2022年廣東省茂名市第四高級(jí)中學(xué)高一數(shù)學(xué)文期末試卷含解析

2022年廣東省茂名市第四高級(jí)中學(xué)高一數(shù)學(xué)文期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.在中，,則的形狀是

（

）A.正三角形

B.直角三角形

C.等腰三角形或直角三角形

D.等腰直角三角形

參考答案：B略2.如果角的終邊過點(diǎn)，則的一個(gè)可能的值為（

）A、

B、

C、

D、參考答案：D3.化簡的結(jié)果等于

A．

B．

C．

D．參考答案：B

4.將函數(shù)的圖象和直線圍成一個(gè)封閉的平面圖形，則這個(gè)封閉的平面圖形的面積是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D

解析：畫出圖象，把軸下方的部分補(bǔ)足給上方就構(gòu)成一個(gè)完整的矩形5.定義在R上的函數(shù)f（x）既是偶函數(shù)又是周期函數(shù)，若f（x）的最小正周期是，且當(dāng)時(shí)f（x）＝sinx，則f（）的值為（）

A.B.C.D.參考答案：解析：由已知得應(yīng)選D.

6.設(shè)函數(shù)則A.在區(qū)間上是增函數(shù)

B.在區(qū)間上是減函數(shù)

C.在區(qū)間上是增函數(shù)

D.在區(qū)間上是減函數(shù)參考答案：A7.以直線x±2y=0為漸近線，且截直線x﹣y﹣3=0所得弦長為的雙曲線方程為（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．y2﹣=1 D．﹣y2=1參考答案：D【考點(diǎn)】KB：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．【分析】設(shè)雙曲線方程為x2﹣4y2=λ，聯(lián)立方程組，得3x2﹣24x+（36+λ）=0，由橢圓弦長公式求出λ=4，由此能求出雙曲線方程．【解答】解：∵雙曲線以直線x±2y=0為漸近線，∴設(shè)雙曲線方程為x2﹣4y2=λ，聯(lián)立方程組，消去y，得3x2﹣24x+（36+λ）=0，設(shè)直線被雙曲線截得的弦為AB，且A（x1，y1），B（x2，y2），則，△=242﹣432﹣12λ＞0，∴|AB|=?==，解得λ=4，∴所求雙曲線方程是．故選：D．8.已知正項(xiàng)數(shù)列{an}中，a1=1，a2=2，2an2=an+12+an﹣12（n≥2），則a6等于（）A．16 B．8 C．2

D．4參考答案：D【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式．【分析】由題設(shè)知an+12﹣an2=an2﹣an﹣12，且數(shù)列{an2}為等差數(shù)列，首項(xiàng)為1，公差d=a22﹣a12=3，故an2=1+3（n﹣1）=3n﹣2，由此能求出a6．【解答】解：∵正項(xiàng)數(shù)列{an}中，a1=1，a2=2，2an2=an+12+an﹣12（n≥2），∴an+12﹣an2=an2﹣an﹣12，∴數(shù)列{an2}為等差數(shù)列，首項(xiàng)為1，公差d=a22﹣a12=3，∴an2=1+3（n﹣1）=3n﹣2，∴=16，∴a6=4，故選D．9.已知兩直線l1：x+mx+4=0，l2：（m﹣1）x+3my+2m=0．若l1∥l2，則m的值為（）A．4 B．0或4 C．﹣1或 D．參考答案：B【考點(diǎn)】直線的一般式方程與直線的平行關(guān)系．【分析】對(duì)m分類討論，利用兩條直線相互平行的充要條件即可得出．【解答】解：①當(dāng)m=0時(shí)，兩條直線分別化為：x+4=0，﹣x=0，此時(shí)兩條直線相互平行，因此m=0．②當(dāng)m≠0時(shí)，兩條直線分別化為：y=﹣x﹣，y=﹣x﹣，由于兩條直線相互平行可得：=﹣，，解得m=4．綜上可得：m=0或4．故選：B．10.在△ABC中，B=，BC邊上的高等于BC，則cosA=（）A． B． C．﹣ D．﹣參考答案：C【考點(diǎn)】三角形中的幾何計(jì)算．【分析】作出圖形，令∠DAC=θ，依題意，可求得cosθ===，sinθ=，利用兩角和的余弦即可求得答案．【解答】解：設(shè)△ABC中角A、B、C、對(duì)應(yīng)的邊分別為a、b、c，AD⊥BC于D，令∠DAC=θ，∵在△ABC中，B=，BC邊上的高AD=h=BC=a，∴BD=AD=a，CD=a，在Rt△ADC中，cosθ===，故sinθ=，∴cosA=cos（+θ）=coscosθ﹣sinsinθ=×﹣×=﹣．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查解三角形中，作出圖形，令∠DAC=θ，利用兩角和的余弦求cosA是關(guān)鍵，也是亮點(diǎn)，屬于中檔題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知冪函數(shù)y=f(x)的圖象過點(diǎn)(2，)，則=

.參考答案：412.在實(shí)數(shù)R中定義一種新運(yùn)算：@，對(duì)實(shí)數(shù)a，b經(jīng)過運(yùn)算a@b后是一個(gè)確定的唯一的實(shí)數(shù)．@運(yùn)算有如下性質(zhì)：（1）對(duì)任意實(shí)數(shù)a，a@0=a；（2）對(duì)任意實(shí)數(shù)a，b，a@b=ab+（a@0）+（b@0）那么：關(guān)于函數(shù)f（x）=ex@的性質(zhì)下列說法正確的是：①函數(shù)f（x）的最小值為3；②函數(shù)f（x）是偶函數(shù)；③函數(shù)f（x）在（﹣∞，0）上為減函數(shù)，這三種說法正確的有．參考答案：①②③【考點(diǎn)】F4：進(jìn)行簡單的合情推理．【分析】由題意寫出函數(shù)f（x）的解析式，再分析題目中的3個(gè)命題是否正確．【解答】解：由題意，a@b=ab+（a@0）+（b@*0），且a*0=a，所以a@b=ab+a+b；所以f（x）=（ex）@=ex?+ex+=1+ex+，對(duì)于②，f（x）的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且f（﹣x）=1+e﹣x+=1++ex=f（x），∴f（x）為偶函數(shù)，②正確；對(duì)于③，f′（x）=ex﹣e﹣x，令f′（x）≤0，則x≤0，即f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（﹣∞，0），③正確；對(duì)于①，由②③得：f（x）在（﹣∞，0）遞減，在（0，+∞）遞增，∴f（x）最小值=f（0）=3，①正確；綜上，正確的命題是①②③．故答案為：①②③．13.已知集合M{4,7,8},則這樣的集合M共有

參考答案：7個(gè)略14.一個(gè)正三棱柱的側(cè)棱長和底面邊長相等，體積為2，它的三視圖中的俯視圖如下圖所示，側(cè)視圖是一個(gè)矩形，則這個(gè)矩形的面積是________．參考答案：215.已知tanα=2，則=．參考答案：【考點(diǎn)】GH：同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用．【分析】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、二倍角公式，化簡所給的式子，可得結(jié)果．【解答】解：∵tanα=2，則====，故答案為：．16.設(shè)等比數(shù)列{an}滿足a1+a3=10，a2+a4=5，則a1a2…an的最大值為．參考答案：64【考點(diǎn)】數(shù)列與函數(shù)的綜合；等比數(shù)列的性質(zhì)．【分析】求出數(shù)列的等比與首項(xiàng)，化簡a1a2…an，然后求解最值．【解答】解：等比數(shù)列{an}滿足a1+a3=10，a2+a4=5，可得q（a1+a3）=5，解得q=．a(chǎn)1+q2a1=10，解得a1=8．則a1a2…an=a1n?q1+2+3+…+（n﹣1）=8n?==，當(dāng)n=3或4時(shí)，表達(dá)式取得最大值：=26=64．故答案為：64．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的性質(zhì)數(shù)列與函數(shù)相結(jié)合的應(yīng)用，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．17.已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則

．參考答案：3三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，.⑴求的值；⑵求數(shù)列的通項(xiàng)公式；⑶證明：對(duì)一切正整數(shù)，有.參考答案：⑴；⑵；⑶當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)=19.已知圓O：x2+y2=4，圓O與x軸交于A，B兩點(diǎn)，過點(diǎn)B的圓的切線為l，P是圓上異于A，B的一點(diǎn)，PH垂直于x軸，垂足為H，E是PH的中點(diǎn)，延長AP，AE分別交l于F，C．（1）若點(diǎn)P（1，），求以FB為直徑的圓的方程，并判斷P是否在圓上；（2）當(dāng)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，證明：直線PC恒與圓O相切．參考答案：【考點(diǎn)】直線和圓的方程的應(yīng)用；圓的切線方程．【分析】（1）先確定直線AP的方程為，求得F（2，），確定直線AE的方程為y=（x+2），求得C（2，），由此可得圓的方程；（2）設(shè)P（x0，y0），則E（x0，），求得直線AE的方程，進(jìn)而可確定直線PC的斜率，由此即可證得直線PC與圓O相切．【解答】（1）證明：由P（1，），A（﹣2，0）∴直線AP的方程為．令x=2，得F（2，）．由E（1，），A（﹣2，0），則直線AE的方程為y=（x+2），令x=2，得C（2，）．∴C為線段FB的中點(diǎn)，以FB為直徑的圓恰以C為圓心，半徑等于．∴圓的方程為，且P在圓上；（2）證明：設(shè)P（x0，y0），則E（x0，），則直線AE的方程為在此方程中令x=2，得C（2，）直線PC的斜率為=﹣=﹣若x0=0，則此時(shí)PC與y軸垂直，即PC⊥OP；

若x0≠0，則此時(shí)直線OP的斜率為，∵×（﹣）=﹣1∴PC⊥OP∴直線PC與圓O相切．20.（本題滿分12分）已知，，，求點(diǎn)的坐標(biāo)，使四邊形為直角梯形．參考答案：或

略21.已知為第三象限角，．（１）化簡；

（２）若，求的值.參考答案：略22.（12分）如圖，四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點(diǎn)，CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=．（Ⅰ）求證：AO⊥平面BCD；（Ⅱ）求異面直線AB與CD所成角的余弦；（Ⅲ）求點(diǎn)E到平面ACD的距離．參考答案：考點(diǎn)： 點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算；異面直線及其所成的角；直線與平面垂直的判定．專題： 綜合題．分析： （I）連接OC，由BO=DO，AB=AD，知AO⊥BD，由BO=DO，BC=CD，知CO⊥BD．在△AOC中，由題設(shè)知，AC=2，故AO2+CO2=AC2，由此能夠證明AO⊥平面BCD．（II）取AC的中點(diǎn)M，連接OM、ME、OE，由E為BC的中點(diǎn)，知ME∥AB，OE∥DC，故直線OE與EM所成的銳角就是異面直線AB與CD所成的角．在△OME中，，由此能求出異面直線AB與CD所成角大小的余弦．（III）設(shè)點(diǎn)E到平面ACD的距離為h．在△ACD中，，故=，由AO=1，知，由此能求出點(diǎn)E到平面ACD的距離．解答： （I）證明：連接OC，∵BO=DO，AB=AD，∴AO⊥BD，∵BO=DO，BC=CD，∴CO⊥BD．在△AOC中，由題設(shè)知，AC=2，∴AO2+CO2=AC2，∴∠AOC=90°，即AO⊥OC．∵AO⊥BD，BD∩OC=O，∴AO⊥平面BCD．（II）解：取AC的中點(diǎn)M，連接OM、ME、OE，由E為BC的中點(diǎn)，知ME∥AB，OE