1.5.1曲邊梯形的面積省公開(kāi)課金獎(jiǎng)全國(guó)賽課一等獎(jiǎng)微課獲獎(jiǎng)?wù)n件

1.5.1曲邊梯形面積1/20在過(guò)去學(xué)習(xí)中，我們已經(jīng)知道正方形、三角形、平行四邊形、梯形等平面“直邊圖形”面積；物理中，我們知道了勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間、速度與旅程關(guān)系等等。在數(shù)學(xué)和物理中，我們還經(jīng)常會(huì)碰到計(jì)算平面曲線(xiàn)圍成平面“曲邊圖形”面積、變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)物體位移、變力做功問(wèn)題。怎樣處理這些問(wèn)題呢？能否把求“曲邊圖形”面積轉(zhuǎn)化為求“直邊圖形”面積？能否利用勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)知識(shí)處理變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)問(wèn)題？為此，我們需要學(xué)習(xí)新數(shù)學(xué)知識(shí)—定積分。課題引入2/20

如不加說(shuō)明，下面研究都是連續(xù)函數(shù)。3/20思索？新課探究圖1.5—1中，陰影部分類(lèi)似于一個(gè)梯形，但有一邊是曲線(xiàn)y=f(x)一段，我們把由直線(xiàn)x=a,x=b(a≠b),y=0和曲線(xiàn)y=f(x)所圍成圖形稱(chēng)為曲邊梯形，怎樣計(jì)算這個(gè)曲邊梯形面積呢？4/20

思索？圖1.5—2中曲邊梯形與我們熟悉“直邊圖形”主要區(qū)分是什么？能否將求這個(gè)曲邊梯形面積S問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求“直邊圖形”面積問(wèn)題？5/20能夠發(fā)覺(jué)，圖1.5—2中曲邊梯形與“直邊圖形”主要區(qū)分是：前者有一邊是曲線(xiàn)段，而“直邊圖形”全部邊都是直線(xiàn)段。在過(guò)去學(xué)習(xí)中，我們?cè)?jīng)用多邊形迫近圓方法，利用多邊形面積求出圓面積。這種“以直代曲”思想啟發(fā)我們，是否也能用直邊形（比如矩形）迫近曲邊梯形方法，求圖1.5—2中陰影部分面積呢？a1a2a3ana46/207/208/20

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放大10/20放大11/2012/2013/20探究？14/20普通地，對(duì)如圖1.5—1所表示曲邊梯形，我們也能夠采取分割—近似代替—求和—取極限方法求出其面積。15/20第三步：求和。第二步：近似代替，“以直代曲”。用矩形面積近似代替小曲邊梯形面積，求出每個(gè)小曲邊梯形面積近似值．求由連續(xù)曲線(xiàn)y=f(x)對(duì)應(yīng)曲邊梯形面積方法第四步：取極限。

16/20例．彈簧在拉伸過(guò)程中，力與伸長(zhǎng)量成正比，即力F(x)=kx（k是常數(shù)，x是伸長(zhǎng)量），求彈簧從平衡位置拉長(zhǎng)b所作功。解：將物體用常力F沿力方向移動(dòng)距離x,則所做功W=Fx，本題F是克服彈簧拉力變力，是移動(dòng)距離x函數(shù)，F(xiàn)(x)=kx，將[0，b]n等分，記△x=，分點(diǎn)依次為x0=0，x1=，x2=,……，xn－1=，xn=b，17/20當(dāng)n很大時(shí)，在分段[xi，xi+1]所用力約為kxi，所做功△W≈kxi·△x=則從0到b所做總功W近似地等于當(dāng)n→+∞時(shí)，上式右端趨近于18/20于是得到彈簧從平衡位置拉長(zhǎng)b所做功為

以上兩個(gè)實(shí)際問(wèn)題，一個(gè)是求曲邊梯形面積，一個(gè)是求變力所做功，即使實(shí)際意義不一樣，但處理問(wèn)題方法和步驟是完全相同，都?xì)w結(jié)為求一個(gè)函數(shù)在某一閉區(qū)間上