人教版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)同步精講精練5.1相交線-【題型技巧培優(yōu)系列】(原卷版+解析)

七年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)《第五章相交線與平行線》5.1相交線知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)一鄰補(bǔ)角、對(duì)頂角的概念及其性質(zhì)◆1、鄰補(bǔ)角：只有一條公共邊，它們的另一邊互為反向延長(zhǎng)線，具有這種關(guān)系的兩個(gè)角，互為鄰補(bǔ)角．◆2、對(duì)頂角：有一個(gè)公共頂點(diǎn)，并且一個(gè)角的兩邊分別是另一個(gè)角的兩邊的反向延長(zhǎng)線，具有這種位置關(guān)系的兩個(gè)角，互為對(duì)頂角．◆3、鄰補(bǔ)角的性質(zhì)：鄰補(bǔ)角互補(bǔ)，即和為180°．◆4、對(duì)頂角的性質(zhì)：對(duì)頂角相等．知識(shí)點(diǎn)二知識(shí)點(diǎn)二垂線的概念、畫法及其性質(zhì)◆1、概念：當(dāng)兩條直線相交所成的四個(gè)角中，有一個(gè)角是直角時(shí)，就說(shuō)這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫做垂足．◆2、畫法一落：讓三角板的一條直角邊落在已知直線上，使其與已知直線重合；二移：沿直線移動(dòng)三角板，使其另一直角邊經(jīng)過(guò)所給的點(diǎn)；三畫：沿此直角邊畫直線，則這條直線就是已知直線的垂線．◆3、性質(zhì)在平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直．【注意】：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”，“過(guò)一點(diǎn)”的點(diǎn)在直線上或直線外都可以．知識(shí)點(diǎn)三知識(shí)點(diǎn)三垂線段與點(diǎn)到直線的距離◆1、垂線段：從直線外一點(diǎn)引一條直線的垂線，這點(diǎn)和垂足之間的線段叫做垂線段．◆2、垂線段的性質(zhì)：連接直線外一點(diǎn)與這條直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短，簡(jiǎn)單說(shuō)成：垂線段最短．【注意】正確理解此性質(zhì)，垂線段最短，指的是從直線外一點(diǎn)到這條直線所作的垂線段最短．它是相對(duì)于這點(diǎn)與直線上其他各點(diǎn)的連線而言．◆3、點(diǎn)到直線的距離：（1）點(diǎn)到直線的距離：直線外一點(diǎn)到直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫做點(diǎn)到直線的距離．（2）點(diǎn)到直線的距離是一個(gè)長(zhǎng)度，而不是一個(gè)圖形，也就是垂線段的長(zhǎng)度，而不是垂線段．它只能量出或求出，而不能說(shuō)畫出，畫出的是垂線段這個(gè)圖形．知識(shí)點(diǎn)四知識(shí)點(diǎn)四同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角◆1、同位角兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個(gè)角都在兩直線的同側(cè)，并且在第三條直線（截線）的同旁，則這樣一對(duì)角叫做同位角．◆2、內(nèi)錯(cuò)角兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個(gè)角都在兩直線的之間，并且在第三條直線（截線）的兩旁，則這樣一對(duì)角叫做內(nèi)錯(cuò)角．◆3、同旁內(nèi)角兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個(gè)角都在兩直線的之間，并且在第三條直線（截線）的同旁，則這樣一對(duì)角叫做同旁內(nèi)角．【注意】三線八角中的某兩個(gè)角是不是同位角、內(nèi)錯(cuò)角或同旁內(nèi)角，完全由那兩個(gè)角在圖形中的相對(duì)位置決定．在復(fù)雜的圖形中判別三類角時(shí)，應(yīng)從角的兩邊入手，具有上述關(guān)系的角必有兩邊在同一直線上，此直線即為截線，而另外不在同一直線上的兩邊，它們所在的直線即為被截的線．同位角的邊構(gòu)成“F“形，內(nèi)錯(cuò)角的邊構(gòu)成“Z“形，同旁內(nèi)角的邊構(gòu)成“U”形．題型一利用基本圖形識(shí)別對(duì)頂角和鄰補(bǔ)角題型一利用基本圖形識(shí)別對(duì)頂角和鄰補(bǔ)角【例題1】（2022秋?南崗區(qū)校級(jí)期中）如圖直線AB、CD交于點(diǎn)O，OE為射線，那么（）A．∠AOC和∠BOE是對(duì)頂角 B．∠COE和∠AOD是對(duì)頂角 C．∠BOC和∠AOD是對(duì)頂角 D．∠AOE和∠DOE是對(duì)頂角解題技巧提煉分析圖形特征，根據(jù)對(duì)頂角的定義，首先判斷是否由兩條直線相交形成，其次再判斷兩個(gè)角的兩邊是否互為反向延長(zhǎng)線.【變式1-1】（2022秋?南崗區(qū)校級(jí)月考）如圖中，∠1和∠2是對(duì)頂角的是（）A． B． C． D．【變式1-2】（2021春?荊門期末）圖中∠1與∠2互為鄰補(bǔ)角的是（）A．B．C．D．【變式1-3】（2021秋?蘭西縣期末）如圖，圖中鄰補(bǔ)角有幾對(duì)（）A．4對(duì) B．5對(duì) C．6對(duì) D．8對(duì)【變式1-4】（2021春?朝陽(yáng)縣期末）下列說(shuō)法正確的是（）A.互補(bǔ)的兩個(gè)角是鄰補(bǔ)角；B．相等的角必是對(duì)頂角；C．對(duì)頂角一定相等；D．若兩個(gè)角不是對(duì)頂角，則這兩個(gè)角不相等.【變式1-5】（2022春?遷安市期末）觀察下列各圖，尋找對(duì)頂角（不含平角）．如圖1，圖中有2條直線相交，則對(duì)頂角有

對(duì)；如圖2，圖中有3條直線相交于一點(diǎn)，則對(duì)頂角有

對(duì)；如圖3圖中有n條直線相交于一點(diǎn)，則對(duì)頂角有

對(duì)．題型二有關(guān)對(duì)頂角和鄰補(bǔ)角的計(jì)算題型二有關(guān)對(duì)頂角和鄰補(bǔ)角的計(jì)算【例題2】（2021秋?桃江縣期末）如圖，直線AB與CD相交于點(diǎn)O，∠AOE是直角．（1）直接寫出∠DOE的補(bǔ)角；（2）直接寫出∠DOE的余角；（3）若OF平分∠AOC，且∠COF＝20°，求∠DOE的度數(shù)．解題技巧提煉準(zhǔn)確識(shí)別圖形，理清圖中各角度之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵，再綜合角平分線的定義、對(duì)頂角的性質(zhì)及鄰補(bǔ)角的定義求解.【變式2-1】（2022春?倉(cāng)山區(qū)校級(jí)期末）如圖，直線AC，BD相交于點(diǎn)O，∠AOB＝48°，則∠COD的度數(shù)是（）A．42° B．48° C．96° D．132°【變式2-2】（2022春?交城縣期中）如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，并且∠AOD＝3∠AOC，則∠AOD的度數(shù)為．【變式2-3】（2021秋?鳳慶縣期末）如圖，直線AC和直線BD相交于點(diǎn)O，OE平分∠BOC，若∠1+∠2＝80°，求∠3的度數(shù)．【變式2-4】（2022?西華縣三模）如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，已知∠BOE＝15°，∠AOD＝2∠DOE，則∠DOB的度數(shù)為．【變式2-5】（2022春?夏邑縣期中）如圖，直線AB與CD相交于點(diǎn)O，∠AOC﹣2∠AOE＝20°，射線OF平分∠DOE，若∠BOD＝60°，求∠AOF的度數(shù)．【變式2-6】（2021秋?連城縣期末）如圖，直線AB與CD相交于點(diǎn)E，射線EG在∠AEC內(nèi)（如圖1）．（1）若∠BEC的補(bǔ)角是它的余角的3倍，求∠BEC的角度；（2）若射線EF平分∠AED，∠FEG＝105°（如圖2），求∠AEG﹣∠CEG的值．題型三有關(guān)垂線的綜合應(yīng)用題型三有關(guān)垂線的綜合應(yīng)用【例題3】（2022春?天府新區(qū)月考）如圖，點(diǎn)O在直線BD上，已知∠1＝20°，OC⊥OA，則∠DOC的度數(shù)為（）A．20° B．70° C．110° D．90°解題技巧提煉結(jié)合垂直的條件確定已知角和未知角之間的關(guān)系，再結(jié)合角平分線、對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角等定義計(jì)算.【變式3-1】（2021秋?北林區(qū)期末）如圖，∠PQR＝132°，SQ⊥QR，QT⊥PQ，則∠SQT＝（）A．48° B．32° C．24° D．66°【變式3-2】（2022春?潼南區(qū)期末）如圖，直線AB與CD相交于點(diǎn)E，EF⊥AB，垂足為E，∠CEA＝60°，則∠DEF的度數(shù)為（）A．100° B．120° C．150° D．160°【變式3-3】（2022春?云陽(yáng)縣校級(jí)月考）如圖，直線AB、EF相交于點(diǎn)O，CD⊥AB于點(diǎn)O，∠EOD＝128°，則∠BOF的度數(shù)為．【變式3-4】（2022春?元寶區(qū)校級(jí)期末）在同一平面內(nèi)，若∠A與∠B的兩邊分別垂直，且∠A比∠B的3倍少20°，則∠A的度數(shù)為（）A．10° B．50° C．10°或130° D．10°或50°【變式3-5】（2022春?西安月考）如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，OE平分∠BOC，OF⊥CD．若∠BOD：∠BOE＝1：4，求∠AOF的度數(shù)．【變式3-6】（2021秋?梁河縣期末）如圖，已知直線AB、CD相交于點(diǎn)O，射線OD平分∠BOF，OE⊥CD于點(diǎn)O，∠AOC＝35°．（1）求∠EOF的度數(shù)；（2）試判斷射線OE是否平分∠AOF，并說(shuō)明理由．題型四垂線段最短的實(shí)際應(yīng)用題型四垂線段最短的實(shí)際應(yīng)用【例題4】（2022春?青龍縣期末）如圖，某地進(jìn)行城市規(guī)劃，在一條新修公路旁有一超市，現(xiàn)要建一個(gè)汽車站，且有A、B、C、D四個(gè)地點(diǎn)可供選擇．若要使超市距離汽車站最近，則汽車站應(yīng)建在（）點(diǎn)A處 B．點(diǎn)B處 C．點(diǎn)C處 D．點(diǎn)D處解題技巧提煉抽象成利用“垂線段最短”和“兩點(diǎn)之間，線段最短”求解的模型，再借助垂線段的性質(zhì)和線段的性質(zhì)求解.【變式4-1】（2021秋?朝陽(yáng)區(qū)期末）如圖，某同學(xué)在體育課上跳遠(yuǎn)后留下的腳印，在圖中畫出了他的跳遠(yuǎn)距離，能正確解釋這一現(xiàn)象的數(shù)學(xué)知識(shí)是（）A．兩點(diǎn)之間，線段最短 B．垂線段最短 C．兩點(diǎn)確定一條直線 D．經(jīng)過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直【變式4-2】（2022?興寧區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）如圖，斑馬線的作用是為了引導(dǎo)行人安全地通過(guò)馬路．小麗覺(jué)得行人沿垂直馬路的方向走過(guò)斑馬線更為合理，這一想法體現(xiàn)的數(shù)學(xué)依據(jù)是（）A．過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直B．垂線段最短C．兩點(diǎn)之間，線段最短D．兩點(diǎn)確定一條直線【變式4-3】（2022?館陶縣二模）如圖，生活中，有以下兩個(gè)現(xiàn)象，對(duì)于這兩個(gè)現(xiàn)象的解釋，正確的是（）A.兩個(gè)現(xiàn)象均可用兩點(diǎn)之間線段最短來(lái)解釋；B．現(xiàn)象1用垂線段最短來(lái)解釋，現(xiàn)象2用經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)有且只有一條直線來(lái)解釋；C．現(xiàn)象1用垂線段最短來(lái)解釋，現(xiàn)象2用兩點(diǎn)之間線段最短來(lái)解釋；D．現(xiàn)象1用經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)有且只有一條直線來(lái)解釋，現(xiàn)象2用垂線段最短來(lái)解釋．【變式4-4】如圖，點(diǎn)P，點(diǎn)Q分別代表兩個(gè)村莊，直線l代表兩個(gè)村莊中間的一條公路．根據(jù)居民出行的需要，計(jì)劃在公路l上的某處設(shè)置一個(gè)公交站．（1）若考慮到村莊P居住的老年人較多，計(jì)劃建一個(gè)離村莊P最近的車站，請(qǐng)?jiān)诠穕上畫出車站的位置（用點(diǎn)M表示），依據(jù)是；（2）若考慮到修路的費(fèi)用問(wèn)題，希望車站的位置到村莊P和村莊Q的距離之和最小，請(qǐng)?jiān)诠穕上畫出車站的位置（用點(diǎn)N表示），依據(jù)是．【變式4-5】（2021秋?縉云縣期末）已知點(diǎn)直線BC及直線外一點(diǎn)A（如圖），按要求完成下列問(wèn)題：（1）畫出射線CA，線段AB．過(guò)C點(diǎn)畫CD⊥AB，垂足為點(diǎn)D；（2）比較線段CD和線段CA的大小，并說(shuō)明理由；（3）在以上的圖中，互余的角為，互補(bǔ)的角為．（各寫出一對(duì)即可）題型五點(diǎn)到直線的距離題型五點(diǎn)到直線的距離【例題5】（2022春?遜克縣期末）如圖，線段AB外有一點(diǎn)P過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AB垂足為E，連接PA、PB，PA＝8cm，PB＝6cm，PE＝4.5cm，若M是線段AB上任意一點(diǎn)，則P到M的最短距離為（）A．8cm B．6cm C．4.5cm D．無(wú)法確定解題技巧提煉分析圖形特征，結(jié)合已知條件利用點(diǎn)到直線的距離的定義:直線外一點(diǎn)到直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫做點(diǎn)到直線的距離得出答案.【變式5-1】（2022秋?道里區(qū)校級(jí)月考）如圖，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足是點(diǎn)D，則下列說(shuō)法正確的是（）A．線段AC的長(zhǎng)表示點(diǎn)C到AB的距離 B．線段CD的長(zhǎng)表示點(diǎn)A到CD的距離 C．線段BC的長(zhǎng)表示點(diǎn)B到AC的距離 D．線段BD的長(zhǎng)表示點(diǎn)C到DB的距離【變式5-2】（2022春?渠縣校級(jí)期中）下列說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)有（）①兩點(diǎn)之間的所有連線中，線段最短；②過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直；③平行于同一直線的兩條直線互相平行；④直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段叫做點(diǎn)到直線的距離．A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【變式5-3】（2022春?九龍坡區(qū)校級(jí)期中）點(diǎn)P為直線l外一點(diǎn)，點(diǎn)A為直線l上一點(diǎn)，PA＝4cm，設(shè)點(diǎn)P到直線l的距離是dcm，則（）d＞4 B．d≥4 C．d＜4 D．d≤4【變式5-4】（2022春?巨野縣期中）直線l上有A、B、C三點(diǎn)，直線l外有一點(diǎn)P，若PA=2cm,PB=4cm,PC=3cm,那么P點(diǎn)到直線l的距離是（）A．等于2cmB．小于2cmC．不大于2cmD．大于2cm且小于3cm【變式5-5】（2021春?珠海校級(jí)期中）如圖，在直角三角形ABC中，∠C＝90°．（1）畫出點(diǎn)C到AB的最短路徑CD；（2）請(qǐng)指出B到AC的距離是線段的長(zhǎng)度．【變式5-6】（2022春?平橋區(qū)校級(jí)月考）如圖，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，BC＝4cm，AC＝3cm，AB＝5cm．（1）點(diǎn)B到AC的距離是cm；點(diǎn)A到BC的距是cm．（2）畫出表示點(diǎn)C到AB的距離的線段，并求這個(gè)距離．題型六同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的識(shí)別題型六同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的識(shí)別【例題6】（2022春?叢臺(tái)區(qū)校級(jí)期末）同學(xué)們可仿照?qǐng)D用雙手表示“三線八角”圖形（兩大拇指代表被截直線，食指代表截線）．下面三幅圖依次表示（）A．同位角、同旁內(nèi)角、內(nèi)錯(cuò)角B．同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角C．同位角、對(duì)頂角、同旁內(nèi)角D．同位角、內(nèi)錯(cuò)角、對(duì)頂角解題技巧提煉本題運(yùn)用了定義法，識(shí)別同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角，其關(guān)鍵是看兩個(gè)角所涉及的直線是否只有三條，并且有沒(méi)有一條邊在同一直線（截線）上，如果沒(méi)有，就不是；如果有，再根據(jù)角的位置特征判斷.【變式6-1】（2022春?八步區(qū)期末）如圖，下列說(shuō)法中，錯(cuò)誤的是（）A．∠1和∠4是內(nèi)錯(cuò)角B．∠4和∠5是同旁內(nèi)角C．∠2和∠4是對(duì)頂角D．∠3和∠5是同位角【變式6-2】（2021春?渠縣期末）如圖，下列結(jié)論：①∠2與∠3是內(nèi)錯(cuò)角；②∠1與∠A是同位角；③∠A與∠B是同旁內(nèi)角；④∠B與∠ACB不是同旁內(nèi)角，其中正確的是．（只填序號(hào)）【變式6-3】（2022春?趙縣月考）如圖所示，直線AB與BC被直線AD所截得的內(nèi)錯(cuò)角是；直線DE與AC被直線AD所截得的內(nèi)錯(cuò)角是；圖中∠4的內(nèi)錯(cuò)角是．【變式6-4】（2022春?楊浦區(qū)校級(jí)期中）如圖：與∠FDB成內(nèi)錯(cuò)角的是；與∠DFB成同旁內(nèi)角的是．【變式6-5】如圖所示，BF、DE相交于點(diǎn)A，BG交BF于點(diǎn)B，交AC于點(diǎn)C．（1）指出ED、BC被BF所截的同位角，內(nèi)錯(cuò)角，同旁內(nèi)角；（2）指出ED、BC被AC所截的內(nèi)錯(cuò)角，同旁內(nèi)角；（3）指出FB、BC被AC所截的內(nèi)錯(cuò)角，同旁內(nèi)角．【變式6-6】（2021春是∠2的同旁內(nèi)角，∠2是∠3的內(nèi)錯(cuò)角．（1）畫出示意圖，標(biāo)出∠1，∠2，∠3；（2）若∠1＝2∠2，∠2＝2∠3，求∠1，∠2，∠3的度數(shù)．七年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)《第五章相交線與平行線》5.1相交線知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)一鄰補(bǔ)角、對(duì)頂角的概念及其性質(zhì)◆1、鄰補(bǔ)角：只有一條公共邊，它們的另一邊互為反向延長(zhǎng)線，具有這種關(guān)系的兩個(gè)角，互為鄰補(bǔ)角．◆2、對(duì)頂角：有一個(gè)公共頂點(diǎn)，并且一個(gè)角的兩邊分別是另一個(gè)角的兩邊的反向延長(zhǎng)線，具有這種位置關(guān)系的兩個(gè)角，互為對(duì)頂角．◆3、鄰補(bǔ)角的性質(zhì)：鄰補(bǔ)角互補(bǔ)，即和為180°．◆4、對(duì)頂角的性質(zhì)：對(duì)頂角相等．知識(shí)點(diǎn)二知識(shí)點(diǎn)二垂線的概念、畫法及其性質(zhì)◆1、概念：當(dāng)兩條直線相交所成的四個(gè)角中，有一個(gè)角是直角時(shí)，就說(shuō)這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫做垂足．◆2、畫法一落：讓三角板的一條直角邊落在已知直線上，使其與已知直線重合；二移：沿直線移動(dòng)三角板，使其另一直角邊經(jīng)過(guò)所給的點(diǎn)；三畫：沿此直角邊畫直線，則這條直線就是已知直線的垂線．◆3、性質(zhì)在平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直．【注意】：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”，“過(guò)一點(diǎn)”的點(diǎn)在直線上或直線外都可以．知識(shí)點(diǎn)三知識(shí)點(diǎn)三垂線段與點(diǎn)到直線的距離◆1、垂線段：從直線外一點(diǎn)引一條直線的垂線，這點(diǎn)和垂足之間的線段叫做垂線段．◆2、垂線段的性質(zhì)：連接直線外一點(diǎn)與這條直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短，簡(jiǎn)單說(shuō)成：垂線段最短．【注意】正確理解此性質(zhì)，垂線段最短，指的是從直線外一點(diǎn)到這條直線所作的垂線段最短．它是相對(duì)于這點(diǎn)與直線上其他各點(diǎn)的連線而言．◆3、點(diǎn)到直線的距離：（1）點(diǎn)到直線的距離：直線外一點(diǎn)到直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫做點(diǎn)到直線的距離．（2）點(diǎn)到直線的距離是一個(gè)長(zhǎng)度，而不是一個(gè)圖形，也就是垂線段的長(zhǎng)度，而不是垂線段．它只能量出或求出，而不能說(shuō)畫出，畫出的是垂線段這個(gè)圖形．知識(shí)點(diǎn)四知識(shí)點(diǎn)四同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角◆1、同位角兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個(gè)角都在兩直線的同側(cè)，并且在第三條直線（截線）的同旁，則這樣一對(duì)角叫做同位角．◆2、內(nèi)錯(cuò)角兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個(gè)角都在兩直線的之間，并且在第三條直線（截線）的兩旁，則這樣一對(duì)角叫做內(nèi)錯(cuò)角．◆3、同旁內(nèi)角兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個(gè)角都在兩直線的之間，并且在第三條直線（截線）的同旁，則這樣一對(duì)角叫做同旁內(nèi)角．【注意】三線八角中的某兩個(gè)角是不是同位角、內(nèi)錯(cuò)角或同旁內(nèi)角，完全由那兩個(gè)角在圖形中的相對(duì)位置決定．在復(fù)雜的圖形中判別三類角時(shí)，應(yīng)從角的兩邊入手，具有上述關(guān)系的角必有兩邊在同一直線上，此直線即為截線，而另外不在同一直線上的兩邊，它們所在的直線即為被截的線．同位角的邊構(gòu)成“F“形，內(nèi)錯(cuò)角的邊構(gòu)成“Z“形，同旁內(nèi)角的邊構(gòu)成“U”形．題型一利用基本圖形識(shí)別對(duì)頂角和鄰補(bǔ)角題型一利用基本圖形識(shí)別對(duì)頂角和鄰補(bǔ)角【例題1】（2022秋?南崗區(qū)校級(jí)期中）如圖直線AB、CD交于點(diǎn)O，OE為射線，那么（）A．∠AOC和∠BOE是對(duì)頂角 B．∠COE和∠AOD是對(duì)頂角 C．∠BOC和∠AOD是對(duì)頂角 D．∠AOE和∠DOE是對(duì)頂角【分析】根據(jù)對(duì)頂角的定義可解此題．【解答】解：∵OE⊥AB于點(diǎn)O，∴∠AOE＝90°，∵OC平分∠AOE，∴∠AOC＝∠COE，∵∠BOD與∠AOC是對(duì)頂角且相等，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了對(duì)頂角的定義，熟記概念，準(zhǔn)確識(shí)圖求出各角的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．解題技巧提煉分析圖形特征，根據(jù)對(duì)頂角的定義，首先判斷是否由兩條直線相交形成，其次再判斷兩個(gè)角的兩邊是否互為反向延長(zhǎng)線.【變式1-1】（2022秋?南崗區(qū)校級(jí)月考）如圖中，∠1和∠2是對(duì)頂角的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)對(duì)頂角的定義進(jìn)行判斷即可．【解答】解：由對(duì)頂角的定義可知，圖中的∠1與∠2是對(duì)頂角，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查對(duì)頂角，理解對(duì)頂角的定義是正確判斷的前提．【變式1-2】（2021春?荊門期末）圖中∠1與∠2互為鄰補(bǔ)角的是（）A．B．C．D．【分析】利用鄰補(bǔ)角定義進(jìn)行解答即可．【解答】解：A、∠1與∠2對(duì)頂角，故此選項(xiàng)不合題意；B、∠1與∠2是鄰補(bǔ)角，故此選項(xiàng)符合題意；C、∠1與∠2不是鄰補(bǔ)角，故此選項(xiàng)不合題意；D、∠1與∠2是內(nèi)錯(cuò)角，故此選項(xiàng)不合題意；故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了鄰補(bǔ)角，關(guān)鍵是掌握只有一條公共邊，它們的另一邊互為反向延長(zhǎng)線，具有這種關(guān)系的兩個(gè)角，互為鄰補(bǔ)角．【變式1-3】（2021秋?蘭西縣期末）如圖，圖中鄰補(bǔ)角有幾對(duì)（）A．4對(duì) B．5對(duì) C．6對(duì) D．8對(duì)【分析】根據(jù)鄰補(bǔ)角的概念判斷即可．【解答】解：∠1與∠2是鄰補(bǔ)角，∠1與∠4是鄰補(bǔ)角，∠3與∠2是鄰補(bǔ)角，∠3與∠4是鄰補(bǔ)角，∠5與∠6是鄰補(bǔ)角，∠5與∠8是鄰補(bǔ)角，∠6與∠7是鄰補(bǔ)角，∠7與∠8是鄰補(bǔ)角共8對(duì)，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是鄰補(bǔ)角的概念，只有一條公共邊，它們的另一邊互為反向延長(zhǎng)線，具有這種關(guān)系的兩個(gè)角，互為鄰補(bǔ)角．【變式1-4】（2021春?朝陽(yáng)縣期末）下列說(shuō)法正確的是（）A.互補(bǔ)的兩個(gè)角是鄰補(bǔ)角；B．相等的角必是對(duì)頂角；C．對(duì)頂角一定相等；D．若兩個(gè)角不是對(duì)頂角，則這兩個(gè)角不相等.【分析】根據(jù)鄰補(bǔ)角以及對(duì)頂角的定義解決此題．【解答】解：A．有一條邊是公共邊，另一邊互為反向延長(zhǎng)線的兩個(gè)角是鄰補(bǔ)角，故A不符合題意．B．對(duì)頂角指角的兩邊互為反向的延長(zhǎng)線的兩個(gè)角，相等的角不一定是對(duì)頂角，故B不符合題意．C．根據(jù)對(duì)頂角的性質(zhì)，得對(duì)頂角一定相等，故C符合題意．D．等腰三角形的底角相等，但兩個(gè)底角不是對(duì)頂角，故D不符合題意．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查鄰補(bǔ)角以及對(duì)頂角，熟練掌握鄰補(bǔ)角以及對(duì)頂角的定義是解決本題的關(guān)鍵．【變式1-5】（2022春?遷安市期末）觀察下列各圖，尋找對(duì)頂角（不含平角）．如圖1，圖中有2條直線相交，則對(duì)頂角有

對(duì)；如圖2，圖中有3條直線相交于一點(diǎn)，則對(duì)頂角有

對(duì)；如圖3圖中有n條直線相交于一點(diǎn)，則對(duì)頂角有

對(duì)．【分析】先將圖①②③中的對(duì)頂角對(duì)數(shù)求出來(lái)，觀察規(guī)律即可求解．【解答】解：當(dāng)2條直線相交于一點(diǎn)時(shí)對(duì)頂角有1×2=2對(duì)，當(dāng)3條直線相交于一點(diǎn)時(shí)對(duì)頂角有2×3=6對(duì)，當(dāng)4條直線相交于一點(diǎn)時(shí)對(duì)頂角有3×4=12對(duì)，∴對(duì)頂角對(duì)數(shù)與直線條數(shù)的關(guān)系為：對(duì)頂角對(duì)數(shù)=（直線條數(shù)-1）×直線條數(shù)，∴當(dāng)n條直線相交于一點(diǎn)時(shí)對(duì)頂角有（n﹣1）n=n2﹣n（對(duì)），故答案為：2；6；n2﹣n.【點(diǎn)評(píng)】本題考查對(duì)頂角的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是得出對(duì)頂角對(duì)數(shù)與直線條數(shù)的關(guān)系為：對(duì)頂角對(duì)數(shù)=（直線條數(shù)-1）×直線條數(shù)．題型二利用基本圖形識(shí)別對(duì)頂角和鄰補(bǔ)角題型二利用基本圖形識(shí)別對(duì)頂角和鄰補(bǔ)角【例題2】（2021秋?桃江縣期末）如圖，直線AB與CD相交于點(diǎn)O，∠AOE是直角．（1）直接寫出∠DOE的補(bǔ)角；（2）直接寫出∠DOE的余角；（3）若OF平分∠AOC，且∠COF＝20°，求∠DOE的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)互補(bǔ)的定義確定∠DOE的補(bǔ)角；（2）根據(jù)互余的定義確定∠DOE的余角；（3）運(yùn)用平角的定義和角平分線的定義得∠DOE的度數(shù)．【解答】解：（1）∠DOE的補(bǔ)角是：∠EOC．（2）∠DOE的余角是：∠DOB，∠AOC．（3）因?yàn)镺F平分∠AOC，所以∠AOC＝2∠COF＝40°，又因?yàn)椤螦OE＝90°，所以∠DOE＝180°﹣（∠AOE+∠AOC）＝180°﹣（90°+40°）＝50°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線、補(bǔ)角、余角的定義以及角的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題型，比較簡(jiǎn)單．解題技巧提煉準(zhǔn)確識(shí)別圖形，理清圖中各角度之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵，再綜合角平分線的定義、對(duì)頂角的性質(zhì)及鄰補(bǔ)角的定義求解.【變式2-1】（2022春?倉(cāng)山區(qū)校級(jí)期末）如圖，直線AC，BD相交于點(diǎn)O，∠AOB＝48°，則∠COD的度數(shù)是（）A．42° B．48° C．96° D．132°【分析】根據(jù)對(duì)頂角相等解答即可．【解答】解：∵∠AOB和∠COD是對(duì)頂角，∴∠AOB＝∠COD，∵∠AOB＝48°，∴∠COD＝48°．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了對(duì)頂角的性質(zhì)，對(duì)頂角的性質(zhì)：對(duì)頂角相等．鄰補(bǔ)角、對(duì)頂角成對(duì)出現(xiàn)，在相交直線中，一個(gè)角的鄰補(bǔ)角有兩個(gè)．鄰補(bǔ)角、對(duì)頂角都是相對(duì)與兩個(gè)角而言，是指的兩個(gè)角的一種位置關(guān)系．它們都是在兩直線相交的前提下形成的．【變式2-2】（2022春?交城縣期中）如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，并且∠AOD＝3∠AOC，則∠AOD的度數(shù)為．【分析】根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義解決此題．【解答】解：∵∠AOD＝3∠AOC，∴∠AOC+∠AOD＝4∠AOC＝180°．∴∠AOC＝45°．∴∠AOD＝3∠AOC＝135°．故答案為：135°．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查鄰補(bǔ)角，熟練掌握鄰補(bǔ)角的定義是解決本題的關(guān)鍵．【變式2-3】（2021秋?鳳慶縣期末）如圖，直線AC和直線BD相交于點(diǎn)O，OE平分∠BOC，若∠1+∠2＝80°，求∠3的度數(shù)．【分析】由∠1+∠2＝80°，∠1＝∠2可求∠2，于是得出∠BOC的度數(shù)，再由OE平分∠BOC，即可求出∠3．【解答】解：∵∠1+∠2＝80°，∠1＝∠2，∴∠2＝40°，∴∠BOC＝180°﹣∠2＝140°，∵OE平分∠BOC，∴∠3=12∠【點(diǎn)評(píng)】本題考查角的計(jì)算，關(guān)鍵是掌握對(duì)頂角，鄰補(bǔ)角的性質(zhì)，角平分線的定義．【變式2-4】（2022?西華縣三模）如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，已知∠BOE＝15°，∠AOD＝2∠DOE，則∠DOB的度數(shù)為．【分析】設(shè)∠DOB＝x，根據(jù)鄰補(bǔ)角的概念得到∠AOD＝180°﹣x，根據(jù)題意列出方程，解方程得到答案．【解答】解：設(shè)∠DOB＝x，則∠AOD＝180°﹣x，由題意得：180°﹣x＝2（x+15°），解得：x＝50°，∴∠DOB＝50°，故答案為：50°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角的概念，熟記鄰補(bǔ)角之和為180°是解題的關(guān)鍵．【變式2-5】（2022春?夏邑縣期中）如圖，直線AB與CD相交于點(diǎn)O，∠AOC﹣2∠AOE＝20°，射線OF平分∠DOE，若∠BOD＝60°，求∠AOF的度數(shù)．【分析】根據(jù)對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角、角平分線的定義解決此題．【解答】解：∵∠AOC與∠BOD是對(duì)頂角，∴∠AOC＝∠BOD＝60°．∴∠AOD＝180°﹣∠AOC＝120°．∵∠AOC﹣2∠AOE＝20°，∴∠AOE＝20°．∴∠DOE＝∠AOD﹣∠AOE＝100°．∵射線OF平分∠DOE，∴∠DOF=1∴∠AOF＝∠AOD﹣∠DOF＝120°﹣50°＝70°．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角、角平分線的定義，熟練掌握對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角、角平分線的定義是解決本題的關(guān)鍵．【變式2-6】（2021秋?連城縣期末）如圖，直線AB與CD相交于點(diǎn)E，射線EG在∠AEC內(nèi)（如圖1）．（1）若∠BEC的補(bǔ)角是它的余角的3倍，求∠BEC的角度；（2）若射線EF平分∠AED，∠FEG＝105°（如圖2），求∠AEG﹣∠CEG的值．【分析】（1）設(shè)∠BEC的度數(shù)為x，根據(jù)∠BEC的補(bǔ)角是它的余角的3倍列方程解方程可得；（2）根據(jù)角平分線的定義得：∠AEF＝∠DEF，根據(jù)∠FEG＝105°，得∠AEG＝105°﹣∠AEF，根據(jù)平角的定義可得∠CEG＝180°﹣105°﹣∠DEF，最后可得結(jié)論．【解答】解：（1）設(shè)∠BEC的度數(shù)為x，則180﹣x＝3（90﹣x），解得：x＝45°，∴∠BEC＝45°，（2）∵射線EF平分∠AED，∴∠AEF＝∠DEF，∵∠FEG＝105°．∴∠AEG+∠AEF＝105°，∵∠CEG＝180°+105°＝∠DEF＝75°+∠DEF，∴∠AEG﹣∠CEG＝105°﹣∠AEF＝（75°﹣∠DEF）＝30°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角，角平分線的定義，此類題目熟記概念并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．題型三有關(guān)垂線的綜合應(yīng)用題型三有關(guān)垂線的綜合應(yīng)用【例題3】（2022春?天府新區(qū)月考）如圖，點(diǎn)O在直線BD上，已知∠1＝20°，OC⊥OA，則∠DOC的度數(shù)為（）A．20° B．70° C．110° D．90°【分析】利用∠1與∠BOC互余求出∠BOC，利用∠DOC與∠BOC互補(bǔ)求出∠DOC．【解答】解：∵OC⊥OA，∠1＝20°，∴∠BOC＝90°﹣∠1＝90°﹣20°＝70°，∴∠DOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣70°＝110°，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查垂直的定義，得出∠1與∠BOC互余，∠DOC與∠BOC互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵．解題技巧提煉結(jié)合垂直的條件確定已知角和未知角之間的關(guān)系，再結(jié)合角平分線、對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角等定義計(jì)算.【變式3-1】（2021秋?北林區(qū)期末）如圖，∠PQR＝132°，SQ⊥QR，QT⊥PQ，則∠SQT＝（）A．48° B．32° C．24° D．66°【分析】利用垂直的概念，得出∠PQS＝∠PQR°﹣90°，再利用互余的性質(zhì)，得出∠SQT＝∠PQT﹣∠PQS．【解答】解：∵，∠PQR＝132°，QT⊥PQ，∴∠PQS＝132°﹣90°＝42°，又∵SQ⊥QR，∴∠PQT＝90°，∴∠SQT＝∠PQT﹣∠PQS，＝90°﹣42°，＝48°．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角的計(jì)算，掌握余角的和等于90°是關(guān)鍵．【變式3-2】（2022春?潼南區(qū)期末）如圖，直線AB與CD相交于點(diǎn)E，EF⊥AB，垂足為E，∠CEA＝60°，則∠DEF的度數(shù)為（）A．100° B．120° C．150° D．160°【分析】根據(jù)對(duì)頂角相等得出∠DEB，根據(jù)垂直的定義求出∠FEB，相加可得結(jié)果．【解答】解：∵∠CEA＝60°，∴∠BED＝60°，∵EF⊥AB，∴∠FEB＝90°，∴∠DEF＝∠DEB+∠FEB＝60°+90°＝150°，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了對(duì)頂角相等，垂直的定義，解題的關(guān)鍵是根據(jù)對(duì)頂角相等求出∠DEB．【變式3-3】（2022春?云陽(yáng)縣校級(jí)月考）如圖，直線AB、EF相交于點(diǎn)O，CD⊥AB于點(diǎn)O，∠EOD＝128°，則∠BOF的度數(shù)為．【分析】由平角的定義可知∠EOD+∠EOC＝180°，從而可求得∠EOC的度數(shù)，根據(jù)對(duì)頂角相等得∠DOF＝∠EOC＝52°，然后由垂線的定義可知∠DOB＝90°，從而求得∠BOF的度數(shù)．【解答】解：∵∠EOD+∠EOC＝180°，∴∠EOC＝180°﹣128°＝52°，∴∠DOF＝∠EOC＝52°，∵CD⊥AB，∴∠DOB＝90°，∴∠BOF＝90°﹣52°＝38°，故答案為：38°．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是鄰補(bǔ)角的性質(zhì)、對(duì)頂角的性質(zhì)和垂線的定義，求得∠DOF的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．【變式3-4】（2022春?元寶區(qū)校級(jí)期末）在同一平面內(nèi)，若∠A與∠B的兩邊分別垂直，且∠A比∠B的3倍少20°，則∠A的度數(shù)為（）A．10° B．50° C．10°或130° D．10°或50°【分析】因?yàn)閮蓚€(gè)角的兩邊分別垂直，則這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)，可設(shè)∠B是x度，利用方程即可解決問(wèn)題．【解答】解：設(shè)∠B是x度，根據(jù)題意，得①兩個(gè)角相等時(shí)，如圖1：∠B＝∠A＝x，x＝3x﹣20，解得x＝10，故∠A＝10°，②兩個(gè)角互補(bǔ)時(shí)，如圖2：x+3x﹣20＝180，所以x＝50，3×50°﹣20°＝130°故∠A的度數(shù)為：10°或130°．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了垂線，本題需仔細(xì)分析題意，利用方程即可解決問(wèn)題．【變式3-5】（2022春?西安月考）如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，OE平分∠BOC，OF⊥CD．若∠BOD：∠BOE＝1：4，求∠AOF的度數(shù)．【分析】由∠BOD：∠BOE＝1：4，列出關(guān)于∠BOD的方程，即可求出∠BOD的度數(shù)，根據(jù)對(duì)頂角相等可得∠AOC的度數(shù)，再根據(jù)余角的定義，可得答案．【解答】解：設(shè)∠BOD＝x°，則∠BOE＝4x°，∵OE平分∠BOC，∴∠BOC＝2∠BOE＝8x°，∵∠BOD+∠BOC＝180°，∴x+8x＝180，∴x＝20，∴∠AOC＝∠BOD＝x°＝20°，∵OF⊥CD，∴∠COF＝90°，∴∠AOF＝90°﹣∠AOC＝70°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂線的定義、角平分線的定義、對(duì)頂角的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握角平分線的定義，垂線的定義，對(duì)頂角的性質(zhì)．【變式3-6】（2021秋?梁河縣期末）如圖，已知直線AB、CD相交于點(diǎn)O，射線OD平分∠BOF，OE⊥CD于點(diǎn)O，∠AOC＝35°．（1）求∠EOF的度數(shù)；（2）試判斷射線OE是否平分∠AOF，并說(shuō)明理由．【分析】（1）利用對(duì)頂角相等，角平分線的定義，垂線的性質(zhì)求解即可．（2）OE平分∠AOF．分別求出∠AOE，∠EOF即可判斷．【解答】解：（1）∵OD平分∠BOF，∴∠BOD＝∠DOF，∵∠BOD＝∠AOC＝35°，∴∠DOF＝35°，∵EO⊥CD，∴∠EOD＝90°，∴∠EOF＝90°﹣∠DOF＝55°．（2）OE平分∠AOF．理由如下：∵∠AOB＝180°，∠EOD＝90°，∴∠AOE+∠BOD＝90°，∵∠BOD＝35°，∴∠AOE＝55°，∵∠EOF＝55°，∴∠AOE＝∠EOF，∴OE平分∠AOF．【點(diǎn)評(píng)】本題考查垂線，角平分線的定義，對(duì)頂角等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．題型四垂線段最短的實(shí)際應(yīng)用題型四垂線段最短的實(shí)際應(yīng)用【例題4】（2022春?青龍縣期末）如圖，某地進(jìn)行城市規(guī)劃，在一條新修公路旁有一超市，現(xiàn)要建一個(gè)汽車站，且有A、B、C、D四個(gè)地點(diǎn)可供選擇．若要使超市距離汽車站最近，則汽車站應(yīng)建在（）A．點(diǎn)A處 B．點(diǎn)B處 C．點(diǎn)C處 D．點(diǎn)D處【分析】根據(jù)垂線段最短得出即可．【解答】解：建在點(diǎn)C處，根據(jù)垂線段最短，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂線段最短，熟練掌握垂線段最短的知識(shí)點(diǎn)是解此題的關(guān)鍵．解題技巧提煉抽象成利用“垂線段最短”和“兩點(diǎn)之間，線段最短”求解的模型，再借助垂線段的性質(zhì)和線段的性質(zhì)求解.【變式4-1】（2021秋?朝陽(yáng)區(qū)期末）如圖，某同學(xué)在體育課上跳遠(yuǎn)后留下的腳印，在圖中畫出了他的跳遠(yuǎn)距離，能正確解釋這一現(xiàn)象的數(shù)學(xué)知識(shí)是（）A．兩點(diǎn)之間，線段最短 B．垂線段最短 C．兩點(diǎn)確定一條直線 D．經(jīng)過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直【分析】由點(diǎn)到直線的距離的定義及跳遠(yuǎn)比賽的規(guī)則作出分析和判斷．【解答】解：如圖，某同學(xué)在體育課上跳遠(yuǎn)后留下的腳印，在圖中畫出了他的跳遠(yuǎn)距離，能正確解釋這一現(xiàn)象的數(shù)學(xué)知識(shí)是垂線段最短．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂線段最短性質(zhì)的運(yùn)用，解答此題的關(guān)鍵是熟練掌握由點(diǎn)到直線的距離的定義及跳遠(yuǎn)比賽的規(guī)則．【變式4-2】（2022?興寧區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）如圖，斑馬線的作用是為了引導(dǎo)行人安全地通過(guò)馬路．小麗覺(jué)得行人沿垂直馬路的方向走過(guò)斑馬線更為合理，這一想法體現(xiàn)的數(shù)學(xué)依據(jù)是（）A．過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直B．垂線段最短C．兩點(diǎn)之間，線段最短D．兩點(diǎn)確定一條直線【分析】由垂線的性質(zhì)，可選擇．【解答】解：A、垂線的一條性質(zhì)，故A不符合題意；B、直線外一點(diǎn)到這條直線上各點(diǎn)的連線中，垂線段最短，故B符合題意；C、連接兩點(diǎn)的所有線中，線段最短，故C不符合題意；D、兩點(diǎn)確定一條直線，是直線的性質(zhì)，故D不符合題意．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查垂線的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握垂線的兩條性質(zhì)，明白垂線段最短．【變式4-3】（2022?館陶縣二模）如圖，生活中，有以下兩個(gè)現(xiàn)象，對(duì)于這兩個(gè)現(xiàn)象的解釋，正確的是（）A.兩個(gè)現(xiàn)象均可用兩點(diǎn)之間線段最短來(lái)解釋；B．現(xiàn)象1用垂線段最短來(lái)解釋，現(xiàn)象2用經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)有且只有一條直線來(lái)解釋；C．現(xiàn)象1用垂線段最短來(lái)解釋，現(xiàn)象2用兩點(diǎn)之間線段最短來(lái)解釋；D．現(xiàn)象1用經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)有且只有一條直線來(lái)解釋，現(xiàn)象2用垂線段最短來(lái)解釋．【分析】分別根據(jù)垂線段的性質(zhì)以及兩點(diǎn)之間線段最短的性質(zhì)判斷即可．【解答】解：現(xiàn)象1用垂線段最短來(lái)解釋，現(xiàn)象2用兩點(diǎn)之間線段最短來(lái)解釋，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線段的性質(zhì)以及直線的性質(zhì)，熟記性質(zhì)公理是解題的關(guān)鍵．【變式4-4】如圖，點(diǎn)P，點(diǎn)Q分別代表兩個(gè)村莊，直線l代表兩個(gè)村莊中間的一條公路．根據(jù)居民出行的需要，計(jì)劃在公路l上的某處設(shè)置一個(gè)公交站．（1）若考慮到村莊P居住的老年人較多，計(jì)劃建一個(gè)離村莊P最近的車站，請(qǐng)?jiān)诠穕上畫出車站的位置（用點(diǎn)M表示），依據(jù)是；（2）若考慮到修路的費(fèi)用問(wèn)題，希望車站的位置到村莊P和村莊Q的距離之和最小，請(qǐng)?jiān)诠穕上畫出車站的位置（用點(diǎn)N表示），依據(jù)是．【分析】（1）直接利用點(diǎn)到直線的距離的定義得出答案；（2）利用線段的性質(zhì)得出答案．【解答】解：（1）如圖，點(diǎn)M即為所示．依據(jù)是直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中垂線段最短（2）如圖，點(diǎn)N即為所示．依據(jù)是兩點(diǎn)之間線段最短；故答案為：直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中垂線段最短；兩點(diǎn)之間線段最短．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了應(yīng)用設(shè)計(jì)與作圖，正確理解線段的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【變式4-5】（2021秋?縉云縣期末）已知點(diǎn)直線BC及直線外一點(diǎn)A（如圖），按要求完成下列問(wèn)題：（1）畫出射線CA，線段AB．過(guò)C點(diǎn)畫CD⊥AB，垂足為點(diǎn)D；（2）比較線段CD和線段CA的大小，并說(shuō)明理由；（3）在以上的圖中，互余的角為，互補(bǔ)的角為．（各寫出一對(duì)即可）【分析】（1）根據(jù)垂線的定義，線段，射線的定義作圖即可；（2）根據(jù)垂線段最短即可求解；（3）由互余、互補(bǔ)的定義解題即可．【解答】解：（1）如圖：（2）∵CD⊥AD，∴CA＞CD；（3）∵∠DAC+∠DCA＝90°，∴∠DAC與∠DCA互余，∵∠ADC+∠BDC＝90°+90°＝180°，∴∠ADC與∠BDC互補(bǔ)，故答案為：∠DAC、∠DCA；∠ADC、∠BDC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查垂線段最短，兩個(gè)角的互余、互補(bǔ)，熟練掌握垂線段最短，兩個(gè)角的互余、互補(bǔ)的定義，會(huì)作圖線段、射線、垂線段是解題的關(guān)鍵．題型五點(diǎn)到直線的距離題型五點(diǎn)到直線的距離【例題5】（2022春?遜克縣期末）如圖，線段AB外有一點(diǎn)P過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AB垂足為E，連接PA、PB，PA＝8cm，PB＝6cm，PE＝4.5cm，若M是線段AB上任意一點(diǎn)，則P到M的最短距離為（）A．8cm B．6cm C．4.5cm D．無(wú)法確定【分析】根據(jù)垂線段最短得出即可．【解答】解：根據(jù)垂線段最短，則P到M的最短距離為不小于4.5cm，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂線段最短，熟練掌握垂線段最短的知識(shí)點(diǎn)是解此題的關(guān)鍵．解題技巧提煉分析圖形特征，結(jié)合已知條件利用點(diǎn)到直線的距離的定義:直線外一點(diǎn)到直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫做點(diǎn)到直線的距離得出答案.【變式5-1】（2022秋?道里區(qū)校級(jí)月考）如圖，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足是點(diǎn)D，則下列說(shuō)法正確的是（）A．線段AC的長(zhǎng)表示點(diǎn)C到AB的距離 B．線段CD的長(zhǎng)表示點(diǎn)A到CD的距離 C．線段BC的長(zhǎng)表示點(diǎn)B到AC的距離 D．線段BD的長(zhǎng)表示點(diǎn)C到DB的距離【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離：直線外一點(diǎn)到直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫做點(diǎn)到直線的距離判斷即可得到答案．【解答】解：A、線段AC的長(zhǎng)是點(diǎn)A到BC的距離，錯(cuò)誤正確，不合題意；B、線段CD的長(zhǎng)是點(diǎn)C到AB的距離，錯(cuò)誤，不合題意；C、線段BC的長(zhǎng)是點(diǎn)B到AC的距離，正確，符合題意；D、線段BD的長(zhǎng)是點(diǎn)B到CD的距離，錯(cuò)誤，不合題意；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是點(diǎn)到直線的距離，掌握其概念是解決此題的關(guān)鍵．【變式5-2】（2022春?渠縣校級(jí)期中）下列說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)有（）①兩點(diǎn)之間的所有連線中，線段最短；②過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直；③平行于同一直線的兩條直線互相平行；④直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段叫做點(diǎn)到直線的距離．A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【分析】根據(jù)直線的性質(zhì)，兩點(diǎn)間的距離的定義，線段的性質(zhì)以及直線的表示對(duì)各小題分析判斷即可得解．【解答】解：①兩點(diǎn)之間的所有連線中，線段最短，正確；②過(guò)平面上的一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直，故本命題錯(cuò)誤；③平行于同一直線的兩條直線互相平行，正確；④直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度叫做點(diǎn)到直線的距離，故本命題錯(cuò)誤；綜上所述，正確的有①，③共2個(gè)．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線、線段的性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離，兩點(diǎn)間的距離的定義，是基礎(chǔ)題，熟記性質(zhì)與概念是解題的關(guān)鍵．【變式5-3】（2022春?九龍坡區(qū)校級(jí)期中）點(diǎn)P為直線l外一點(diǎn)，點(diǎn)A為直線l上一點(diǎn)，PA＝4cm，設(shè)點(diǎn)P到直線l的距離是dcm，則（）A．d＞4 B．d≥4 C．d＜4 D．d≤4【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離垂線段最短進(jìn)行求解即可．【解答】解：∵點(diǎn)P到直線l的距離是dcm，點(diǎn)到直線的距離是垂線段的長(zhǎng)度，垂線段最短PA＝4cm∴d≤4，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了點(diǎn)到直線的距離，垂線段最短，熟知垂線段最短是解題的關(guān)鍵．【變式5-4】（2022春?巨野縣期中）直線l上有A、B、C三點(diǎn)，直線l外有一點(diǎn)P，若PA=2cm,PB=4cm,PC=3cm,那么P點(diǎn)到直線l的距離是（）A．等于2cmB．小于2cmC．不大于2cmD．大于2cm且小于3cm【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離的定義和垂線段最短的性質(zhì)解答．【解答】解：∵PA=2cm,PB=4cm,PC=3cm,∴P點(diǎn)到直線l的距離不大于2cm.故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了點(diǎn)到直線的距離以及垂線段性質(zhì)，熟記概念與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式5-5】（2021春?珠海校級(jí)期中）如圖，在直角三角形ABC中，∠C＝90°．（1）畫出點(diǎn)C到AB的最短路徑CD；（2）請(qǐng)指出B到AC的距離是線段的長(zhǎng)度．【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離垂線段最短，即可得出答案．【解答】解：（1）根據(jù)題意，如圖所示，（2）B到AC的距離是線段BC的長(zhǎng)度，故答案為：BC．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查點(diǎn)到直線的距離，已知點(diǎn)到直線的距離垂線段最短是解題的關(guān)鍵．【變式5-6】（2022春?平橋區(qū)校級(jí)月考）如圖，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，BC＝4cm，AC＝3cm，AB＝5cm．（1）點(diǎn)B到AC的距離是cm；點(diǎn)A到BC的距是cm．（2）畫出表示點(diǎn)C到AB的距離的線段，并求這個(gè)距離．【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)到直線的距離的定義求．（2）先畫垂線段，再計(jì)算距離．【解答】解：（1）∵∠C＝90°，BC＝4cm，AC＝3cm，∴點(diǎn)B到AC的距離是線段BC的長(zhǎng)度，點(diǎn)A到BC的距是線段AC的長(zhǎng)度．故答案為：4，3．（2）如圖：作CD⊥AB于點(diǎn)D，則線段CD的長(zhǎng)度就是點(diǎn)C到AB的距離．∵S△ABC=12BC?AC=12∴CD=BC?ACAB=【點(diǎn)評(píng)】本題考查點(diǎn)到直線的距離，找到點(diǎn)到直線的距離是求解本題的關(guān)鍵．題型六同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的識(shí)別題型六同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的識(shí)別【例題6】（2022春?叢臺(tái)區(qū)校級(jí)期末）同學(xué)們可仿照?qǐng)D用雙手表示“三線八角”圖形（兩大拇指代表被截直線，食指代表截線）．下面三幅圖依次表示（）A．同位角、同旁內(nèi)角、內(nèi)錯(cuò)角B．同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角C．同位角、對(duì)頂角、同旁內(nèi)角D．同位角、內(nèi)錯(cuò)角、對(duì)頂角【解答】解：根據(jù)同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的概念，可知第一個(gè)圖是同位角，第二個(gè)圖是內(nèi)錯(cuò)角，第三個(gè)圖是同旁內(nèi)角．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角，解題的關(guān)鍵是掌握同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角，并能區(qū)別它們．解題技巧提煉本題運(yùn)用了定義法，識(shí)別同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角，其關(guān)鍵是看兩個(gè)角所涉及的直線是否只有三條，并且有沒(méi)有一條邊在同一直線（截線）上，如果沒(méi)有，就不是；如果有，再根據(jù)角的位置特征判斷.【變式6-1】（2022春?八步區(qū)期末）如圖，下列說(shuō)法中，錯(cuò)誤的是（）A．∠1和∠4是內(nèi)錯(cuò)角B．∠4和∠5是同旁內(nèi)角C．∠2和∠4是對(duì)頂角D．∠3和∠5是同位角【分析】根據(jù)同位角、同旁內(nèi)角、內(nèi)錯(cuò)角的定義判斷即可．【解答】解：A、∠1和∠4不是內(nèi)錯(cuò)角，原說(shuō)法錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)符合題意；B、∠4和∠5是同旁內(nèi)角，原說(shuō)法正確，故此選項(xiàng)不符合題意；C、∠2和∠4是對(duì)頂角，原說(shuō)法正確，故此選項(xiàng)不符合題意；D、∠3和∠5是同位角，原說(shuō)法正確，故此選項(xiàng)不符合題意．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了同位角、內(nèi)錯(cuò)角