第二節(jié)函數(shù)概念與基本初等函數(shù)

第二章函數(shù)概念與基本初等函數(shù)§2.1函數(shù)及其表示1．函數(shù)與映射函數(shù)映射兩集合A、B設(shè)A，B是兩個(gè)非空設(shè)A，B是兩個(gè)非空對(duì)應(yīng)關(guān)系f：A→B如果按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對(duì)應(yīng)如果按某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的一個(gè)元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對(duì)應(yīng)名稱稱為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)稱對(duì)應(yīng)f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)映射記法y＝f(x)(x∈A)對(duì)應(yīng)f：A→B是一個(gè)映射2.函數(shù)的有關(guān)概念(1)函數(shù)的定義域、值域在函數(shù)y＝f(x)，x∈A中，其中所有x組成的集合A稱為函數(shù)y＝f(x)的；將所有y組成的集合叫做函數(shù)y＝f(x)的．(2)函數(shù)的三要素：、和．(3)函數(shù)的表示法表示函數(shù)的常用方法有、和．3.分段函數(shù)若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因不同而分別用幾個(gè)不同的式子來(lái)表示，這種函數(shù)稱為分段函數(shù)．分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的，其值域等于各段函數(shù)的值域的，分段函數(shù)雖由幾個(gè)部分組成，但它表示的是一個(gè)函數(shù)．4．常見(jiàn)函數(shù)定義域的求法類型x滿足的條件eq\r(2n,fx)，n∈N*f(x)≥0eq\f(1,fx)與[f(x)]0logaf(x)(a＞0，a≠1)logf(x)g(x)tanf(x)1．(2016·宜昌一模)下列四組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是()A．f(x)＝(eq\r(x))2，g(x)＝eq\r(x2)B．f(x)＝lgx2，g(x)＝2lgxC．f(x)＝eq\r(x＋2)·eq\r(x－2)，g(x)＝eq\r(x2－4)D．f(x)＝x，g(x)＝eq\r(3,x3)解析：A、B、C中兩個(gè)函數(shù)的定義域不同，所以表示的不是同一函數(shù)；D中兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，表示的是同一函數(shù)，故選D.答案：D2．已知函數(shù)f(x)滿足f(2x)＝2f(x)，且當(dāng)1≤x<2時(shí)，f(x)＝x2，則fA.eq\f(9,8)B.eq\f(9,4)C.eq\f(9,2) D．9解析：∵f(2x)＝2f(x)，且當(dāng)1≤x<2時(shí)，f(x)＝x2，∴f(3)＝2f(eq\f(3,2))＝2×(eq\f(3,2))2＝eq\f(9,2).答案：C3．若函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镸＝{x|－2≤x≤2}，值域?yàn)镹＝{y|0≤y≤2}，則函數(shù)y＝f(x)的圖象可能是()答案：B4．(2016·福建上杭一中教學(xué)質(zhì)量調(diào)研)函數(shù)y＝eq\r(log\f(2,3)2x－1)的定義域是()A．[1,2] B．[1,2)C．(eq\f(1,2)，1] D．[eq\f(1,2)，1]解析：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－1>0，,log\f(2,3)2x－1≥0，))解得eq\f(1,2)<x≤1.故選C.5．(2016·黑龍江哈爾濱師大附中等校一模)若函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋2，x≤0，,2x－4，x>0))則f(f(1))的值為()A．－10 B．10C．－2 D．2解析：∵f(1)＝21－4＝－2，∴f(f(1))＝f(－2)＝－2.答案：C練思維無(wú)所不通題型一函數(shù)的概念例1：有以下判斷：①f(x)＝eq\f(|x|,x)與g(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1x≥0,－1x＜0))表示同一函數(shù)；②函數(shù)y＝f(x)的圖象與直線x＝1的交點(diǎn)最多有1個(gè)；③f(x)＝x2－2x＋1與g(t)＝t2－2t＋1是同一函數(shù)；④若f(x)＝|x－1|－|x|，則f(f(eq\f(1,2)))＝0.其中正確判斷的序號(hào)是________．[解析]對(duì)于①，由于函數(shù)f(x)＝eq\f(|x|,x)的定義域?yàn)閧x|x∈R且x≠0}，而函數(shù)g(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1x≥0,－1x＜0))的定義域是R，所以二者不是同一函數(shù)；對(duì)于②，若x＝1不是y＝f(x)定義域內(nèi)的值，則直線x＝1與y＝f(x)的圖象沒(méi)有交點(diǎn)，如果x＝1是y＝f(x)定義域內(nèi)的值，由函數(shù)定義可知，直線x＝1與y＝f(x)的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，即y＝f(x)的圖象與直線x＝1最多有一個(gè)交點(diǎn)；對(duì)于③，f(x)與g(t)的定義域、值域和對(duì)應(yīng)關(guān)系均相同，所以f(x)和g(t)表示同一函數(shù)；對(duì)于④，由于f(eq\f(1,2))＝|eq\f(1,2)－1|－|eq\f(1,2)|＝0，所以f(f(eq\f(1,2)))＝f(0)＝1.綜上可知，正確的判斷是②③.[答案]②③【變式訓(xùn)練1】(1)下列四組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是()A．y＝x－1與y＝eq\r(x－12)B．y＝eq\r(x－1)與y＝eq\f(x－1,\r(x－1))C．y＝4lgx與y＝2lgx2D．y＝lgx－2與y＝lgeq\f(x,100)(2)下列所給圖象是函數(shù)圖象的個(gè)數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．4[解析](1)A中兩函數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系不同；B、C中的函數(shù)定義域不同，答案選D.(2)①中當(dāng)x＞0時(shí)，每一個(gè)x的值對(duì)應(yīng)兩個(gè)不同的y值，因此不是函數(shù)圖象，②中當(dāng)x＝x0時(shí)，y的值有兩個(gè)，因此不是函數(shù)圖象，③④中每一個(gè)x的值對(duì)應(yīng)唯一的y值，因此是函數(shù)圖象，故選B.[答案](1)D(2)B題型二函數(shù)的定義域命題點(diǎn)1求給定函數(shù)解析式的定義域例2：(1)(2015·杭州模擬)函數(shù)f(x)＝eq\r(1－2x)＋eq\f(1,\r(x＋3))的定義域?yàn)?)A．(－3,0]B．(－3,0)C．(－∞，－3)∪(－3,0]D．(－∞，－3)∪(－3,1](2)函數(shù)f(x)＝eq\f(lgx＋1,x－1)的定義域是()A．(－1，＋∞) B．[－1，＋∞)C．(－1,1)∪(1，＋∞) D．[－1,1)∪(1，＋∞)[解析](1)由題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－2x≥0，,x＋3＞0，))解得－3＜x≤0，所以函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?－3,0]，故選A.(2)要使函數(shù)f(x)＝eq\f(lgx＋1,x－1)有意義，需滿足x＋1＞0且x－1≠0，得x＞－1，且x≠1，故選C.[答案](1)A(2)C命題點(diǎn)2求抽象函數(shù)的定義域例3：(1)若函數(shù)y＝f(x)的定義域是[1,2016]，則函數(shù)g(x)＝eq\f(fx＋1,x－1)的定義域是()A．[0,2015] B．[0,1)∪(1,2015]C．(1,2016] D．[－1,1)∪(1,2015](2)若函數(shù)f(x2＋1)的定義域?yàn)閇－1,1]，則f(lgx)的定義域?yàn)?)A．[－1,1] B．[1,2)C．[10,100] D．[0，lg2][解析](1)令t＝x＋1，則由已知函數(shù)的定義域?yàn)閇1,2016]，可知1≤t≤2016.要使函數(shù)f(x＋1)有意義，則有1≤x＋1≤2016，解得0≤x≤2015，故函數(shù)f(x＋1)的定義域?yàn)閇0,2015]．所以使函數(shù)g(x)有意義的條件是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤2015，,x－1≠0，))解得，0≤x＜1或1＜x≤2015.故函數(shù)g(x)的定義域?yàn)閇0,1)∪(1,2015]．故選B.(2)因?yàn)閒(x2＋1)的定義域?yàn)閇－1,1]，則－1≤x≤1，故0≤x2≤1，所以1≤x2＋1≤2.因?yàn)閒(x2＋1)與f(lgx)是同一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系，所以1≤lgx≤2，即10≤x≤100，所以函數(shù)f(lgx)的定義域?yàn)閇10,100]．故選C.[答案](1)B(2)C命題點(diǎn)3已知定義域求參數(shù)范圍例4：(2015·合肥模擬)若函數(shù)f(x)＝eq\r(2x2＋2ax－a－1)的定義域?yàn)镽，則a的取值范圍為_(kāi)_______．[解析]因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的定義域?yàn)镽，所以2x2＋ax－a－1≥0對(duì)x∈R恒成立，即2x2＋ax－a≥20，x2＋2ax－a≥0恒成立，因此有Δ＝(2a)2＋4a≤0，解得－1≤a[答案][－1,0]【變式訓(xùn)練2】(1)已知函數(shù)f(x)的定義域是[0,2]，則函數(shù)g(x)＝f(x＋eq\f(1,2))＋f(x－eq\f(1,2))的定義域是________．(2)函數(shù)y＝eq\f(lnx＋1,\r(－x2－3x＋4))的定義域?yàn)開(kāi)_______．解析：(1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的定義域是[0,2]，所以函數(shù)g(x)＝f(x＋eq\f(1,2))＋f(x－eq\f(1,2))中的自變量x需要滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x＋\f(1,2)≤2，,0≤x－\f(1,2)≤2，))解得：eq\f(1,2)≤x≤eq\f(3,2)，所以函數(shù)g(x)的定義域是[eq\f(1,2)，eq\f(3,2)]．(2)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1＞0，,－x2－3x＋4＞0，))得－1＜x＜1.答案：(1)[eq\f(1,2)，eq\f(3,2)](2)(－1,1)題型三:求函數(shù)解析式例5：(1)已知f(eq\f(2,x)＋1)＝lgx，則f(x)＝________.(2)已知f(x)是一次函數(shù)，且滿足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，則f((3)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，且f(x)＝2f(eq\f(1,x))·eq\r(x)－1，則f(x)＝________.[解析](1)(換元法)令t＝eq\f(2,x)＋1(t＞1)，則x＝eq\f(2,t－1)，∴f(t)＝lgeq\f(2,t－1)，即f(x)＝lgeq\f(2,x－1)(x＞1)(2)(待定系數(shù)法)設(shè)f(x)＝ax＋b(a≠0)，則3f(x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b＝ax＋即ax＋5a＋b＝2x＋17不論x∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＋5a＝17，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝7，))∴f(x)＝2x＋7.(3)(消去法)在f(x)＝2f(eq\f(1,x))eq\r(x)－1中，用eq\f(1,x)代替x，得f(eq\f(1,x))＝2f(x)eq\f(1,\r(x))－1，將f(eq\f(1,x))＝eq\f(2fx,\r(x))－1代入f(x)＝2f(eq\f(1,x))eq\r(x)－1中，可求得f(x)＝eq\f(2,3)eq\r(x)＋eq\f(1,3).[答案](1)lgeq\f(2,x－1)(x＞1)(2)2x＋7(3)eq\f(2,3)eq\r(x)＋eq\f(1,3)【變式訓(xùn)練3】(1)已知f(eq\r(x)＋1)＝x＋2eq\r(x)，則f(x)＝________.(2)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋1)＝2f(x)．若當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f(x)＝x(1－x)，則當(dāng)－1≤x≤0時(shí)，f(x)＝____(3)定義在(－1,1)內(nèi)的函數(shù)f(x)滿足2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，則f(x解析：(1)設(shè)eq\r(x)＋1＝t(t≥1)，則eq\r(x)＝t－1.代入f(eq\r(x)＋1)＝x＋2eq\r(x)，得f(t)＝t2－1(t≥1)，∴f(x)＝x2－1(x≥1)．(2)當(dāng)－1≤x≤0時(shí)，0≤x＋1≤1，由已知f(x)＝eq\f(1,2)f(x＋1)＝－eq\f(1,2)x(x＋1)．(3)當(dāng)x∈(－1,1)時(shí)，有2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)．以－x代替x得，2f(－x)－f(x)＝lg(－x＋1)．由①②消去f(－x)得，f(x)＝eq\f(2,3)lg(x＋1)＋eq\f(1,3)lg(1－x)，x∈(－1,1)．答案：(1)x2－1(x≥1)(2)－eq\f(1,2)x(x＋1)(3)eq\f(2,3)lg(x＋1)＋eq\f(1,3)lg(1－x)(－1＜x＜1)練方法無(wú)所不曉分類討論思想在函數(shù)中的應(yīng)用[例1](2015·山東)設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－1，x＜1，,2x，x≥1，))則滿足f(f(a))＝2f(a)的a的取值范圍是()A．[eq\f(2,3)，1] B．[0,1]C．[eq\f(2,3)，＋∞) D．[1，＋∞)[解析]由f(f(a))＝2f(a)得，f(a)≥當(dāng)a＜1時(shí)，有3a－1≥1，∴a≥eq\f(2,3)，∴eq\f(2,3)≤a＜1.當(dāng)a≥1時(shí)，有2a≥1，∴a≥0，∴a≥綜上，a≥eq\f(2,3)，故選C.[例2](2016·江西南昌二中第三次考試)已知函數(shù)f(x)＝(2x－a＋1)ln(x＋a＋1)的定義域?yàn)?－a－1，＋∞)，若f(x)≥0恒成立，則a的值是________．[解析]當(dāng)0<x＋a＋1≤1，即－a－1<x≤－a時(shí)，有l(wèi)n(x＋a＋1)≤0.∵f(x)≥0，∴2x－a＋1≤0，x≤eq\f(a－1,2)，欲使?x，f(x)≥0恒成立，則eq\f(a－1,2)≥－a，∴a≥eq\f(1,3).當(dāng)x＋a＋1>1，即x>－a時(shí)，有l(wèi)n(x＋a＋1)>0，∵f(x)≥0，∴2x－a＋1>0，x>eq\f(a－1,2)，欲使?x，f(x)≥0恒成立，則eq\f(a－1,2)≤－a，∴a≤eq\f(1,3).故a＝eq\f(1,3).[答案]eq\f(1,3)易錯(cuò)題萬(wàn)無(wú)一失[典例]已知2x2＋y2＝6x，則x2＋y2的取值范圍是()A．(－∞，9] B．[9，＋∞)C．[0,9] D．(0,9][解析]因?yàn)?x2＋y2＝6x，所以y2＝6x－2x2≥0,0≤x≤3.所以x2＋y2＝－x2＋6x＝－(x－3)2＋9.所以當(dāng)x＝3時(shí)，x2＋y2取最大值9.當(dāng)x＝0時(shí)，x2＋y2取最小值0.所以x2＋y2的取值范圍是[0,9]，故選C.練小題無(wú)所不會(huì)練大題無(wú)所不能一、選擇題(每小題5分，共60分)1．(2016·惠州一模)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇0,2]，則g(x)＝eq\f(f2x,x－1)的定義域?yàn)?)A．[0,1)∪(1,2] B．[0,1)∪(1,4]C．[0,1) D．(1,4]解析：由題意可知，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤2x≤2,x－1≠0))，解得0≤x<1，故g(x)＝eq\f(f2x,x－1)的定義域?yàn)閇0,1)，選C.答案：C2．(2016·湖北優(yōu)質(zhì)高中聯(lián)考)設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(cos\f(πx,3)，x≥0，,－x＋\f(4,x)，x<0，))則f(f(－2))＝()A．－eq\f(\r(3),2) B.eq\f(1,2)C．－eq\f(1,2) D.eq\f(\r(3),2)解析：∵f(－2)＝4，∴f(f(－2))＝f(4)＝coseq\f(4,3)π＝－eq\f(1,2).故選C.答案：C3．(2016·四川成都診斷)已知函數(shù)f(x)＝x|x|，若f(x0)＝4，則x0的值為()A．－2 B．2C．－2或2D.eq\r(2)解析：當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝x2，f(x0)＝4，即xeq\o\al(2,0)＝4，解得x0＝2；當(dāng)x<0時(shí)，f(x)＝－x2，f(x0)＝4，即－xeq\o\al(2,0)＝4，無(wú)解．所以x0＝2.答案：B4．(2016·貴州遵義航天高中七模)設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4log2x－8，x≥9，,2x2－x＋8，x<9，))若f(t)＝4，則t的值為()A．10 B．6或10C．6 D．不存在解析：當(dāng)t<9時(shí)，f(t)＝2t2－t＋8＝4?2t2－t＋4＝0，無(wú)解；當(dāng)t≥9時(shí)，f(t)＝4log2(t－8)＝2log2(t－8)2＝(t－8)2＝4，解得t＝6(舍去)或t＝10.故選A.答案：A5．(2016·河北武邑中學(xué)月考)已知函數(shù)y＝f(x＋1)的定義域是[－2,3]，則y＝f(2x－1)的定義域?yàn)?)A．[－3,7] B．[－1,4]C．[－5,5] D．[0，eq\f(5,2)]解析：由x∈[－2,3]得x＋1∈[－1,4]，由2x－1∈[－1,4]，解得x∈[0，eq\f(5,2)]．故選D.答案：D6．(2015·新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ)設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋log22－x，x<1，,2x－1，x≥1，))則f(－2)＋f(log212)＝()A．3 B．6C．9 D．12解析：∵－2<1，∴f(－2)＝1＋log2(2＋2)＝1＋log24＝1＋2＝3.∵log212>1，∴f(log212)＝2log212－1＝eq\f(12,2)＝6.∴f(－2)＋f(log212)＝3＋6＝9.故選C.答案：C7．(2015·新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－1－2，x<1，,－log2x＋1，x>1，))且f(a)＝－3，則f(6－a)＝()A．－eq\f(7,4) B．－eq\f(5,4)C．－eq\f(3,4) D．－eq\f(1,4)解析：由于f(a)＝－3，①若a≤1，則2a－1－2＝－3，整理得2a－1＝－1.由于2x>0，所以2②若a>1，則－log2(a＋1)＝－3，解得a＋1＝8，a＝7，所以f(6－a)＝f(－1)＝2－2－2＝－eq\f(7,4).綜上所述，f(6－a)＝－eq\f(7,4).故選A.答案：A8．(2016·吉安聯(lián)考)已知符號(hào)函數(shù)sgnx＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，x>0，,0，x＝0，,－1，x<0.))f(x)是R上的增函數(shù)，g(x)＝f(x)－f(ax)(a>1)，則()A．sgn[g(x)]＝sgnxB．sgn[g(x)]＝－sgnxC．sgn[g(x)]＝sgn[f(x)]D．sgn[g(x)]＝sgn[f(x)]解析：因?yàn)閒(x)是R上的增函數(shù)，所以令f(x)＝x，則g(x)＝(1－a)x，因?yàn)閍>1，所以g(x)是R上的減函數(shù)，由符號(hào)函數(shù)sgnx＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，x>0，,0，x＝0，,－1，x<0，))知sgn[g(x)]＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1，x>0，,0，x＝0，,1，x<0))＝－sgnx，排除A.令f(x)＝x＋1，則g(x)＝(1－a)x.因?yàn)閟gn[f(x)]＝sgn(x＋1)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，x>－1，,0，x＝－1，,－1，x<－1，))sgn[g(x)]＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1，x>0，,0，x＝0，,1，x<0，))所以sgn[g(x)]≠sgn[f(x)]，sgn[g(x)]≠－sgn[f(x)]，排除C，D，選B.答案：B9．(2015·武漢調(diào)研)若函數(shù)f(x)＝eq\r(ax－2)在[2，＋∞)上有意義，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A．a(chǎn)＝1 B．a(chǎn)>1C．a(chǎn)≥1 D．a(chǎn)≥0解析：∵函數(shù)f(x)＝eq\r(ax－2)在[2，＋∞)上有意義，∴ax－2≥0在[2，＋∞)上恒成立，即a≥eq\f(2,x)在[2，＋∞)上恒成立．∵0<eq\f(2,x)≤1，∴a≥1.答案：C10．(改編題)已知f(x)為二次函數(shù)，不等式f(x)＋2<0的解集為(－1，eq\f(1,3))，且對(duì)任意α，β∈R恒有f(sinα)≤0，f(2＋cosβ)≥0.則函數(shù)f(x)的解析式為()A．f(x)＝eq\f(3,2)x2＋x－eq\f(5,2)B．f(x)＝eq\f(3,2)x2－x＋eq\f(5,2)C．f(x)＝eq\f(3,2)x2＋x＋eq\f(5,2)D．f(x)＝eq\f(3,2)x2－x－eq\f(5,2)解析：依題意，設(shè)f(x)＋2＝a(x＋1)·(x－eq\f(1,3))(a>0)，即f(x)＝ax2＋eq\f(2a,3)x－eq\f(a,3)－2.令α＝eq\f(π,2)，β＝π，則sinα＝1，cosβ＝－1，則f(1)≤0，f(2－1)≥0，因此f(1)＝0，即a＋eq\f(2a,3)－eq\f(a,3)－2＝0，得a＝eq\f(3,2)，所以函數(shù)f(x)的解析式為f(x)＝eq\f(3,2)x2＋x－eq\f(5,2).答案：A11．已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－cosπx，x＞0，,fx＋1＋1，x≤0，))則f(eq\f(4,3))＋f(－eq\f(4,3))的值等于()A．1 B．2C．3 D．－2解析：f(eq\f(4,3))＝－coseq\f(4π,3)＝coseq\f(π,3)＝eq\f(1,2)；f(－eq\f(4,3))＝f(－eq\f(1,3))＋1＝f(eq\f(2,3))＋2＝－coseq\f(2π,3)＋2＝eq\f(1,2)＋2＝eq\f(5,2).故f(eq\f(4,3))＋f(－eq\f(4,3))＝3.答案：C12．定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)滿足f(x＋2)＝2f(x)－2，當(dāng)x∈(0,2]時(shí)，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－x，x∈0，1，,\f(1,x)，x∈[1，2]，))若x∈(0,4]時(shí)，t2－eq\f(7t,2)≤f(x)恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是()A．[1,2] B．[2，eq\f(5,2)]C．[1，eq\f(5,2)] D．[2，＋∞)解析：當(dāng)x∈(2,3)時(shí)，x－2∈(0,1)，則f(x)＝2f(x－2)－2＝2(x－2)2－2(x－2)－2，即為f(x)＝2x2－10x＋10，當(dāng)x∈[3,4]時(shí)，x－2∈則f(x)＝2f(x－2)－2＝eq\f(2,x－2)－2.當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，當(dāng)x＝eq\f(1,2)時(shí)，f(x)取得最小值，且為－eq\f(1,4)；當(dāng)x∈[1,2]時(shí)，當(dāng)x＝2時(shí)，f(x)取得最小值，且為eq\f(1,2)；當(dāng)x∈(2,3)時(shí)，當(dāng)x＝eq\f(5,2)時(shí)，f(x)取得最小值，且為－eq\f(5,2)；當(dāng)x∈[3,4]時(shí)，當(dāng)x＝4時(shí)，f(x)取得最小值，且為－1.綜上可得，f(x)在(0,4]的最小值為－eq\f(5,2).若x∈(0,4]時(shí)，t2－eq\f(7t,2)≤f(x)恒成立，則有t2－eq\f(7t,2)≤－eq\f(5,2)，解得1≤t≤eq\f(5,2).答案：C二、填空題(每小題5分，共20分)13．(2016·合肥模擬)若函數(shù)f(x)＝eq\r(2x2＋2ax－a－1)的定義域?yàn)镽，則a的取值范圍為_(kāi)_______．解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的定義域?yàn)镽，所以2x2＋2ax－a－1≥0對(duì)x∈R恒成立，即2x2＋2ax－a≥20，x2＋2ax－a≥0恒成立，因此有Δ＝(2a)2＋4a≤0，解得－1≤a答案：[－1,0)14．已知函數(shù)f(x)滿足對(duì)任意的x∈R都有f(eq\f(1,2)＋x)＋f(eq\f(1,2)－x)＝2成立，則f(eq\f(1,8))＋f(eq\f(2,8))＋…＋f(eq\f(7,8))＝________.解析：由f(eq\f(1,2)＋x)＋f(eq\f(1,2)－x)＝2，得f(eq\f(1,8))＋f(eq\f(7,8))＝2，f(eq\f(2,8))＋f(eq\f(6,8))＝2，f(eq\f(3,8)＋f(eq\f(5,8))＝2，又f(eq\f(4,8))＝eq\f(1,2)[f(eq\f(4,8))＋f(eq\f(4,8))]＝eq\f(1,2)×2＝1，∴f(eq\f(1,8)＋f(eq\f(2,8))＋…＋f(eq\f(7,8))＝2×3＋1＝7.答案：715．(2016·北京二模)已知f是有序數(shù)對(duì)集合M＝{(x，y)|x∈N*，y∈N*}上的一個(gè)映射，正整數(shù)數(shù)對(duì)(x，y)在映射f下的象為實(shí)數(shù)z，記作f(x，y)＝z.對(duì)于任意的正整數(shù)m，n(m＞n)，映射f由下表給出：(x，y)(n，n)(m，n)(n，m)f(x，y)nm－nm＋n則f(3,5)＝________，使不等式f(2x，x)≤4成立的x的集合是________．解析：由表可知f(3,5)＝5＋3＝8.∵?x∈N*，都有2x＞x，∴f(2x，x)＝2x－x，則f(2x，x)≤4?2x－x≤4(x∈N*)?2x≤x＋4(x∈N*)，當(dāng)x＝1時(shí)，2x＝2，x＋4＝5,2x≤x＋4成立；當(dāng)x＝2時(shí)，2x＝4，x＋4＝6,2x≤x＋4成立；當(dāng)x≥3(x∈N*)時(shí)，2x＞x＋4.故滿足條件的x的集合是{1,2}．答案：8{1,2}16．(2016·江西南昌二中第三次考試)已知函數(shù)f(x)＝(2x－a＋1)ln(x＋a＋1)的定義域?yàn)?－a－1，＋∞)，若f(x)≥0恒成立，則a的值是________．解析：當(dāng)0<x＋a＋1≤1，即－a－1<x≤－a時(shí)，有l(wèi)n(x＋a＋1)≤0.∵f(x)≥0，∴2x－a＋1≤0，x≤eq\f(a－1,2)，欲使?x，f(x)≥0恒成立，則eq\f(a－1,2)≥－a，∴a≥eq\f(1,3).當(dāng)x＋a＋1≥1，即x>－a時(shí)，有l(wèi)n(x＋a＋1)>0，∵f(x)≥0，∴2x－a＋1>0，x>eq\f(a－1,2)，欲使?x，f(x)≥0恒成立，則eq\f(a－1,2)≤－a，∴a≤eq\f(1,3).故a＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)易錯(cuò)警示：本題易忽略對(duì)對(duì)函數(shù)分類討論：當(dāng)0<x＋a＋1≤1時(shí)，有l(wèi)n(x＋a＋1)≤0，欲使?(x)，f(x)≥0恒成立，則eq\f(a－1,2)≥－a；當(dāng)x＋a＋1>1，即x>－a時(shí)，欲使?x，f(x)≥0恒成立，則eq\f(a－1,2)≤－a，∴eq\f(a－1,2)＝－a，得a＝eq\f(1,3).三、解答題(每小題10分，共20分)17．甲同學(xué)到乙同學(xué)家的途中有一公園，甲從家到公園的距離與乙從家到公園的距離都是2km，甲10時(shí)出發(fā)前往乙家．如圖所示，表示甲從家出發(fā)到達(dá)乙家為止經(jīng)過(guò)的路程y(km)與時(shí)間x(min)的關(guān)系，試寫出y＝f(x)的函數(shù)解析式．解：當(dāng)x∈[0,30]時(shí)，設(shè)y＝k1x＋b1，由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b1＝0，,30k1＋b1＝2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k1＝\f(1,15)，,b1＝0.))即y＝eq\f(1,15)x.當(dāng)x∈(30,40)時(shí)，y＝2；當(dāng)x∈[40,60]時(shí)，設(shè)y＝k2x＋b2，由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(40k2＋b2＝2，,60k2＋b2＝4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k2＝\f(1,10)，,b2＝－2，))即y＝eq\f(1,10)x－2.綜上，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,15)x，x∈[0，30]，,2，x∈30，40，,\f(1,10)x－2，x∈[40，60].))18．行駛中的汽車在剎車時(shí)由于慣性作用，要繼續(xù)往前滑行一段距離才能停上，這段距離叫做剎車距離．在某種路面上，某種型號(hào)汽車的剎車距離y(米)與汽車的車速x(千米/時(shí))滿足下列關(guān)系：y＝eq\f(x2,200)＋mx＋n(m，n是常數(shù))．如圖是根據(jù)多次實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)繪制的剎車距離y(米)與汽車的車速x(千米/時(shí))的關(guān)系圖．(1)求出y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；(2)如果要求剎車距離不超過(guò)25.2米，求行駛的最大速度．解：(1)由題意及函數(shù)圖象，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(402,200)＋40m＋n＝8.4，,\f(602,200)＋60m＋n＝18.6，))解得m＝eq\f(1,100)，n＝0，所以y＝eq\f(x2,200)＋eq\f(x,100)(x≥0)．(2)令eq\f(x2,200)＋eq\f(x,100)≤25.2，得－72≤x≤70.∵x≥0，∴0≤x≤70.故行駛的最大速度是70千米/時(shí)．§2.2函數(shù)的單調(diào)性與最值1．函數(shù)的單調(diào)性(1)單調(diào)函數(shù)的定義(2)單調(diào)區(qū)間的定義如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間D上是或，那么就說(shuō)函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，叫做y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間．2．函數(shù)的最值前提設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足條件(1)對(duì)于任意的x∈I，都有；(2)存在x0∈I，使得(3)對(duì)于任意的x∈I，都有；(4)存在x0∈I，使得.結(jié)論M為最大值M為最小值1．(2016·珠海摸底)下列函數(shù)中，定義域是R且為增函數(shù)的是()A．y＝e－x B．y＝x3C．y＝lnx D．y＝|x|答案：B2．函數(shù)y＝(2k＋1)x＋b在(－∞，＋∞)上是減函數(shù)，則()A．k>eq\f(1,2) B．k<eq\f(1,2)C．k>－eq\f(1,2) D．k<－eq\f(1,2)答案：D3．函數(shù)f(x)＝|x－2|x的單調(diào)減區(qū)間是()A．[1,2] B．[－1,0]C．[0,2] D．[2，＋∞)解析：由于f(x)＝|x－2|x＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2x，x≥2，,－x2＋2x，x＜2.))結(jié)合圖象可知函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是[1,2]．答案：A4．(2016·長(zhǎng)春市質(zhì)量檢測(cè))已知函數(shù)f(x)＝|x＋a|在(－∞，－1)上是單調(diào)函數(shù)，則a的取值范圍是()A．(－∞，1] B．(－∞，－1]C．[－1，＋∞] D．[1，＋∞)解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在(－∞，－a)上是單調(diào)函數(shù)，所以－a≥－1，解得a≤1.答案：A5．函數(shù)f(x)＝eq\f(1,x－1)在區(qū)間[a，b]上的最大值是1，最小值是eq\f(1,3)，則a＋b＝________.解析：易知f(x)在[a，b]上為減函數(shù)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fa＝1，,fb＝\f(1,3)))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,a－1)＝1，,\f(1,b－1)＝\f(1,3)))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝4.))∴a＋b＝6.答案：6練思維無(wú)所不通題型一確定函數(shù)的單調(diào)性(區(qū)間)命題點(diǎn)1給出具體解析式的函數(shù)的單調(diào)性例1：(1)下列函數(shù)中，在區(qū)間(0，＋∞)上為增函數(shù)的是()A．y＝ln(x＋2) B．y＝－eq\r(x＋1)C．y＝(eq\f(1,2))x D．y＝x＋eq\f(1,x)(2)函數(shù)f(x)＝logeq\f(1,2)(x2－4)的單調(diào)遞增區(qū)間是()A．(0，＋∞) B．(－∞，0)C．(2，＋∞) D．(－∞，－2)(3)y＝－x2＋2|x|＋3的單調(diào)增區(qū)間為_(kāi)_______．[解析](1)y＝ln(x＋2)的增區(qū)間為(－2，＋∞)，∴在區(qū)間(0，＋∞)上為增函數(shù)．(2)因?yàn)閥＝logeq\f(1,2)t在定義域上是減函數(shù)，所以求原函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，即求函數(shù)t＝x2－4的單調(diào)遞減區(qū)間，結(jié)合函數(shù)的定義域，可知所求區(qū)間為(－∞，－2)．(3)由題意知，當(dāng)x≥0時(shí)，y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4；當(dāng)x＜0時(shí)，y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，二次函數(shù)的圖象如圖．由圖象可知，函數(shù)y＝－x2＋2|x|＋3在(－∞，－1]，[0,1]上是增函數(shù)．答案](1)A(2)D(3)(－∞，－1]，[0,1]命題點(diǎn)2解析式含參函數(shù)的單調(diào)性例2：試討論函數(shù)f(x)＝eq\f(ax,x－1)(a≠0)在(－1,1)上的單調(diào)性．[解]設(shè)－1＜x1＜x2＜1，f(x)＝a(eq\f(x－1＋1,x－1))＝a(1＋eq\f(1,x－1))，f(x1)－f(x2)＝a(1＋eq\f(1,x1－1))－a(1＋eq\f(1,x2－1))＝eq\f(ax2－x1,x1－1x2－1)，由于－1＜x1＜x2＜1，所以x2－x1＞0，x1－1＜0，x2－1＜0，故當(dāng)a＞0時(shí)，f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，函數(shù)f(x)在(－1,1)上遞減；當(dāng)a＜0時(shí)，f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，函數(shù)f(x)在(－1,1)上遞增．綜上，當(dāng)a＞0時(shí)，f(x)在(－1,1)上單調(diào)遞減；當(dāng)a＜0時(shí)，f(x)在(－1,1)上單調(diào)遞增．【變式訓(xùn)練1】已知a＞0，函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(a,x)(x＞0)，證明：函數(shù)f(x)在(0，eq\r(a)]上是減函數(shù)，在[eq\r(a)，＋∞)上是增函數(shù)．[證明]方法一：任意取x1＞x2＞0，則f(x1)－f(x2)＝(x1＋eq\f(a,x1))－(x2＋eq\f(a,x2))＝(x1－x2)＋(eq\f(a,x1)－eq\f(a,x2))＝(x1－x2)＋eq\f(ax2－x1,x1x2)＝(x1－x2)(1－eq\f(a,x1x2))．當(dāng)eq\r(a)≥x1＞x2＞0時(shí)，x1－x2＞0,1－eq\f(a,x1x2)＜0，有f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，此時(shí)，函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(a,x)(a＞0)在(0，eq\r(a)]上為減函數(shù)；當(dāng)x1＞x2≥eq\r(a)時(shí)，x1－x2＞0,1－eq\f(a,x1x2)＞0，有f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，此時(shí)，函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(a,x)(a＞0)在[eq\r(a)，＋∞)上為增函數(shù)；綜上可知，函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(a,x)(a＞0)在(0，eq\r(a)]上為減函數(shù)，在[eq\r(a)，＋∞)上為增函數(shù)．方法二：f′(x)＝1－eq\f(a,x2)，令f′(x)＞0，則1－eq\f(a,x2)＞0，解得x＞eq\r(a)或x＜－eq\r(a)(舍)．令f′(x)＜0，則1－eq\f(a,x2)＜0，解得－eq\r(a)＜x＜eq\r(a).∵x＞0，∴0＜x＜eq\r(a).故f(x)在(0，eq\r(a)]上為減函數(shù)，在[eq\r(a)，＋∞)上為增函數(shù)．題型二函數(shù)的最值例3：已知函數(shù)f(x)＝eq\f(x2＋2x＋a,x)，x∈[1，＋∞)，a∈(－∞，1]．(1)當(dāng)a＝eq\f(1,2)時(shí)，求函數(shù)f(x)的最小值；(2)若對(duì)任意x∈[1，＋∞)，f(x)＞0恒成立，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍．[解](1)當(dāng)a＝eq\f(1,2)時(shí)，f(x)＝x＋eq\f(1,2x)＋2在[1，＋∞)上為增函數(shù)，f(x)min＝f(1)＝eq\f(7,2).(2)f(x)＝x＋eq\f(a,x)＋2，x∈[1，＋∞)．①當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)在[1，＋∞)內(nèi)為增函數(shù)．最小值為f(1)＝a＋3.要使f(x)＞0在x∈[1，＋∞)上恒成立，只需a＋3＞0，即a＞－3，所以－3＜a≤0.②當(dāng)0＜a≤1時(shí)，f(x)在[1，＋∞)上為增函數(shù)，f(x)min＝f(1)＝a＋3.所以a＋3＞0，a＞－3，所以0＜a≤1.綜上所述，f(x)在[1，＋∞)上恒大于零時(shí)，a的取值范圍是(－3,1]．【變式訓(xùn)練2】(1)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)，x≥1，,－x2＋2，x＜1))的最大值為_(kāi)_______．(2)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,a)－eq\f(1,x)(a＞0，x＞0)，若f(x)在[eq\f(1,2)，2]上的值域?yàn)閇eq\f(1,2)，2]，則a＝________.解析：(1)當(dāng)x≥1時(shí)，函數(shù)f(x)＝eq\f(1,x)為減函數(shù)，所以f(x)在x＝1處取得最大值，為f(1)＝1；當(dāng)x＜1時(shí)，易知函數(shù)f(x)＝－x2＋2在x＝0處取得最大值，為f(0)＝2.故函數(shù)f(x)的最大值為2.(2)由反比例函數(shù)的性質(zhì)知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,a)－eq\f(1,x)(a＞0，x＞0)在[eq\f(1,2)，2]上單調(diào)遞增，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f\f(1,2)＝\f(1,2)，,f2＝2，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)－2＝\f(1,2)，,\f(1,a)－\f(1,2)＝2，))解得a＝eq\f(2,5).答案：(1)2(2)eq\f(2,5)題型三函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用命題點(diǎn)1比較大小例4：已知函數(shù)f(x)＝log2x＋eq\f(1,1－x)，若x1∈(1,2)，x2∈(2，＋∞)，則()A．f(x1)＜0，f(x2)＜0B．f(x1)＜0，f(x2)＞0C．f(x1)＞0，f(x2)＜0D．f(x1)＞0，f(x2)＞0[解析]∵函數(shù)f(x)＝log2x＋eq\f(1,1－x)在(1，＋∞)上為增函數(shù)，且f(2)＝0，∴當(dāng)x1∈(1,2)時(shí)，f(x1)＜f(2)＝0，當(dāng)x2∈(2，＋∞)時(shí)，f(x2)＞f(2)＝0，即f(x1)＜0，f(x2)＞0.[答案]B例5：已知函數(shù)f(x)為R上的減函數(shù)，則滿足f(|eq\f(1,x)|)＜f(1)的實(shí)數(shù)x的取值范圍是()A．(－1,1)B．(0,1)C．(－1,0)∪(0,1)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)[解析]由f(x)為R上的減函數(shù)且f(|eq\f(1,x)|)＜f(1)，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|\f(1,x)|＞1，,x≠0))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|x|＜1，,x≠0.))∴－1＜x＜0或0＜x＜1.[答案]C命題點(diǎn)3求參數(shù)范圍例6：(1)如果函數(shù)f(x)＝ax2＋2x－3在區(qū)間(－∞，4)上是單調(diào)遞增的，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．a(chǎn)＞－eq\f(1,4) B．a(chǎn)≥－eq\f(1,4)C．－eq\f(1,4)≤a＜0 D．－eq\f(1,4)≤a≤0(2)已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－ax＋1，x＜1，,ax，x≥1))滿足對(duì)任意x1≠x2，都有eq\f(fx1－fx2,x1－x2)＞0成立，那么a的取值范圍是________．[解析](1)當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝2x－3，在定義域R上是單調(diào)遞增的，故在(－∞，4)上單調(diào)遞增；當(dāng)a≠0時(shí)，二次函數(shù)f(x)的對(duì)稱軸為x＝－eq\f(1,a)，因?yàn)閒(x)在(－∞，4)上單調(diào)遞增，所以a＜0，且－eq\f(1,a)≥4，解得－eq\f(1,4)≤a＜0.綜合上述得－eq\f(1,4)≤a≤0.(2)由已知條件得f(x)為增函數(shù)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－a＞0，,a＞1，,2－a×1＋1≤a，))解得eq\f(3,2)≤a＜2，∴a的取值范圍是[eq\f(3,2)，2)．[答案](1)D(2)[eq\f(3,2)，2)【變式訓(xùn)練3】若f(x)＝－x2＋2ax與g(x)＝eq\f(a,x＋1)在區(qū)間[1,2]上都是減函數(shù)，則a的取值范圍是()A．(－1,0)∪(0,1) B．(－1,0)∪(0,1]C．(0,1) D．(0,1]解析：由f(x)＝－x2＋2ax在[1,2]上是減函數(shù)可得[1,2]?[a，＋∞)，∴a≤1.∵y＝eq\f(1,x＋1)在(－1，＋∞)上為減函數(shù)，∴由g(x)＝eq\f(a,x＋1)在[1,2]上是減函數(shù)可得a＞0，故0＜a≤1.答案：D練方法無(wú)所不曉確定抽象函數(shù)單調(diào)性解函數(shù)不等式[例](12分)函數(shù)f(x)對(duì)任意的m、n∈R，都有f(m＋n)＝f(m)＋f(n)－1，并且x＞0時(shí)，恒有f(x)＞1.(1)求證：f(x)在R上是增函數(shù)；(2)若f(3)＝4，解不等式f(a2＋a－5)＜2.[規(guī)范解答](1)證明：設(shè)x1，x2∈R，且x1＜x2，∴x2－x1＞0，∵當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＞1，∴f(x2－x1)＞1.(2分)f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1]＝f(x2－x1)＋f(x1)－1，(4分)∴f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)－1＞0?f(x1)＜f(x2)，(6分)∴f(x)在R上為增函數(shù)．(2)解：∵m，n∈R，不妨設(shè)m＝n＝1，(8分)∴f(1＋1)＝f(1)＋f(1)－1?f(2)＝2ff(3)＝4?f(2＋1)＝4?f(2)＋f(1)－1＝4?3f∴f(1)＝2，∴f(a2＋a－5)＜2＝f(1)，(10分)∵f(x)在R上為增函數(shù)，∴a2＋a－5＜1?－3＜a＜2，即a∈(－3,2)．(12分)易錯(cuò)題萬(wàn)無(wú)一失[典例]已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a－1x＋4a，x<1，,logax，x≥1))是(－∞，＋∞)上的減函數(shù)，那么a的取值范圍是()A．(0,1) B．(0，eq\f(1,3))C．[eq\f(1,7)，eq\f(1,3)) D．[eq\f(1,7)，1)[解析]當(dāng)x＝1時(shí)，loga1＝0，若f(x)為R上的減函數(shù)，則(3a－1)x＋4a>0在令g(x)＝(3a－1)x＋4a，則必有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a－1<0，,g1≥0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a－1<0，,3a－1＋4a≥0))?eq\f(1,7)≤a<eq\f(1,3).此時(shí)，logax是減函數(shù)，符合題意．[答案]C練小題無(wú)所不會(huì)練大題無(wú)所不能一、選擇題(每小題5分，共60分)1．(2016·安徽師大附中模擬)下列函數(shù)中，在區(qū)間(0，＋∞)內(nèi)為增函數(shù)的是()A．y＝eq\r(x＋1) B．y＝(x－1)2C．y＝2－x D．y＝log0.5(x＋1)解析：對(duì)于A，函數(shù)y＝eq\r(x＋1)在[－1，＋∞)上為增函數(shù)，符合題意；對(duì)于B，y＝(x－1)2在(0,1)上為減函數(shù)，不符合題意；對(duì)于C，y＝2－x為(－∞，＋∞)上的減函數(shù)，不符合題意；對(duì)于D，y＝log0.5(x＋1)在(－1，＋∞)上為減函數(shù)，不符合題意．答案：A2．(2017·江山實(shí)驗(yàn)中學(xué)月考)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閧x∈R|x≠1}，對(duì)定義域中任意的x，都有f(2－x)＝f(x)，且當(dāng)x<1時(shí)，f(x)＝2x2－x，那么當(dāng)x>1時(shí)，f(x)的遞增區(qū)間是()A．[eq\f(5,4)，＋∞) B．(1，eq\f(5,4)]C．[eq\f(7,4)，＋∞) D．(1，eq\f(7,4))解析：∵對(duì)定義域中任意的x，都有f(2－x)＝f(x)，∴f(x)關(guān)于x＝1對(duì)稱，當(dāng)x<1時(shí)，f(x)的遞減區(qū)間為(－∞，eq\f(1,4))，當(dāng)x>1時(shí)，f(x)的遞增區(qū)間為區(qū)間(－∞，eq\f(1,4)]關(guān)于x＝1的對(duì)稱區(qū)間，即[eq\f(7,4)，＋∞)．答案：C3．(2017·蚌埠市模擬)若函數(shù)f(x)＝2x2－lnx在其定義域的一個(gè)子區(qū)間(k－1，k＋1)內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()A．[1，＋∞) B．[1，eq\f(3,2))C．[1,2) D．[eq\f(3,2)，2)解析：函數(shù)f(x)＝2x2－lnx的定義域?yàn)?0，＋∞)，則f′(x)＝4x－eq\f(1,x)＝eq\f(4x2－1,x)＝eq\f(2x＋12x－1,x)，由x>0，解不等式f′(x)>0，得x>eq\f(1,2)；解不等式f′(x)<0，得0<x<eq\f(1,2)，因此x＝eq\f(1,2)是函數(shù)f(x)＝2x2－lnx的極小值點(diǎn)．由于函數(shù)f(x)＝2x2－lnx在其定義域的一個(gè)子區(qū)間(k－1，k＋1)內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，因此eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k－1≥0，,k－1<\f(1,2)<k＋1，))解得1≤k<eq\f(3,2).答案：B4．(2017·河南聯(lián)考)已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋1)＝f(1－x)且在[1，＋∞)上是增函數(shù)，不等式f(ax＋2)≤f(x－1)對(duì)任意x∈[eq\f(1,2)，1]恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．[－3，－1] B．[－2,0]C．[－5，－1] D．[－2,1]解析：因?yàn)槎x在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋1)＝f(1－x)且在[1，＋∞)上是增函數(shù)，所以函數(shù)圖象關(guān)于x＝1對(duì)稱，且函數(shù)f(x)在(－∞，1)上遞減，由此得出自變量離1越近，函數(shù)值越?。C合考慮四個(gè)選項(xiàng)，四個(gè)選項(xiàng)中的集合中，0,1不存在于A，C兩個(gè)選項(xiàng)的集合中，B中集合是D中集合的子集，故可通過(guò)驗(yàn)證a的值(取0與1兩種情況)得出正確選項(xiàng)．當(dāng)a＝0時(shí)，不等式f(ax＋2)≤f(x－1)變?yōu)閒(2)≤f(x－1)，由函數(shù)f(x)的圖象特征可得出|2－1|≤|x－1－1|，解得x≥3或x≤1，滿足不等式f(ax＋2)≤f(x－1)對(duì)任意x∈[eq\f(1,2)，1]恒成立，由此排除A，C兩個(gè)選項(xiàng)．當(dāng)a＝1時(shí)，不等式f(ax＋2)≤f(x－1)變?yōu)閒(x＋2)≤f(x－1)，由函數(shù)f(x)的圖象特征可得出|x＋2－1|≤|x－1－1|，解得x≤eq\f(1,2)，不滿足不等式f(ax＋2)≤f(x－1)對(duì)任意x∈[eq\f(1,2)，1]恒成立，由此排除D選項(xiàng)．答案：B5．(2016·德州市模擬)設(shè)偶函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上為增函數(shù)，且f(1)＝0，則不等式eq\f(fx＋f－x,x)>0的解集為()A．(－1,0)∪(1，＋∞)B．(－∞，－1)∪(0,1)C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D．(－1,0)∪(0,1)解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)為偶函數(shù)，且在區(qū)間(0，＋∞)上是增函數(shù)，f(1)＝0，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(－∞，0)上是減函數(shù)，且f(－1)＝0.由eq\f(fx＋f－x,x)>0，可得eq\f(2fx,x)>0，即eq\f(fx,x)>0，當(dāng)x<0時(shí)，f(x)<0，即f(x)<f(－1)，解得－1<x<0；當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>0，即f(x)>f(1)，解得x>1.答案：A6．函數(shù)y＝(eq\f(1,3))2x2－3x＋1的單調(diào)遞增區(qū)間為()A．(1，＋∞) B．(－∞，eq\f(3,4)]C．(eq\f(1,2)，＋∞) D．[eq\f(3,4)，＋∞)解析：令u＝2x2－3x＋1＝2(x－eq\f(3,4))2－eq\f(1,8).因?yàn)閡＝2(x－eq\f(3,4))2－eq\f(1,8)在(－∞，eq\f(3,4)]上單調(diào)遞減，函數(shù)y＝(eq\f(1,3))u在R上單調(diào)遞減．所以y＝(eq\f(1,3))2x2－3x＋1在(－∞，eq\f(3,4))上單調(diào)遞增．答案：B7．(2016·哈爾濱聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，當(dāng)x2>x1>1時(shí)，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，設(shè)a＝f(－eq\f(1,2))，b＝f(2)，c＝f(e)，則a，b，c的大小關(guān)系為()A．c>a>b B．c>b>aC．a(chǎn)>c>b D．b>a>c解析：因f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱．由此可得f(－eq\f(1,2))＝f(eq\f(5,2))．由x2>x1>1時(shí)，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，知f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞減．∵1<2<eq\f(5,2)<e，∴f(2)>f(eq\f(5,2))>f(e)，∴b>a>c.答案：D8．f(x)是定義在(0，＋∞)上的單調(diào)增函數(shù)，滿足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1，當(dāng)f(x)＋f(x－8)≤2時(shí)，x的取值范圍是()A．(8，＋∞) B．(8,9]C．[8,9] D．(0,8)解析：2＝1＋1＝f(3)＝f(3)＝f(9)，由f(x)＋f(x－8)≤2，可得f[x(x－8)]≤f(9)，因?yàn)閒(x)是定義在(0，＋∞)上的增函數(shù)，所以有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>0，,x－8>0，,xx－8≤9，))解得8<x≤9.答案：B9．如果函數(shù)f(x)＝ax2＋2x－3在區(qū)間(－∞，4)上是單調(diào)遞增的，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(－eq\f(1,4)，＋∞) B．[－eq\f(1,4)，＋∞)C．[－eq\f(1,4)，0) D．[－eq\f(1,4)，0]解析：當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝2x－3，在定義域R上是單調(diào)遞增的，故在(－∞，4)上單調(diào)遞增；當(dāng)a≠0時(shí)，二次函數(shù)f(x)的對(duì)稱軸為x＝－eq\f(1,a)，因?yàn)閒(x)在(－∞，4)上單調(diào)遞增，所以a<0，且－eq\f(1,a)≥4，解得－eq\f(1,4)≤a<0.綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是[－eq\f(1,4)，0]．答案：D10．定義新運(yùn)算⊕：當(dāng)a≥b時(shí)，a⊕b＝a；當(dāng)a＜b時(shí)，a⊕b＝b2.則函數(shù)f(x)＝(1⊕x)x－(2⊕x)，x∈[－2,2]的最大值等于()A．－1 B．1C．6 D．12解析：由已知得，當(dāng)－2≤x≤1時(shí)，f(x)＝x－2；當(dāng)1＜x≤2時(shí)，f(x)＝x3－2.∵f(x)＝x－2，f(x)＝x3－2在定義域內(nèi)都為增函數(shù)，∴f(x)的最大值為f(2)＝23－2＝6.答案：C11．(2016·河北衡水中學(xué)一調(diào))設(shè)f(x)是奇函數(shù)，對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，y，有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且當(dāng)x>0時(shí)，f(x)<0，則f(x)在區(qū)間[a，b]上()A．有最小值f(a) B．有最大值f(a)C．有最大值f(eq\f(a＋b,2)) D．有最小值f(eq\f(a＋b,2))解析：∵f(x)是奇函數(shù)，且對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，y，有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，∴f(0)＝0.當(dāng)x>0時(shí)，f(x)<0，則當(dāng)x<0時(shí)，f(x)>0.對(duì)任意x1，x2∈R，當(dāng)x1<x2時(shí)，總有f(x1－x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f(x1)－f(x2)，∵x1－x2<0，∴f(x1－x2)>0，即f(x1)－f(x2)>0，故f(x)在R上是減函數(shù)，故f(x)在區(qū)間[a，b]上有最大值f(a)．故選B.答案：B12．(2016·四川綿陽(yáng)高中第二次診斷)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,2)x2＋eq\f(b,x)＋c(b，c是常數(shù))和g(x)＝eq\f(1,4)x＋eq\f(1,x)是定義在M＝{x|1≤x≤4}上的函數(shù)，對(duì)于任意的x∈M，存在x0∈M使得f(x)≥f(x0)，g(x)≥g(x0)，且f(x0)＝g(x0)，則f(x)在集合M上的最大值為()A.eq\f(7,2) B．5C．6 D．8解析：因?yàn)間(x)＝eq\f(1,4)x＋eq\f(1,x)≥2eq\r(\f(1,4))＝1(當(dāng)且僅當(dāng)x＝2時(shí)等號(hào)成立)，所以f(2)＝2＋eq\f(b,2)＋c＝g(2)＝1，所以c＝－1－eq\f(b,2)，所以f(x)＝eq\f(1,2)x2＋eq\f(b,x)＋c＝eq\f(1,2)x2＋eq\f(b,x)－1－eq\f(b,2)，所以f′(x)＝x－eq\f(b,x2)＝eq\f(x3－b,x2).因?yàn)閒(x)在x＝2處取最小值，所以f′(2)＝0，解得b＝8，所以c＝－5，所以f(x)＝eq\f(1,2)x2＋eq\f(8,x)－5，f′(x)＝eq\f(x3－8,x2)，所以f(x)在[1,2]單調(diào)遞減，在[2,4]上單調(diào)遞增，而f(1)＝eq\f(1,2)＋8－5＝eq\f(7,2)，f(4)＝8＋2－5＝5，所以函數(shù)f(x)的最大值為5.故選B.答案：B二、填空題(每小題5分，共20分)13．已知函數(shù)f(x)為(0，＋∞)上的增函數(shù)，若f(a2－a)>f(a＋3)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_______．解析：由已知可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－a>0，,a＋3>0，,a2－a>a＋3，))解得－3<a<－1或a>3.所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為(－3，－1)∪(3，＋∞)．答案：(－3，－1)∪(3，＋∞)14．設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，x>0，,0，x＝0，,－1，x<0，))g(x)＝x2f(x－1)，則函數(shù)g(x)的遞減區(qū)間是________．解析：由題意知g(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2，x>1，,0，x＝1，,－x2，x<1.))函數(shù)圖象如圖所示，其遞減區(qū)間是[0,1)．答案：[0,1)15．(改編題)已知a>0且a≠1，若函數(shù)f(x)＝loga(ax2－x)在[3,4]上是增函數(shù)，則a的取值范圍是________．解析：當(dāng)a>1時(shí)，要使y＝ax2－x在[3,4]上單調(diào)遞增，且y＝ax2－x>0恒成立，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>1，,\f(1,2a)≤3，,9a－3>0，))解得a>1.當(dāng)0<a<1時(shí)，要使y＝ax2－x在[3,4]上單調(diào)遞減，且y＝ax2－x>0恒成立，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<a<1，,\f(1,2a)≥4，,16a－4>0，))此時(shí)無(wú)解．綜上，可知a的取值范圍為(1，＋∞)．答案：(1，＋∞)16．對(duì)于函數(shù)f(x)，若存在區(qū)間A＝[m，n]，使得{y|y＝f(x)，x∈A)＝A，則稱函數(shù)f(x)為“同域函數(shù)”，區(qū)間A為函數(shù)f(x)的一個(gè)“同域區(qū)間”．給出下列四個(gè)函數(shù)：①f(x)＝coseq\f(π,2)x；②f(x)＝x2－1；③f(x)＝|2x－1|；④f(x)＝log2(x－1)．存在“同域區(qū)間”的“同域函數(shù)”的序號(hào)是________(請(qǐng)寫出所有正確結(jié)論的序號(hào))．解析：當(dāng)x∈[0,1]時(shí)，coseq\f(π,2)x∈[0,1]，①正確；當(dāng)x∈[－1,0]時(shí)，x2－1∈[－1,0]，②正確；當(dāng)x∈[0,1]時(shí)，|2x－1|∈[0,1]，③正確；可以判斷y＝log2(x－1)＝x是否有兩個(gè)根，由圖象可知y＝x與y＝log2(x－1)沒(méi)有交點(diǎn)，④錯(cuò)誤．答案：①②③三、解答題(每小題10分，共20分)17．已知函數(shù)f(x)＝lg(x＋eq\f(a,x)－2)，其中a是大于0的常數(shù)．(1)求函數(shù)f(x)的定義域；(2)當(dāng)a∈(1,4)時(shí)，求函數(shù)f(x)在[2，＋∞)上的最小值；(3)若對(duì)任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)＞0，試確定a的取值范圍．解：(1)由x＋eq\f(a,x)－2＞0，得eq\f(x2－2x＋a,x)＞0，當(dāng)a＞1時(shí)，x2－2x＋a＞0恒成立，定義域?yàn)?0，＋∞)，當(dāng)a＝1時(shí)，定義域?yàn)閧x|x＞0且x≠1}，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，定義域?yàn)閧x|0＜x＜1－eq\r(1－a)或x＞1＋eq\r(1－a)}．(2)設(shè)g(x)＝x＋eq\f(a,x)－2，當(dāng)a∈(1,4)，x∈[2，＋∞)時(shí)，g′(x)＝1－eq\f(a,x2)＝eq\f(x2－a,x2)＞0恒成立，∴g(x)＝x＋eq\f(a,x)－2在[2，＋∞)上是增函數(shù)．∴f(x)＝lg(x＋eq\f(a,x)－2)在[2，＋∞)上是增函數(shù)．∴f(x)＝lg(x＋eq\f(a,x)－2)在[2，＋∞)上的最小值為f(2)＝lgeq\f(a,2).(3)對(duì)任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)＞0，即x＋eq\f(a,x)－2＞1對(duì)x∈[2，＋∞)恒成立．∴a＞3x－x2，而h(x)＝3x－x2＝－(x－eq\f(3,2))2＋eq\f(9,4)在x∈[2，＋∞)上是減函數(shù)，∴h(x)max＝h(2)＝2，∴a＞2，即a的取值范圍為(2，＋∞)．18．已知定義在區(qū)間(0，＋∞)上的函數(shù)f(x)滿足f(eq\f(x1,x2))＝f(x1)－f(x2)，且當(dāng)x>1時(shí)，f(x)<0.(1)求f(1)的值；(2)證明：f(x)為單調(diào)遞減函數(shù)；(3)若f(3)＝－1，求f(x)在[2,9]上的最小值．解析：(1)令x1＝x2>0，代入得f(1)＝f(x1)－f(x1)＝0，故f(1)＝0.(2)證明：任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1>x2，則eq\f(x1,x2)>1，由于當(dāng)x>1時(shí)，f(x)<0，所以f(eq\f(x1,x2))<0，即f(x1)－f(x2)<0，因此f(x1)<f(x2)，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上是單調(diào)遞減函數(shù)．(3)∵f(x)在(0，＋∞)上是單調(diào)遞減函數(shù)．∴f(x)在[2,9]上的最小值為f(9)．由f(eq\f(x1,x2))＝f(x1)－f(x2)得，f(eq\f(9,3))＝f(9)－f(3)，而f(3)＝－1，所以f(9)＝－2.∴f(x)在[2,9]上的最小值為－2.§2.3函數(shù)的奇偶性與周期性1．函數(shù)的奇偶性奇偶性定義圖象特征偶函數(shù)如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有，那么函數(shù)f(x)是偶函數(shù)關(guān)于對(duì)稱奇函數(shù)如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有，那么函數(shù)f(x)是奇函數(shù)關(guān)于對(duì)稱2.周期性(1)周期函數(shù)：對(duì)于函數(shù)y＝f(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時(shí)，都有，那么就稱函數(shù)y＝f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個(gè)函數(shù)的周期．(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期．1．(2016·北京海淀期中)下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是()A．y＝eq\r(x) B．y＝lg|x|C．y＝(x－1)2 D．y＝2x解析：函數(shù)y＝eq\r(x)是非奇非偶函數(shù)，y＝lg|x|是偶函數(shù)，y＝(x－1)2與y＝2x是非奇非偶函數(shù)．故選B.答案：B2．(2016·黑龍江齊齊哈爾實(shí)驗(yàn)中學(xué)期中)下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在(0，＋∞)上單調(diào)遞減的是()A．y＝x B．y＝cosxC．y＝ln|x＋1| D．y＝－2|x|解析：A中函數(shù)是非奇非偶函數(shù)；B中函數(shù)在(0，＋∞)上有增有減；C中函數(shù)是非奇非偶函數(shù)．由圖象可知選D.答案：D3．(2016·北京西城期末聯(lián)考)下列函數(shù)中，值域?yàn)閇0，＋∞)的偶函數(shù)是()A．y＝x2＋1 B．y＝lgxC．y＝|x| D．y＝xcosx解析：B，D不是偶函數(shù)，A是偶函數(shù)，但值域?yàn)閇1，＋∞)，C是偶函數(shù)，值域是[0，＋∞)．故選C.答案：C4．(2016·山東牟平一中期末)下列函數(shù)中，不是偶函數(shù)的是()A．f(x)＝x2＋4 B．f(x)＝|tanx|C．f(x)＝cos2x D．f(x)＝3x－3－x解析：A選項(xiàng)，f(－x)＝(－x)2＋4＝x2＋4＝f(x)，所以f(x)為偶函數(shù)；B選項(xiàng)，f(－x)＝|tan(－x)|＝|tanx|＝f(x)，所以f(x)為偶函數(shù)；C選項(xiàng)，f(－x)＝cos2(－x)＝cos2x＝f(