探究類比歸納專題(含答案)

探究類比歸納〔2012/5/26〕27.〔2011年青海，27,10分〕認真閱讀下面關(guān)于三角形內(nèi)外角平分線所夾的探究片段，完成所提出的問題.探究1：如圖11-1，在△ABC中，O是∠ABC與∠ACB的平分線BO和CO的交點，∠BOC與∠A的關(guān)系為探究2：如圖11-2中,O是∠ABC與外角∠ACD的平分線BO和CO的交點，試分析∠BOC與∠A有怎樣的關(guān)系？請說明理由.探究3：如圖11-3中，O是外角∠DBC與外角∠ECB的平分線BO和CO的交點，那么∠BOC與∠A有怎樣的關(guān)系？〔只寫結(jié)論，不需證明〕結(jié)論：.25．〔2011四川樂山〕如圖〔1〕,在直角△ABC中,∠ACB=90,CD⊥AB,垂足為D,點E在AC上,BE交CD于點G,EF⊥BE交AB于點F,假設(shè)AC=mBC,CE=nEA(m,n為實數(shù)).試探究線段EF與EG的數(shù)量關(guān)系.如圖〔2〕,當(dāng)m=1,n=1時,EF與EG的數(shù)量關(guān)系是證明:如圖〔3〕,當(dāng)m=1,n為任意實數(shù)時,EF與EG的數(shù)量關(guān)系是證明如圖〔1〕,當(dāng)m,n均為任意實數(shù)時,EF與EG的數(shù)量關(guān)系是(寫出關(guān)系式,不必證明)27．〔2011鹽城〕〔此題總分值12分〕情境觀察將矩形ABCD紙片沿對角線AC剪開，得到△ABC和△A′C′D，如圖1所示.將△A′C′D的頂點A′與點A重合，并繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，使點D、A(A′)、B在同一條直線上，如圖2所示．觀察圖2可知：與BC相等的線段是，∠CAC′=．圖1圖1圖2問題探究向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，過點E、F作射線GA的垂線，垂足分別為P、Q.試探究EP與FQ之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.圖3圖4圖3圖4拓展延伸如圖4，△ABC中，AG⊥BC于點G，分別以AB、AC為一邊向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射線GA交EF于點H.假設(shè)AB=kAE，AC=kAF，試探究HE與HF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.25．〔11·南平〕〔12分〕〔1〕操作發(fā)現(xiàn)：如圖1，在矩形ABCD中，E是BC的中點，將△ABE沿AE折疊后得到△AFE，點F在矩形ABCD內(nèi)部，延長AF交CD于點G．猜測線段GF與GC有何數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論．〔2〕類比探究：如圖2，將〔1〕中的矩形ABCD改為平行四邊形，其它條件不變，〔1〕中的結(jié)論是否仍然成立？請說明理由．ABABEFGCD〔11·遼阜新〕如圖，點P是正方形ABCD對角線AC上一動點，點E在射線BC上，且PE＝EB，連接PD，O為AC中點．〔1〕如圖1，當(dāng)點P在線段AO上時，試猜測PE與PD的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，不用說明理由；〔2〕如圖2，當(dāng)點P在線段OC上時，〔1〕中的猜測還成立嗎？請說明理由；〔3〕如圖3，當(dāng)點P在AC的延長線上時，請你在圖3中畫出相應(yīng)的圖形〔尺規(guī)作圖，保存作圖痕跡，不寫作法〕，并判斷〔1〕中的猜測是否成立？假設(shè)成立，請直接寫出結(jié)論；假設(shè)不成立，請說明理由．ABCABCDO·ABCDPEO·ABCDPEO·25、〔2011?臨沂〕如圖1，將三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角頂點E與正方形ABCD的頂點A重合，三角扳的一邊交CD于點F．另一邊交CB的延長線于點G．〔1〕求證：EF=EG；〔2〕如圖2，移動三角板，使頂點E始終在正方形ABCD的對角線AC上，其他條件不變，〔1〕中的結(jié)論是否仍然成立？假設(shè)成立，請給予證明：假設(shè)不成立．請說明理由：〔3〕如圖3，將〔2〕中的“正方形ABCD”改為“矩形ABCD”，且使三角板的一邊經(jīng)過點B，其他條件不變，假設(shè)AB=a、BC=b，求EFEG〔2011湖北黃石〕⊙與⊙相交于、兩點，點在⊙上，為⊙上一點〔不與，，重合〕，直線與⊙交于另一點?！?〕如圖〔8〕，假設(shè)是⊙的直徑，求證：；〔2〕如圖(9)，假設(shè)是⊙外一點，求證：；〔3〕如圖〔10〕，假設(shè)是⊙內(nèi)一點，判斷〔2〕中的結(jié)論是否成立〔四川樂山〕25.〔1〕圖甲：連接DE，∵AC=mBC，CD⊥AB，當(dāng)m=1，n=1時∴AD=BD，∠ACD=45°，∴CD=AD=AB，∵AE=nEC，∴DE=AE=EC=AC，∴∠EDC=45°，DE⊥AC，∵∠A=45°，∴∠A=∠EDG，∵EF⊥BE，∵∠AEF+∠FED=∠EFD+∠DEG=90°，∴∠AEF=∠DEG，∴△AEF≌△DEG〔ASA〕，∴EF=EG．〔2〕解：EF=EG證明：作EM⊥AB于點M，EN⊥CD于點N，∵EM∥CD，∴△AEM∽△ACD，∴即EM=CD，同理可得，EN=AD，∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴tanA=，∴，又∵EM⊥AB，EN⊥CD，∴∠EMF=∠ENG=90°，∵EF⊥BE，∴∠FEM=∠GEN，∴△EFM∽△EGN，∴，即EF=EG；〔3〕EF=EG．〔2011江蘇鹽城〕27.解：情境觀察AD〔或A′D〕，90問題探究結(jié)論：EP=FQ.證明：∵△ABE是等腰三角形，∴AB=AE，∠BAE=90°.∴∠BAG+∠EAP=90°.∵AG⊥BC，∴∠BAG+∠ABG=90°，∴∠ABG=∠EAP.∵EP⊥AG，∴∠AGB=∠EPA=90°，∴Rt△ABG≌Rt△EAP.∴AG=EP.同理AG=FQ.∴EP=FQ.拓展延伸結(jié)論：HE=HF.理由：過點E作EP⊥GA，F(xiàn)Q⊥GA，垂足分別為P、Q.∵四邊形ABME是矩形，∴∠BAE=90°，∴∠BAG+∠EAP=90°.AG⊥BC，∴∠BAG+∠ABG=90°，∴∠ABG=∠EAP.∵∠AGB=∠EPA=90°，∴△ABG∽△EAP，∴eq\f(AG,EP)=eq\f(AB,EA).同理△ACG∽△FAQ，∴eq\f(AG,FP)=eq\f(AC,FA).∵AB=kAE，AC=kAF，∴eq\f(AB,EA)=eq\f(AC,FA)=k，∴eq\f(AG,EP)=eq\f(AG,FP).∴EP=FQ.∵∠EHP=∠FHQ，∴Rt△EPH≌Rt△FQH.∴HE=HF〔2011福建南平〕〔1〕連接FC，ABEFGCD1234由折疊知：BEABEFGCD1234∴∠EFG＝∠C＝90°∵E是BC的中點，∴BE＝CE∴CE＝EF∴∠1＝∠2∵∠EFG＝∠C∴∠3＝∠4∴FG＝CGCEDFCEDFBAG1234由折疊知：BE＝EF∠AFE＝∠B∵E是BC的中點，∴BE＝CE∴CE＝EF∴∠1＝∠2又∵∠AFE＋∠EFG＝180°∠B＋∠ECG＝180°∴∠EFG＝∠ECG∴∠3＝∠4∴FG＝CGABABCDPEO·12543〔1〕PE＝PD且PE⊥PD………………2分〔2〕成立………………3分理由：∵四邊形ABCD是正方形∴BC＝DC，∠BCP＝∠DCP＝45°，∠BCD＝90°又∵PC＝PC∴△BCP≌△DCP∴PB＝PD，∠1＝∠2又∵PE＝PB∴PE＝PD，∠1＝∠3………………5分ABCDO·PEABCDO·PE∵∠BCD＝90°∴∠DCE＝90°∴∠DPE＝180°―∠2―∠5∠DCE＝180°―∠3―∠4又∵∠4＝∠5∴∠DPE＝∠DCE＝90°即PE⊥PD………………9分〔3〕仍然成立………………10分作圖如圖………………12分2011山東臨沂〔1〕證明：∵∠GEB+∠BEF=90°，∠DEF+∠BEF=90°，∴∠DEF=∠GEB，又∵ED=BE，∴Rt△FED≌Rt△GEB，∴EF=EG；〔2〕成立．證明：如圖，過點E分別作BC、CD的垂線，垂足分別為H、I，那么EH=EI，∠HEI=90°，∵∠GEH+∠HEF=90°，∠IEF+∠HEF=90°，∴∠IEF=∠GEH，∴Rt△FEI≌Rt△GEH，∴EF=EG；〔3〕解：如圖，過點E分別作BC、CD的垂線，垂足分別為M、N，那么∠MEN=90°，∴EM∥AB，EN∥AD．∴△CEN∽△CAD，△CEM∽△CAB，∴NEAD=CE∴NEAD=EMAB，即EN∵∠IEF+∠FEM=∠GEM+∠FEM=90°，∴∠GEM=∠FEN，∵∠GME=∠FNE=90°，∴△GME∽△FNE，∴EFEG=ENEM點評：此題考查了正方形，矩形的性質(zhì)，以及全等三角形與相似三角形的判定與性質(zhì)．此題綜合性較強，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．〔2011湖北黃石〕證明：〔1〕如圖〔一〕，連接，∵為⊙的直徑∴∴為⊙的直徑∴在上又，為的中點∴△是以為底邊的等腰三角形∴ 〔3分〕〔2〕如圖〔二〕，連接，并延長交⊙與點，連∵四邊形內(nèi)接于⊙∴又∵∴∴又為⊙的直徑∴∴ 〔3分〕〔3〕如圖〔三〕，連接，并延長交⊙與點，連∵又∴∴又∴ 〔3分〕9．解：〔1〕把x＝0代入y＝－EQ\F(1,4)(x－1)2＋3，得y＝EQ\F(11,4)∴點A的坐標為〔0，EQ\F(11,4)〕∵BC為對稱軸，B〔1，3〕，∴OC＝1圖1ABOCxyDEPQMN〔2〕①如圖1，過點D圖1ABOCxyDEPQMN∵PQ∥BC，∴∠DMQ＝∠DNQ＝∠MDN＝90°∴四邊形MDNQ為矩形∵∠CDE＝∠MDN＝90°，∴∠CDM＝∠EDN又∵DC＝DE，∴Rt△DCM≌Rt△DEN∴DM＝DN，∴四邊形MDNQ為正方形∴∠DQC＝45°，∴△BCQ為等腰直角三角形∴CQ＝BC＝3，∴OQ＝4，∴Q〔4，0〕設(shè)直線BQ的函數(shù)解析式y(tǒng)＝kx＋b，把B〔1，3〕，Q〔4，0〕代入求得k＝－1，b＝4∴線BQ的函數(shù)解析式y(tǒng)＝－x＋4②當(dāng)點P在對稱軸的右側(cè)時，如圖2，過點D分別作DM⊥x軸于M，DN⊥PQ于N圖2ABOCxy圖2ABOCxyDEPQMN∵∠CDM＋∠MDE＝∠EDN＋∠MDE＝90°∴∠CDM＝∠EDN，∴Rt△CDM≌Rt△EDN∴EQ\F(CD,DE)＝EQ\F(DM,DN)∵DN＝MQ，∴EQ\F(CD,DE)＝EQ\F(DM,MQ)∵DM∥BC，∴EQ\F(DM,MQ)＝EQ\F(BC,CQ)，∴EQ\F(CD,DE)＝EQ\F(3,m－1)當(dāng)∠DCE＝30°時，EQ\F(CD,DE)＝EQ\F(3,m－1)＝eq\r(,3)∴m＝1＋eq\r(,3)，代入拋物線的解析式，得y＝EQ\F(9,4)∴P1〔1＋eq\r(,3)，EQ\F(9,4)〕當(dāng)∠DCE＝60°時，EQ\F(CD,DE)＝EQ\F(3,m－1)＝EQ\F(eq\r(,3),3)∴m＝1＋3eq\r(,3)，代入拋物線的解析式，得y＝－EQ\F(15,4)∴P2〔1＋3eq\r(,3)，－EQ\F(15,4)〕當(dāng)點P在對稱軸的左側(cè)時，由對稱性知∴P3〔1－eq\r(,3)，EQ\F(9,4)〕，P4〔1－3eq\r(,3)，－EQ\F(15,4)〕綜上所述，滿足條件的點P的坐標為：P1〔1＋eq\r(,3)，EQ\F(9,4)〕，P2〔1＋3eq\r(,3)，－EQ\F(15,4)〕，P3〔1－eq\r(,3)，EQ\F(9,4)〕，P4〔1－3eq\r(,3)，－EQ\F(15,4)〕4．在□ABCD中，∠BAD的平分線交直線BC于點E，交直線DC于點F．〔1〕在圖1中證明CE＝CF；〔2〕假設(shè)∠ABC＝90°，G是EF的中點〔如圖2〕，直接寫出∠BDG的度數(shù)〔3〕假設(shè)∠ABC＝120°，F(xiàn)G∥CE，F(xiàn)G＝CE，分別連結(jié)DB、DG〔如圖3〕，求∠BDG的度數(shù)．圖3AD圖3ADBCEFG圖2ABCFDEG圖1ABCFDE4．〔1〕證明：如圖1圖1ABCFDE∵AF平分BAD，圖1ABCFDE∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AB∥CD∴DAF＝CEF，BAF＝F∴CEF＝F∴CE＝CF 2分〔2〕BDG＝45 3分〔3〕解：分別連結(jié)GB、GE、GC〔如圖3〕∵AB∥DC，ABC＝120，∴ECF＝ABC＝120圖3ADBCEFG123∵FG∥圖3ADBCEFG123由〔1〕得CE＝CF，∴CEGF是菱形∴EG＝EC，GCE＝GCF＝EQ\F(1,2)ECF＝60∴△ECG是等邊三角形∴EG＝CG①GEC＝EGC＝60，∴GEC＝GCF∴BEG＝DCG②由AD∥BC及AF平分BAD可得BAE＝AEB，∴AB＝BE在□ABCD中，AB＝DC∴BE＝DC③由①②③得△BEG≌△DCG，∴BG＝DG，∠1＝∠2∴BGD＝1＋3＝2＋3＝EGC＝60∴△BDG是等邊三角形∴BDG＝60 7分10．矩形紙片ABCD中，AD＝12cm，現(xiàn)將這張紙片按以下圖示方式折疊，AE是折痕．〔1〕如圖1，P，Q分別為AD，BC的中點，點D的對應(yīng)點F在PQ上，求PF和AE的長；〔2〕如圖2，DP＝EQ\F(1,3)AD，CQ＝EQ\F(1,3)BC，點D的對應(yīng)點F在PQ上，求AE的長；〔3〕如圖3，DP＝EQ\F(1,n)AD，CQ＝EQ\F(1,n)BC，點D的對應(yīng)點F在PQ上．①直接寫出AE的長〔用含n的代數(shù)式表示〕；②當(dāng)n越來越大時，AE的長越來越接近于_________．圖2C圖2CAFBDEPQ圖1CAFBDEPQ圖3CAFBDEPQ10．解：〔1〕∵P，Q分別是矩形ABCD中AD，BC的中點圖1CAFBDEPQ∴AP＝EQ\F(1,2)AD＝EQ\F(1,2)AF，∠APF＝90°，∴∠AFP＝圖1CAFBDEPQ∴∠PF＝eq\r(,3)AP＝EQ\F(eq\r(,3),2)AD＝EQ\F(eq\r(,3),2)×12＝6eq\r(,3)〔cm〕DAF＝60°，∴∠DAE＝30°∴AE＝EQ\F(AD,cos30°)＝EQ\F(12,cos30°)＝8eq\r(,3)〔cm〕〔2〕∵DP＝EQ\F(1,3)AD＝4〔cm〕，∴AP＝EQ\F(2,3)AD＝8〔cm〕圖2CAFBDEPQG∴FP＝eq\r(,122－82)＝4圖2CAFBDEPQG∵DE＝EF，∠AED＝∠AEF，∠AED＝∠FGE∴∠FGE＝∠FEG，∴GF＝EF＝DE設(shè)DE＝x，那么GF＝x∵△APG∽△ADE，∴EQ\F(PG,DE)＝EQ\F(AP,AD)＝EQ\F(2,3)，∴PG＝EQ\F(2,3)x∴EQ\F(2,3)x＋x＝4eq\r(,5)，∴x＝EQ\F(12,5)eq\r(,5)∴AE＝eq\r(,AD2＋DE2)＝EQ\F(12,5)eq\r(,30)〔3〕①AE＝12eq\r(,EQ\F(2n,2n－1))②1212．如圖①，將矩形ABCD折疊，使點B落在邊AD〔含端點〕上，落點記為E，此時折痕與邊BC或邊CD〔含端點〕交于點F，然后展開鋪平，那么以B、E、F為頂點的△BEF稱為矩形ABCD的“折痕三角形”．〔1〕由“折痕三角形”的定義可知，矩形ABCD的任意一個“折痕△BEF”是一個_________三角形；〔2〕如圖②，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，當(dāng)它的“折痕△BEF”的頂點E位于AD的中點時，畫出這個“折痕△BEF”，并求出點F的坐標；〔3〕如圖③，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，該矩形是否存在面積最大的“折痕△BEF”？假設(shè)存在，說明理由，并求出此時點E的坐標？假設(shè)不存在，為什么？CAECAEDFO(B)xy圖①CADO(B)xy圖③CAEDO(B)xy圖②20．在正方形ABCD的邊AB上任取一點E，作EF⊥AB交BD于點F，如圖1．〔1〕將圖1中的△BEF繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°，取DF的中點G，連接EG，CG，如圖2，那么線段EG和CG有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請直接寫出你的猜測；〔2〕將圖1中的△BEF繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)180°，取DF的中點G，連接EG，CG，如圖3，那么線段EG和CG有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請寫出你的猜測，并加以證明；〔3〕將圖1中的△BEF繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)任意角度，取DF的中點G，連接EG，CG，如圖3，那么線段EG和CG又有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請寫出你的猜測，并加以證明．CABDCABDEGF圖2CABDEGF圖4CABDEGF圖3CABDEF圖120．解：〔1〕EG＝CG，EG⊥CG 2分〔2〕EG＝CG，EG⊥CG 4分CABDEGF圖2H證明：如圖3CABDEGF圖2H∵∠AEH＝90°，∠EBC＝90°，∠BCH＝90°∴四邊形BEHC是矩形，∴BE＝CH，∠EHC＝90°又∵BE＝EF，∴EF＝CH∵∠EHC＝90°，F(xiàn)G＝DG，∴HG＝EQ\F(1,2)DF＝FG∵BC＝EH，BC＝CD，∴EH＝CD∵EF＝CH，∴FH＝DH，∴∠F＝45°CABDEGF圖3H又FG＝DG，∴∠CHG＝EQ\F(1,2CABDEGF圖3H∴∠F＝∠CHG，∴△EFG≌△CHG∴EG＝CG，∠EGF＝∠CGH 6分∵∠FHC＝90°，F(xiàn)H＝DH，F(xiàn)G＝DG，∴HG⊥DF∴∠EGF＋∠EGH＝90°∴∠CGH＋∠EGH＝90°，即∠EGC＝90°∴EG⊥CG 8分〔3〕EG＝CG，EG⊥CG 9分證明：如圖4，延長CG至H，使GH＝CG，連接HF、HE、EC∵GF＝GD，∠HGF＝∠CGD，GH＝GC，∴△HFG≌△CDGCABDEGF圖4H∴HF＝CD，∠GHFCABDEGF圖4H∵正方形ABCD，∴HF＝BC，HF⊥BC∵△BEF是等腰直角三角形，∴EF＝BE，EF⊥BE∴∠HFE＝∠CBE，∴△HFE≌△CBE∴EH＝EC，∠FEH＝∠BEC，∴∠HEC＝∠BEF＝90°∴△ECH為等腰直角三角形又∵GH＝GC∴EG＝CG，EG⊥CG 12分24．在四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，設(shè)銳角∠DOC＝α，將△DOC繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到△D′OC′〔0°＜旋轉(zhuǎn)角＜90°〕，連接AC′、BD′，AC′與BD′相交于點M．〔1〕當(dāng)四邊形ABCD是矩形時，如圖1，請猜測AC′與BD′的數(shù)量關(guān)系以及∠AMB與α的大小關(guān)系，并證明你的猜測；〔2〕當(dāng)四邊形ABCD是平行四邊形時，如圖2，AC＝kBD，請猜測此時AC′與BD′的數(shù)量關(guān)系以及∠AMB與α的大小關(guān)系，并證明你的猜測；〔3〕當(dāng)四邊形ABCD是等腰梯形時，如圖3，AD∥BC，此時〔1〕AC′與BD′的數(shù)量關(guān)系是否成立？∠AMB與α的大小關(guān)系是否成立？不必證明，直接寫出結(jié)論．MBCMBCAODC′D′圖2MBCAODC′D′圖3MBCAODC′D′圖124．解：〔1〕AC′＝BD′，∠AMB＝α 2分證明：在矩形ABCD中，AC＝BD，OA＝OC＝EQ\F(1,2)AC，OB＝OD＝EQ\F(1,2)BDMBCAODC′DMBCAODC′D′圖1又∵OD＝OD′，OC＝OC′，∴OB＝OD′＝OA＝OC′∵∠D′OD＝∠C′OC，∴180°－∠D′OD＝180°－∠C′OC∴∠BOD′＝∠AOC′，∴△BOD′≌△AOC′∴BD′＝AC′，∴∠OBD′＝∠OAC′設(shè)BD′與OA相交于點N，∴∠BNO＝∠ANM∴180°－∠OAC′－∠ANM＝180°－∠OBD′－∠BNO即∠AMB＝∠AOB＝∠COD＝α綜上所述，AC′＝BD′，∠AMB＝α 5分〔2〕AC′＝kBD′，∠AMB＝α 7分證明：在平行四邊形ABCD中，OB＝OD，OA＝OC又∵OD＝OD′，OC＝OC′，∴OB:OA＝OD′:OC′MBCAODC′D′圖2∵∠D′OD＝∠C′OC，∴180°－∠MBCAODC′D′圖2∴∠BOD′＝∠AOC′，∴△BOD′∽△AOC′∴BD′:AC′＝OB:OA＝BD:AC∵AC＝kBD，∴AC′＝kBD′∵△BOD′∽△AOC′，∴∠OBD′＝∠OAC′設(shè)BD′與OA相交于點N，∴∠BNO＝∠ANM∴180°－∠OAC′－∠ANM＝180°－∠OBD′－∠BNO即∠AMB＝∠AOB＝α綜上所述，AC′＝kBD′，∠AMB＝α 10分〔3〕AC′＝BD′成立，∠AMB＝α不成立 12分25．如圖l，己知正方形ABCD，點E、F分別在邊AB、AD上，且AE＝AF．〔1〕如圖2，將△AEF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)∠α，當(dāng)0°＜α＜90°時，連接BE、DF，判斷線段BE、DF的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并加以證明；〔2〕如圖3，將△AEF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)∠α，當(dāng)α＝90°時，連接BE、DF，當(dāng)AE與AD滿足什么數(shù)量關(guān)系時，直線DF垂直平分BE？請說明理由；〔3〕如圖4，將△AEF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)∠α，當(dāng)90°＜α＜180°時，連接BD、DE、EF、FB得到四邊形BDEF，那么順次連接四邊形BDEF各邊中點所組成的四邊形是什么特殊四邊形？請說明理由．BDACBDACEF圖3BDACEF圖2BDACEF圖1BDACEF圖4BDACEF圖2HG25．〔1BDACEF圖2HG證明：在△ABE和△ADF中AB＝AD，∠BAE＝∠DAF＝90°－∠BAF，AE＝AF∴△ABE≌△ADF∴BE＝DF，∠ABE＝∠ADF延長DF交AB、BE于點G、H，如圖2∵∠ADF＋∠DGA＝90°，∠BGH＝∠DGA∴∠ABE＋∠BGH＝90°，∴∠BHG＝90°BDACEBDACE圖3〔2〕當(dāng)AE＝(eq\r(,2)－1)AD時，直線DF垂直平分BE理由如下：∵直線DF垂直平分BE，∴EF＝BF∵△AEF是等腰直角三角形，AE＝AF，∴EF＝eq\r(,2)AE∴AE＋eq\r(,2)AE＝AB＝AD∴AE＝(eq\r(,2)－1)AD〔3〕正方形理由如下：連接BE、DF，設(shè)DF與AB交于點G證明：在△ABE和△ADF中AB＝AD，∠BAE＝∠DAF＝90°＋∠BAF，AE＝AFBDACEBDACEF圖4PQRSG∴BE＝DF，∠ABE＝∠ADF∵∠ADF＋∠DGA＝90°，∠BGF＝∠DGA∴∠ABE＋∠BGF＝90°，∴BE⊥DF在△BDE中∵DP＝PB，DQ＝QE，∴PQ∥BE，PQ＝EQ\F(1,2)BE同理，RS∥BE，RS＝EQ\F(1,2)BE，PS∥DF，PS＝EQ\F(1,2)DF，QR∥DF，QR＝EQ\F(1,2)DF∵BE＝DF，BE⊥DF，∴PQ＝QR＝RS＝PS，PQ⊥QR∴四邊形PQRS是正方形37．在矩形ABCD中，點P在AD上，AB＝2，AP＝1．將直角尺的頂點放在P處，直角尺的兩邊分別交AB、BC于點E、F，連接EF〔如圖1〕．〔1〕當(dāng)點E與點B重合時，點F恰好與點C重合〔如圖2〕，求PC的長；AEBDFCP圖1ABDCPAEBDFCP圖1ABDCP圖2(F)(E)①tan∠PEF的值是否發(fā)生變化？請說明理由；②直接寫出從開始到停止，線段EF的中點經(jīng)過的路線長．37．解：〔1〕在矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，AP＝1，CD＝AB＝2∴PB＝eq\r(,5)，∠ABP＋∠APB＝90°又∵∠BPC＝90°，∴∠APB＋∠DPC＝90°∴∠DPC＝∠APB，∴△DCP∽△APB∴EQ\F(PC,PB)＝EQ\F(CD,AP)，即EQ\F(PC,eq\r(,5))＝EQ\F(2,1)∴PC＝2eq\r(,5) 5分〔2〕tan∠PEF的值不變 6分AEBDFCP圖1G理由：過FAEBDFCP圖1G那么四邊形ABFG是矩形∴∠A＝∠PGF＝90°，GF＝AB＝2∴∠AEP＋∠APE＝90°又∵∠EPF＝90°，∴∠APE＋∠GPF＝90°∴∠GPF＝∠AEP，∴△GFP∽△APE∴EQ\F(PF,PE)＝EQ\F(GF,AP)＝EQ\F(2,1)＝2∴在Rt△EPF中，tan∠PEF＝EQ\F(PF,PE)＝2∴tan∠PEF的值不變10分〔3〕線段EF的中點經(jīng)過的路線長為eq\r(,5) 14分解答過程如下〔本人添加，僅供參考〕設(shè)線段EF的中點為M，作MH⊥BF于H，如圖2設(shè)BH＝x，MH＝y(tǒng)，那么BF＝2x，BE＝2y，AE＝2－2yAEBDFCP圖2HMG由△GFP∽△APE得：EQ\F(PG,GF)＝EQ\F(AEAEBDFCP圖2HMG即EQ\F(PG,2)＝EQ\F(AE,1)，∴PG＝2AE，∴AG＝1＋2AE＝5－4y又∵AG＝BF，∴5－4y＝2x∴y＝－EQ\F(1,2)x＋EQ\F(5,4)可見線段EF的中點的運動路線是一條線段，如圖3∵M點的起始位置是BC的中點M1，終點位置是AF的中點M2ABDCP圖3FEMABDCP圖3FEM1M2∵tan∠PBC＝EQ\F(PC,PB)＝2，PB＝eq\r(,5)，∴PC＝2eq\r(,5)∴M1M2＝eq\r(,5)即線段EF的中點經(jīng)過的路線長為eq\r(,5)38．菱形ABCD的邊長為1，∠ADC＝60°，等邊△AEF兩邊分別交邊DC、CB于點E、F．〔1〕特殊發(fā)現(xiàn)：如圖1，假設(shè)點E、F分別是邊DC、CB的中點，求證：菱形ABCD對角線AC、BD的交點O即為等邊△AEF的外心；〔2〕假設(shè)點E、F始終分別在邊DC、CB上移動，記等邊△AEF的外心為點P．①猜測驗證：如圖2，猜測△AEF的外心P落在哪一直線上，并加以證明；②拓展運用：如圖3，當(dāng)△AEF面積最小時，過點P任作一直線分別交邊DA于點M，交邊DC的延長線于點N，試判斷EQ\F(1,DM)＋EQ\F(1,DN)是否為定值．假設(shè)是，請求出該定值；假設(shè)不是，請說明理由．圖3圖3AEBDFCPNM圖2AEBDFCP圖1圖1AEBDFCO38．〔1〕證明：如圖1，分別連接OE、OF圖1AEBDFCO圖1AEBDFCO∴AC⊥BD，BD平分∠ADC，AD＝DC＝BC∴∠COD＝∠COB＝∠AOD＝90°∠ADO＝EQ\F(1,2)∠ADC＝EQ\F(1,2)×60°＝30°又∵E、F分別為DC、CB中點∴OE＝EQ\F(1,2)CD，OF＝EQ\F(1,2)BC，AO＝EQ\F(1,2)AD 3分∴OE＝OF＝OA，∴點O即為△AEF的外心 4分〔2〕①猜測：外心P一定落在直線DB上 5分圖2AEBDFCPIJ證明：如圖2，分別連接PE、PA，過點P分別作PI圖2AEBDFCPIJ∴∠PIE＝∠PJD＝90°，∵∠ADC＝60°∴∠IPJ＝360°－∠PIE－∠PJD－∠JDI＝120° 6分∵點P是等邊△AEF的外心，∴∠EPA＝120°，PE＝PA 7分∴∠IPJ＝∠EPA，∴∠IPE＝∠JPA∴△PIE≌△PJA，∴PI＝PJ圖3AEBDFCPNMG∴點圖3AEBDFCPNMG②EQ\F(1,DM)＋EQ\F(1,DN)為定值2 9分當(dāng)AE⊥DC時．△AEF面積最小此時點E、F分別為DC、CB中點 10分連接BD、AC交于點P，由〔1〕可得點P即為△AEF的外心解法一：如圖3，設(shè)MN交BC于點G設(shè)DM＝x，DN＝y(tǒng)〔x≠0．y≠0〕，那么CN＝y(tǒng)－1∵BC∥DA，∴△GBP≌△MDP，∴BG＝DM＝x∴CG＝1－x 11分∵BC∥DA，∴△NCG∽△NDM 12分∴EQ\F(CN,DN)＝EQ\F(CG,DM)，∴EQ\F(y－1,y)＝EQ\F(1－x,x)∴x＋y＝2xy 13分圖4AEBDFCPNM∴EQ\F(1,x)＋EQ\F(1,y)＝2，即EQ\F(1,DM)＋EQ\F(1,DN)＝2 14分圖4AEBDFCPNM解法二：如圖4，連接PE，∵P、E分別為AC、DC的中點∴PE＝EQ\F(1,2)DA＝EQ\F(1,2)，PE∥DA 11分∴△NEP∽△NDM，∴EQ\F(NE,ND)＝EQ\F(EP,DM) 12分設(shè)DM＝x，DN＝y(tǒng)，那么NE＝y(tǒng)－EQ\F(1,2)∴EQ\F(y－EQ\F(1,2),y)＝EQ\F(EQ\F(1,2),x) 13分∴xy－EQ\F(1,2)x＝EQ\F(1,2)y∴EQ\F(1,x)＋EQ\F(1,y)＝2，即EQ\F(1,DM)＋EQ\F(1,DN)＝2 14分圖5AEBDFCPNMIJ解法三：如圖5，過點P作PI⊥DC于I，PJ⊥DA于J，那么PI＝PJ＝EQ\F(eq\r(,3圖5AEBDFCPNMIJ∵S△DNP＋S△DMP＝S△DMN 11分∴EQ\F(1,2)·DN·PI＋EQ\F(1,2)·DM·PJ＝EQ\F(1,2)·DM·DN·sin60° 12分∴EQ\F(1,2)·DN·EQ\F(eq\r(,3),4)＋EQ\F(1,2)·DM·EQ\F(eq\r(,3),4)＝EQ\F(1,2)·DM·DN·EQ\F(eq\r(,3),2)∴DN＋DM＝2DM·DN 13分∴EQ\F(1,DM)＋EQ\F(1,DN)＝2 14分解法四：如圖6，以點D為坐標一定，DA所在直線為x軸，建立平面直角坐標系圖6AEBDFCPN圖6AEBDFCPNMxy可求得點P的坐標為〔EQ\F(3,4)，EQ\F(eq\r(,3),4)〕，∴EQ\F(3,4)k＋b＝EQ\F(eq\r(,3),4)∴b＝EQ\F(eq\r(,3),4)－EQ\F(3,4)k∴直線MN的解析式為y＝kx＋EQ\F(eq\r(,3),4)－EQ\F(3,4)k 11分求得直線DN的解析式為y＝eq\r(,3)x令y＝kx＋EQ\F(eq\r(,3),4)－EQ\F(3,4)k＝0，那么x＝EQ\F(EQ\F(3,4)k－EQ\F(eq\r(,3),4),k)，即DM＝EQ\F(EQ\F(3,4)k－EQ\F(eq\r(,3),4),k) 13分∴EQ\F(1,DM)＋EQ\F(1,DN)＝EQ\F(k,EQ\F(3,4)k－EQ\F(eq\r(,3),4))＋EQ\F(k－eq\r(,3),EQ\F(3,2)k－EQ\F(eq\r(,3),2))＝EQ\F(3k－eq\r(,3),EQ\F(1,2)(3k－eq\r(,3)))＝2 14分49．正方形ABCD，點P是對角線AC所在直線上的動點，點E在DC邊所在直線上，且始終保持PE＝PD．〔1〕如圖1，當(dāng)點P在對角線AC上時，請你通過測量、觀察，猜測PE與PB有怎樣的關(guān)系？〔直接寫出結(jié)論不必證明〕；〔2〕如圖2，當(dāng)點P運動到CA的延長線上時，〔1〕中猜測的結(jié)論是否成立？如果成立，請給出證明；如果不成立，請說明理由；〔3〕如圖3，當(dāng)點P運動到CA的反向延長線上時，請你利用圖3畫出滿足條件的圖形，并判斷此時PE與PB有怎樣的關(guān)系？〔直接寫出結(jié)論不必證明〕AABPDCE圖2ABABPDC圖3ABPDCE圖149．解：〔1〕①PE＝PB，②PE⊥PB 2分〔2〕〔1〕中的結(jié)論成立ABPDCEABPDCEMFN∴CD＝CB，∠ACD＝∠ACB 3分又PC＝PC，∴△PDC≌△PBC 4分∴PD＝PB 5分∵PE＝PD，∴PE＝PB 6分②法一：由①，得△PDC≌△PBC∴∠PDC＝∠PBC 7分又PE＝PD，∴∠PDE＝∠PED 8分∴∠PDE＋∠PDC＝∠PEC＋∠PBC＝180°∴∠EPB＝360°－(∠PEC＋∠PBC＋∠DCB)＝90° 9分∴PE⊥PB 10分法二：作PM∥BC交CD的延長線于點M，作PN∥DC交CB的延長線于點N那么四邊形PMCN為平行四邊形又∠MCN＝90°，∴四邊形PMCN為矩形∵∠MCA＝∠NCA＝45°，∴四邊形PMCN為正方形∴PM＝PN，∠MPN＝90° 8分又由①，得PE＝PB∴Rt△PEM≌Rt△PBN 9分∴∠EPM＝∠BPN∴∠EPB＝∠EPM＋∠MPB＝∠BPN＋∠MPB＝∠MPN＝90°∴PE⊥PB 10分法三：作PM⊥DC交CD的延長線于點M，作PN⊥BC交CB的延長線于點N∵∠MCN＝90°，∴四邊形PMCN為矩形又∠MCA＝∠NCA＝45°，∴四邊形PMCN為正方形∴PM＝PN，∠MPN＝90° 8分又由①，得PE＝PB∴Rt△PEM≌Rt△PBN 9分∴∠EPM＝∠BPN∴∠EPB＝∠EPM＋∠MPB＝∠BPN＋∠MPB＝∠MPN＝90°∴PE⊥PB 10分法四：作PM⊥DC交CD的延長線于點M，延長BA交PM于點F，易得四邊形FMCB為矩形，∴∠BFM＝90°∴∠MPB＋∠PBF＝90°∵PE＝PD，AD∥MP，∴∠EPM＝∠DPM＝∠PDA由①，得△PDA≌△PBA，∴∠PBF＝∠PDA＝∠EPM∴∠EPB＝∠EPM＋∠MPB＝∠PBF＋∠MPB＝90°∴PE⊥PB 10分法五：作PM⊥DC交CD的延長線于點M，那么PM∥BC∴∠MPB＋∠PBC＝180°∵∠ABC＝90°，∴∠MPB＋∠PBA＝90°∵PE＝PD，AD∥PM，∴∠EPM＝∠DPM＝∠PDAABEDCP由①，得△PDA≌△PBA，∴∠PBA＝ABEDCP∴∠EPB＝∠EPM＋∠MPB＝∠PBA＋∠MPB＝90°∴PE⊥PB 10分〔3〕正確畫出圖形 12分結(jié)論：①PE＝PB，②PE⊥PB 14分50．菱形ABCD的邊長為5，∠DAB＝60°．將菱形ABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到菱形AEFG，設(shè)∠EAB＝α，且0°＜α＜90°，連接DG、BE、CE、CF．〔1〕如圖1，求證：△AGD≌△AEB；〔2〕當(dāng)α＝60°時，在圖2中畫出圖形并求出線段CF的長；〔3〕假設(shè)∠CEF＝90°，在圖3中畫出圖形并求出△CEF的面積．ABDABDC圖3ABDC圖2ABFDCE圖1ABFDCE圖1G50．解：〔ABFDCE圖1G∴AG＝AE＝AB＝AD，∠GAD＝∠EAB＝α∴△ADG≌△ABE 3分〔2〕解法一：如圖2，當(dāng)α＝60°時，AE與AD重合 4分作DH⊥CF于H．由可得∠CDF＝120°，DF＝DC＝5∴∠CDH＝EQ\F(1,2)∠CDF＝60°，CH＝EQ\F(1,2)CF在Rt△CDH中，∵CH＝DC·sin60°＝5×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(5\r(3),2) 6分∴CF＝2CH＝5eq\r(3) 7分解法二：如圖2，當(dāng)α＝60°時，AE與AD重合 4分ABFDCO圖2G(E)HABFDCO圖2G(E)H由題意，知AF＝AC，∠FAC＝60°∴△ACF是等邊三角形，∴CF＝AC由，∠DAO＝EQ\F(1,2)∠BAD＝30°，AC⊥BD∴AO＝AD·cos30°＝eq\f(5\r(3),2) 6分∴AC＝2AO＝5eq\r(3)∴CF＝5eq\r(3) 7分〔3〕如圖3，當(dāng)∠CEF＝90°時，延長CE交AG于點M，連接AC 8分ABFDCE圖ABFDCE圖3GM∴∠GME＝∠CEF＝90°∴∠AME＝90° 9分在Rt△AME中，AE＝5，∠MAE＝60°∴AM＝AE·cos60°＝EQ\F(5,2)，EM＝AE·sin60°＝eq\f(5\r(3),2)在Rt△AMC中，易求AC＝5eq\r(3)∴MC＝eq\r(,AC2－AM2)＝eq\r(,52－42)＝eq\f(5\r(11),2)∴EC＝MC－ME＝eq\f(5\r(11),2)－eq\f(5\r(3),2)＝EQ\F(5,2)(eq\r(,11)－eq\r(3)) 11分∴S△CEF＝EQ\F(1,2)EC·EF＝EQ\F(25,4)(eq\r(,11)－eq\r(3)) 12分52．探究問題：〔1〕方法感悟：如圖①，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別為DC，BC邊上的點，且滿足∠EAF＝45°，連接EF，求證DE＋BF=EF．感悟解題方法，并完成以下填空：將△ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG，此時AB與AD重合，由旋轉(zhuǎn)可得：AB＝AD，BG＝DE，∠1＝∠2，∠ABG＝∠D＝90°∴∠ABG＋∠ABF＝90°＋90°＝180°因此，點G，B，F(xiàn)在同一條直線上∵∠EAF＝45°，∴∠2＋∠3＝∠BAD－∠EAF＝90°－45°＝45°∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠3＝45°即∠GAF＝∠_________．又AG＝AE，AF＝AF，∴△GAF≌_________．∴_________＝EF，故DE＋BF＝EF．〔2〕方法遷移：如圖②，將Rt△ABC沿斜邊AC翻折得到△ADC，點E，F(xiàn)分別為DC，BC邊上的點，且∠EAF＝EQ\F(1,2)∠DAB．試猜測DE，BF，EF之間有何數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜測．〔3〕問題拓展：如圖③，在四邊形ABCD中，AB＝AD，E，F(xiàn)分別為DC，BC上的點，滿足∠EAF＝EQ\F(1,2)∠DAB，試猜測當(dāng)∠B與∠D滿足什么關(guān)系時，可使得DE＋BF＝EF．請直接寫出你的猜測〔不必說明理由〕．CFBCFBADE圖②CFBADE圖③CFBGADE123圖①52．解：〔1〕∠FAE△EAFGF 3分〔每空1分〕〔2〕DE＋BF＝EF 4分CFBADE圖②G證明：將△ADECFBADE圖②G那么∠BAG＝∠DAE，AG＝AE，∠ABG＝∠D＝90°∴∠ABG＋∠ABF＝180°∴點G、B、F在同一直線上 5分∵∠GAB＋∠BAF＝∠DAE＋∠BAF＝EQ\F(1,2)∠BAD＝∠FAE∴∠GAF＝∠EAF 6分在△AGF和△AEF中AG＝AE，∠GAF＝∠EAF，AF＝AF∴△AGF≌△AEF 7分∴GF＝EF，∴GB＋BF＝EF∴DE＋BF＝EF 8分〔2〕∠B＋∠D＝180°〔填∠B＝∠D＝90°給1分〕 10分55．〔1〕如圖①，在正方形ABCD中，△AEF的頂點E，F(xiàn)分別在BC，CD邊上，高AG與正方形的邊長相等，求∠EAF的度數(shù)；〔2〕如圖②，在Rt△ABD中，∠EAF＝90°，AB＝AD，點M，N是BD邊上的任意兩點，且∠MAN＝45°，將△ABM繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADH位置，連接NH，試判斷MN，ND，DH之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．〔3〕在圖①中，連接BD分別交AE，AF于點M，N，假設(shè)EG＝4，GF＝6，BM＝3eq\r(,2)，求AG，MN的長．CCFBADEG圖①HHBADMN圖②HBADMN圖②55．解：〔1〕在Rt△ABE和Rt△AGE中，HBADMN圖②∴△ABE≌△AGE，∴∠BAE＝∠GAE 1分同理，∠GAF＝∠DAF∴∠EAF＝EQ\F(1,2)∠BAD＝45° 2分〔2〕MN2＝ND2＋DH2 3分理由如下：CFBADEG圖①MN∵∠BAD＝90°，∠MAN＝45°CFBADEG圖①MN∵∠BAM＝∠DAH，∴∠HAN＝∠DAH＋∠DAN＝45°∴∠HAN＝∠MAN又∵AM＝AH，AN＝AN，∴△AMN≌△AHN∴MN＝HN 5分∵∠BAD＝90°，AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB＝45°∴∠HDN＝∠HDA＋∠ADB＝90°∴HN2＝ND2＋DH2∴MN2＝ND2＋DH2 6分〔3〕由〔1〕知，BE＝EG，DF＝FG設(shè)AG＝x，那么CE＝x－4，CF＝x－6∵CE2＋CF2＝EF2，∴(x－4)2＋(x－6)2＝(4＋6)2解得x1＝12，x2＝－2〔舍去〕∴AG＝12 8分∴BD＝eq\r(,AB2＋AD2)＝eq\r(,2AG2)＝12eq\r(,2)在〔2〕中，MN2＝ND2＋DH2，DH＝BM∴MN2＝ND2＋BM2 9分設(shè)MN＝a，那么a2＝(12eq\r(,2)－3eq\r(,2)－a)2＋(3eq\r(,2))2解得a＝5eq\r(,2)，即MN＝5eq\r(,2) 10分71．如圖，將邊長為a的正方形紙片ABCD沿EF折疊〔點E、F分別在邊AB、DC上〕，使點B落在AD邊上的點G處，點C落在點H處，GH與DC交于點M，連接BG與EF交于點N．ABEFCCDMCGCHCNK〔1〕求證：①BGABEFCCDMCGCHCNK〔2〕當(dāng)四邊形AEFD的面積最大時，求AG的長．71．〔1〕①證明：過F作FK⊥AB于K，由題意知BG⊥EF于N∴∠GBA＝∠EFK又AB＝KF，∠A＝∠EKF＝90°，∴△ABG≌△KFE∴BG＝EF 2分ABEFCCDMCGCHCNK②設(shè)AG＝x，在Rt△AEG中，AEABEFCCDMCGCHCNK∴AE2＋x2＝(a－AE)2，得AE＝EQ\F(a2－x2,2a)∵∠MGE＝90°，∴Rt△DGM∽Rt△AEG設(shè)△DGM和△AEG的周長分別為C△DGM、C△AEG那么EQ\F(C△DGM,C△AEG)＝EQ\F(DG,AE)，即EQ\F(C△DGM,a＋x)＝EQ\F(a－x,EQ\F(a2－x2,2a))∴C△DGM＝2a故△DGM的周長為定值 6分〔2〕解：設(shè)AG＝x，在Rt△AEG中，GE2＝AE2＋AG2即(a－AE)2＝AE2＋x2，解得AE＝EQ\F(a2－x2,2a)在正方形ABCD中，KF＝BC＝AB，EKF＝∠A＝90°∴△KFE≌△ABG，∴EK＝AG＝x，AK＝AE＋EK＝AE＋AG＝EQ\F(a2－x2,2a)＋xS梯形AEFD＝EQ\F(1,2)(AE＋DF)·AD＝EQ\F(1,2)(AE＋AK)·AD＝EQ\F(1,2)(EQ\F(a2－x2,2a)＋EQ\F(a2－x2,2a)＋x)·a＝－EQ\F(1,2)(x－EQ\F(1,2)a)2＋EQ\F(5,8)a2〔0＜x＜a〕當(dāng)x＝EQ\F(1,2)a，即AG的長為EQ\F(1,2)a時，四邊形AEFD的面積最大，為EQ\F(5,8)a2 10分75．正方形ABCD中，點M、N分別在CB、DC的延長線上，且MN＝DN－BM，連接AM、AN．〔1〕如圖1，求證：∠MAN＝45°；〔2〕如圖2，過D作DP⊥AN交AM于點P，連接PC、求證：PA＋PC＝eq\r(,2)PD；〔3〕在〔2〕的條件下，假設(shè)AB＝1，C為DN的中點，如圖3，求PC的長．MACMACBND圖3PMACBND圖1MACBND圖2P75．〔1〕證明：如圖1，在DN上截取DE＝BM，連接AEMACBND圖1E∵∠ABM＝∠D＝90°，MACBND圖1E∴△ABM≌△ADE∴AM＝AE，∠BAM＝∠DAE∴∠MAN＝∠BAM＋∠BAN＝∠DAE＋∠BAN又∵MN＝DN－BM，EN＝DN－DE∴MN＝EN又∵AN＝AN，∴△AMN≌△AENMACBND圖2MACBND圖2PF又∵∠DAE＋∠BAN＋∠EAN＝90°∴∠MAN＋∠EAN＝90°∴∠MAN＝45° 3分〔2〕證明：如圖2，過D作FD⊥DP交PA的延長線于點F∵DP⊥AN，∠MAN＝45°，∴∠APD＝45°∴△DPF為等腰直角三角形∴PF＝PA＋FA＝eq\r(,2)PD，F(xiàn)D＝PD又∵∠ADF＝∠CDP＝90°－∠ADP，AD＝CD∴△ADF≌△CDP，∴FA＝PC∴PA＋PC＝eq\r(,2)PD 7分MACBND圖3PMACBND圖3PG∵DP⊥AN，∠MAN＝45°∴△AGP為等腰直角三角形∴PA＝eq\r(,2)PG，又∵PA＋PC＝eq\r(,2)PD，∴PC＝eq\r(,2)(PD－PG)＝eq\r(,2)DG∵AB＝BC＝CD＝DA＝1，C為DN的中點∴DN＝2，∴AN＝eq\r(,DA2＋DN2)＝eq\r(,5)∵sin∠N＝eq\f(DG,DN)＝eq\f(DA,AN)，∴DG＝eq\f(DA·DN,AN)＝eq\f(2eq\r(,5),5)∴PC＝eq\r(,2)×eq\f(2eq\r(,5),5)＝eq\f(2eq\r(,10),5) 10分77．：在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠BAC＝∠D，點E、F分別在BC、CD上，且∠AEF＝∠ACD．〔1〕如圖1，假設(shè)AB＝BC＝AC，求證：AE＝EF；〔2〕如圖2，假設(shè)AB＝BC，〔1〕中的結(jié)論是否仍然成立？證明你的結(jié)論；EDCBAF圖3〔3〕如圖3，假設(shè)AB＝kBC，〔1〕中的結(jié)論是否仍然成立？假設(shè)成立，請EDCBAF圖3EDEDCBAF圖1EDCBAF圖2EDCBAF圖1OG77．〔1〕證明：如圖1，過E作EG∥AB交ACEDCBAF圖1OG那么∠BAC＋∠AGE＝180°，∠BAC＝∠EGC∵AB＝BC＝AC，∴∠BAC＝∠B＝∠ACB＝60°∴∠EGC＝∠ACB＝∠B＝60°∴EG＝EC∵AD∥BC，∴∠FCE＝180°－∠B＝120°EDCBAF圖2OG又∠AGE＝180°－∠BACEDCBAF圖2OG∵∠AOE＝∠FOC，∠AEF＝∠ACD，∴∠EAG＝∠EFC∴△AEG≌△FEC∴AE＝EF 3分〔2〕仍然成立 4分證明：如圖2，過E作EG∥AB交AC于G，設(shè)AC、EF相交于O那么∠BAC＋∠AGE＝180°，∠BAC＝∠EGC∵AB＝BC，∴∠BAC＝∠ACB∴∠EGC＝∠ACB，∴EG＝EC∵AD∥BC，∴∠D＋∠FCE＝180°∵∠BAC＝∠D，∴∠AGE＝∠FCE∵∠AOE＝∠FOC，∠AEF＝∠ACD，∴∠EAG＝∠EFC∴△AEG≌△FEC∴AE＝EF 7分〔3〕不成立，此時AE＝kEF 8分證明：如圖3，過E作EG∥AB交AC于G，設(shè)AC、EF相交于OEDCBAF圖3OG同〔2〕可得∠AGE＝EDCBAF圖3OG∴△AEG∽△FEC∴AE:EF＝EG:EC∵EG∥AB，∴△GEC∽△ABC∴EG:EC＝AB:BC＝k∴AE:EF＝k∴AE＝kEF 10分20．如圖1，⊙O中AB是直徑，C是⊙O上一點，∠ABC＝45°，等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角，點D在線段AC上．〔1〕證明：B、C、E三點共線；〔2〕假設(shè)M是線段BE的中點，N是線段AD的中點，證明：MN＝eq\r(,2)OM；圖2ABOCD1E1M1N1圖1ABOCDEMN〔3〕將△DCE繞點C逆時針