2022-2023上海八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)期末專題復(fù)習(xí)14 壓軸題精講-正反比例函數(shù)幾何綜合 （教師版）

專題14正反比例函數(shù)壓軸綜合【典例分析】題型一：正反比例函數(shù)與線段1．（2021秋?虹口區(qū)校級(jí)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△AOB是等邊三角形．（1）在y軸正半軸取一點(diǎn)E，使得△EOB是一個(gè)等腰直角三角形，EB與OA交于M，已知MB＝3，求MO．（2）若等邊△AOB的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)C在邊OA上，點(diǎn)D在邊AB上，且OC＝3BD．反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象恰好經(jīng)過點(diǎn)C和點(diǎn)D，求反比例函數(shù)解析式．（此題無需寫括號(hào)理由）【考點(diǎn)】反比例函數(shù)綜合題．【專題】反比例函數(shù)及其應(yīng)用；應(yīng)用意識(shí)．【分析】（1）過M作MH⊥x軸交x軸于點(diǎn)H，利用勾股定理得出OM與OH的關(guān)系，再計(jì)算出OH和OM即可；（2）過C作CF⊥x軸交x軸于點(diǎn)F，過D作DG⊥x軸交x軸于點(diǎn)G，OF＝a，分別用a的代數(shù)式表示出C點(diǎn)和D點(diǎn)的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)解析式即可．【解答】解：（1）如下圖，過M作MH⊥x軸交x軸于點(diǎn)H，設(shè)OH＝m，∵∠EOB＝90°，△EOB是一個(gè)等腰直角三角形，∴EO＝BO，∠EBO＝45°，∴直角△MHB也是等腰直角三角形，即MH＝BH，∵M(jìn)H2+BH2＝BM2，即2MH2＝（）2＝18，解得：MH＝3，又∵△AOB是等邊三角形，∴∠AOB＝60°，∴∠OMH＝30°，∴OM＝2OH＝2m，在Rt△MOH中，MH2+OH2＝OM2，即：9+m2＝4m2，解得：，（舍）∴；（2）如下圖，過C作CF⊥x軸交x軸于點(diǎn)F，過D作DG⊥x軸交x軸于點(diǎn)G，設(shè)OF＝a，∵△AOB是等邊三角形，∴∠AOB＝∠ABO＝60°，∴∠OCF＝∠BDG＝30°，∴OC＝2OF＝2a，BD＝2BG，∵OC＝3BD，∴，∴，∴，在Rt△COF中，，在Rt△DBG中，，∴，，∵點(diǎn)C和點(diǎn)D在y=(k≠0)上，則：，解得：，∴反比例函數(shù)解析式為．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查反比例函數(shù)的解析式，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)及待定系數(shù)法求解析式是解題的關(guān)鍵．2．（2020秋?浦東新區(qū)校級(jí)期末）已知點(diǎn)P（m，4）在反比例函數(shù)的圖象上，正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)P和點(diǎn)Q（6，n）．（1）求正比例函數(shù)的解析式；（2）求P、Q兩點(diǎn)之間的距離．（3）如果點(diǎn)M在y軸上，且MP＝MQ，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．【考點(diǎn)】待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式；一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；待定系數(shù)法求正比例函數(shù)解析式；反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．【專題】一次函數(shù)及其應(yīng)用；反比例函數(shù)及其應(yīng)用；運(yùn)算能力．【分析】（1）根據(jù)反比例函數(shù)解析式求得P的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法即可求得正比例函數(shù)的解析式；（2）求出Q點(diǎn)坐標(biāo)，利用勾股定理即可解決問題；（3）由MP＝MQ推點(diǎn)M在PQ的垂直平分線上，再利用勾股定理即可求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．【解答】解：（1）設(shè)正比例函數(shù)解析式為y＝kx（k≠0），∵點(diǎn)P（m，4）在反比例函數(shù)的圖象上，∴﹣＝4，解得m＝﹣3，∴P的坐標(biāo)為（﹣3，4），∵正比例函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)P，∴﹣3k＝4，解得k＝﹣，∴正比例函數(shù)的解析式為y＝﹣x；（2）∵正比例函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)Q（6，n），∴n＝﹣×6＝﹣8，∴點(diǎn)Q（6，﹣8），∴P、Q兩點(diǎn)之間的距離＝＝15．（3）作PQ的垂直平分線交y軸于點(diǎn)M，設(shè)M（0，y），∵P（﹣3，4），Q（6，﹣8），∴N（，﹣2），∵PQ＝15，∴NQ＝，∵M(jìn)Q2＝MN2+NQ2∴62+（﹣8﹣y）2＝（﹣）2+（y+2）2+（）2，解得y＝﹣，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，﹣）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查待定系數(shù)法求正比例函數(shù)的解析式，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，線段垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，找到M點(diǎn)的位置是做題關(guān)鍵．3．（2020秋?虹口區(qū)期末）如圖，直線y＝ax（a＞0）與雙曲線y＝（k＞0）交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，2）．（1）求a和k的值；（2）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（3）y軸上有一點(diǎn)C，聯(lián)結(jié)BC，如果線段BC的垂直平分線恰好經(jīng)過點(diǎn)A，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．【考點(diǎn)】反比例函數(shù)綜合題．【專題】反比例函數(shù)及其應(yīng)用；運(yùn)算能力．【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法即可求得a和k的值；（2）聯(lián)立直線和雙曲線解析式，即可得到點(diǎn)B坐標(biāo)；（3）由垂直平分線的性質(zhì)可知AC＝AB，利用兩點(diǎn)間距離公式建立等式，求解即可．【解答】解：（1）直線y＝ax（a＞0）過點(diǎn)A（4，2），∴4a＝2，∴a＝，∵雙曲線y＝（k＞0）過點(diǎn)A，∴k＝2×4＝8．∴a＝，k＝8．（2）令x＝，解得x＝±4，∴當(dāng)x＝﹣4時(shí)，y＝﹣2，∴B（﹣4，﹣2）．（3）設(shè)點(diǎn)C（0，y），由點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)可知，AB＝4，AC＝，∵線段BC的垂直平分線恰好經(jīng)過點(diǎn)A，∴AB＝AC，即4＝，解得y＝﹣6，或y＝10．∴C（0，﹣6）或（0，10）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查反比例函數(shù)和一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，待定系數(shù)法求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，求得C的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．題型二：正反比例函數(shù)與等腰、直角三角形1．（2020秋?浦東新區(qū)校級(jí)期末）如圖，已知一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象交點(diǎn)是A（4，m）．（1）求反比例函數(shù)解析式；（2）在x軸的正半軸上存在一點(diǎn)P，使得△AOP是等腰三角形，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．【考點(diǎn)】反比例函數(shù)綜合題【專題】反比例函數(shù)及其應(yīng)用；應(yīng)用意識(shí)．【分析】（1）根據(jù)一次函數(shù)解析式求出A點(diǎn)坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)解析式即可；（2）若使△AOP是等腰三角形，分OA＝OP，OA＝AP，OP＝AP三種情況討論分別求出P點(diǎn)的坐標(biāo)即可．【解答】解：（1）∵A點(diǎn)是一次函數(shù)和反比例函數(shù)圖象的交點(diǎn)，∴m＝×4，解得m＝2，即A（4，2），把A點(diǎn)坐標(biāo)代入反比例函數(shù)得，2＝，解得k＝8，∴反比例函數(shù)的解析式為y＝；（2）設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（n，0），若使△AOP是等腰三角形，分以下三種情況：當(dāng)OA＝OP時(shí)，由（1）知，A（4，2），∴n＝＝2，即P（2，0）；②當(dāng)OA＝AP時(shí)，作AH⊥OP于H，∵A（4，2），∴OH＝4，∵OA＝AP，∴OP＝2OH＝2×4＝8，即P（8，0）；當(dāng)OP＝AP時(shí)，∵A（4，2），∴n＝，即n2＝（4﹣n）2+22，解得n＝，即P（，0），綜上，符合條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0）或（8，0）或（，0）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查反比例函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握待定系數(shù)法求解析式以及分類討論思想是解題的關(guān)鍵．2．（2021秋?松江區(qū)期末）如圖，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，正比例函數(shù)y＝x的圖象與一個(gè)反比例函數(shù)圖象在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為點(diǎn)A，過點(diǎn)A作AB⊥x軸，垂足為點(diǎn)B，AB＝3．（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）在直線AB上是否存在點(diǎn)C，使點(diǎn)C到直線OA的距離等于它到點(diǎn)B的距離？若存在，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；（3）已知點(diǎn)P在直線AB上，如果△AOP是等腰三角形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．【考點(diǎn)】反比例函數(shù)綜合題【專題】反比例函數(shù)及其應(yīng)用；推理能力．【分析】（1）將y＝3代入y＝x，得x＝，可得A（，3），再將點(diǎn)A代入反比例函數(shù)的解析式為y＝，即可得出答案；（2）根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)，可知∠OAB＝30°，過點(diǎn)C作CG⊥OA于G，由題意得CB＝CG，分點(diǎn)C在AB上或AB的延長(zhǎng)線上，分別根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)可得答案；（3）由OA＝2，分AO＝AP，OA＝OP，PA＝PO三種情形，分別得出答案．【解答】解：（1）∵AB＝3，∴點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為3，∵正比例函數(shù)y＝x的圖象經(jīng)過點(diǎn)A，當(dāng)y＝3時(shí)，x＝，∴A（，3），設(shè)反比例函數(shù)的解析式為y＝（k≠0），將點(diǎn)A（，3）代入得k＝3，∴反比例函數(shù)的解析式為：y＝；（2）∵AB⊥x軸于點(diǎn)B，設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（，y），在Rt△ABO中，OB＝，AB＝3，由勾股定理得：OA＝＝2，∵OB＝，∴∠OAB＝30°，過點(diǎn)C作CG⊥OA于G，由題意得CB＝CG，當(dāng)點(diǎn)C在AB上時(shí)，則OC平分∠AOB，∴∠BOC＝30°，∴BC＝＝1，∴C（，1），當(dāng)點(diǎn)C在AB延長(zhǎng)線上時(shí)，同理可得C'（，﹣3），綜上所述：C（，1）或（，﹣3）；（3）當(dāng)AO＝AP＝2時(shí)，則P（，3﹣2）或（，3+2），當(dāng)OA＝OP時(shí)，由OB⊥AP得，AB＝BP，∴P（，﹣3），當(dāng)PA＝PO時(shí)，∴∠OAP＝∠POA＝30°，則OP平分∠AOB，∴P（，1），綜上所述：P（，3﹣2）或（，3+2）或（，﹣3）或（，1）．【點(diǎn)評(píng)】本題是反比例函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，運(yùn)用分類討論思想是解題的關(guān)鍵．3．（2020秋?浦東新區(qū)校級(jí)期末）如圖，已知直線OA與反比例函數(shù)（m≠0）的圖象在第一象限交于點(diǎn)A．若OA＝4，直線OA與x軸的夾角為60°．（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2）求反比例函數(shù)的解析式；（3）若點(diǎn)P是坐標(biāo)軸上的一點(diǎn)，當(dāng)△AOP是直角三角形時(shí)，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．（3）分四種情況討論，利用直角三角形的性質(zhì)可求解．【解答】解：（1）如圖1，過點(diǎn)A作AE⊥x軸于E，∵∠AOE＝60°，AE⊥OE，∴∠OAE＝30°，∴OE＝OA＝2，AE＝OE＝2，∴點(diǎn)A（2，2）；（2）∵反比例函數(shù)的圖象過點(diǎn)A，∴m＝2×2＝4，∴反比例函數(shù)解析式為y＝；（3）如圖，當(dāng)點(diǎn)P1在y軸上時(shí)，且∠AP1O＝90°，又∵∠AOP1＝30°，∴AP1＝2，OP1＝AP1＝2，∴點(diǎn)P1（0，2）；當(dāng)點(diǎn)P2在x軸上，且∠AP2O＝90°，又∵∠OAP2＝30°，∴OP2＝2，∴點(diǎn)P2（2，0）；當(dāng)點(diǎn)P3在y軸上，且∠P3AO＝90°，又∵∠AOP3＝30°，∴OP3＝2AP3，AO＝AP3＝4，∴OP3＝，∴點(diǎn)P3（0，）；當(dāng)點(diǎn)P4在x軸上，且∠P4AO＝90°，∵∠AOP4＝60°，∴∠AP4O＝30°，∴OP4＝2OA＝8，∴點(diǎn)P4（8，0）；綜上所述：點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，2）或（2，0）或（0，）或（8，0）．【點(diǎn)評(píng)】本題是反比例函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求解析式，直角三角形的性質(zhì)，反比例函數(shù)的性質(zhì)，熟練運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是本題的關(guān)鍵．題型三：正反比例函數(shù)與面積1．（2021秋?嘉定區(qū)期末）已知反比例函數(shù)與正比例函數(shù)相交于點(diǎn)A，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（1，m）．（1）求此正比例函數(shù)解析式；（2）若正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象在第一象限內(nèi)相交于點(diǎn)B，過點(diǎn)A和點(diǎn)B分別作x軸的垂線，分別交x軸于點(diǎn)C和點(diǎn)D，AC和OB相交于點(diǎn)P，求梯形PCDB的面積；（3）連接AB，求△AOB的面積．【考點(diǎn)】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題【專題】函數(shù)的綜合應(yīng)用；應(yīng)用意識(shí)．【分析】（1）先求出A（1，4），再把A（1，4）代入正比例函數(shù)y＝kx，即可求解；（2）先求出點(diǎn)B（4，1），可得C（1，0），D（4，0），P（1，），再由S梯形PCDB＝（PC+BD）?CD，即可求解；（3）根據(jù)反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義可得S△AOC＝S△OBD，從而得到S△AOB＝S梯形ACDB，即可求解．【解答】（1）解：∵反比例函數(shù)過點(diǎn)A（1，m），∴m＝4，即A（1，4），把A（1，4）代入正比例函數(shù)y＝kx得：k＝4，即正比例函數(shù)解析式為y＝4x；（2）解：如圖，聯(lián)立得：，解得：x＝±4，∵點(diǎn)B在一象限，∴B（4，1），∵過點(diǎn)A和點(diǎn)B分別做x軸的垂線，分別交x軸于點(diǎn)C和點(diǎn)D，∴C（1，0），D（4，0），對(duì)于，當(dāng)x＝1時(shí)，，∴點(diǎn)P（1，），∴PC=，BD＝1，CD＝3，∴S梯形PCDB＝（PC+BD）?CD＝×（+1）×3＝，（3）解：∵點(diǎn)A和點(diǎn)B在反比例函數(shù)圖象上，∴S△AOC＝S△OBD，∵S△AOB＝S△AOC+S梯形ACDB﹣S△OBD，∴S△AOB＝S梯形ACBD＝（AC+BD）?CD＝×（1+4）×3＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面直角坐標(biāo)系中的幾何圖形的面積，反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，掌握把點(diǎn)坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為平面直角坐標(biāo)系中的線段長(zhǎng)度，結(jié)合割補(bǔ)法和反比例函數(shù)的幾何意義求幾何圖形的面積是解題關(guān)鍵．2．（2021秋?徐匯區(qū)期末）在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)（x＞0，k＞0）圖象上的兩點(diǎn)（n，3n）、（n+1，2n）．（1）求n的值；（2）如圖，直線l為正比例函數(shù)y＝x的圖象，點(diǎn)A在反比例函數(shù)（x＞0，k＞0）的圖象上，過點(diǎn)A作AB⊥l于點(diǎn)B，過點(diǎn)B作BC⊥x軸于點(diǎn)C，過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，記△BOC的面積為S1，△ABD的面積為S2，求S1﹣S2的值．【考點(diǎn)】反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義；反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；正比例函數(shù)的圖象【專題】反比例函數(shù)及其應(yīng)用．【分析】（1）利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到n?3n＝（n+1）?2n，然后解方程可得n的值；（2）設(shè)B（m，m），利用△OBC為等腰直角三角形得到∠OBC＝45°，再證明△ABD為等腰直角三角形，則可設(shè)BD＝AD＝t，所以A（m+t，m﹣t），把A（m+t，m﹣t）代入y＝中得到m2﹣t2＝12，然后利用整體代入的方法計(jì)算S1﹣S2．【解答】解：（1）∵反比例函數(shù)（x＞0，k＞0）圖象上的兩點(diǎn)（n，3n）、（n+1，2n）．∴n?3n＝（n+1）?2n，解得n＝2或n＝0（舍去），∴n的值為2；（2）反比例函數(shù)解析式為y＝，設(shè)B（m，m），∵OC＝BC＝m，∴△OBC為等腰直角三角形，∴∠OBC＝45°，∵AB⊥OB，∴∠ABO＝90°，∴∠ABC＝45°，∴△ABD為等腰直角三角形，設(shè)BD＝AD＝t，則A（m+t，m﹣t），∵A（m+t，m﹣t）在反比例函數(shù)解析式為y＝上，∴（m+t）（m﹣t）＝12，∴m2﹣t2＝12，∴S1﹣S2＝m2﹣t2＝×12＝6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義：在反比例函數(shù)（k≠0）圖象中任取一點(diǎn)，過這一個(gè)點(diǎn)向x軸和y軸分別作垂線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積是定值|k|．也考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)．3．（2020秋?寶山區(qū)校級(jí)期末）如圖，已知點(diǎn)P（m，4）在反比例函數(shù)y=的圖象上，正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)P和點(diǎn)Q（6，n）．（1）求正比例函數(shù)的解析式．（2）在x軸上求一點(diǎn)M，使△MPQ的面積等于18．【考點(diǎn)】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題．【專題】分類討論；一次函數(shù)及其應(yīng)用；反比例函數(shù)及其應(yīng)用；運(yùn)算能力．【分析】（1）設(shè)正比例函數(shù)解析式為y＝kx（k≠0），把點(diǎn)P的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式求出m的值，從而得到點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后代入正比例函數(shù)解析式求解即可；（2）把點(diǎn)Q的坐標(biāo)代入正比例函數(shù)解析式求出n，根據(jù)S△MPQ＝S△QOM﹣S△POM，列式求出OM的長(zhǎng)，再分點(diǎn)M在原點(diǎn)的左側(cè)與右側(cè)兩種情況討論求解．【解答】解：（1）設(shè)正比例函數(shù)解析式為y＝kx（k≠0），∵點(diǎn)P（m，4）在反比例函數(shù)y=的圖象上，∴＝4，解得m＝3，∴P的坐標(biāo)為（3，4），∵正比例函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)P，∴3k＝4，解得k＝，∴正比例函數(shù)的解析式為y＝x；（2）∵正比例函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)Q（6，n），∴n＝×6＝8，∴點(diǎn)Q（6，8），∴S△MPQ＝S△QOM﹣S△POM＝OM?8﹣OM?4＝2OM，∵△MPQ的面積等于18，∴2OM＝18，解得OM＝9，點(diǎn)M在原點(diǎn)左邊時(shí)，點(diǎn)M（﹣9，0），點(diǎn)M在原點(diǎn)右邊時(shí)，點(diǎn)M（9，0），綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣9，0）或（9，0）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，三角形的面積，（2）利用兩個(gè)三角形的差表示出△MPQ的面積是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)，注意要分情況討論．【課后練習(xí)】1．（2020秋?閔行區(qū)期末）如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，反比例函數(shù)圖象與直線y＝2x相交于點(diǎn)A，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2．點(diǎn)B在該反比例函數(shù)的圖象上，且點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為1，聯(lián)結(jié)AB．（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）求∠OAB的度數(shù)；（3）聯(lián)結(jié)OB，求點(diǎn)A到直線OB的距離．【考點(diǎn)】反比例函數(shù)綜合題．【專題】反比例函數(shù)及其應(yīng)用；等腰三角形與直角三角形；幾何直觀；應(yīng)用意識(shí)．【分析】（1）求出A的坐標(biāo)，反比例函數(shù)的解析式為，用待定系數(shù)法即可得答案；（2）求出B的坐標(biāo)，用勾股定理逆定理可得答案；（3）由等面積法即可求出點(diǎn)A到直線OB的距離．【解答】解：（1）在y＝2x中，令x＝2得y＝4，∴A（2，4），設(shè)反比例函數(shù)的解析式為，將A（2，4）代入得：4＝，∴k＝8，∴反比例函數(shù)的解析式為y＝；（2）連接OB，如圖：∵點(diǎn)B在反比例函數(shù)y＝的圖象上，且點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為1，∴B（8，1），∵A（2，4），∴OA2＝（2﹣0）2+（4﹣0）2＝20，AB2＝（8﹣2）2+（1﹣4）2＝45，OB2＝（8﹣0）2+（1﹣0）2＝65，∴OA2+AB2＝65＝OB2，∴∠OAB＝90°；（3）由（2）知：OA2＝20，AB2＝45，OB2＝65，∴OA＝2，AB＝3，OB＝，設(shè)點(diǎn)A到直線OB的距離為h，∵∠OAB＝90°；∴S△AOB＝OA?AB＝OB?h，∴h＝，∴點(diǎn)A到直線OB的距離為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握函數(shù)圖象上點(diǎn)坐標(biāo)的特征、熟練應(yīng)用勾股定理的逆定理．2．（2021秋?靜安區(qū)期末）如圖，已知函數(shù)y＝x+1的圖象與y軸交于點(diǎn)A，一次函數(shù)y＝kx+b的圖象經(jīng)過點(diǎn)B（0，﹣1），并且與x軸、y＝x+1的圖象分別交于點(diǎn)C、D；（1）若點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為1，求四邊形AOCD的面積（即圖中陰影部分的面積）；（2）若一次函數(shù)y＝kx+b的圖象與函數(shù)y＝x+1的圖象的交點(diǎn)D始終在第一象限，則系數(shù)k的取值范圍是（請(qǐng)直接寫出結(jié)果）；（3）在第（1）小題的條件下，在y軸上存在這樣的點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P、B、D為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形；請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P坐標(biāo)．【考點(diǎn)】一次函數(shù)綜合題．【專題】代數(shù)幾何綜合題；一次函數(shù)及其應(yīng)用；等腰三角形與直角三角形；運(yùn)算能力；推理能力．【分析】（1）先求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，再求出BD的解析式，然后根據(jù)S四邊形AOCD＝S△AOD+S△COD即可求解；（2）聯(lián)立兩直線解析式，消去y表示出x，由交點(diǎn)D在第一象限，求出k的范圍即可；（3）分三種情況討論：①當(dāng)DP＝DB時(shí)，②當(dāng)BP＝DB時(shí)，③當(dāng)PB＝PD時(shí)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可求解．【解答】解：（1）∵點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為1，點(diǎn)D在y＝x+1的圖象上，∴D（1，2），∵點(diǎn)B（0，﹣1），∴直線BD的解析式為y＝3x﹣1，令y＝0，得x＝，∴C（，0），∵函數(shù)y＝x+1，令x＝0，得y＝1，∴A（0，1），∴S四邊形AOCD＝S△AOD+S△COD＝×1×1+××2＝；（2）將B（0，﹣1）代入y＝kx+b得：b＝﹣1，即直線解析式為y＝kx﹣1，聯(lián)立函數(shù)y＝x+1得：，消去y得：x+1＝kx﹣1，解得：x＝，y＝1﹣＝﹣，由D坐標(biāo)在第一象限，得到＞0且﹣＞0，解得：k＞1．∴系數(shù)k的取值范圍是k＞1；（3）①當(dāng)DP＝DB時(shí)，設(shè)P（0，y），∵B（0，﹣1），D（1，2），∴DP2＝12+（y﹣2）2＝DB2＝12+（2+1）2，∴y＝5或﹣1（舍去），∴P（0，5）；②當(dāng)BP＝DB時(shí)，DB＝，∴P（0，﹣1﹣）或P（0，﹣1）；③當(dāng)PB＝PD時(shí)，則（y+1）2＝1+（2﹣y）2，解得y＝，∴P（0，）；綜上所述．滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，5）或（0，﹣1﹣）或P（0，﹣1）或（0，）．【點(diǎn)評(píng)】此題屬于一次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，等腰三角形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì)以及分類討論思想的運(yùn)用是解本題的關(guān)鍵．3．（2021秋?徐匯區(qū)校級(jí)期末）已知直線y＝x與雙曲線y＝交于A、B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為4，第一象限的雙曲線上有一點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PQ∥x軸交直線AB于點(diǎn)Q，點(diǎn)A到PQ的距離為2．（1）直接寫出k的值及點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）求線段PQ的長(zhǎng)；（3）如果在雙曲線y＝上一點(diǎn)M，且滿足△PQM的面積為9，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．【考點(diǎn)】反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義；反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；反比例函數(shù)的性質(zhì)．【專題】一次函數(shù)及其應(yīng)用；反比例函數(shù)及其應(yīng)用；運(yùn)算能力．【分析】（1）先求得A點(diǎn)坐標(biāo)，再代入直線解析式可求得k的值，根據(jù)對(duì)稱性可求得B點(diǎn)坐標(biāo)；（2）由反比例函數(shù)解析式可求得P點(diǎn)坐標(biāo)，由直線解析式可求得Q點(diǎn)坐標(biāo)，可求得PQ的長(zhǎng)；（3）分當(dāng)PQ＝時(shí)和當(dāng)PQ＝時(shí)兩種情況，分別表示出△PQM的面積，可求得M到PQ的距離，可求得M的坐標(biāo)．【解答】解：（1）∵A在直線y＝x上，且A的縱坐標(biāo)為4，∴A坐標(biāo)為（3，4），代入y＝，可得k＝3×4＝12，又A、B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣3，﹣4）．（2）∵點(diǎn)A到PQ的距離為2，∴P的縱坐標(biāo)為2或6，∵點(diǎn)P在雙曲線y＝上，∴代入y＝2，可得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（6，2），代入y＝6，可得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，6），∵PQ∥x軸，且點(diǎn)Q在直線AB上，把y＝2代入y＝x，得點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（，2），把y＝6代入y＝x，得點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（，6），∴PQ＝或．（3）①當(dāng)PQ＝時(shí)，∵△PQM的面積為9，∴M到PQ的距離為4，∴M的縱坐標(biāo)為6或﹣2，把y＝6代入y＝得x＝2，把y＝﹣2代入y＝得x＝﹣6，∴M的坐標(biāo)為（2，6）或（﹣6，﹣2）；當(dāng)PQ＝時(shí)，∵△PQM的面積為9，∴M到PQ的距離為，∴M的縱坐標(biāo)為或﹣，把y＝代入y＝得x＝，把y＝﹣代入y＝得x＝﹣10，∴M的坐標(biāo)為（，）或（﹣10，﹣）；綜上所述：點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，6）或（﹣6，﹣2）或（，）或（﹣10，﹣）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)的交點(diǎn)問題，掌握函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)滿足每個(gè)函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．4．（2021秋?普陀區(qū)期末）已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)，反比例函數(shù)y＝圖象與正比例函數(shù)y＝kx（k≠0）圖象的公共點(diǎn)A在第一象限，點(diǎn)A到x軸的距離是2．（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)和正比例函數(shù)的解析式；（2）點(diǎn)P在直線OA上，點(diǎn)B為x軸的正半軸上一點(diǎn)，且PO＝PB，過點(diǎn)P作PD⊥x軸，垂足為點(diǎn)D，線段PD交雙曲線于點(diǎn)C，如果S△POB＝8，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．【考點(diǎn)】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題．【專題】一次函數(shù)及其應(yīng)用；反比例函數(shù)及其應(yīng)用；運(yùn)算能力．【分析】（1）由題意可知A的坐標(biāo)為2，代入反比例函數(shù)解析式求得A的坐標(biāo)，然后根據(jù)待定系數(shù)法求得正比例函數(shù)解析式；（2）設(shè)P的坐標(biāo)為（m，2m），根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出OB＝2m，由S△POB＝8，求得m＝2，進(jìn)而即可求得C（2，1）．【解答】解：（1）∵點(diǎn)A在第一象限，點(diǎn)A到x軸的距離是2，∴點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為2，把y＝2代入y＝得，2＝，解得x＝1，∴A（1，2），代入y＝kx，求得k＝2，∴正比例函數(shù)為y＝2x；（2）設(shè)P的坐標(biāo)為（m，2m），∵PO＝PB，PD⊥x軸，垂足為點(diǎn)D，∴OD＝BD，∴OB＝2m，∵S△POB＝8，∴，∴，∴m＝2（負(fù)數(shù)舍去），∴P的橫坐標(biāo)為2，把x＝2代入y＝得，y＝1，∴C（2，1）．【點(diǎn)評(píng)】本題是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，待定系數(shù)法求正比例函數(shù)的解析式，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的面積，求得P的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．5．（2021秋?浦東新區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，雙曲線（k≠0）上有A，B兩點(diǎn)，且與直線y＝ax（a＞0）交于第一象限內(nèi)的點(diǎn)A，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，2），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（n，1），過點(diǎn)B作y軸的平行線，交x軸與點(diǎn)C，交直線y＝ax（a＞0）與點(diǎn)D，（1）求：點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）求：△AOB的面積；（3）在x軸正半軸上是否存在點(diǎn)P，使△OAP是以O(shè)A為腰的等腰三角形？若不存在，請(qǐng)說明理由；若存在，請(qǐng)直接寫出P的坐標(biāo)．【考點(diǎn)】反比例函數(shù)綜合題．【專題】反比例函數(shù)及其應(yīng)用；應(yīng)用意識(shí)．【分析】（1）求出直線OA解析式，根據(jù)反比例函數(shù)確定B點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)B點(diǎn)和D點(diǎn)橫坐標(biāo)相同求出D點(diǎn)坐標(biāo)即可；（2）連接AB、OB，過A點(diǎn)作AH⊥BD于H，根據(jù)S△AOB＝S△OCD﹣S△COB﹣S△ADB計(jì)算即可；（3）分OA＝OP和OA＝AP兩種情況分別求出P點(diǎn)坐標(biāo)即可．【解答】解：（1）∵直線y＝ax（a＞0）與雙曲線交于第一象限內(nèi)的點(diǎn)A（4，2），∴a＝，∴直線OA的解析式為y＝x，∵點(diǎn)B（n，1）在雙曲線上，∴n＝8，即B（8，1），由題知D點(diǎn)與B點(diǎn)橫坐標(biāo)相同都為8，當(dāng)x＝8時(shí)，y＝=4，∴D（8，4）；（2）連接AB、OB，過A點(diǎn)作AH⊥BD于H，由（1）知C（8，0），B（8，1），D（8，4），A（4，2），∴OC＝8，CD＝4，BD＝3，BC＝1，AH＝4，∴S△AOB＝S△OCD﹣S△COB﹣S△ADB＝OC?CD﹣OC?BC﹣BD?AH＝×8×4﹣﹣＝16﹣4﹣6＝6，即△AOB的面積為6；（3）存在點(diǎn)P，使△OAP是以O(shè)A為腰的等腰三角形，分以下兩種情況：①當(dāng)OA＝OP時(shí)，∵A（4，2），∴OA＝，∴OP＝，即P（，0）；②當(dāng)OA＝AP時(shí)，OP＝2xA＝2×4＝8，即P（8，0），綜上，符合條件的B點(diǎn)坐標(biāo)為（，0）或（8，0）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查反比例函數(shù)和一次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)和一次函數(shù)的性質(zhì)及待定系數(shù)法求解析式是解題的關(guān)鍵．6．（2020秋?浦東新區(qū)校級(jí)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)M為x軸正半軸上一點(diǎn)，過點(diǎn)M的直線l∥y軸，且直線l分別與反比例函數(shù)和的圖象交于P、Q兩點(diǎn)，∠QOM＝45°S△POQ＝14．（1）求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；（2）若x軸上有一點(diǎn)N，使得△NOQ為等腰三角形，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的N點(diǎn)的坐標(biāo)．【考點(diǎn)】反比例函數(shù)綜合題．【專題】反比例函數(shù)及其應(yīng)用；推理能力．【分析】（1）由S△POQ＝14．得k＝﹣20，設(shè)Q（a，﹣a），代入反比例函數(shù)y＝﹣中即可；（2）首先利用勾股定理得OQ＝，當(dāng)若OQ＝ON＝2，則N（2，0）或（-2，0）；若QO＝ON，則NO＝2OM＝4，則N（4，0）；若NO＝NQ，設(shè)點(diǎn)N（n，0），則n2＝（n﹣2）2+（2）2，從而解決問題．【解答】解：（1）∵S△POQ＝S△POM+S△MOQ＝14，∴，∵k＜0，∴k＝﹣20，∴反比例函數(shù)的解析式為y＝﹣，∵∠QOM＝45°，l∥y軸，∴∠QOM＝∠OQM＝45°，∴MO＝MQ，設(shè)Q（a，﹣a），∴﹣a2＝﹣20，∴a＝±2（負(fù)值舍去），∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（2，﹣2），（2）∴OQ＝，若△NOQ為等腰三角形，可分三種情況：若OQ＝ON＝2，則N（2，0）或（-2，0）；若QO＝ON，則NO＝2OM＝4，則N（4，0）；若NO＝NQ，設(shè)點(diǎn)N（n，0），則n2＝（n﹣2）2+（2）2，解得：n＝2，∴n（2，0），綜上所述，滿足條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)為：（2，0）或（2，0）或（-2，0）；或（4，0）．【點(diǎn)評(píng)】本題是反比例函數(shù)綜合題，主要考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，k的幾何意義，等腰三角形等知識(shí)，運(yùn)用分類討論思想是解題的關(guān)鍵．7．（2020秋?普陀區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)，正比例函數(shù)y＝4x的圖象與反比例函數(shù)（k≠0）的圖象的公共點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為4．（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)和反比例函數(shù)的解析式；（2）正比例函數(shù)y＝4x的圖象上有一點(diǎn)B，AB＝OA（點(diǎn)B不與點(diǎn)O重合），過點(diǎn)B作直線BC∥y軸交雙曲線于點(diǎn)C，求△ABC的面積．【考點(diǎn)】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題．【分析】（1）先由點(diǎn)A縱坐標(biāo)為4，點(diǎn)A在直線y＝4x上可確定點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，4），然后利用待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，8），由BC∥y軸，且點(diǎn)C在反比例函數(shù)y＝的圖象上，得到點(diǎn)C坐標(biāo)為（2，2），然后根據(jù)三角形面積公式計(jì)算△ABC的面積．【解答】解：（1）設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)為（x，4），∵點(diǎn)A（x，4）在函數(shù)y＝4x的圖象上，∴4＝4x，解得x＝1，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，4）；∵點(diǎn)A（1，4）在函數(shù)y＝的圖象上，∴k＝4×1＝4，∴反比例函數(shù)解析式是y＝；（2）∵AB＝OA，∴A為OB中點(diǎn)，∵A（1，4），∴B（2，8）．∵BC∥y軸，且點(diǎn)C在反比例函數(shù)y＝的圖象上，∴C（2，2），∴BC＝8﹣2＝6．過點(diǎn)A作AH⊥BC于H，則AH＝1，∴S△ABC＝BC?AH＝×6×1＝3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)滿足兩個(gè)函數(shù)的解