專題02 19題新結(jié)構(gòu)定義題（函數(shù)與導數(shù)部分）（解析版）-2024年高考數(shù)學復習解答題解題思路訓練

專題0219題新結(jié)構(gòu)定義題（函數(shù)與導數(shù)部分）(典型題型歸類訓練)1．（2024·廣東茂名·統(tǒng)考一模）若函數(shù)在上有定義，且對于任意不同的，都有，則稱為上的“類函數(shù)”.(1)若，判斷是否為上的“3類函數(shù)”；(2)若為上的“2類函數(shù)”，求實數(shù)的取值范圍；(3)若為上的“2類函數(shù)”，且，證明：，，.【答案】(1)是上的“3類函數(shù)”，理由見詳解.(2)(3)證明過程見詳解.【分析】（1）由新定義可知，利用作差及不等式的性質(zhì)證明即可；（2）由已知條件轉(zhuǎn)化為對于任意，都有，，只需且，利用導函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值即可.（3）分和兩種情況進行證明，，用放縮法進行證明即可.【詳解】（1）對于任意不同的，有，，所以，，所以是上的“3類函數(shù)”.（2）因為，由題意知，對于任意不同的，都有，不妨設(shè)，則，故且，故為上的增函數(shù)，為上的減函數(shù)，故任意，都有，由可轉(zhuǎn)化為，令，只需，令，在單調(diào)遞減，所以，，故在單調(diào)遞減，，由可轉(zhuǎn)化為，令，只需，令，在單調(diào)遞減，且，，所以使，即，即，當時，，，故在單調(diào)遞增，當時，，，故在單調(diào)遞減，，故.（3）因為為上的“2類函數(shù)”，所以，不妨設(shè)，當時，；當時，因為，，綜上所述，，，.【點睛】不等式恒成立問題常見方法：①分離參數(shù)恒成立或恒成立；②數(shù)形結(jié)合（的圖象在上方即可）；③討論最值或恒成立；④討論參數(shù)，排除不合題意的參數(shù)范圍，篩選出符合題意的參數(shù)范圍.2．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中?？级＃┪覈媳背瘯r期的數(shù)學家祖沖之（公元429年-500年）計算出圓周率的精確度記錄在世界保持了千年之久，德國數(shù)學家魯?shù)婪颍ü?540年-1610年）用一生精力計算出了圓周率的35位小數(shù)，隨著科技的進步，一些常數(shù)的精確度不斷被刷新．例如：我們很容易能利用計算器得出函數(shù)的零點的近似值，為了實際應用，本題中取的值為-0.57．哈三中畢業(yè)生創(chuàng)辦的倉儲型物流公司建造了占地面積足夠大的倉庫，內(nèi)部建造了一條智能運貨總干線，其在已經(jīng)建立的直角坐標系中的函數(shù)解析式為，其在處的切線為，現(xiàn)計劃再建一條總干線，其中m為待定的常數(shù)．注明：本題中計算的最終結(jié)果均用數(shù)字表示．(1)求出的直線方程，并且證明：在直角坐標系中，智能運貨總干線上的點不在直線的上方；(2)在直角坐標系中，設(shè)直線，計劃將倉庫中直線與之間的部分設(shè)為隔離區(qū)，兩條運貨總干線、分別在各自的區(qū)域內(nèi)，即曲線上的點不能越過直線，求實數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)，證明見解析.(2)【分析】（1）求得，得到且，結(jié)合導數(shù)的幾何意義，求得的直線方程，令，利用導數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性和最大值，得到，即可得到結(jié)論；（2）令，求得，得到函數(shù)的單調(diào)性和最小值，令，化簡得到，結(jié)合和，即可求解.【詳解】（1）解：由函數(shù)，可得，則且，所以的方程為，即因為函數(shù)的零點的近似值，即，所以，可得又因為，所以的直線方程為令其中，則，令，解得，當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減，所以當時，函數(shù)取得極大值，也為最大值，即，所以在直角坐標系中，智能運貨總干線上的點不在直線的上方.（2）解：由曲線且，令，要使得兩條運貨總干線、分別在各自的區(qū)域內(nèi)，則滿足恒成立，又由，令，可得，即，當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增，當時，函數(shù)取得最小值，最小值為，令，即，即，即，因為，可得，又因為函數(shù)的零點的近似值，即，所以，則，又由，所以，所以實數(shù)的取值范圍是.【點睛】方法點睛：應用函數(shù)知識求解實際應用問題的方法：1、正確地將實際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)模型，這是解答應用問題的關(guān)鍵，轉(zhuǎn)化來源于對已知條件的綜合分析、歸納與抽象，并與熟知的函數(shù)模型相比較，以確定函數(shù)模型的種類．2、用相關(guān)的函數(shù)知識，進行合理設(shè)計，確定最佳解題方案，進行數(shù)學上的計算求解．3、把計算獲得的結(jié)果回到實際問題中去解釋實際問題，即對實際問題進行總結(jié)作答．3．（2023上·安徽·高一校聯(lián)考階段練習）若在上的值域是的子集，則稱函數(shù)在上是封閉的.(1)若在上是封閉的，求實數(shù)的取值范圍；(2)若在上是封閉的，求實數(shù)的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)新的定義，即求二次函數(shù)在上的值域，利用分類討論思想可得結(jié)果；（2）根據(jù)新的定義，即求二次函數(shù)在上的值域，利用分類討論思想建立不等關(guān)系可得結(jié)果.【詳解】（1）函數(shù)開口向上，對稱軸是，當時，，因為在上是封閉的，則有，解得；當時，在上為減函數(shù)，則有，解得，又，故無解；綜上，的取值范圍是（2）函數(shù)開口向上，對稱軸是，當時，，因為在上是封閉的，則有，解得，依題意有，解得，所以，當時，在上為減函數(shù)，則有，所以，即（舍去）綜上，的最大值是.4．（2023上·浙江寧波·高一效實中學?？计谥校├杪瘮?shù)是一個特殊的函數(shù)，是德國著名數(shù)學家波恩哈德·黎曼發(fā)現(xiàn)并提出，在數(shù)學中有廣泛的應用．黎曼函數(shù)定義在上，．(1)請用描述法寫出滿足方程的解集；（直接寫出答案即可）(2)解不等式；(3)探究是否存在非零實數(shù)，使得為偶函數(shù)？若存在，求k，b應滿足的條件；若不存在，請說明理由．【答案】(1)為大于1的正整數(shù)(2)(3)存在，【分析】（1）根據(jù)黎曼函數(shù)的定義，分類討論求解；（2）根據(jù)黎曼函數(shù)的定義，分類討論求解；（3）根據(jù)黎曼函數(shù)的定義，分類討論可證得，則關(guān)于對稱，即，則為偶函數(shù)，即可得解.【詳解】（1）依題意，，當時，，則方程無解，當為內(nèi)的無理數(shù)時，，則方程無解，當(為既約真分數(shù))時，則，為大于1的正整數(shù)，則由方程，解得，為大于1的正整數(shù)，綜上，方程的解集為為大于1的正整數(shù).（2）若或或為內(nèi)無理數(shù)時，，而，此時，若(為既約真分數(shù))，則，為大于1的正整數(shù)，由，得，解得，又因為(為既約真分數(shù))，所以，綜上，不等式的解為.（3）存在非零實數(shù)，使得為偶函數(shù)，即為偶函數(shù)，證明如下：當或時，有成立，滿足，當為內(nèi)的無理數(shù)時，也為內(nèi)的無理數(shù)，所以，滿足，當(為既約真分數(shù))，則為既約真分數(shù)，所以，滿足，綜上，對任意，都有，所以關(guān)于對稱，即，則為偶函數(shù)，所以，存在非零實數(shù)，使得為偶函數(shù).5．（2023上·貴州貴陽·高二統(tǒng)考期中）閱讀材料：差分和差商古希臘的著名哲學家芝諾，曾經(jīng)提出“飛矢不動”的怪論.他說箭在每一個時刻都有一個確定的位置，因而在每一時刻都沒有動.既然每個時刻都沒有動，他怎么能夠動呢？為了駁倒這個怪論，就要抓住概念，尋根究底.討論有沒有動的問題，就要說清楚什么叫動，什么叫沒有動.如果一個物體的位置在時刻u和后來的一個時刻v不同，我們就說他在時刻u和v之間動了，反過來，如果他在任意時刻有相同的位置，就說它在u到v這段時間沒有動.這樣，芝諾怪論的漏洞就暴露出來了.原來，動或不動都是涉及兩個時刻的概念.芝諾所說“在每一個時刻都沒有動”的論斷是沒有意義的!函數(shù)可以用來描述物體的運動或變化.研究函數(shù)，就是研究函數(shù)值隨自變量變化而變化的規(guī)律.變化的情形至少要看兩個自變量處的值，只看一點是看不出變化的.設(shè)函數(shù)在實數(shù)集上有定義.為了研究的變化規(guī)律，需要考慮它在中兩點處的函數(shù)值的差.定義（差分和差商）稱為函數(shù)從到的差分，這里若無特別說明，均假定.通常記叫做差分的步長，可正可負.差分和它的步長的比值叫做在和的差商.顯然，當和位置交換時，差分變號，差商不變.隨著所描述的對象不同，差商可以是平均速度，可以是割線的斜率，也可以是曲邊梯形的平均高度.一般而言，當時，它是在區(qū)間上的平均變化率.顯然，函數(shù)和它的差商有下列關(guān)系：某區(qū)間上，單調(diào)遞增函數(shù)的差商處處為正，反之亦然；某區(qū)間上，單調(diào)遞減函數(shù)的差商處處為負，反之亦然.可見，差商是研究函數(shù)性質(zhì)的一個有用的工具.回答問題：(1)計算一次函數(shù)的差商.(2)請通過計算差商研究函數(shù)的增減性.【答案】(1)(2)函數(shù)在和遞減，在遞增【分析】（1）由材料根據(jù)差商定義式求解即可；（2）求解差商，分區(qū)間討論差商符號，根據(jù)材料即可判斷單調(diào)性.【詳解】（1）一次函數(shù)的定義域內(nèi)任取，且，差商為，一次函數(shù)的差商處處為；（2）函數(shù)的定義域為，設(shè)，計算在的差商為，當時，，從而，故函數(shù)在遞減；當，，從而，故函數(shù)在遞減；當時，則，從而，故函數(shù)在遞增；綜上所述，函數(shù)在和遞減，在遞增.6．（2023下·江蘇南京·高二南京市中華中學?？计谀W拉對函數(shù)的發(fā)展做出了巨大貢獻，除特殊符號、概念名稱的界定外，歐拉還基于初等函數(shù)研究了抽象函數(shù)的性質(zhì)，例如，歐拉引入倒函數(shù)的定義：對于函數(shù)，如果對于其定義域中任意給定的實數(shù)，都有，并且，就稱函數(shù)為倒函數(shù)．(1)已知,,判斷和是不是倒函數(shù)，并說明理由；(2)若是上的倒函數(shù)，其函數(shù)值恒大于0，且在上是嚴格增函數(shù)．記，證明：是的充要條件．【答案】(1)是倒函數(shù)，不是倒函數(shù)；理由見解析(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)倒函數(shù)的定義判斷可得答案；（2）根據(jù)倒函數(shù)的性質(zhì)，先證充分性，再證必要性即可,【詳解】（1）對于，定義域為，顯然定義域中任意實數(shù)有成立，又，是倒函數(shù)，對于，定義域為，故當時，，不符合倒函數(shù)的定義，所以不是倒函數(shù)；（2）因為，又是上的倒函數(shù)，所以，所以，故，充分性：當時，且，又在上是嚴格增函數(shù)，所以，，所以，，故.必要性：當時，有，又恒大于0，所以，因為，所以，因為在上是嚴格增函數(shù)．所以，即有成立.綜上所述：是的充要條件．7．（2023上·江蘇連云港·高一?？计谀τ诙x域為的函數(shù)，如果存在區(qū)間，同時滿足下列兩個條件：①在區(qū)間上是單調(diào)的；②當定義域是時，的值域也是，則稱是函數(shù)的一個“黃金區(qū)間”.(1)區(qū)間是函數(shù)的黃金區(qū)間，求，的值(2)如果是函數(shù)的一個“黃金區(qū)間”，求的最大值【答案】(1)，(2)【分析】(1)根據(jù)函數(shù)增減性，判斷求出，;(2)在和上均為增函數(shù)，將其轉(zhuǎn)化為是方程的兩個同號的實數(shù)根，結(jié)合二次函數(shù)與韋達定理求解問題.【詳解】（1）因為區(qū)間是函數(shù)的黃金區(qū)間，是增函數(shù)，所以，解得；（2）由在和上均為增函數(shù)，已知在“黃金區(qū)間”上單調(diào)，所以或，且在上為單調(diào)遞增，則同理可得，即是方程的兩個同號的實數(shù)根，等價于方程有兩個同號的實數(shù)根，注意到，則只要所以或，而由韋達定理知，所以，其中或，所以當時，取得最大值.8．（2022上·江蘇蘇州·高一統(tǒng)考期末）懸索橋（如圖）的外觀大漂亮，懸索的形狀是平面幾何中的懸鏈線.年萊布尼茲和伯努利推導出某鏈線的方程為，其中為參數(shù).當時，該方程就是雙曲余弦函數(shù)，類似的我們有雙曲正弦函數(shù).(1)從下列三個結(jié)論中選擇一個進行證明，并求函數(shù)的最小值；①；②；③.(2)求證：，.【答案】(1)條件選擇見解析，證明見解析，函數(shù)的最小值為；(2)證明見解析.【分析】（1）利用雙曲正、余弦函數(shù)