：建立模型，應(yīng)與原型具有“相似性”，所得模型的解應(yīng)具有說(shuō)明問(wèn)題的功能，能回到具體問(wèn)題中解決問(wèn)題．3．某人對(duì)某種松樹(shù)的生長(zhǎng)進(jìn)行了研究，搜集了其高度h(米)與生長(zhǎng)時(shí)間t(年)的相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示，選擇h＝mt＋b與h＝loga(t＋1)來(lái)刻畫(huà)h與t的關(guān)系，你認(rèn)為哪個(gè)符合，并預(yù)測(cè)第八年的松樹(shù)的高度．t/年123456h/米0.611.31.51.61.7解：由表可以看出增長(zhǎng)速度越來(lái)越慢，用對(duì)數(shù)函數(shù)模型合理．把(2，1)代入h＝loga(t＋1)中，得a＝3．故h＝log3(t＋1)．當(dāng)t＝8時(shí)，h＝2．故可預(yù)測(cè)第8年松樹(shù)高2米．|素養(yǎng)達(dá)成|三種函數(shù)模型的選取(體現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng))．(1)當(dāng)增長(zhǎng)速度變化很快時(shí)，常常選用指數(shù)函數(shù)模型．(2)當(dāng)要求不斷增長(zhǎng)，但又不會(huì)增長(zhǎng)過(guò)快，也不會(huì)增長(zhǎng)到很大時(shí)，常常選用對(duì)數(shù)函數(shù)模型．(3)冪函數(shù)模型y＝xn(n＞0)，則可以描述增長(zhǎng)幅度不同的變化：n值較小(n≤1)時(shí)，增長(zhǎng)較慢；n值較大(n＞1)時(shí)，增長(zhǎng)較快．1．(題型2)如表是函數(shù)值y隨自變量x變化的一組數(shù)據(jù)，由此判斷它最可能的函數(shù)模型為

(

)A．一次函數(shù)模型 B．二次函數(shù)模型C．指數(shù)函數(shù)模型 D．對(duì)數(shù)函數(shù)模型【答案】A【解析】隨著自變量每增加1，函數(shù)值增加2，函數(shù)值的增量是均勻的，故為一次函數(shù)模型．故選A．x45678910y151719212325272．(題型1)當(dāng)x越來(lái)越大時(shí)，下列函數(shù)中，增長(zhǎng)速度最快的應(yīng)是

(

)A．y＝3x B．y＝log3xC．y＝x3 D．y＝3x【答案】D【解析】幾種函數(shù)模型中，指數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)最快．故選D．3．(題型3)某林區(qū)的森林蓄積量每年比上一年平均增長(zhǎng)10.4%，要增長(zhǎng)到原來(lái)的x倍，需經(jīng)過(guò)y年，則函數(shù)y＝f(x)的圖象大致是 (

)【答案】D【解析】設(shè)該林區(qū)的森林原有蓄積量為