專題15 三角形（學(xué)生版）

知識(shí)點(diǎn)01：三角形的角平分線、中線和高【高頻考點(diǎn)精講】1、從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向底邊作垂線，垂足與頂點(diǎn)之間的線段叫做三角形的高。2、三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線與這個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊交于一點(diǎn)，則這個(gè)內(nèi)角的頂點(diǎn)與交點(diǎn)間的線段叫做三角形的角平分線。3、三角形一邊的中點(diǎn)與此邊所對(duì)頂點(diǎn)的連線叫做三角形的中線。4、三角形有3條中線，3條高線，3條角平分線，它們都是線段。知識(shí)點(diǎn)02：三角形的面積【高頻考點(diǎn)精講】1、三角形的面積等于底邊長(zhǎng)與高線乘積的一半，即S△＝×底×高。2、三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分。知識(shí)點(diǎn)03：三角形三邊關(guān)系【高頻考點(diǎn)精講】1、三角形三邊關(guān)系定理：三角形兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊差小于第三邊。2、只要兩條較短的邊長(zhǎng)之和大于第三邊的長(zhǎng)度就可以判定這三條線段能構(gòu)成一個(gè)三角形。知識(shí)點(diǎn)04：三角形內(nèi)角和定理與外角性質(zhì)【高頻考點(diǎn)精講】1、三角形的內(nèi)角和等于180°。2、三角形外角的定義：三角形的一邊與另一邊的延長(zhǎng)線組成的角，叫做三角形的外角。三角形共有六個(gè)外角，其中有公共頂點(diǎn)的兩個(gè)相等。3、三角形外角的性質(zhì)（1）三角形的外角和為360°。（2）三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和。（3）三角形的一個(gè)外角大于和它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角。知識(shí)點(diǎn)05：全等三角形的判定與性質(zhì)【高頻考點(diǎn)精講】1、三角形全等的判定（1）三組對(duì)應(yīng)邊分別相等的兩個(gè)三角形全等(SSS)。（2）有兩邊及其夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(SAS)。（3）有兩角及其夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(ASA)。（4）有兩角及一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(AAS)。2、全等三角形的性質(zhì)（1）全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等；全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等。（2）全等三角形的周長(zhǎng)、面積相等。（3）全等三角形的對(duì)應(yīng)邊上的高對(duì)應(yīng)相等。（4）全等三角形的對(duì)應(yīng)角的角平分線相等。（5）全等三角形的對(duì)應(yīng)邊上的中線相等。知識(shí)點(diǎn)06：等腰（等邊）三角形的判定與性質(zhì)【高頻考點(diǎn)精講】1、等腰三角形的概念：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形。2、等腰三角形的性質(zhì)：①等腰三角形的兩腰相等；②等腰三角形的兩個(gè)底角相等（等邊對(duì)等角）；③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合。（三線合一）3、等邊三角形的概念：三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，等邊三角形是特殊的等腰三角形。4、等邊三角形的性質(zhì)：①等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，且都等于60°；②等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，有3條對(duì)稱軸；③等邊三角形的內(nèi)角平分線垂直平分對(duì)邊，三邊的垂直平分線是對(duì)稱軸。知識(shí)點(diǎn)07：三角形中位線定理【高頻考點(diǎn)精講】1、三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半。2、幾何語(yǔ)言：如圖，∵點(diǎn)D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)∴DE∥BC，DE＝BC．檢測(cè)時(shí)間：90分鐘試題滿分：100分難度系數(shù)：0.46一．選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）1．（2分）（2023?綿陽(yáng)）如圖，在等邊△ABC中，BD是AC邊上的中線，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)E，使CE＝CD，若DE＝，則AB＝（）A． B．6 C．8 D．2．（2分）（2023秋?梅河口市期末）如圖，△ABC是等邊三角形，D是線段BC上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），連接AD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段AB，AC的延長(zhǎng)線上，且DE＝DF＝AD，點(diǎn)D從B運(yùn)動(dòng)到C的過(guò)程中，△BED周長(zhǎng)的變化規(guī)律是（）A．不變 B．一直變小 C．先變大后變小 D．先變小后變大3．（2分）（2023?臺(tái)灣）如圖，△ABC中，D點(diǎn)在BC上，且BD的中垂線與AB相交于E點(diǎn)，CD的中垂線與AC相交于F點(diǎn)，已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角皆不相等，根據(jù)圖中標(biāo)示的角，判斷下列敘述何者正確（）A．∠1＝∠3，∠2＝∠4 B．∠1＝∠3，∠2≠∠4 C．∠1≠∠3，∠2＝∠4 D．∠1≠∠3，∠2≠∠44．（2分）（2023?株洲）一技術(shù)人員用刻度尺（單位：cm）測(cè)量某三角形部件的尺寸．如圖所示，已知∠ACB＝90°，點(diǎn)D為邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)A、B對(duì)應(yīng)的刻度為1、7，則CD＝（）A．3.5cm B．3cm C．4.5cm D．6cm5．（2分）（2023?寧夏）將一副直角三角板和一把寬度為2cm的直尺按如圖方式擺放：先把60°和45°角的頂點(diǎn)及它們的直角邊重合，再將此直角邊垂直于直尺的上沿，重合的頂點(diǎn)落在直尺下沿上，這兩個(gè)三角板的斜邊分別交直尺上沿于A，B兩點(diǎn)，則AB的長(zhǎng)是（）A．2﹣ B．2﹣2 C．2 D．26．（2分）（2023?浙江）如圖，點(diǎn)P是△ABC的重心，點(diǎn)D是邊AC的中點(diǎn)，PE∥AC交BC于點(diǎn)E，DF∥BC交EP于點(diǎn)F．若四邊形CDFE的面積為6，則△ABC的面積為（）A．12 B．14 C．18 D．247．（2分）（2023?河北）四邊形ABCD的邊長(zhǎng)如圖所示，對(duì)角線AC的長(zhǎng)度隨四邊形形狀的改變而變化．當(dāng)△ABC為等腰三角形時(shí)，對(duì)角線AC的長(zhǎng)為（）A．2 B．3 C．4 D．58．（2分）（2023?陜西）如圖，DE是△ABC的中位線，點(diǎn)F在DB上，DF＝2BF．連接EF并延長(zhǎng)，與CB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)M．若BC＝6，則線段CM的長(zhǎng)為（）A． B．7 C． D．89．（2分）（2023?內(nèi)蒙古）如圖，直線a∥b，直線l與直線a，b分別相交于點(diǎn)A，B，點(diǎn)C在直線b上，且CA＝CB．若∠1＝32°，則∠2的度數(shù)為（）A．32° B．58° C．74° D．75°10．（2分）（2023?菏澤）△ABC的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足（a﹣b）2++|c﹣3|＝0，則△ABC是（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．等腰直角三角形二．填空題（共10小題，滿分20分，每小題2分）11．（2分）（2023?江西）將含30°角的直角三角板和直尺按如圖所示的方式放置，已知∠α＝60°，點(diǎn)B，C表示的刻度分別為1cm，3cm，則線段AB的長(zhǎng)為cm．12．（2分）（2023?安徽）清初數(shù)學(xué)家梅文鼎在著作《平三角舉要》中，對(duì)南宋數(shù)學(xué)家秦九韶提出的計(jì)算三角形面積的“三斜求積術(shù)”給出了一個(gè)完整的證明，證明過(guò)程中創(chuàng)造性地設(shè)計(jì)直角三角形，得出了一個(gè)結(jié)論：如圖，AD是銳角△ABC的高，則BD＝（BC+）．當(dāng)AB＝7，BC＝6，AC＝5時(shí)，CD＝．13．（2分）（2023?十堰）一副三角板按如圖所示放置，點(diǎn)A在DE上，點(diǎn)F在BC上，若∠EAB＝35°，則∠DFC＝．14．（2分）（2023?重慶）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D為BC上一點(diǎn)，連接AD．過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AD于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AD交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．若BE＝4，CF＝1，則EF的長(zhǎng)度為．15．（2分）（2023?臺(tái)州）如圖，點(diǎn)C，D在線段AB上（點(diǎn)C在點(diǎn)A，D之間），分別以AD，BC為邊向同側(cè)作等邊三角形ADE與等邊三角形CBF，邊長(zhǎng)分別為a，b，CF與DE交于點(diǎn)H，延長(zhǎng)AE，BF交于點(diǎn)G，AG長(zhǎng)為c．（1）若四邊形EHFG的周長(zhǎng)與△CDH的周長(zhǎng)相等，則a，b，c之間的等量關(guān)系為；（2）若四邊形EHFG的面積與△CDH的面積相等，則a，b，c之間的等量關(guān)系為．16．（2分）（2023?無(wú)錫）《九章算術(shù)》中提出了如下問(wèn)題：今有戶不知高、廣，竿不知長(zhǎng)短，橫之不出四尺，從之不出二尺，邪之適出，問(wèn)戶高、廣、邪各幾何？這段話的意思是：今有門(mén)不知其高寬；有竿，不知其長(zhǎng)短，橫放，竿比門(mén)寬長(zhǎng)出4尺；豎放，竿比門(mén)高長(zhǎng)出2尺；斜放，竿與門(mén)對(duì)角線恰好相等．問(wèn)門(mén)高、寬和對(duì)角線的長(zhǎng)各是多少？則該問(wèn)題中的門(mén)高是尺．17．（2分）（2023?揚(yáng)州）我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽證明勾股定理時(shí)創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，后人稱之為“趙爽弦圖”，它是由4個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形組成．如圖，直角三角形的直角邊長(zhǎng)為a、b，斜邊長(zhǎng)為c，若b﹣a＝4，c＝20，則每個(gè)直角三角形的面積為．18．（2分）（2023?武漢）如圖，DE平分等邊△ABC的面積，折疊△BDE得到△FDE，AC分別與DF，EF相交于G，H兩點(diǎn)．若DG＝m，EH＝n，用含m，n的式子表示GH的長(zhǎng)是．19．（2分）（2023?通遼）如圖，等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為6cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以2cm/s的速度沿AB向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥AB，交邊AC于點(diǎn)Q，以PQ為邊作等邊三角形PQD，使點(diǎn)A，D在PQ異側(cè)，當(dāng)點(diǎn)D落在BC邊上時(shí)，點(diǎn)P需移動(dòng)s．20．（2分）（2023?山西）如圖，在四邊形ABCD中，∠BCD＝90°，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O．若AB＝AC＝5，BC＝6，∠ADB＝2∠CBD，則AD的長(zhǎng)為．三．解答題（共8小題，滿分60分）21．（6分）（2023?大慶）某建筑物的窗戶如圖所示，上半部分△ABC是等腰三角形，AB＝AC，AF：BF＝3：4，點(diǎn)G、H、F分別是邊AB、AC、BC的中點(diǎn)；下半部分四邊形BCDE是矩形，BE∥IJ∥MN∥CD，制造窗戶框的材料總長(zhǎng)為16米（圖中所有黑線的長(zhǎng)度和），設(shè)BF＝x米，BE＝y(tǒng)米．（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出自變量x的取值范圍；（2）當(dāng)x為多少時(shí)，窗戶透過(guò)的光線最多（窗戶的面積最大），并計(jì)算窗戶的最大面積．22．（6分）（2023?南通）如圖，點(diǎn)D，E分別在AB，AC上，∠ADC＝∠AEB＝90°，BE，CD相交于點(diǎn)O，OB＝OC．求證：∠1＝∠2．小虎同學(xué)的證明過(guò)程如下：證明：∵∠ADC＝∠AEB＝90°，∴∠DOB+∠B＝∠EOC+∠C＝90°．∵∠DOB＝∠EOC，∴∠B＝∠C．……第一步又OA＝OA，OB＝OC，∴△ABO≌△ACO．……第二步∴∠1＝∠2．……第三步（1）小虎同學(xué)的證明過(guò)程中，第步出現(xiàn)錯(cuò)誤；（2）請(qǐng)寫(xiě)出正確的證明過(guò)程．23．（8分）（2023?益陽(yáng)）如圖，AB∥CD，直線MN與AB，CD分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，CD上有一點(diǎn)G且GE＝GF，∠1＝122°，求∠2的度數(shù)．24．（8分）（2023?陜西）如圖，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝20°．過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC，垂足為E，延長(zhǎng)EA至點(diǎn)D．使AD＝AC．在邊AC上截取AF＝AB，連接DF．求證：DF＝CB．25．（8分）（2023?綿陽(yáng)）如圖，在⊙O中，點(diǎn)A，B，C，D為圓周的四等分點(diǎn)，AE為切線，連接ED．并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)F，連接BF交AC于點(diǎn)G．（1）求證：AD平分∠CAE；（2）求證：△ADE≌△ABG；（3）若AE＝3，AG＝3GC，求cos∠CBF的值．26．（8分）（2023?臨沂）如圖，∠A＝90°，AB＝AC，BD⊥AB，BC＝AB+BD．（1）寫(xiě)出AB與BD的數(shù)量關(guān)系．（2）延長(zhǎng)BC到E，使CE＝BC，延長(zhǎng)DC到F，使CF＝DC，連接EF．求證：EF⊥AB．（3）在（2）的條件下，作∠ACE的平分線，交AF于點(diǎn)H，求證：AH＝FH．27．（8分）（2023?宿遷）【問(wèn)題背景】由光的反射定律知：反射角等于入射角（如圖①，即∠CEF＝∠AEF）．小軍測(cè)量某建筑物高度的方法如下：在地面點(diǎn)E處平放一面鏡子，經(jīng)調(diào)整自己位置后，在點(diǎn)D處恰好通過(guò)鏡子看到建筑物AB的頂端A．經(jīng)測(cè)得，小軍的眼睛離地面的距離CD＝1.7m，BE＝20m，DE＝2m，求建筑物AB的高度；【活動(dòng)探究】觀察小軍的操作后，小明提出了一個(gè)測(cè)量廣告牌高度的做法（如圖②）：他讓小軍站在點(diǎn)D處不動(dòng)，將鏡子移動(dòng)至E1處，小軍