專題15 三角形（學生版）

知識點01：三角形的角平分線、中線和高【高頻考點精講】1、從三角形的一個頂點向底邊作垂線，垂足與頂點之間的線段叫做三角形的高。2、三角形一個內(nèi)角的平分線與這個內(nèi)角的對邊交于一點，則這個內(nèi)角的頂點與交點間的線段叫做三角形的角平分線。3、三角形一邊的中點與此邊所對頂點的連線叫做三角形的中線。4、三角形有3條中線，3條高線，3條角平分線，它們都是線段。知識點02：三角形的面積【高頻考點精講】1、三角形的面積等于底邊長與高線乘積的一半，即S△＝×底×高。2、三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分。知識點03：三角形三邊關(guān)系【高頻考點精講】1、三角形三邊關(guān)系定理：三角形兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊差小于第三邊。2、只要兩條較短的邊長之和大于第三邊的長度就可以判定這三條線段能構(gòu)成一個三角形。知識點04：三角形內(nèi)角和定理與外角性質(zhì)【高頻考點精講】1、三角形的內(nèi)角和等于180°。2、三角形外角的定義：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角。三角形共有六個外角，其中有公共頂點的兩個相等。3、三角形外角的性質(zhì)（1）三角形的外角和為360°。（2）三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和。（3）三角形的一個外角大于和它不相鄰的任何一個內(nèi)角。知識點05：全等三角形的判定與性質(zhì)【高頻考點精講】1、三角形全等的判定（1）三組對應(yīng)邊分別相等的兩個三角形全等(SSS)。（2）有兩邊及其夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等(SAS)。（3）有兩角及其夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等(ASA)。（4）有兩角及一角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等(AAS)。2、全等三角形的性質(zhì)（1）全等三角形的對應(yīng)邊相等；全等三角形的對應(yīng)角相等。（2）全等三角形的周長、面積相等。（3）全等三角形的對應(yīng)邊上的高對應(yīng)相等。（4）全等三角形的對應(yīng)角的角平分線相等。（5）全等三角形的對應(yīng)邊上的中線相等。知識點06：等腰（等邊）三角形的判定與性質(zhì)【高頻考點精講】1、等腰三角形的概念：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形。2、等腰三角形的性質(zhì)：①等腰三角形的兩腰相等；②等腰三角形的兩個底角相等（等邊對等角）；③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合。（三線合一）3、等邊三角形的概念：三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，等邊三角形是特殊的等腰三角形。4、等邊三角形的性質(zhì)：①等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，且都等于60°；②等邊三角形是軸對稱圖形，有3條對稱軸；③等邊三角形的內(nèi)角平分線垂直平分對邊，三邊的垂直平分線是對稱軸。知識點07：三角形中位線定理【高頻考點精講】1、三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半。2、幾何語言：如圖，∵點D、E分別是AB、AC的中點∴DE∥BC，DE＝BC．檢測時間：90分鐘試題滿分：100分難度系數(shù)：0.46一．選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）1．（2分）（2023?綿陽）如圖，在等邊△ABC中，BD是AC邊上的中線，延長BC至點E，使CE＝CD，若DE＝，則AB＝（）A． B．6 C．8 D．2．（2分）（2023秋?梅河口市期末）如圖，△ABC是等邊三角形，D是線段BC上一點（不與點B，C重合），連接AD，點E，F(xiàn)分別在線段AB，AC的延長線上，且DE＝DF＝AD，點D從B運動到C的過程中，△BED周長的變化規(guī)律是（）A．不變 B．一直變小 C．先變大后變小 D．先變小后變大3．（2分）（2023?臺灣）如圖，△ABC中，D點在BC上，且BD的中垂線與AB相交于E點，CD的中垂線與AC相交于F點，已知△ABC的三個內(nèi)角皆不相等，根據(jù)圖中標示的角，判斷下列敘述何者正確（）A．∠1＝∠3，∠2＝∠4 B．∠1＝∠3，∠2≠∠4 C．∠1≠∠3，∠2＝∠4 D．∠1≠∠3，∠2≠∠44．（2分）（2023?株洲）一技術(shù)人員用刻度尺（單位：cm）測量某三角形部件的尺寸．如圖所示，已知∠ACB＝90°，點D為邊AB的中點，點A、B對應(yīng)的刻度為1、7，則CD＝（）A．3.5cm B．3cm C．4.5cm D．6cm5．（2分）（2023?寧夏）將一副直角三角板和一把寬度為2cm的直尺按如圖方式擺放：先把60°和45°角的頂點及它們的直角邊重合，再將此直角邊垂直于直尺的上沿，重合的頂點落在直尺下沿上，這兩個三角板的斜邊分別交直尺上沿于A，B兩點，則AB的長是（）A．2﹣ B．2﹣2 C．2 D．26．（2分）（2023?浙江）如圖，點P是△ABC的重心，點D是邊AC的中點，PE∥AC交BC于點E，DF∥BC交EP于點F．若四邊形CDFE的面積為6，則△ABC的面積為（）A．12 B．14 C．18 D．247．（2分）（2023?河北）四邊形ABCD的邊長如圖所示，對角線AC的長度隨四邊形形狀的改變而變化．當△ABC為等腰三角形時，對角線AC的長為（）A．2 B．3 C．4 D．58．（2分）（2023?陜西）如圖，DE是△ABC的中位線，點F在DB上，DF＝2BF．連接EF并延長，與CB的延長線相交于點M．若BC＝6，則線段CM的長為（）A． B．7 C． D．89．（2分）（2023?內(nèi)蒙古）如圖，直線a∥b，直線l與直線a，b分別相交于點A，B，點C在直線b上，且CA＝CB．若∠1＝32°，則∠2的度數(shù)為（）A．32° B．58° C．74° D．75°10．（2分）（2023?菏澤）△ABC的三邊長a，b，c滿足（a﹣b）2++|c﹣3|＝0，則△ABC是（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．等腰直角三角形二．填空題（共10小題，滿分20分，每小題2分）11．（2分）（2023?江西）將含30°角的直角三角板和直尺按如圖所示的方式放置，已知∠α＝60°，點B，C表示的刻度分別為1cm，3cm，則線段AB的長為cm．12．（2分）（2023?安徽）清初數(shù)學家梅文鼎在著作《平三角舉要》中，對南宋數(shù)學家秦九韶提出的計算三角形面積的“三斜求積術(shù)”給出了一個完整的證明，證明過程中創(chuàng)造性地設(shè)計直角三角形，得出了一個結(jié)論：如圖，AD是銳角△ABC的高，則BD＝（BC+）．當AB＝7，BC＝6，AC＝5時，CD＝．13．（2分）（2023?十堰）一副三角板按如圖所示放置，點A在DE上，點F在BC上，若∠EAB＝35°，則∠DFC＝．14．（2分）（2023?重慶）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點D為BC上一點，連接AD．過點B作BE⊥AD于點E，過點C作CF⊥AD交AD的延長線于點F．若BE＝4，CF＝1，則EF的長度為．15．（2分）（2023?臺州）如圖，點C，D在線段AB上（點C在點A，D之間），分別以AD，BC為邊向同側(cè)作等邊三角形ADE與等邊三角形CBF，邊長分別為a，b，CF與DE交于點H，延長AE，BF交于點G，AG長為c．（1）若四邊形EHFG的周長與△CDH的周長相等，則a，b，c之間的等量關(guān)系為；（2）若四邊形EHFG的面積與△CDH的面積相等，則a，b，c之間的等量關(guān)系為．16．（2分）（2023?無錫）《九章算術(shù)》中提出了如下問題：今有戶不知高、廣，竿不知長短，橫之不出四尺，從之不出二尺，邪之適出，問戶高、廣、邪各幾何？這段話的意思是：今有門不知其高寬；有竿，不知其長短，橫放，竿比門寬長出4尺；豎放，竿比門高長出2尺；斜放，竿與門對角線恰好相等．問門高、寬和對角線的長各是多少？則該問題中的門高是尺．17．（2分）（2023?揚州）我國漢代數(shù)學家趙爽證明勾股定理時創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，后人稱之為“趙爽弦圖”，它是由4個全等的直角三角形和一個小正方形組成．如圖，直角三角形的直角邊長為a、b，斜邊長為c，若b﹣a＝4，c＝20，則每個直角三角形的面積為．18．（2分）（2023?武漢）如圖，DE平分等邊△ABC的面積，折疊△BDE得到△FDE，AC分別與DF，EF相交于G，H兩點．若DG＝m，EH＝n，用含m，n的式子表示GH的長是．19．（2分）（2023?通遼）如圖，等邊三角形ABC的邊長為6cm，動點P從點A出發(fā)以2cm/s的速度沿AB向點B勻速運動，過點P作PQ⊥AB，交邊AC于點Q，以PQ為邊作等邊三角形PQD，使點A，D在PQ異側(cè)，當點D落在BC邊上時，點P需移動s．20．（2分）（2023?山西）如圖，在四邊形ABCD中，∠BCD＝90°，對角線AC，BD相交于點O．若AB＝AC＝5，BC＝6，∠ADB＝2∠CBD，則AD的長為．三．解答題（共8小題，滿分60分）21．（6分）（2023?大慶）某建筑物的窗戶如圖所示，上半部分△ABC是等腰三角形，AB＝AC，AF：BF＝3：4，點G、H、F分別是邊AB、AC、BC的中點；下半部分四邊形BCDE是矩形，BE∥IJ∥MN∥CD，制造窗戶框的材料總長為16米（圖中所有黑線的長度和），設(shè)BF＝x米，BE＝y(tǒng)米．（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出自變量x的取值范圍；（2）當x為多少時，窗戶透過的光線最多（窗戶的面積最大），并計算窗戶的最大面積．22．（6分）（2023?南通）如圖，點D，E分別在AB，AC上，∠ADC＝∠AEB＝90°，BE，CD相交于點O，OB＝OC．求證：∠1＝∠2．小虎同學的證明過程如下：證明：∵∠ADC＝∠AEB＝90°，∴∠DOB+∠B＝∠EOC+∠C＝90°．∵∠DOB＝∠EOC，∴∠B＝∠C．……第一步又OA＝OA，OB＝OC，∴△ABO≌△ACO．……第二步∴∠1＝∠2．……第三步（1）小虎同學的證明過程中，第步出現(xiàn)錯誤；（2）請寫出正確的證明過程．23．（8分）（2023?益陽）如圖，AB∥CD，直線MN與AB，CD分別交于點E，F(xiàn)，CD上有一點G且GE＝GF，∠1＝122°，求∠2的度數(shù)．24．（8分）（2023?陜西）如圖，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝20°．過點A作AE⊥BC，垂足為E，延長EA至點D．使AD＝AC．在邊AC上截取AF＝AB，連接DF．求證：DF＝CB．25．（8分）（2023?綿陽）如圖，在⊙O中，點A，B，C，D為圓周的四等分點，AE為切線，連接ED．并延長交⊙O于點F，連接BF交AC于點G．（1）求證：AD平分∠CAE；（2）求證：△ADE≌△ABG；（3）若AE＝3，AG＝3GC，求cos∠CBF的值．26．（8分）（2023?臨沂）如圖，∠A＝90°，AB＝AC，BD⊥AB，BC＝AB+BD．（1）寫出AB與BD的數(shù)量關(guān)系．（2）延長BC到E，使CE＝BC，延長DC到F，使CF＝DC，連接EF．求證：EF⊥AB．（3）在（2）的條件下，作∠ACE的平分線，交AF于點H，求證：AH＝FH．27．（8分）（2023?宿遷）【問題背景】由光的反射定律知：反射角等于入射角（如圖①，即∠CEF＝∠AEF）．小軍測量某建筑物高度的方法如下：在地面點E處平放一面鏡子，經(jīng)調(diào)整自己位置后，在點D處恰好通過鏡子看到建筑物AB的頂端A．經(jīng)測得，小軍的眼睛離地面的距離CD＝1.7m，BE＝20m，DE＝2m，求建筑物AB的高度；【活動探究】觀察小軍的操作后，小明提出了一個測量廣告牌高度的做法（如圖②）：他讓小軍站在點D處不動，將鏡子移動至E1處，小軍