《時(shí)間序列分析-基于Python》 課件 ch2 時(shí)間序列的預(yù)處理

時(shí)間序列的預(yù)處理02本章內(nèi)容平穩(wěn)序列的定義0102平穩(wěn)性檢驗(yàn)純隨機(jī)性檢驗(yàn)0403概率分布概率分布的意義隨機(jī)變量族的統(tǒng)計(jì)特性完全由它們的聯(lián)合分布函數(shù)或聯(lián)合密度函數(shù)決定時(shí)間序列概率分布族的定義實(shí)際應(yīng)用的局限性

在實(shí)際應(yīng)用中,要得到序列的聯(lián)合概率分布幾乎是不可能的,而且聯(lián)合概率分布通常涉及非常復(fù)雜的數(shù)學(xué)運(yùn)算,這些原因?qū)е挛覀兒苌僦苯邮褂寐?lián)合概率分布進(jìn)行時(shí)間序列分析特征統(tǒng)計(jì)量均值方差自協(xié)方差自相關(guān)系數(shù)平穩(wěn)時(shí)間序列的定義嚴(yán)平穩(wěn)嚴(yán)平穩(wěn)是一種條件比較苛刻的平穩(wěn)性定義，它認(rèn)為只有當(dāng)序列所有的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)都不會(huì)隨著時(shí)間的推移而發(fā)生變化時(shí)，該序列才能被認(rèn)為平穩(wěn)。寬平穩(wěn)寬平穩(wěn)是使用序列的特征統(tǒng)計(jì)量來定義的一種平穩(wěn)性。它認(rèn)為序列的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)主要由它的低階矩決定，所以只要保證序列低階矩平穩(wěn)（二階），就能保證序列的主要性質(zhì)近似穩(wěn)定。平穩(wěn)時(shí)間序列的統(tǒng)計(jì)定義嚴(yán)平穩(wěn)滿足如下條件的序列稱為嚴(yán)平穩(wěn)序列

寬平穩(wěn)滿足如下條件的序列稱為寬平穩(wěn)序列嚴(yán)平穩(wěn)與寬平穩(wěn)的關(guān)系一般關(guān)系嚴(yán)平穩(wěn)條件比寬平穩(wěn)條件苛刻，通常情況下，嚴(yán)平穩(wěn)（低階矩存在）能推出寬平穩(wěn)成立，而寬平穩(wěn)序列不能反推嚴(yán)平穩(wěn)成立特例不存在低階矩的嚴(yán)平穩(wěn)序列不滿足寬平穩(wěn)條件，例如服從柯西分布的嚴(yán)平穩(wěn)序列就不是寬平穩(wěn)序列當(dāng)序列服從多元正態(tài)分布時(shí)，寬平穩(wěn)可以推出嚴(yán)平穩(wěn)平穩(wěn)時(shí)間序列的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)常數(shù)均值自協(xié)方差函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)只依賴于時(shí)間的平移長(zhǎng)度而與時(shí)間的起止點(diǎn)無關(guān)延遲自協(xié)方差函數(shù)延遲自相關(guān)系數(shù)自相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)規(guī)范性對(duì)稱性非負(fù)定性

非唯一性

一個(gè)平穩(wěn)時(shí)間序列一定唯一決定了它的自相關(guān)函數(shù)，但一個(gè)自相關(guān)函數(shù)未必唯一對(duì)應(yīng)著一個(gè)平穩(wěn)時(shí)間序列。時(shí)間序列數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的特殊性傳統(tǒng)統(tǒng)計(jì)分析的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)：有限個(gè)變量，每個(gè)變量有多個(gè)觀察值時(shí)間序列數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)：可列多個(gè)隨機(jī)變量，而每個(gè)變量只有一個(gè)樣本觀察平穩(wěn)性的重大意義在平穩(wěn)序列場(chǎng)合，序列的均值等于常數(shù)，這意味著原本含有可列多個(gè)隨機(jī)變量的均值序列變成了只含有一個(gè)變量的常數(shù)序列。原本每個(gè)隨機(jī)變量的均值（方差，自相關(guān)系數(shù)）只能依靠唯一的一個(gè)樣本觀察值去估計(jì)，現(xiàn)在由于平穩(wěn)性，每一個(gè)統(tǒng)計(jì)量都將擁有大量的樣本觀察值。這極大地減少了隨機(jī)變量的個(gè)數(shù)，并增加了待估變量的樣本容量。極大地簡(jiǎn)化了時(shí)序分析的難度，同時(shí)也提高了對(duì)特征統(tǒng)計(jì)量的估計(jì)精度嚴(yán)平穩(wěn)與寬平穩(wěn)的關(guān)系一般關(guān)系嚴(yán)平穩(wěn)條件比寬平穩(wěn)條件苛刻，通常情況下，嚴(yán)平穩(wěn)（低階矩存在）能推出寬平穩(wěn)成立，而寬平穩(wěn)序列不能反推嚴(yán)平穩(wěn)成立特例不存在低階矩的嚴(yán)平穩(wěn)序列不滿足寬平穩(wěn)條件，例如服從柯西分布的嚴(yán)平穩(wěn)序列就不是寬平穩(wěn)序列當(dāng)序列服從多元正態(tài)分布時(shí)，寬平穩(wěn)可以推出嚴(yán)平穩(wěn)本章內(nèi)容平穩(wěn)序列的定義0102平穩(wěn)性檢驗(yàn)純隨機(jī)性檢驗(yàn)03序列的平穩(wěn)性檢驗(yàn)檢驗(yàn)方法方法一：圖檢驗(yàn)（本章介紹）時(shí)序圖檢驗(yàn)自相關(guān)圖檢驗(yàn)

方法二：構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)（第四章介紹）單位根檢驗(yàn)平穩(wěn)性的時(shí)序圖檢驗(yàn)時(shí)序圖檢驗(yàn)原理：平穩(wěn)時(shí)間序列具有常數(shù)均值和方差。這意味著平穩(wěn)序列的時(shí)序圖應(yīng)該顯示出該序列始終在一個(gè)常數(shù)值附近波動(dòng)，而且波動(dòng)的范圍有界的特點(diǎn)。時(shí)序圖檢驗(yàn)技巧如果序列的時(shí)序圖顯示出該序列有明顯的趨勢(shì)性或周期性，那該序列通常就不是平穩(wěn)序列。根據(jù)這個(gè)性質(zhì)，很多非平穩(wěn)序列，通過查看它的時(shí)序圖就可以直接識(shí)別出來。例2-1趨勢(shì)序列非平穩(wěn)繪制1978-2012年我國(guó)第三產(chǎn)業(yè)占國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值的比例序列的時(shí)序圖，根據(jù)時(shí)序圖判斷該序列的平穩(wěn)性。該序列時(shí)序圖清晰顯示：序列有明顯的遞增趨勢(shì)特征，所以是非平穩(wěn)序列。周期序列的平穩(wěn)性具有周期特征的序列平穩(wěn)性識(shí)別是困難的。理論上，如果周期波動(dòng)的振幅和頻率不隨時(shí)間的變化而變化，通常序列是穩(wěn)定的。

比如通信領(lǐng)域常用的隨機(jī)相位信號(hào)函數(shù)是平穩(wěn)序列其中：A為振幅，

為頻率，

為起始相位。A和

為任意常數(shù)，

。如果

，振幅和頻率會(huì)隨著時(shí)間變化而變化，那么該序列就是非平穩(wěn)序列。周期效應(yīng)的平穩(wěn)性演示周期序列的平穩(wěn)性識(shí)別無論是圖識(shí)別方法還是將來要學(xué)習(xí)的單位根檢驗(yàn)方法都無法準(zhǔn)確識(shí)別出具有周期特征的序列的平穩(wěn)性。通常具有周期特征的序列，在實(shí)務(wù)處理上，不嚴(yán)格區(qū)分它到底是平穩(wěn)序列還是非平穩(wěn)序列，都類似于非平穩(wěn)序列一樣處理——通過差分的方法提取周期特征，然后對(duì)差分后的序列建模。所以實(shí)務(wù)中，如果序列具有顯著的周期特征可以視為非平穩(wěn)序列處理。例2-2繪制1970—1976年加拿大Coppermine地區(qū)月度降雨量序列的時(shí)序圖，根據(jù)時(shí)序圖判斷該序列平穩(wěn)性該序列時(shí)序圖清晰顯示：序列有明顯的周期特征，可以視為非平穩(wěn)序列。例2-3繪制1915-2004年澳大利亞自殺率序列（每10萬人自殺人口數(shù)）的時(shí)序圖，根據(jù)時(shí)序圖判斷該序列的平穩(wěn)性。該序列時(shí)序圖顯示：從1915年開始澳大利亞每年的自殺率長(zhǎng)期圍繞在10萬分之3附近波動(dòng)，而且波動(dòng)范圍長(zhǎng)期在10萬分之2至10萬分之4之間，這呈現(xiàn)出平穩(wěn)序列的特征。但是看序列的最后20年的波動(dòng)，自殺率又是一路遞減，這是有趨勢(shì)嗎？如果是趨勢(shì)，這就是非平穩(wěn)特征。這時(shí)，通過時(shí)序圖判斷序列的平穩(wěn)性有點(diǎn)困難。這時(shí)，可以借助序列自相關(guān)圖的性質(zhì)進(jìn)一步輔助識(shí)別。自相關(guān)圖檢驗(yàn)自相關(guān)圖檢驗(yàn)自相關(guān)圖是一個(gè)平面二維坐標(biāo)懸垂線圖，橫坐標(biāo)表示延遲時(shí)期數(shù)，縱坐標(biāo)表示自相關(guān)系數(shù)，懸垂線的長(zhǎng)度表示自相關(guān)系數(shù)的大小.自相關(guān)圖檢驗(yàn)技巧在下一章，我們會(huì)證明平穩(wěn)序列通常具有短期相關(guān)性.這就是我們利用自相關(guān)圖進(jìn)行平穩(wěn)性判別的標(biāo)準(zhǔn).該性質(zhì)用自相關(guān)系數(shù)來描述就是隨著延遲階數(shù)k的增加，平穩(wěn)序列的自相關(guān)系數(shù)會(huì)很快地衰減向零;而非平穩(wěn)序列的自相關(guān)系數(shù)衰減向零的速度通常比較慢。例2.1續(xù)繪制1978-2012年我國(guó)第三產(chǎn)業(yè)占國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值的比例序列的自相關(guān)圖該序列自相關(guān)圖呈現(xiàn)出明顯的三角對(duì)稱性，這是有趨勢(shì)的非平穩(wěn)序列常見的自相關(guān)圖特征.根據(jù)該序列自相關(guān)圖我們可以認(rèn)為該序列非平穩(wěn)，且可能具有長(zhǎng)期趨勢(shì)這和該序列時(shí)序圖呈現(xiàn)的單調(diào)遞增性是一致的.例2.2續(xù)繪制1970—1976年加拿大Coppermine地區(qū)月度降雨量序列的自相關(guān)圖該序列自相關(guān)圖呈現(xiàn)明顯的三角函數(shù)波動(dòng)規(guī)律.這是具有周期性變化的非平穩(wěn)序列的一種典型的自相關(guān)圖特征，而且這種周期性幾乎不衰減根據(jù)自相關(guān)圖的長(zhǎng)期相關(guān)性和余弦變化特征，我們可以認(rèn)為該序列非平穩(wěn)且具有穩(wěn)定的周期變化規(guī)律.這和該序列時(shí)序圖呈現(xiàn)的季節(jié)性特征是一致的.例2.3續(xù)繪制1915-2004年澳大利亞自殺率序列（每10萬人自殺人口數(shù)）的自相關(guān)圖該序列自相關(guān)圖呈現(xiàn)出明顯的倒三角特征,這是具有單調(diào)趨勢(shì)的非平穩(wěn)序列的典型特征.根據(jù)自相關(guān)圖特征,我們可以認(rèn)為該序列非平穩(wěn),且具有長(zhǎng)期趨勢(shì).本章內(nèi)容平穩(wěn)序列的定義0102平穩(wěn)性檢驗(yàn)純隨機(jī)性檢驗(yàn)0403純隨機(jī)序列純隨機(jī)序列的定義：如果序列滿足如下兩條性質(zhì)，我們稱該序列為純隨機(jī)序列,也稱為白噪聲(WhiteNoise)序列,簡(jiǎn)記為。容易證明,白噪聲序列一定是平穩(wěn)序列,而且是最簡(jiǎn)單的平穩(wěn)序列。例2-4隨機(jī)產(chǎn)生1000個(gè)服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的白噪聲序列觀察值,并繪制時(shí)序圖。純隨機(jī)序列的性質(zhì)

純隨機(jī)性

各序列值之間沒有任何相關(guān)關(guān)系，即為“沒有記憶”的序列

方差齊性根據(jù)馬爾可夫定理，只有方差齊性假定成立時(shí)，用最小二乘法得到的未知參數(shù)估計(jì)值才是準(zhǔn)確的、有效的純隨機(jī)性檢驗(yàn)原理純隨機(jī)性檢驗(yàn)原理：Barlett定理純隨機(jī)性檢驗(yàn)也稱為白噪聲檢驗(yàn),是專門用來檢驗(yàn)序列是否為純隨機(jī)序列的一種方法如果一個(gè)序列是純隨機(jī)序列,那么它的序列值之間應(yīng)該沒有任何相關(guān)關(guān)系,即滿足這是一種理論上才會(huì)出現(xiàn)的理想狀況。實(shí)際上,由于觀察值序列的有限性,純隨機(jī)序列的樣本自相關(guān)系數(shù)不會(huì)絕對(duì)為零。例2-4續(xù)（1）繪制例2-7標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)白噪聲序列的樣本自相關(guān)圖。該序列樣本自相關(guān)圖顯示：這個(gè)純隨機(jī)序列沒有一個(gè)樣本自相關(guān)系數(shù)嚴(yán)格等于零。但這些自相關(guān)系數(shù)確實(shí)都非常小,都在零值附近以一個(gè)很小的幅度隨機(jī)波動(dòng)。這就提醒我們應(yīng)該考慮樣本自相關(guān)系數(shù)的分布性質(zhì),從統(tǒng)計(jì)意義上判斷序列的純隨機(jī)性質(zhì)。純隨機(jī)性檢驗(yàn)原理純隨機(jī)性檢驗(yàn)原理：Barlett定理Barlett定理如果一個(gè)時(shí)間序列是純隨機(jī)的，得到一個(gè)觀察期數(shù)為的觀察值序列，那么該序列的延遲非零期的樣本自相關(guān)系數(shù)將近似服從均值為零，方差為序列觀察期數(shù)倒數(shù)的正態(tài)分布根據(jù)Barlett定理,我們可以構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量來檢驗(yàn)序列的純隨機(jī)性檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量假設(shè)條件原假設(shè)：延遲期數(shù)小于或等于m期的序列值之間相互獨(dú)立備擇假設(shè)：延遲期數(shù)小于或等于m期的序列值之間有相關(guān)性

檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量Q統(tǒng)計(jì)量LB統(tǒng)計(jì)量純隨機(jī)性檢驗(yàn)的判別原則拒絕原假設(shè)當(dāng)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量大于分位點(diǎn)，或該統(tǒng)計(jì)量的P值小于時(shí)，則可以以的置信水平拒絕原假設(shè)，認(rèn)為該序列為非白噪聲序列。接受原假設(shè)當(dāng)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量小于分位點(diǎn)，或該統(tǒng)計(jì)量的P值大于時(shí)，則認(rèn)為在的置信水平下無法拒絕原假設(shè)，即可以認(rèn)為該序列為白噪聲序列。

例2-4續(xù)(2)計(jì)算例2-4中白噪聲序列延遲1~12階的LB統(tǒng)計(jì)量的值,并判斷該序列的隨機(jī)性。延遲1-12階的LB統(tǒng)計(jì)量的P值都大于顯著性水平（0.05）所以可以判斷該序列為純隨機(jī)序列檢驗(yàn)結(jié)果解讀由于LB檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的P值顯著大于顯著性水平α,所以該序列不能拒絕純隨機(jī)的原假設(shè)。換言之,我們判斷該序列為白噪聲序列，認(rèn)為該序列的波動(dòng)沒有任何統(tǒng)計(jì)規(guī)律可循。還需要解釋的一點(diǎn)是,為什么在本例中只檢驗(yàn)了前12期延遲的Q統(tǒng)計(jì)量就直接判斷該序列是白噪聲序列呢?為什么不進(jìn)行全部999期延遲檢驗(yàn)?zāi)?一方面是因?yàn)?平穩(wěn)序列通常具有短期相關(guān)性,如果序列值之間存在顯著的相關(guān)關(guān)系,通常只存在于延遲時(shí)期比較短的序列值之間。所以,如果一個(gè)平穩(wěn)序列短期延遲的序列值之間都不存在顯著的相關(guān)關(guān)系,通常長(zhǎng)期延遲之間就更不會(huì)存在顯著的相關(guān)關(guān)系了。另一方面是因?yàn)?假如一個(gè)平穩(wěn)序列顯示出顯著的短期相關(guān)性,那么該序列就一定不是白噪聲序列,我們就可以對(duì)序列值之間存在的相關(guān)性進(jìn)行分析。假如此時(shí)考慮的延遲時(shí)期數(shù)太長(zhǎng),反而可能淹沒了該序列的短期相關(guān)性。因?yàn)槠椒€(wěn)序列只要延遲時(shí)期足夠長(zhǎng),自相關(guān)系數(shù)都會(huì)收斂于零。例2-5對(duì)1900—1998年全球7級(jí)以上地震發(fā)生次數(shù)序列進(jìn)行平穩(wěn)性和純隨機(jī)性檢驗(yàn)。時(shí)序圖顯示該序列沒有明顯的趨勢(shì)和周期.自相關(guān)圖顯示，除了延遲1一4階的自相關(guān)系數(shù)在