電路第五版 羅先覺 邱關(guān)源 課件(第四章)課件

第四章電路定理

疊加定理

(SuperpositionTheorem)

替代定理

(SubstitutionTheorem)

＊特勒根定理

(Tellegen’sTheorem)

戴維南定理和諾頓定理(Thevenin-Norton’Theorem)

＊互易定理

(ReciprocityTheorem)21365

最大功率傳輸定理（MaximumPowerTransferTheorem)4

＊對偶原理

(DualPrinciple)7本章的要求：

1.了解電阻電路、等效電路等基本概念；2.復(fù)習(xí)電阻串、并聯(lián)等效電阻的公式、分壓公式和分流公式；3.掌握電阻Y-△聯(lián)結(jié)的等效變換，電壓源、電流源的串聯(lián)和并聯(lián)的等效變換，實(shí)際電源的兩種模型的等效變換；4.熟悉電路輸入電阻的概念，掌握其求法。電阻電路的等效變換1本章要求：掌握：疊加定理、替代定理、戴維寧定理和最大功率傳輸定理的內(nèi)容及其應(yīng)用。第四章電路定理1一、線性電路的齊次性和疊加性線性電路：由線性元件和獨(dú)立源構(gòu)成的電路。1.齊次性（homogeneity)(又稱比例性，proportionality)電路x(t)y(t)+-+-齊次性：若輸入x(t)→響應(yīng)y(t)，則輸入Kx(t)→Ky(t)電路Kx(t)Ky(t)+-+-注意：若電路中含有多個(gè)獨(dú)立電源，則必須全部獨(dú)立電源同時(shí)增加或減小K倍。疊加定理(SuperpositionTheorem)12.疊加性（superposition)若輸入x1(t)→y1(t)(單獨(dú)作用）,x2(t)→y2(t)…

xn(t)→yn(t)則x1(t)、x2(t)…xn(t)同時(shí)作用時(shí)響應(yīng)y

(t)=y1(t)+y2(t)+…+yn(t)注：x1(t)…xn(t)可以是不同位置上的激勵(lì)信號(hào)電路x1(t)y(t)+-+-x2(t)xn(t)++--3.齊次性+疊加性若輸入x1(t)→y1(t)(單獨(dú)作用）

x2(t)→y2(t)…

xn(t)→

yn(t)則:

K1x1(t)+K2x2(t)+…+Kn

xn(t)→K1y1(t)+K2y2(t)+…+Kn

yn(t)疊加定理(SuperpositionTheorem)1例1如圖電路中No為無源電阻性網(wǎng)絡(luò)，當(dāng)u1=2V，u2=3V時(shí),ix=20A;又當(dāng)u1=–2V，u2=1V,ix=0A。若將NO變換為含有獨(dú)立電源網(wǎng)絡(luò)后,u1=u2=0V，

ix=–10A，求在u1=u2=5V，ix為多少?

解：用線性電路疊加性求解。當(dāng)NO為無源網(wǎng)絡(luò)時(shí),ix由u1、u2共同作用產(chǎn)生,即ix=au1+bu2代入已知條件得：解得：a=2.5,b=5；當(dāng)NO為含有獨(dú)立源網(wǎng)絡(luò)N時(shí),由ix由u1、u2與N內(nèi)獨(dú)立電源共同作用產(chǎn)生,即ix=au1+bu2+cu3代入已知條件：u1=u2=0V,ix=–10A得cu3=–10當(dāng)u1=u2=5V：ix=au1+bu2+cu3=2.5×5+5×5+(–10)=27.5Aix二、疊加定理疊加定理：在線性電路中，任一支路電流(或電壓)都可以看成是電路中各個(gè)獨(dú)立源分別單獨(dú)作用時(shí)，在該支路產(chǎn)生的電流(或電壓)的代數(shù)和。i2=i2’+i2”u1=u1’+u1”獨(dú)立電壓源置零—視為短路。獨(dú)立電流源置零—視為開路。注：

一個(gè)獨(dú)立源單獨(dú)作用，其余獨(dú)立源需置零。疊加定理(SuperpositionTheorem)1例2求圖中電壓u。+–10V4A6

+–4

u解:(1)10V電壓源單獨(dú)作用，4A電流源開路（圖a）u'=4V(2)4A電流源單獨(dú)作用，10V電壓源短路（圖b）u"=-4（6//4）=-9.6V共同作用：u=u'+u"=4+(-9.6)=-5.6V+–10V6

+–4

u'（圖a）4A6

+–4

u''（圖b）是否可以視為不存在？例3求電壓Us。(1)10V電壓源單獨(dú)作用：(2)4A電流源單獨(dú)作用：解:Us'=-10I1'+4=-101+4=-6VUs"=-10I1"+(6//4)4=-10(-1.6)+9.6=25.6V共同作用：Us=Us'+Us"=-6+25.6=19.6V+–10V6

I14A+–Us+–10I14

+–10V6

I1'+–Us'+–10I1'4

6

I1''4A+–Us''+–10I1''4

+-U1+-U2例4如圖，N為線性含源電阻網(wǎng)絡(luò)，(a)中I1=4A，(b)中I2=–6A，求(c)中I3=?NI1R1R2(a)NI2R1R2(b)4V+-NI3R1R2(c)6V-+解：(a)中僅由N內(nèi)獨(dú)立源單獨(dú)作用時(shí)，I1=4A(b)中由N內(nèi)獨(dú)立源和4V電源共同作用時(shí)，I2=–6A故僅由4V電源單獨(dú)作用時(shí)R1支路電流I2′:I2′+I1=I2

I2′=I2-I1=-6-4=–10A若僅由(c)中6V電源單獨(dú)作用時(shí)R1支路電流，I3′

=15A故(c)中電流I3=I1+I3′

=4+15=19A(I2’)(I3’)例5電路如圖所示,已知r=2

，試用疊加定理求電

流i和電壓u。

解：畫出12V獨(dú)立電壓源和6A獨(dú)立電流源單獨(dú)作用的電路

如圖(b)和(c)所示。注意在每個(gè)電路內(nèi)均保留受控源，

但控制量分別改為分電路中的相應(yīng)量。由圖(b)電路,列出KVL方程:求得：由圖(c)電路，列出KVL方程求得:最后得到：①疊加原理只適用于線性電路。③不作用電源的處理：

E=0，即將E短路；Is=0，即將Is

開路

。②線性電路的電流或電壓均可用疊加原理計(jì)算，但功率P不能用疊加原理計(jì)算。例：

注意事項(xiàng)：⑤應(yīng)用疊加原理時(shí)可把電源分組求解，即每個(gè)分電路中的電源個(gè)數(shù)可以多于一個(gè)。④解題時(shí)要標(biāo)明各支路電流、電壓的參考方向。

若分電流、分電壓與原電路中電流、電壓的參考方向相反時(shí)，疊加時(shí)相應(yīng)項(xiàng)前要帶負(fù)號(hào)。6.受控源不能單獨(dú)作用。某獨(dú)立源單獨(dú)作用時(shí)，受控源應(yīng)始終保留。替代（置換）定理含獨(dú)立源的任意網(wǎng)絡(luò)中，若已知其中某一單口網(wǎng)絡(luò)（或某一支路）的電壓和電流分別為uK和iK，則可將此單口網(wǎng)絡(luò)（或支路）用電壓為uK的獨(dú)立電壓源或電流為iK的獨(dú)立電流源替代。若替代后網(wǎng)絡(luò)仍有唯一解，則原網(wǎng)絡(luò)中其它部分電壓電流分配不變。NMi=iKu=uK+-(a)原網(wǎng)絡(luò)NuK+-(b)M被uK電壓源替代NiK(c)M被iK電流源替代注:被替代部分M與N中應(yīng)無耦合關(guān)系替代定理(SuperpositionTheorem)2替代定理的證明例1：如圖(a)電路，運(yùn)用節(jié)點(diǎn)法可以求得I1=-0.5A，I2=0.75A，I3=0.75A，U1=15V。運(yùn)用替代定理將I3支路用0.75A電流源替代如圖(b)，試驗(yàn)證其余各支路電流、電壓不變。-+10V10I12A20I2I320U1+-(a)10V-+10I12A20I2I3U1+-(b)替代后0.75A由圖(b)得：(0.1+0.05)U1=(10/10)+2-0.75(節(jié)點(diǎn)方程）解：得：U1=15V故I1=(10-U1)/10=(10-15)/10=-0.5AI2=U1/20=0.75AI3=0.75A故替代后電壓、電流分配不變。N1N2例2：求如圖(a)電路中電流i1、i2(分解法和替代定理）+--+24101V0.5A122Vi1i2圖(a)abi+--+abuN1N2圖(b)解：(1)將原電路分解為N1、N2兩個(gè)單口網(wǎng)絡(luò)(2)為了求i,將N1、N2分別等效如圖(b)N1+-24101V0.5Ai1圖(c)1/3Aab241/6Ai1圖(d)(3)為求i1，將N2用1/3A電流源替代（圖(c)、(d)）得i1=1/9A（分流）N2-+122Vi2圖(e)+-8/9Vba(4)為求i2，將N1用8/9V電壓源替代（圖(e)）得i2=8/9A替代與等效的區(qū)別：

如前例中，N2可用2/3V電壓源串聯(lián)2/3

電阻來等效它，也可用1/3A電流源來替代它。這時(shí)電路中其他部分電壓電流分布都不變。但替代只針對特定的外電路N1時(shí)才成立，外電路改變，替代的電流源大小也改變。而等效則是指對任意外電路都成立。i-+abuN1-+122VN2abN1iabuN11/3AN2被等效N2被替代例3若要使試求Rx。注：替代是特定條件下的一種等效（即只在一點(diǎn)等效）0.5

0.5

+–10V3

1

RxIx–+UI0.5

解：用替代U=U'+U"=(0.1-0.075)I=0.025I=+0.5

0.5

0.5

0.5

1

–+U'I0.5

0.5

0.5

1

–+U''0.5

1

–+UI0.5

↓↓工作點(diǎn)替代后唯一解的重要性i+-RsUs(a)u+-ui0(b)Us/RsUsIqUqi+-Uq(d)唯一解u+-(c)解不唯一u+-Iqi隧道二極管小結(jié)：1.替代定理既適用于線性電路，也適用于非線性電路。3.替代后外電路及參數(shù)不能改變(只在一點(diǎn)等效)。2.替代后電路必須有唯一解。4-3

戴維寧定理和諾頓定理

(Thevenin-Norton’Theorem)工程實(shí)際中，常常碰到只需研究某一支路的情況。這時(shí)，若可以將除我們需保留的支路外的其余部分的電路(通常為二端網(wǎng)絡(luò)或稱單口網(wǎng)絡(luò)),等效變換為較簡單的電路，這將可大大方便我們的分析和計(jì)算。R3R1R5R4R2iRxab+–us1.戴維寧定理:一般來說，一個(gè)含有獨(dú)立電源、線性電阻和線性受控源的線性二端網(wǎng)絡(luò)，對外電路來說，可以用一個(gè)獨(dú)立電壓源(Uoc)和電阻R0的串聯(lián)組合來等效；此等效電壓源的電壓等于該二端網(wǎng)絡(luò)的端口開路電壓Uoc

，而等效電阻等于該二端網(wǎng)絡(luò)中所有獨(dú)立源置零后的輸入電阻。NabiabR0Uoc+-Nabi=0Uoc+-N0abR0其中：

N0為將N中所有獨(dú)立源置零后所得無源二端網(wǎng)絡(luò)。例1

計(jì)算Rx分別為1.2

、5.2

時(shí)的I解：保留Rx支路，將其余單口網(wǎng)絡(luò)化為戴維寧等效電路。ab+–10V4

6

6

–+U24

+–U1IRxIabUoc+–RxR0IRxab+–10V4

6

6

4

(1)求開路電壓UocUoc=U1+U2

=-104/(4+6)+106/(4+6)=-4+6=2Vab+–10V4

6

6

–+U24

+–U1+-Uoc(2)求等效電阻R0R0=4//6+6//4=4.8

(3)Rx

=1.2

時(shí)，I=Uoc/(R0+Rx)=2/6=0.333ARx=5.2

時(shí)，I=Uoc/(R0+Rx)=2/10=0.2AR0ab4

6

6

4

IabUoc+–RxR0含受控源電路戴維寧定理的應(yīng)用abUoc+–R03

U0-+解：(1)求開路電壓UocUoc=6I+3II=9/9=1AUoc=9V3

6

I+–9V+–Uocab+–6I3

3

6

I+–9V+–U0ab+–6I例2求圖中的U0。

內(nèi)部獨(dú)立源置零(2)求等效電阻R0方法1：外加電源法U0=6I+3I=9II=I0

6/(6+3)=(2/3)I0U0=9

(2/3)I0=6I0R0=U0/I0=6

方法2：開路電壓、短路電流法(Uoc=9V已求得)6I1+3I=93I=-6II=0Isc=9/6=1.5AR0=Uoc/Isc=9/1.5=6

3

6

I+–U0ab+–6II03

6

I+–9VIscab+–6II1(3)等效電路abUoc+–R03

U0-+6

9V思考：外加電源法與開路電壓短路電流法的區(qū)別例3解：(1)a、b開路，I=0，Uoc=10V(2)求R0：外加電源法(內(nèi)部獨(dú)立源置零)U0=(I0-0.5I0)

103+I0

103=1500I0R0=U0/I0=1.5k

abUoc+–+–UR0.5k

R0用戴維寧定理求U。(含受控源電路)+–10V1k

1k

0.5IabR0.5k

+–UI1k

1k

0.5Iab+–U0II0U=Uoc

500/(1500+500)=2.5VIsc=-I，(I-0.5I)

103+I

103+10=01500I=-10

I=-1/150A即Isc=1/150A

R0=Uoc/Isc=10

150=1500

ab10V+–+–U

R0.5k

1.5k

(3)等效電路：開路電壓Uoc

、短路電流Isc法求R0：R0=Uoc/IscUoc=10V（已求出）求短路電流Isc(將a、b短路)：另：+–10V1k

1k

0.5IabIIsc小結(jié)：(1)等效電壓源極性與所求Uoc方向有關(guān)。(2)等效電阻的計(jì)算方法：當(dāng)網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部不含有受控源時(shí)可采用電阻串并聯(lián)的方法計(jì)算；12外加電源法。開路電壓、短路電流法。323方法更有一般性。(3)

外電路改變時(shí)，含源單口網(wǎng)絡(luò)的等效電路不變。(4)

當(dāng)單口網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部含有受控源時(shí)，其控制電路也必須包含在被等效的單口網(wǎng)絡(luò)中。一般來說，一個(gè)含獨(dú)立電源、線性電阻和線性受控源的單口網(wǎng)絡(luò)N，對外電路來說，可以用一個(gè)電流源和電導(dǎo)(電阻)的并聯(lián)組合來等效；電流源的電流等于該單口網(wǎng)絡(luò)的端口短路電流Isc

，而并聯(lián)電導(dǎo)(電阻)等于把該單口網(wǎng)絡(luò)的所有獨(dú)立源置零后的輸入電導(dǎo)(電阻)。2.諾頓定理NababG0(R0)Isc其中：NabIscN0abR0N0為將N中所有獨(dú)立源置零后所得無源二端網(wǎng)絡(luò)。例1試用諾頓定理求圖中電流I。12V2

10

+–24Vab4

I+–4

IabG0(R0)Isc(1)求IscI1=12/2=6A

I2=(24+12)/10=3.6AIsc=-I1-I2=-3.6-6=-9.6A解：2

10

+–24VabIsc+–I1I212V(2)求R0：串并聯(lián)R0=10

2/(10+2)=1.67

(3)諾頓等效電路:I=-

Isc

1.67/(4+1.67)=9.6

1.67/5.67=2.83AR02

10

abb4

Ia1.67

-9.6A解畢！小結(jié)：幾個(gè)定理的適用條件：4.戴維寧、諾頓定理:適用于線性網(wǎng)絡(luò)。1.疊加定理：適用于線性網(wǎng)絡(luò)（可含獨(dú)立源和線性受控源）2.替代定理：適用于線性和非線性網(wǎng)絡(luò)。3.互易定理：只適用于不含獨(dú)立源和受控源的線性網(wǎng)絡(luò)。4－4最大功率傳輸定理

本節(jié)介紹戴維寧定理的一個(gè)重要應(yīng)用。在測量、電子和信息工程的電子設(shè)備設(shè)計(jì)中，常常遇到電阻負(fù)載如何從電路獲得最大功率的問題。這類問題可以抽象為圖(a)所示的電路模型來分析。網(wǎng)絡(luò)N表示供給電阻負(fù)載能量的含源線性電阻單口網(wǎng)絡(luò)，它可用戴維寧等效電路來代替，如圖(b)所示。電阻RL表示獲得能量的負(fù)載。此處要討論的問題是電阻RL為何值時(shí)，可以從單口網(wǎng)絡(luò)獲得最大功率。寫出負(fù)載RL吸收功率的表達(dá)式欲求p的最大值，應(yīng)滿足dp/dRL=0，即由此式求得p為極大值或極小值的條件是由于由此可知，當(dāng)Ro>0,且RL=Ro時(shí)，負(fù)載電阻RL從單口網(wǎng)絡(luò)獲得最大功率。最大功率傳輸定理：含源線性電阻單口網(wǎng)絡(luò)(Ro>0)向可變電阻負(fù)載RL傳輸最大功率的條件是：負(fù)載電阻RL與單口網(wǎng)絡(luò)的輸出電阻Ro相等。滿足RL=Ro條件時(shí)，稱為最大功率匹配，此時(shí)負(fù)載電阻RL獲得的最大功率為：滿足最大功率匹配條件(RL=Ro>0)時(shí)，Ro吸收功率與RL吸收功率相等，對電壓源uoc

而言，功率傳輸效率為

=50%。對單口網(wǎng)絡(luò)N中的獨(dú)立源而言，效率可能更低。電力系統(tǒng)要求盡可能提高效率，以便更充分的利用能源，不能采用功率匹配條件。但是在測量、電子與信息工程中，常常著眼于從微弱信號(hào)中獲得最大功率，而不看重效率的高低。例1電路如圖所示。

試求：(l)RL為何值時(shí)獲得最大功率；

(2)RL獲得的最大功率；

(3)10V電壓源的功率傳輸效率。圖4－28解：(l)斷開負(fù)載RL，求得單口網(wǎng)絡(luò)N1的戴維寧等效電路參

數(shù)為：如圖4－28(b)所示，由此可知當(dāng)RL=Ro=1

時(shí)可獲得最大功率。圖4－28

(2)由式(4－14)求得RL獲得的最大功率

(3)先計(jì)算10V電壓源發(fā)出的功率。當(dāng)RL=1

時(shí)

10V電壓源發(fā)出37.5W功率，電阻RL吸收功率6.25W，其功率傳輸效率為：+-uL+-uL例2求下圖所示單口網(wǎng)絡(luò)向外傳輸?shù)淖畲蠊β?。解：為求uoc，按圖(b)所示網(wǎng)孔電流的參考方向，列出網(wǎng)

孔方程：圖4－29整理得到解得：圖4－29為求isc,按圖(c)所示網(wǎng)孔電流參考方向，列出網(wǎng)孔方程整理得到解得isc=3A得到單口網(wǎng)絡(luò)的戴維寧等效電路，如圖(d)所示。由式(4－14)或(4－15)求得最大功率。為求Ro，用式(4－10)求得思考與練習(xí)4－4－l當(dāng)負(fù)載RL固定不變，問單口網(wǎng)絡(luò)的輸出電阻Ro為

何值，RL可獲得最大功率?4－4－2試求圖示單口網(wǎng)絡(luò)輸出最大功率的條件。

當(dāng)單口網(wǎng)絡(luò)的輸出電阻為負(fù)值時(shí)，不能套用最大功率傳輸定理。4-6互易定理

(ReciprocityTheorem)例:-+4VUs263R1R3R2abcdAI2(a)-+4VUs263R1R3R2abcdAI1(b)對(a):對(b):有I1=I2說明互易性不含獨(dú)立源和受控源的線性雙口網(wǎng)絡(luò)，其端口具有互易性。令NR—表示具有互易性的雙口網(wǎng)絡(luò)。參考方向的規(guī)定：NR第一種形式電壓源激勵(lì)，電流響應(yīng)?；ヒ锥ɡ鞩2NR+–us11`22`(a)22`+–us11`(b)I1NR有I1=I2注意：電壓與電流的參考方向。第二種形式電流源激勵(lì)，電壓響應(yīng)。有U1=U2IsNR11`22`(a)U2+-22`11`(b)NR+-U1Is＊第三種形式IsNR11`22`(a)I222`11`(b)NR+-U1Us=Is+-有U1=I2即：當(dāng)Us數(shù)量上等于Is時(shí)，U1數(shù)量上等于I2＊注意：電壓與電流的參考方向。練習(xí)已知圖(a)電路，求圖(b)中開路電壓Uab=?1Aabcd(a)Ucd=20mV+-線性純電阻無源網(wǎng)絡(luò)cdab(b)+-Uab=?2A線性純電阻無源網(wǎng)絡(luò)答案：Uab=-40mV例1

求電流I

。解：利用互易定理I1=I'2/(4+2)=2/3AI2=I'2/(1+2)=4/3AI=I1-I2=-2/3A解畢！2

1

2

4

+–8V2

IabcdI2I'I12

1

2

4

+–8V2

Iabcd(1)互易定理只適用于不含獨(dú)立源和受控源的線性網(wǎng)絡(luò)(2)激勵(lì)為電壓源時(shí)，響應(yīng)為電流激勵(lì)為電流源時(shí)，響應(yīng)為電壓電壓與電流互易。(3)互易前后要注意激勵(lì)與響應(yīng)的參考方向。（如何判斷？）(4)含有受控源的網(wǎng)絡(luò)，互易定理一般不成立。應(yīng)用互易定理時(shí)應(yīng)注意：(5)互易前后網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部電壓、電流一般會(huì)發(fā)生改變。例2：由圖(a)中條件求圖(b)中電流I=?(NR為互易雙口網(wǎng)絡(luò)）（互易定理、替代定理及疊加定理綜合應(yīng)用）2ANR12(a)5V+-+-10V21(b)NRI=?2A521(d)NRI=?2A52.5V+-21(c)NR5+-4A2A5V解：(a)中，NR的11′

端輸入電阻R=10/2=5，故有(c)圖成立。答案：I=2.5/5=0.5A1′1′1′1′2′2′2′2′兩種錯(cuò)誤應(yīng)用互易定理的例子：U1≠U2(a)U2NR+–Us11`22`+-22`+–Us11`(b)U1NR+-IsNR11`22`(a)I2NR11`22`(b)I1IsI1≠I22002年春節(jié)攝于成都人民公園4.7

對偶原理(DualPrinciple)1.對偶電路例1.網(wǎng)孔電流方程：(R1+R2)il=us節(jié)點(diǎn)電壓方程：(G1+G2)un=i