數(shù)學(xué)悖論與三次數(shù)學(xué)危機(jī)省公開課一等獎(jiǎng)全國示范課微課金獎(jiǎng)?wù)n件

數(shù)學(xué)悖論與三次數(shù)學(xué)危機(jī)“……古往今來，為數(shù)眾多悖論為邏輯思想發(fā)展提供了食糧?！?/p>

——N·布爾巴基

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什么是悖論？籠統(tǒng)地說，是指這么推理過程：它看上去是合理，但結(jié)果卻得出了矛盾。悖論在很多情況下表現(xiàn)為能得出不符合排中律矛盾命題：由它真，能夠推出它為假；由它假，則能夠推出它為真。因?yàn)閲?yán)格性被公認(rèn)為是數(shù)學(xué)一個(gè)主要特點(diǎn)，所以假如數(shù)學(xué)中出現(xiàn)悖論會(huì)造成對(duì)數(shù)學(xué)可靠性懷疑。第2頁

假如這一悖論包括面十分廣泛話，這種沖擊波會(huì)更為強(qiáng)烈，由此造成懷疑還會(huì)引發(fā)人們認(rèn)識(shí)上普遍危機(jī)感。在這種情況下，悖論往往會(huì)直接造成“數(shù)學(xué)危機(jī)”產(chǎn)生。按照西方習(xí)慣說法，在數(shù)學(xué)發(fā)展史上迄今為止出現(xiàn)了三次這么數(shù)學(xué)危機(jī)。

第3頁希帕索斯悖論與第一次數(shù)學(xué)危機(jī)

希帕索斯悖論提出與勾股定理發(fā)覺親密相關(guān)。所以，我們從勾股定理談起。勾股定理是歐氏幾何中最著名定理之一。天文學(xué)家開普勒曾稱其為歐氏幾何兩顆璀璨明珠之一。它在數(shù)學(xué)與人類實(shí)踐活動(dòng)中有著極其廣泛應(yīng)用，同時(shí)也是人類最早認(rèn)識(shí)到平面幾何定理之一。在我國，最早一部天文數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中就已經(jīng)有了關(guān)于這一定理初步認(rèn)識(shí)。不過，在我國對(duì)于勾股定理證實(shí)卻是較遲事情。一直到三國時(shí)期趙爽才用面積割補(bǔ)給出它第一個(gè)證實(shí)。

第4頁在國外，最早給出這一定理證實(shí)是古希臘畢達(dá)哥拉斯。因而國外普通稱之為“畢達(dá)哥拉斯定理”。而且聽說畢達(dá)哥拉斯在完成這一定理證實(shí)后欣喜若狂，而殺牛百只以示慶賀。所以這一定理還又取得了一個(gè)帶神秘色彩稱號(hào)：“百牛定理”。第5頁畢達(dá)哥拉斯第6頁

畢達(dá)哥拉斯是公元前五世紀(jì)古希臘著名數(shù)學(xué)家與哲學(xué)家。他曾創(chuàng)建了一個(gè)合政治、學(xué)術(shù)、宗教三位一體神秘主義派別：畢達(dá)哥拉斯學(xué)派。由畢達(dá)哥拉斯提出著名命題“萬物皆數(shù)”是該學(xué)派哲學(xué)基石。而“一切數(shù)均可表成整數(shù)或整數(shù)之比”則是這一學(xué)派數(shù)學(xué)信仰。然而，含有戲劇性是由畢達(dá)哥拉斯建立畢達(dá)哥拉斯定理卻成了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派數(shù)學(xué)信仰“掘墓人”。第7頁畢達(dá)哥拉斯定理提出后，其學(xué)派中一個(gè)組員希帕索斯考慮了一個(gè)問題：邊長為1正方形其對(duì)角線長度是多少呢？他發(fā)覺這一長度既不能用整數(shù)，也不能用分?jǐn)?shù)表示，而只能用一個(gè)新數(shù)來表示。希帕索斯發(fā)覺造成了數(shù)學(xué)史上第一個(gè)無理數(shù)√2誕生。小小√2出現(xiàn)，卻在當(dāng)初數(shù)學(xué)界掀起了一場(chǎng)巨大風(fēng)暴。它直接動(dòng)搖了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派數(shù)學(xué)信仰，使畢達(dá)哥拉斯學(xué)派為之大為恐慌。第8頁實(shí)際上，這一偉大發(fā)覺不不過對(duì)畢達(dá)哥拉斯學(xué)派致命打擊。對(duì)于當(dāng)初全部古希臘人觀念這都是一個(gè)極大沖擊。這一結(jié)論悖論性表現(xiàn)在它與常識(shí)沖突上：任何量，在任何準(zhǔn)確度范圍內(nèi)都能夠表示成有理數(shù)。這不但在希臘當(dāng)初是人們普遍接收信仰，就是在今天，測(cè)量技術(shù)已經(jīng)高度發(fā)展時(shí)，這個(gè)斷言也毫無例外是正確！第9頁

可是為我們經(jīng)驗(yàn)所確信，完全符合常識(shí)論斷竟然被小小√2存在而推翻了！這應(yīng)該是多么違反常識(shí)，多么荒謬事！它簡直把以前所知道事情根本推翻了。更糟糕是，面對(duì)這一荒謬人們竟然毫無方法。這就在當(dāng)初直接造成了人們認(rèn)識(shí)上危機(jī)，從而造成了西方數(shù)學(xué)史上一場(chǎng)大風(fēng)波，史稱“第一次數(shù)學(xué)危機(jī)”。

第10頁歐多克第11頁二百年后，大約在公元前370年，才華橫溢歐多克索斯建立起一套完整百分比論。他本人著作已失傳，他結(jié)果被保留在歐幾里德《幾何原本》一書第五篇中。歐多克索斯巧妙方法能夠避開無理數(shù)這一“邏輯上丑聞”，并保留住與之相關(guān)一些結(jié)論，從而處理了由無理數(shù)出現(xiàn)而引發(fā)數(shù)學(xué)危機(jī)。但歐多克索斯處理方式，是借助幾何方法，經(jīng)過防止直接出現(xiàn)無理數(shù)而實(shí)現(xiàn)。這就生硬地把數(shù)和量肢解開來。在這種處理方案下，對(duì)無理數(shù)使用只有在幾何中是允許，正當(dāng)，在代數(shù)中就是非法，不合邏輯?；蛘哒f無理數(shù)只被看成是附在幾何量上單純符號(hào)，而不被看成真正數(shù)。第12頁一直到18世紀(jì)，當(dāng)數(shù)學(xué)家證實(shí)了基本常數(shù)如圓周率是無理數(shù)時(shí)，擁護(hù)無理數(shù)存在人才多起來。到十九世紀(jì)下半葉，現(xiàn)在意義上實(shí)數(shù)理論建立起來后，無理數(shù)本質(zhì)被徹底搞清，無理數(shù)在數(shù)學(xué)園地中才真正扎下了根。無理數(shù)在數(shù)學(xué)中正當(dāng)?shù)匚淮_實(shí)立，首先使人類對(duì)數(shù)認(rèn)識(shí)從有理數(shù)拓展到實(shí)數(shù)，另首先也真正徹底、圓滿地處理了第一次數(shù)學(xué)危機(jī)。

第13頁貝克萊第14頁貝克萊悖論與第二次數(shù)學(xué)危機(jī)

第二次數(shù)學(xué)危機(jī)導(dǎo)源于微積分工具使用。伴伴隨人們科學(xué)理論與實(shí)踐認(rèn)識(shí)提升，十七世紀(jì)幾乎在同一時(shí)期，微積分這一銳利無比數(shù)學(xué)工具為牛頓、萊布尼茲各自獨(dú)立發(fā)覺。這一工具一問世，就顯示出它非凡威力。許許多多疑難問題利用這一工具后變得易如翻掌。不過不論是牛頓，還是萊布尼茲所創(chuàng)建微積分理論都是不嚴(yán)格。兩人理論都建立在無窮小分析之上，但他們對(duì)作為基本概念無窮小量了解與利用卻是混亂。因而，從微積分誕生時(shí)就遭到了一些人反對(duì)與攻擊。其中攻擊最猛烈是英國大主教貝克萊。第15頁

1734年，貝克萊以“渺小哲學(xué)家”之名出版了一本標(biāo)題很長書《分析學(xué)家；或一篇致一位不信神數(shù)學(xué)家論文，其中審查一下近代分析學(xué)對(duì)象、標(biāo)準(zhǔn)及論斷是不是比宗教神秘、信仰關(guān)鍵點(diǎn)有更清楚表示，或更顯著推理》。在這本書中，貝克萊對(duì)牛頓理論進(jìn)行了攻擊。比如他指責(zé)牛頓，為計(jì)算比如說x2導(dǎo)數(shù)，先將x取一個(gè)不為0增量Δx，由(x+Δx)2-x2，得到2xΔx+(Δx2)，后再被Δx除，得到2x+Δx，最終突然令Δx=0，求得導(dǎo)數(shù)為2x。這是“依靠雙重錯(cuò)誤得到了不科學(xué)卻正確結(jié)果”。因?yàn)闊o窮小量在牛頓理論中一會(huì)兒說是零，一會(huì)兒又說不是零。所以，貝克萊嘲笑無窮小量是“已死量幽靈”。貝克萊攻擊雖說出自維護(hù)神學(xué)目標(biāo)，但卻真正抓住了牛頓理論中缺點(diǎn)，是切中要害。

第16頁數(shù)學(xué)史上把貝克萊問題稱之為“貝克萊悖論”?；\統(tǒng)地說，貝克萊悖論能夠表述為“無窮小量終究是否為0”問題：就無窮小量在當(dāng)初實(shí)際應(yīng)用而言，它必須既是0，又不是0。但從形式邏輯而言，這無疑是一個(gè)矛盾。這一問題提出在當(dāng)初數(shù)學(xué)界引發(fā)了一定混亂，由此造成了第二次數(shù)學(xué)危機(jī)產(chǎn)生。第17頁牛頓萊布尼茲第18頁針對(duì)貝克萊攻擊，牛頓與萊布尼茲都曾試圖經(jīng)過完善自己理論來處理，但都沒有取得完全成功。這使數(shù)學(xué)家們陷入了尷尬境地。首先微積分在應(yīng)用中大獲成功，另首先其本身卻存在著邏輯矛盾，即貝克萊悖論。這種情況下對(duì)微積分取舍上到底何去何從呢？

第19頁“向前進(jìn)，向前進(jìn)，你就會(huì)取得信念！”達(dá)朗貝爾吹起奮勇向前號(hào)角，在此號(hào)角鼓舞下，十八世紀(jì)數(shù)學(xué)家們開始不顧基礎(chǔ)不嚴(yán)格，論證不嚴(yán)密，而是更多依賴于直觀去開創(chuàng)新數(shù)學(xué)領(lǐng)地。于是一套套新方法、新結(jié)論以及新分支紛紛涌現(xiàn)出來。第20頁經(jīng)過一個(gè)多世紀(jì)漫漫征程，幾代數(shù)學(xué)家，包含達(dá)朗貝爾、拉格朗日、貝努力家族、拉普拉斯以及集眾家之大成歐拉等人努力，數(shù)量驚人前所未有處女地被開墾出來，微積分理論取得了空前豐富。18世紀(jì)有時(shí)甚至被稱為“分析世紀(jì)”。然而，與此同時(shí)十八世紀(jì)粗糙，不嚴(yán)密工作也造成謬誤越來越多局面，不諧和音刺耳開始震動(dòng)了數(shù)學(xué)家們神經(jīng)。第21頁柯西第22頁到十九世紀(jì)，批判、系統(tǒng)化和嚴(yán)密論證必要時(shí)期降臨了。使分析基礎(chǔ)嚴(yán)密化工作由法國著名數(shù)學(xué)家柯西邁出了第一大步。柯西于1821年開始出版了幾本含有劃時(shí)代意義書與論文。其中給出了分析學(xué)一系列基本概念嚴(yán)格定義。如他開始用不等式來刻畫極限，使無窮運(yùn)算化為一系列不等式推導(dǎo)。第23頁這就是所謂極限概念“算術(shù)化”。以后，德國數(shù)學(xué)家魏爾斯特拉斯給出更為完善我們當(dāng)前所使用“ε-δ”方法。另外，在柯西努力下，連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分、積分、無窮級(jí)數(shù)和等概念也建立在了較堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)上。不過，在當(dāng)初情況下，因?yàn)閷?shí)數(shù)嚴(yán)格理論未建立起來，所以柯西極限理論還不可能完善。

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柯西之后，魏爾斯特拉斯、戴德金、康托爾各自經(jīng)過自己獨(dú)立深入研究，都將分析基礎(chǔ)歸結(jié)為實(shí)數(shù)理論，并于七十年代各自建立了自己完整實(shí)數(shù)體系。魏爾斯特拉斯理論可歸結(jié)為遞增有界數(shù)列極限存在原理；戴德金建立了有名戴德金分割；康托爾提出用有理“基本序列”來定義無理數(shù)。1892年，另一個(gè)數(shù)學(xué)家創(chuàng)用“區(qū)間套原理”來建立實(shí)數(shù)理論。由此，沿柯西開辟道路，建立起來嚴(yán)謹(jǐn)極限理論與實(shí)數(shù)理論，完成了分析學(xué)邏輯奠基工作。第25頁數(shù)學(xué)分析無矛盾性問題歸納為實(shí)數(shù)論無矛盾性，從而使微積分學(xué)這座人類數(shù)學(xué)史上空前雄偉大廈建在了牢靠可靠基礎(chǔ)之上。重建微積分學(xué)基礎(chǔ)，這項(xiàng)主要而困難工作就這么經(jīng)過許多出色學(xué)者努力而勝利完成了。微積分學(xué)堅(jiān)實(shí)牢靠基礎(chǔ)建立，結(jié)束了數(shù)學(xué)中暫時(shí)混亂局面，同時(shí)也宣告了第二次數(shù)學(xué)危機(jī)徹底處理。第26頁羅素悖論與第三次數(shù)學(xué)危機(jī)

第27頁康托爾第28頁十九世紀(jì)下半葉，康托爾創(chuàng)建了著名集合論，在集合論剛產(chǎn)生時(shí)，曾遭到許多人猛烈攻擊。但很快這一開創(chuàng)性結(jié)果就為廣大數(shù)學(xué)家所接收了，而且取得廣泛而高度贊譽(yù)。數(shù)學(xué)家們發(fā)覺，從自然數(shù)與康托爾集合論出發(fā)可建立起整個(gè)數(shù)學(xué)大廈。因而集合論成為當(dāng)代數(shù)學(xué)基石?！耙磺袛?shù)學(xué)結(jié)果可建立在集合論基礎(chǔ)上”這一發(fā)覺使數(shù)學(xué)家們?yōu)橹兆怼?900年，國際數(shù)學(xué)家大會(huì)上，法國著名數(shù)學(xué)家龐加萊就曾興高采烈地宣稱：“………借助集合論概念，我們能夠建造整個(gè)數(shù)學(xué)大廈……今天，我們能夠說絕正確嚴(yán)格性已經(jīng)到達(dá)了……”可是，好景不長。1903年，一個(gè)震驚數(shù)學(xué)界消息傳出：集合論是有漏洞！這就是英國數(shù)學(xué)家羅素提出著名羅素悖論。

第29頁羅素結(jié)構(gòu)了一個(gè)集合S：S由一切不是本身元素集合所組成。然后羅素問：S是否屬于S呢？依據(jù)排中律，一個(gè)元素或者屬于某個(gè)集合，或者不屬于某個(gè)集合。所以，對(duì)于一個(gè)給定集合，問是否屬于它自己是有意義。但對(duì)這個(gè)看似合理問題回答卻會(huì)陷入兩難境地。假如S屬于S，依據(jù)S定義，S就不屬于S；反之，假如S不屬于S，一樣依據(jù)定義，S就屬于S。不論怎樣都是矛盾。第30頁羅素第31頁其實(shí)，在羅素之前集合論中就已經(jīng)發(fā)覺了悖論。如1897年，布拉利和福爾蒂提出了最大序數(shù)悖論。1899年，康托爾自己發(fā)覺了最大基數(shù)悖論。不過，因?yàn)檫@兩個(gè)悖論都包括集合中許多復(fù)雜理論，所以只是在數(shù)學(xué)界揭起了一點(diǎn)小漣漪，未能引發(fā)大注意。羅素悖論則不一樣。它非常淺顯易懂，而且所包括只是集合論中最基本東西。所以，羅素悖論一提出就在當(dāng)初數(shù)學(xué)界與邏輯學(xué)界內(nèi)引發(fā)了極大震動(dòng)。第32頁如G.弗雷格在收到羅素介紹這一悖論信后難過地說：“一個(gè)科學(xué)家所碰到最不合心意事莫過于是在他工作即將結(jié)束時(shí)，其基礎(chǔ)瓦解了。羅素先生一封信恰好把我置于這個(gè)境地?！贝鞯陆鹨菜酝七t了他《什么是數(shù)本質(zhì)和作用》一文再版。能夠說，這一悖論就象在平靜數(shù)學(xué)水面上投下了一塊巨石，而它所引發(fā)巨大反響則造成了第三次數(shù)學(xué)危機(jī)。

第33頁危機(jī)產(chǎn)生后，數(shù)學(xué)家紛紛提出自己處理方案。人們希望能夠經(jīng)過對(duì)康托爾集合論進(jìn)行改造，經(jīng)過對(duì)集合定義加以限制來排除悖論，這就需要建立新標(biāo)準(zhǔn)?！斑@些標(biāo)準(zhǔn)必須足夠狹窄，以確保排除一切矛盾；另首先又必須充分遼闊，使康托爾集合論中一切有價(jià)值內(nèi)容得以保留下來?！?908年，策梅羅在自已這一標(biāo)準(zhǔn)基礎(chǔ)上提出第一個(gè)公理化集合論體系，以后經(jīng)其它數(shù)學(xué)家改進(jìn)，稱為ZF系統(tǒng)。這一公理化集合系統(tǒng)很大程度上填補(bǔ)了康托爾樸素集合論缺點(diǎn)。第34頁除ZF系統(tǒng)外，集合論公理系統(tǒng)還有各種，如諾伊曼等人提出NBG系統(tǒng)等。公理化集合系統(tǒng)建立，成功排除了集合論中出現(xiàn)悖論，從而比較圓滿地處理了第三次數(shù)學(xué)危機(jī)。但在另首先，羅素悖論對(duì)數(shù)學(xué)而言有著更為深刻影響。它使得數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問題第一次以最迫切需要姿態(tài)擺到數(shù)學(xué)家面前，造成了數(shù)學(xué)家對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究。而這方面深入發(fā)展又極其深刻地影響了整個(gè)數(shù)學(xué)。如圍繞著數(shù)學(xué)基礎(chǔ)之爭，形成了當(dāng)代數(shù)學(xué)史上著名三大數(shù)學(xué)流派，而各派工作又都促進(jìn)了數(shù)學(xué)大發(fā)展等等。

第35頁以上簡單介紹了數(shù)學(xué)史上因?yàn)閿?shù)學(xué)悖論而造成三次數(shù)學(xué)危機(jī)與度過，從中我們不難看到數(shù)學(xué)悖論在推進(jìn)數(shù)學(xué)發(fā)展中巨大作用。有些人說：“提出問題就是處理問題二分之一”，而數(shù)學(xué)悖論提出正是讓數(shù)學(xué)家無法回避問題。它對(duì)數(shù)學(xué)家說：“處理我，不然我將吞掉你體系！”正如希爾伯特在《論無限》一文中所指出那樣：“必須認(rèn)可，在這些悖論