廣東省中山市南頭高級中學(xué)高三數(shù)學(xué)文測試題含解析

廣東省中山市南頭高級中學(xué)高三數(shù)學(xué)文測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知a為銳角，且7sina=2cos2a，則sin(a+)=(

)A．

B．

C．

D．參考答案：A2.在△ABC中，“sinA＞cosB”是“△ABC是銳角三角形”的（

）A．充分必要條件

B．充分而不必要條件C．必要而不充分條件

D．既不充分又不必要條件參考答案：C3.已知x，y滿足約束條件，則z=3x+y的取值范圍為（）A．[6，10] B．（6，10] C．（﹣2，10] D．[﹣2，10）參考答案：C【考點(diǎn)】簡單線性規(guī)劃．【分析】由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)得答案．【解答】解：由約束條件作出可行域如圖，化目標(biāo)函數(shù)為y=﹣3x+z，由圖可知，當(dāng)直線y=﹣3x+z過A時(shí)，z取最大值，由，得A（4，﹣2），此時(shí)zmax=3×4﹣2=10；當(dāng)直線y=﹣3x+z過點(diǎn)B時(shí)，由，解得B（0，﹣2），故z＞3×0﹣2=﹣2．綜上，z=3x+y的取值范圍為（﹣2，10]．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．4.某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐最長的棱的棱長為（

）A．2

B．

C．

D．3參考答案：D由三視圖可得幾何體的直觀圖如圖所示：有：PB⊥面ABC，PB=2.△ABC中，，BC邊上的高為2，所以.該三棱錐最長的棱的棱長為.故選D.

5.從1、2、3、4、5、6中任三個(gè)數(shù)，則所取的三個(gè)數(shù)按一定的順序可排成等差數(shù)列的概率為（）A． B． C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率．【分析】先求出基本事件總數(shù)n==20，再利用列舉法求出所取的三個(gè)數(shù)按一定的順序可排成等差數(shù)列包含的基本事件個(gè)數(shù)，由此能求出所取的三個(gè)數(shù)按一定的順序可排成等差數(shù)列的概率．【解答】解：從1、2、3、4、5、6中任取三個(gè)數(shù)，基本事件總數(shù)n==20，所取的三個(gè)數(shù)按一定的順序可排成等差數(shù)列包含的基本事件有：（1，2，3），（2，3，4），（3，4，5），（4，5，6），（1，3，5），（2，4，6），共有6個(gè)，則所取的三個(gè)數(shù)按一定的順序可排成等差數(shù)列的概率為p=．故選：A．6.下列選項(xiàng)中，說法正確的是

A.命題“若，則”的逆命題是真命題；（

）B.命題“”的否定是“”;C.命題“”為真命題，則命題均為真命題；D.設(shè)是向量，命題“若”的否命題是真命題.參考答案：B略7.設(shè)集合A={x|x2﹣16＞0}，B={x|﹣2＜x≤6}，則A∩B等于（）A．（﹣2，4） B．（4，6] C．（﹣4，6） D．（﹣4，﹣2）參考答案：B【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算．【分析】解不等式得集合A，根據(jù)交集的定義寫出A∩B．【解答】解：集合A={x|x2﹣16＞0}={x|x＜﹣4或x＞4}，B={x|﹣2＜x≤6}，則A∩B={x|4＜x≤6}=（4，6]．故選：B．8.已知函數(shù)，，的零點(diǎn)分別為，則的大小關(guān)系為(

)A.

B.

C.

D.參考答案：Af（x）=2x+log2x=0，可得log2x=﹣2x，g（x）=2﹣x+log2x=0，可得log2x=﹣2﹣x，h（x）=2xlog2x﹣1=0，可得log2x=2﹣x，∵函數(shù)f（x），g（x），h（x）的零點(diǎn)分別為a，b，c，作出函數(shù)y=log2x，y=﹣2x，y=﹣2﹣x，y=2﹣x的圖象如圖，由圖可知：a＜b＜c．故答案為：A

9.我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載了公元前344年商鞅督造一種標(biāo)準(zhǔn)量器商鞅銅方升，其三視圖如圖所示（單位：寸），若π取3，且圖中的x為1.6（寸）．則其體積為（）A．0.4π+11.4立方寸 B．13.8立方寸C．12.6立方寸 D．16.2立方寸參考答案：C【考點(diǎn)】L!：由三視圖求面積、體積．【分析】由三視圖知，商鞅銅方升由一圓柱和一長方體組合而成，即可求出體積．【解答】解：由三視圖知，商鞅銅方升由一圓柱和一長方體組合而成．由題意得：其體積為（5.4﹣x）×3×1+π?（）2?1.6=12.6立方寸，故選：C．10.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在定義域內(nèi)遞增的是（

）A． B．C． D．參考答案：AB中函數(shù)非奇非偶，D中函數(shù)是偶函數(shù)，C中函數(shù)是奇函數(shù)，但不在定義域內(nèi)遞增，只有A中函數(shù)符合題意．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.一只口袋內(nèi)裝有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，從中一次性隨機(jī)摸出2只球，則摸到同色球的概率為

．參考答案：【考點(diǎn)】列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率．【分析】先求出基本事件總數(shù)n==10，再求出摸到同色球包含的基本事件個(gè)數(shù)m=，由此能求出摸到同色球的概率．【解答】解：一只口袋內(nèi)裝有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，從中一次性隨機(jī)摸出2只球，基本事件總數(shù)n==10，摸到同色球包含的基本事件個(gè)數(shù)m=，∴摸到同色球的概率p==．故答案為：．12.已知是定義在上且周期為的函數(shù),當(dāng)時(shí)，.若函數(shù)在區(qū)間上有個(gè)零點(diǎn)(互不相同)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________.參考答案：略13.已知，則的值是__________．參考答案：略14.（幾何證明選講選做題）已知⊙O1和⊙O2交于點(diǎn)C和D，⊙O1上的點(diǎn)P處的切線交⊙O2于A、B點(diǎn)，交直線CD于點(diǎn)E，M是⊙O2上的一點(diǎn)，若PE=2，EA=1，，那么⊙O2的半徑為

.

參考答案：略15.函數(shù)f(x)＝lg(x－1)的定義域?yàn)開_______．參考答案：(1，＋∞)14．已知函數(shù)______________.【答案】3

由

16.在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知射線與曲線（t為參數(shù)）相交于A、B兩點(diǎn)，則線段AB的中點(diǎn)的直角坐標(biāo)為

參考答案：17.設(shè)a，b都是正數(shù)，且滿足+=cosxdx，則使a+b＞c恒成立的實(shí)數(shù)c的取值范圍是．參考答案：（﹣∞，9）【考點(diǎn)】定積分；基本不等式．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；不等式．【分析】先根據(jù)定積分的計(jì)算得到+=1，由題知利用“1”的代換，以及基本不等式求解即可得到答案．【解答】解：∵cosxdx=sinx|=1，∴+=1，∵a，b均為正數(shù)，∴a+b=（a+b）（+）=5++≥5+2=9．當(dāng)且僅當(dāng)a=3，b=6時(shí)取等號(hào)．∴a+b＞c恒成立的實(shí)數(shù)c的取值范圍是c＜9．故答案為：（﹣∞，9）．【點(diǎn)評】本題考查定積分的計(jì)算，基本不等式的應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.甲、乙、丙三人進(jìn)行象棋比賽，每兩人比賽一場，共賽三場．每場比賽勝者得3分，負(fù)者得0分，沒有平局，在每一場比賽中，甲勝乙的概率為，甲勝丙的概率為，乙勝丙的概率為．（1）求甲獲第一名且丙獲第二名的概率；（2）設(shè)在該次比賽中，甲得分為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．參考答案：【考點(diǎn)】相互獨(dú)立事件的概率乘法公式；離散型隨機(jī)變量的期望與方差．【分析】（1）甲獲第一表示甲勝乙且甲勝丙，這兩個(gè)事件是相互獨(dú)立事件，根據(jù)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率得到結(jié)果．丙獲第表示丙勝乙，根據(jù)對立事件的概率知概率，甲獲第一名且丙獲第二名的概率根據(jù)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率得到結(jié)果．（2）由題意知ξ可能取的值為O、3、6，結(jié)合變量對應(yīng)的事件，根據(jù)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率和互斥事件的概率公式，寫出變量的概率，寫出分布列和期望．【解答】解：（1）甲獲第一，則甲勝乙且甲勝丙，∴甲獲第一的概率為丙獲第二，則丙勝乙，其概率為∴甲獲第一名且丙獲第二名的概率為（2）ξ可能取的值為O、3、6甲兩場比賽皆輸?shù)母怕蕿镻（ξ=0）=甲兩場只勝一場的概率為甲兩場皆勝的概率為∴ξ的分布列是ξ036P∴ξ的期望值是Eξ=+=19.已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且（1）求；（2）若，求數(shù)列的前和參考答案：由得，所以或...2分又因?yàn)閿?shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，所以。

因?yàn)?，所?/p>

..........4分法一：

由①

②

.............6分

得：

...............10分

...............12分法二：當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，

...........7分當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，

..............10分綜上得：

..............12分20.（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD,AB=PA=1,AD=，F(xiàn)是PB中點(diǎn)，E為BC上一點(diǎn)．（1）求證：AF⊥平面PBC；

（2）當(dāng)BE為何值時(shí)，二面角C－PE－D為45o．參考答案：21.如圖，AB是⊙O的直徑，C、F是⊙O上的兩點(diǎn)，OC⊥AB，過點(diǎn)F作⊙O的切線FD交AB的延長線于點(diǎn)D．連接CF交AB于點(diǎn)E．（1）求證：DE2=DB?DA；

（2）若DB=2，DF=4，試求CE的長．參考答案：【考點(diǎn)】與圓有關(guān)的比例線段．【專題】計(jì)算題；證明題；選作題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法．【分析】（1）連接OF，利用切線的性質(zhì)及角之間的互余關(guān)系得到DF=DE，再結(jié)合切割線定理證明DE2=DB?DA，即可求出DE．（2）求出BE=2，OE=1，利用勾股定理求CE的長．【解答】（1）證明：連接OF．因?yàn)镈F切⊙O于F，所以∠OFD=90°．所以∠OFC+∠CFD=90°．因?yàn)镺C=OF，所以∠OCF=∠OFC．因?yàn)镃O⊥AB于O，所以∠OCF+∠CEO=90°．所以∠CFD=∠CEO=∠DEF，所以DF=DE．因?yàn)镈F是⊙O的切線，所以DF2=DB?DA．所以DE2=DB?DA．（2）解：∵DF2=DB?DA，DB=2，DF=4．∴DA=8，從而AB=6，則OC=3．又由（1）可知，DE=DF=4，∴BE=2，OE=1．從而在Rt△COE中，．【點(diǎn)評】本題主要考查了與圓有關(guān)的比例線段、圓的切線的性質(zhì)定理的應(yīng)用，屬于中檔題．22.過點(diǎn)P（a，﹣2）作拋物線C：x2=4y的兩條切線，切點(diǎn)分別為A（x1，y1），B（x2，y2）．（Ⅰ）證明：x1x2+y1y2為定值；（Ⅱ）記△PAB的外接圓的圓心為點(diǎn)M，點(diǎn)F是拋物線C的焦點(diǎn)，對任意實(shí)數(shù)a，試判斷以PM為直徑的圓是否恒過點(diǎn)F？并說明理由．參考答案：【分析】（Ⅰ）求導(dǎo)，求得直線PA的方程，將P代入直線方程，求得，同理可知．則x1，x2是方程x2﹣2ax﹣8=0的兩個(gè)根，則由韋達(dá)定理求得x1x2，y1y2的值，即可求證x1x2+y1y2為定值；設(shè)切線方程，代入拋物線方程，由△=0，則k1k2=﹣2，分別求得切線方程，代入即可求證x1x2+y1y2為定值；（Ⅱ）直線PA的垂直平分線方程為，同理求得直線PB的垂直平分線方程，求得M坐標(biāo)，拋物線C的焦點(diǎn)為F（0，1），則，則．則以PM為直徑的圓恒過點(diǎn)F．【解答】解：（Ⅰ）證明：法1：由x2=4y，得，所以．所以直線PA的斜率為．因?yàn)辄c(diǎn)A（x1，y1）和B（x2，y2）在拋物線C上，所以，．所以直線PA的方程為．…（1分）因?yàn)辄c(diǎn)P（a，﹣2）在直線PA上，所以，即．…（2分）同理，．…（3分）所以x1，x2是方程x2﹣2ax﹣8=0的兩個(gè)根．所以x1x2=﹣8．…（4分）又，…所以x1x2+y1y2=﹣4為定值．…（6分）法2：設(shè)過點(diǎn)P（a，﹣2）且與拋物線C相切的切線方程為y+2=k（x﹣a），…（1分），消去y得x2﹣4kx+4ka+8=0，由△=16k2﹣4（4ak+8）=0，化簡得k2﹣ak﹣2=0．…（2分）所以k1k2=﹣2．…（3分）由x2=4y，得，所以．所以直線PA的斜率為，直線PB的斜率為．所以，即x1x2=﹣8．…（4分）又，…所以x1x2+y1y2=﹣4為定值．…（6分）（Ⅱ）法1：直線PA的垂直平分線方程為，…（7分）由于，，所以直線PA的垂直平分線方程為．①…（8分）同理直線PB的垂直平分線方程為．②…（9分）由①②解得，，所以點(diǎn)．…（10分）拋物線C的焦點(diǎn)為F（0，1），則．由于，…（11分）所以．所以以PM為直徑的圓恒過點(diǎn)F．…（12分）另法：以PM為直徑的圓的方程為．…（11分）把點(diǎn)F（0，1）代入上方程，知點(diǎn)F的坐標(biāo)是方程的解．所以以PM為直徑的圓恒過點(diǎn)F．…（12分）法2：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，n），則△PAB的外接圓方程為（x﹣m）2+（y﹣n）2=（m﹣a）2+（n+2）2，由于點(diǎn)A（x1，y1），B（x