浙江省衢州市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（含解析）

衢州市2023年6月高一年級(jí)教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試卷數(shù)學(xué)命題：考生須知：1.全卷分試卷和答題卷.考試結(jié)束后，將答題卷上交.2.試卷共4頁(yè)，有4大題，22小題.滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間120分鐘.3.請(qǐng)將答案做在答題卷的相應(yīng)位置上，寫(xiě)在試卷上無(wú)效.一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有1項(xiàng)符合題目要求.1.已知集合，則集合子集有()A.7個(gè) B.6個(gè) C.4個(gè) D.3個(gè)2.若復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)的模為()A. B.2 C.1 D.3.函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間為()A. B. C. D.4.用一個(gè)平面去截一個(gè)正方體，所得截面形狀可能為：()①三角形②四邊形③五邊形④六邊形⑤圓A.①②③ B.①②④ C.①②③④ D.①②③④⑤5.已知向量，，則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件6.函數(shù)在區(qū)間上恰有兩條對(duì)稱(chēng)軸，則的取值范圍為()A. B. C. D.7.已知函數(shù)，若且，則的取值范圍是()A. B. C. D.8.在矩形中，，為中點(diǎn)，將和沿，翻折，使點(diǎn)與點(diǎn)重合于點(diǎn)，若，則三棱錐外接球的表面積為()A. B. C. D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.給出下列說(shuō)法，其中正確的是()A.數(shù)據(jù)0，1，2，4的極差與中位數(shù)之積為6B.已知一組數(shù)據(jù)的方差是5，則數(shù)據(jù)的方差是20C.已知一組數(shù)據(jù)的方差為0，則此組數(shù)據(jù)的眾數(shù)唯一D.已知一組不完全相同的數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，在這組數(shù)據(jù)中加入一個(gè)數(shù)后得到一組新數(shù)據(jù)，其平均數(shù)為，則10.函數(shù)，如下結(jié)論正確的是()A.的最大值為B.對(duì)任意，都有C.在上增函數(shù)D.由的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度可以得到函數(shù)的圖象11.窗花是貼在窗戶(hù)上的剪紙，是中國(guó)古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一，圖1是一個(gè)正八邊形窗花，圖2是從窗花圖中抽象出幾何圖形的示意圖.已知正八邊形的邊長(zhǎng)為2，是正八邊形邊上任意一點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是()A.若函數(shù)，則函數(shù)的最小值為B.的最大值為C.在方向上的投影向量為D.12.某同學(xué)在研究函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，受到兩點(diǎn)間距離公式的啟發(fā)，將變形為，則下列關(guān)于函數(shù)的描述正確的是()A.的圖象是中心對(duì)稱(chēng)圖形 B.的圖象是軸對(duì)稱(chēng)圖形C.的值域?yàn)?D.方程有兩個(gè)解三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.在平面直角坐標(biāo)系中，角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則__________．14.設(shè)，則函數(shù)的最小值為_(kāi)____15.已知為定義在R上的奇函數(shù)，為偶函數(shù)，且對(duì)任意的，，，都有，試寫(xiě)出符合上述條件的一個(gè)函數(shù)解析式______.16.若點(diǎn)為邊長(zhǎng)為的正內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)且，則的最小值為_(kāi)_____.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或驗(yàn)算步驟.17.已知函數(shù)，.(1)求；(2)求函數(shù)的值域.18.隨著現(xiàn)代社會(huì)物質(zhì)生活水平的提高，中學(xué)生的零花錢(qián)越來(lái)越多，消費(fèi)水平也越來(lái)越高，因此滋生了一些不良的攀比現(xiàn)象.某學(xué)校為幫助學(xué)生培養(yǎng)正確的消費(fèi)觀(guān)念，對(duì)該校學(xué)生每周零花錢(qián)的數(shù)額進(jìn)行了隨機(jī)調(diào)查，現(xiàn)將統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)按，，…，分組后繪成如圖所示的頻率分布直方圖，已知.(1)求頻率分布直方圖中，的值；(2)估計(jì)該校學(xué)生每周零花錢(qián)第55百分位數(shù)；(3)若按照各組頻率的比例采用分層隨機(jī)抽樣的方法從每周零花錢(qián)在內(nèi)的人中抽取11人，求內(nèi)抽取的人數(shù).19.衢州市某公園供市民休息的石凳是阿基米德多面體，它可以看做是一個(gè)正方體截去八個(gè)一樣的四面體得到的二十四等邊體(各棱長(zhǎng)都相等)，已知正方體的棱長(zhǎng)為30cm.(1)證明：平面平面；(2)求石凳所對(duì)應(yīng)幾何體的體積.20.在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，且滿(mǎn)足.(1)求角的大??；(2)求的取值范圍.21.如圖在三棱臺(tái)中，平面，，，.(1)求點(diǎn)到平面的距離；(2)求二面角的正弦值.22.已知函數(shù)，(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)若有三個(gè)零點(diǎn)，且求證：①②.

衢州市2023年6月高一年級(jí)教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試卷數(shù)學(xué)考生須知：1.全卷分試卷和答題卷.考試結(jié)束后，將答題卷上交.2.試卷共4頁(yè)，有4大題，22小題.滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間120分鐘.3.請(qǐng)將答案做在答題卷的相應(yīng)位置上，寫(xiě)在試卷上無(wú)效.一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有1項(xiàng)符合題目要求.1.已知集合，則集合的子集有()A.7個(gè) B.6個(gè) C.4個(gè) D.3個(gè)【答案】C【解析】【分析】列舉出集合的子集即可得解.【詳解】因?yàn)榧?，所以集合的子集有共個(gè).故選：C.2.若復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)的模為()A. B.2 C.1 D.【答案】A【解析】【分析】首先化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，再求模.【詳解】，所以.故選：A3.函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間為()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先確定函數(shù)是連續(xù)函數(shù)，然后結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)存在定理求解答案即可.【詳解】由，則函數(shù)圖像是連續(xù)的且單調(diào)遞增，則，，由函數(shù)零點(diǎn)存在定理可得函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間為.故選：B4.用一個(gè)平面去截一個(gè)正方體，所得截面形狀可能為：()①三角形②四邊形③五邊形④六邊形⑤圓A.①②③ B.①②④ C.①②③④ D.①②③④⑤【答案】C【解析】【分析】由正方體的結(jié)構(gòu)特征，作出截面即可判斷.【詳解】用一個(gè)平面去截一個(gè)正方體，分別是所在棱的中點(diǎn)，所得截面形狀可能為三角形、四邊形、五邊形、六邊形，如圖所示：故選：C.5.已知向量，，則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】利用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示及充分條件必要條件的定義即可求解.【詳解】因?yàn)?，，所以由，解得，所以，所以“”是“”的必要不充分條件，即“”是“”的必要不充分條件.故選：B.6.函數(shù)在區(qū)間上恰有兩條對(duì)稱(chēng)軸，則的取值范圍為()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸方程為，，原題等價(jià)于有2個(gè)整數(shù)k符合，解不等式即得解.【詳解】，令，，則，，函數(shù)在區(qū)間[0，]上有且僅有2條對(duì)稱(chēng)軸，即有2個(gè)整數(shù)k符合，，得，則，即，∴.故選：D.7.已知函數(shù)，若且，則的取值范圍是()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】畫(huà)出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象分析可得的值，再由的取值范圍即可得出答案.【詳解】畫(huà)出函數(shù)的圖象如圖，若，由，即，即，即，所以，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，且，令，則，所以，.故選：D.8.在矩形中，，為的中點(diǎn)，將和沿，翻折，使點(diǎn)與點(diǎn)重合于點(diǎn)，若，則三棱錐外接球的表面積為()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先證明出MP⊥平面PAD，設(shè)△ADP的外接圓的半徑為r，三棱錐M-PAD的外接球的半徑為R，由，求出R，進(jìn)而求出外接球的表面積.【詳解】由題意可知，.又平面PAD，平面PAD，所以MP⊥平面PAD.設(shè)△ADP的外接圓的半徑為r，則由正弦定理可得，即，所以，設(shè)三棱錐M-PAD的外接球的半徑為R，則，所以外接球的表面積為.故選：B二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.給出下列說(shuō)法，其中正確的是()A.數(shù)據(jù)0，1，2，4的極差與中位數(shù)之積為6B.已知一組數(shù)據(jù)的方差是5，則數(shù)據(jù)的方差是20C.已知一組數(shù)據(jù)的方差為0，則此組數(shù)據(jù)的眾數(shù)唯一D.已知一組不完全相同的數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，在這組數(shù)據(jù)中加入一個(gè)數(shù)后得到一組新數(shù)據(jù)，其平均數(shù)為，則【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)于A(yíng)，求得極差、中位數(shù)即可判斷；對(duì)于B，根據(jù)方差的性質(zhì)即可判斷；對(duì)于C，根據(jù)方差的定義可得，從而可判斷；對(duì)于D，根據(jù)平均數(shù)的計(jì)算公式即可判斷.【詳解】對(duì)于A(yíng)，極差為，中位數(shù)為，所以極差與中位數(shù)之積為，A對(duì)；對(duì)于B，根據(jù)方差的性質(zhì)可知，數(shù)據(jù)的方差是，B錯(cuò)；對(duì)于C，由方差，可得，即此組數(shù)據(jù)眾數(shù)唯一，C對(duì)；對(duì)于D，，，D對(duì).故選：ACD10.函數(shù)，如下結(jié)論正確的是()A.的最大值為B.對(duì)任意的，都有C.在上是增函數(shù)D.由的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度可以得到函數(shù)的圖象【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)兩角差的正弦公式可得，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)及圖象變換逐項(xiàng)判斷.【詳解】，所以的最大值為，故A錯(cuò)誤；所以關(guān)于對(duì)稱(chēng)，所以對(duì)任意的，都有，故B正確；時(shí)，,所以在上是增函數(shù)，故C正確；由的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度可以得到函數(shù)的圖象，故D錯(cuò)誤.故選：BC.11.窗花是貼在窗戶(hù)上的剪紙，是中國(guó)古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一，圖1是一個(gè)正八邊形窗花，圖2是從窗花圖中抽象出幾何圖形的示意圖.已知正八邊形的邊長(zhǎng)為2，是正八邊形邊上任意一點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是()A.若函數(shù)，則函數(shù)的最小值為B.的最大值為C.在方向上的投影向量為D.【答案】AB【解析】【分析】以為軸，為軸建立直角坐標(biāo)系，計(jì)算各點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算向量坐標(biāo)，求出函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)求出最值，A正確；取的中點(diǎn)，得到，求出的最大值，從而得到的最大值，B正確；利用數(shù)量積的幾何意義求解投影向量，C錯(cuò)誤；計(jì)算向量坐標(biāo)即可判斷D錯(cuò)誤，得到答案.【詳解】如圖所示：以為軸，為軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)，在中，根據(jù)余弦定理可得，，整理得到，，，，設(shè)，對(duì)選項(xiàng)A：，，所以，所以，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值為，A正確；對(duì)選項(xiàng)B：取的中點(diǎn)，則，，則，，兩式相減得：，由正八邊形的對(duì)稱(chēng)性知，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)或重合時(shí)，最大，又，所以，所以，所以的最大值為，B正確；對(duì)選項(xiàng)C：，，所以，即投影向量為，C錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)D：因?yàn)?，，所以，又，所以，D錯(cuò)誤.故選：AB12.某同學(xué)在研究函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，受到兩點(diǎn)間距離公式的啟發(fā)，將變形為，則下列關(guān)于函數(shù)的描述正確的是()A.的圖象是中心對(duì)稱(chēng)圖形 B.的圖象是軸對(duì)稱(chēng)圖形C.的值域?yàn)?D.方程有兩個(gè)解【答案】BCD【解析】【分析】計(jì)算得出，利用函數(shù)對(duì)稱(chēng)性的定義可判斷B選項(xiàng)；利用函數(shù)的幾何意義求出的值域，可判斷C選項(xiàng)；利用反證法可判斷A選項(xiàng)；解方程，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、對(duì)稱(chēng)性以及零點(diǎn)存在定理可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋?，所以，函?shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)楹瘮?shù)的幾何意義為點(diǎn)到點(diǎn)和點(diǎn)的距離之和，如下圖所示：，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)、、共線(xiàn)時(shí)，等號(hào)成立，所以，函數(shù)的值域?yàn)椋珻對(duì)；對(duì)于A(yíng)選項(xiàng)，由C選項(xiàng)可知，函數(shù)只有最小值，若函數(shù)的圖象為中心對(duì)稱(chēng)圖形，則函數(shù)有最大值，這與函數(shù)的值域?yàn)槊埽珹錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)，由可得，解得，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，且函數(shù)的值域?yàn)?，因?yàn)椋?，所以，方程無(wú)解，令，易知函數(shù)在上為增函數(shù)，且，，由零點(diǎn)存在定理可知，在上存在一個(gè)零點(diǎn)，即方程由一個(gè)根，則方程在上有個(gè)根，綜上所述，方程有兩個(gè)根，D對(duì).故選：BCD.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：對(duì)于復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，求解思路如下：(1)確定內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)；(2)確定外層函數(shù)的零點(diǎn)；(3)確定直線(xiàn)與內(nèi)層函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)分別為、、、、，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.在平面直角坐標(biāo)系中，角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則__________．【答案】【解析】【分析】先求出，由三角函數(shù)的定義即可求解.【詳解】由題意知，．故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)定義的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.14.設(shè)，則函數(shù)的最小值為_(kāi)____【答案】##0.5【解析】【分析】利用換元法令，則，再利用基本不等式求最值．【詳解】解：令，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，故函數(shù)的最小值為．故答案為：.15.已知為定義在R上的奇函數(shù)，為偶函數(shù)，且對(duì)任意的，，，都有，試寫(xiě)出符合上述條件的一個(gè)函數(shù)解析式______.【答案】(答案不唯一)【解析】【分析】根據(jù)給定的奇偶性，推理計(jì)算得函數(shù)的周期性，再結(jié)合單調(diào)性求解作答.【詳解】因?yàn)槭嵌x在R上的奇函數(shù)，則，且，又為偶函數(shù)，則，即，于是，則，即是以為周期的周期函數(shù)，對(duì)任意，，，都有，可得在單調(diào)遞減，不妨設(shè)，由題意，，所以，則，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，且在上單調(diào)遞增，所以，不妨取，此時(shí).故符合上述條件的一個(gè)函數(shù)解析式，(答案不唯一).故答案為：(答案不唯一)16.若點(diǎn)為邊長(zhǎng)為的正內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)且，則的最小值為_(kāi)_____.【答案】##【解析】【分析】利用旋轉(zhuǎn)法繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)成，過(guò)點(diǎn)作，則，即可得出答案.【詳解】由題知，繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)成，使得與重合，如圖所示，則是等邊三角形，，，過(guò)點(diǎn)作，因?yàn)闉檫呴L(zhǎng)為的正內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，所以，所以.故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或驗(yàn)算步驟.17.已知函數(shù)，.(1)求；(2)求函數(shù)的值域.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)直接代入計(jì)算可得；(2)利用二倍角公式及誘導(dǎo)公式將函數(shù)轉(zhuǎn)化為的二次型函數(shù)，再換元，結(jié)合二次函數(shù)的的性質(zhì)計(jì)算可得.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋?【小問(wèn)2詳解】令，因?yàn)椋?，則，令，，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，，所以，所以函數(shù)的值域.18.隨著現(xiàn)代社會(huì)物質(zhì)生活水平的提高，中學(xué)生的零花錢(qián)越來(lái)越多，消費(fèi)水平也越來(lái)越高，因此滋生了一些不良的攀比現(xiàn)象.某學(xué)校為幫助學(xué)生培養(yǎng)正確的消費(fèi)觀(guān)念，對(duì)該校學(xué)生每周零花錢(qián)的數(shù)額進(jìn)行了隨機(jī)調(diào)查，現(xiàn)將統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)按，，…，分組后繪成如圖所示的頻率分布直方圖，已知.(1)求頻率分布直方圖中，的值；(2)估計(jì)該校學(xué)生每周零花錢(qián)的第55百分位數(shù)；(3)若按照各組頻率的比例采用分層隨機(jī)抽樣的方法從每周零花錢(qián)在內(nèi)的人中抽取11人，求內(nèi)抽取的人數(shù).【答案】(1)，(2)70元(3)2人【解析】【分析】(1)根據(jù)頻率之和為1，結(jié)合已知可得；(2)先判斷第55百分位數(shù)所在區(qū)間，然后可得；(3)先求各組頻率，根據(jù)頻率比例即可求得抽取人數(shù).【小問(wèn)1詳解】，即又，所以，.【小問(wèn)2詳解】前3組的頻率和為，前4組的頻率和為，∴第55百分位數(shù)位于第4組內(nèi).∴估計(jì)第55百分位數(shù)為元.【小問(wèn)3詳解】，，這三組的頻率分別為，，，比例為，則從內(nèi)抽取的人數(shù)分別為.19.衢州市某公園供市民休息的石凳是阿基米德多面體，它可以看做是一個(gè)正方體截去八個(gè)一樣的四面體得到的二十四等邊體(各棱長(zhǎng)都相等)，已知正方體的棱長(zhǎng)為30cm.(1)證明：平面平面；(2)求石凳所對(duì)應(yīng)幾何體的體積.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2).【解析】【分析】(1)根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理證明即可；

(2)先求出正方體的體積，再求出截去的八個(gè)四面體的體積，作差即可求解.【小問(wèn)1詳解】多面體為二十四等邊體知、、、、、為正方體對(duì)應(yīng)棱上的中點(diǎn)則，，，平面，，平面，則平面平面.【小問(wèn)2詳解】正方體體積，截去的每個(gè)四面體體積為，所以石凳所對(duì)應(yīng)幾何體的體積為.20.在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，且滿(mǎn)足.(1)求角的大?。?2)求的取值范圍.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)先利用兩角和的正弦公式將條件化簡(jiǎn)，再利用正弦定理和三角恒等變換求出，根據(jù)三角形內(nèi)角的取值范圍即可求解；(2)法1：利用正弦定理將邊化為角，然后利用三角形內(nèi)角和定理、三角恒等變換和余弦函數(shù)的圖像即可求解；由(1)先利用余弦定理得到，然后利用基本不等式即可求解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，化?jiǎn)可得，由正弦定理可得，∴，∴，∴，∴，即，因?yàn)?，則，∴，則.【小問(wèn)2詳解】法1：由正弦定理可得，因?yàn)?，所以，則，所以，故，所以的取值范圍為.法2：由(1)可知，在中，由余弦定理可得，則，，，所以，則，所以的取值范圍為.21.如圖在三棱臺(tái)中，平面，，，.(1)求點(diǎn)到平面的距離；(2)求二面角的正弦值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】解法一：(1)先利用線(xiàn)面垂直關(guān)系證明平面，進(jìn)而結(jié)合余弦定理求得，進(jìn)而利用等體積法求解即可；(2)過(guò)作，垂足為，先證明平面，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，連接，可得為二面角的平面角，進(jìn)而求解即可