湖南長沙市2024年高三二診模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

湖南長沙市2024年高三二診模擬考試數(shù)學(xué)試卷

考生須知：

1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色

字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。

2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。

3.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.據(jù)國家統(tǒng)計(jì)局發(fā)布的數(shù)據(jù)，2019年11月全國CP/（居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)），同比上漲4.5%,上漲的主要因素是

豬肉價(jià)格的上漲，豬肉加上其他畜肉影響CP/上漲3.27個(gè)百分點(diǎn).下圖是2019年11月一籃子商品權(quán)重，根據(jù)該

圖，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.CP/一籃子商品中所占權(quán)重最大的是居住

B.CP/一籃子商品中吃穿住所占權(quán)重超過50%

C.豬肉在CP/一籃子商品中所占權(quán)重約為2.5%

D.豬肉與其他畜肉在CP/一籃子商品中所占權(quán)重約為0.18%

2-函數(shù)=K的部分圖像大致為（

3.已知拋物線丁=2px（p〉0）上一點(diǎn)（51）到焦點(diǎn)的距離為6,P、。分別為拋物線與圓（x-6y+V=i上的動(dòng)點(diǎn),

則|PQ|的最小值為（）

A.721-1B.2一（C.275D.275-1

4.已知(：050=-§,?6[?,萬｝貝依111(?+0)=()

A.述B.一速C.2D,1

3333

5.總體由編號(hào)為01,02,...?39,40的40個(gè)個(gè)體組成.利用下面的隨機(jī)數(shù)表選取5個(gè)個(gè)體，選取方法是從隨機(jī)數(shù)表(如

表)第1行的第4列和第5列數(shù)字開始由左到右依次選取兩個(gè)數(shù)字，則選出來的第5個(gè)個(gè)體的編號(hào)為()

6044664421

6606580562

6165543502

4235489632

1452415248

9266221586

7663754199

5842367224

A.23B.21C.35D.32

6.設(shè)是虛數(shù)單位，貝！]“復(fù)數(shù)z=a+沅為純虛數(shù)”是“a/?=0”的()

A.充要條件B.必要不充分條件

C.既不充分也不必要條件D.充分不必要條件

7.已知函數(shù)/(x)=cos2x+sin21x+m，則/(%)的最小值為()

.1也[en1V2

A?J-|------B.C?X-------D(]-------

2224

8.函數(shù)一—二^7—―的定義域?yàn)?)

A.尼，3)U(3,+oo)B.(-00,3)U(3,+?)

C.尼，+oo)D.(3,+oo)

9.在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過點(diǎn)P(2A/2,-V2),漸近線方程為y=±0x的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()

x2x2_￡=ix2y2L

A.=1B.c.D.-------i

T-f~7~14~3147

10.若(l+2ai)i=l-bi,其中a,bGR,則|a+bi|=().

A.-B.J5C.好D.5

22

11.已知拋物線C:/=4y，過拋物線C上兩點(diǎn)A,3分別作拋物線的兩條切線PA,PB,P為兩切線的交點(diǎn)。為坐標(biāo)原

點(diǎn)若PA.PB=0,則直線與的斜率之積為（）

11

A.——B.-3C.——D.-4

48

12.執(zhí)行下面的程序框圖，若輸出的S的值為63,則判斷框中可以填入的關(guān)于i的判斷條件是（）

［開始

S=O,i=l

S=S+2'"

/依出S/

A.i<5B.i<6C.z<7D.z<8

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.有2名老師和3名同學(xué)，將他們隨機(jī)地排成一行，用J表示兩名老師之間的學(xué)生人數(shù)，則&=1對應(yīng)的排法有

種;E?=；

14.已知函數(shù)y（x）='—',一'是偶函數(shù)，直線y=t與函數(shù)y=/（x）的圖象自左向右依次交于四個(gè)不同

2x+bx+c,x<0

點(diǎn)A,B,C,D.若43=3。，則實(shí)數(shù)f的值為.

15.等邊AABC的邊長為2,則AB在8C方向上的投影為.

16.已知等差數(shù)列｛a”｝滿足4+/+。5+%+佝=10，。8~-。2?=36,則為的值為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）如圖（1）五邊形ABCDE中，ED=EA,AB//CD,CD=2AB,

NEDC=15O,將八以。沿AD折到的位置，得到四棱錐尸—ABCO,如圖（2）,點(diǎn)〃為線段PC的中點(diǎn)，

且J_平面PCD.

（1）求證：平面B4T）_L平面ABC。；

18.(12分)已知函數(shù),f(x)=lnx-x2+ax(aeR).

(1)若/(x)KO恒成立，求。的取值范圍；

(2)設(shè)函數(shù)“X)的極值點(diǎn)為5,當(dāng)“變化時(shí)，點(diǎn)(不，/(/))構(gòu)成曲線以，證明：過原點(diǎn)的任意直線丫=履與曲線M

有且僅有一個(gè)公共點(diǎn).

19.(12分)已知函數(shù)/(x)=|2x-a|+|x-2a+3].

(1)當(dāng)a=2時(shí)，解關(guān)于x的不等式/(x)<9；

(2)當(dāng)時(shí)，若對任意實(shí)數(shù)x,/(x)24都成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

20.(12分)已知拋物線G：V=2px,焦點(diǎn)為F,直線/交拋物線G于A,8兩點(diǎn)，交拋物線G的準(zhǔn)線于點(diǎn)C,如圖

Q

所示，當(dāng)直線/經(jīng)過焦點(diǎn)/時(shí)，點(diǎn)斤恰好是AC的中點(diǎn)，且忸。|=；.

(1)求拋物線G的方程；

(2)點(diǎn)。是原點(diǎn)，設(shè)直線的斜率分別是勺/2,當(dāng)直線/的縱截距為1時(shí)，有數(shù)列｛?｝滿足

右=4(4+2丫，設(shè)數(shù)歹U<

q=1,k=_]6a>的前n項(xiàng)和為S,,已知存在正整數(shù)機(jī)使得m<S2020<m+l,

求m的值.

21.(12分)已知函數(shù)了(%)=2'gCx)=/+2ox.

(1)當(dāng)a=—1時(shí),求函數(shù)y=，(g(x))(—2麴k3)的值域.

(2)設(shè)函數(shù)/z(x)=["頊"]，若必>0,且/z(x)的最小值為巫，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

g(x),x<b2

22.(10分)已知曲線G：夕sin[e+-]=走和。2：〈》一可c°s'(。為參數(shù)).以原點(diǎn)。為極點(diǎn)，x軸的正半軸

V6)2|^y=V2sin^p

為極軸，建立極坐標(biāo)系，且兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位.

(1)求曲線G的直角坐標(biāo)方程和c2的方程化為極坐標(biāo)方程；

(2)設(shè)G與x，y軸交于M，N兩點(diǎn)，且線段MN的中點(diǎn)為P.若射線O尸與G，02交于P，。兩點(diǎn)，求p，Q

兩點(diǎn)間的距離.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、D

【解析】

A.從第一個(gè)圖觀察居住占23%,與其他比較即可.B.CP/一籃子商品中吃穿住所占23%+8%+19.9%=50.9%,再判斷.C.

食品占19.9%,再看第二個(gè)圖，分清2.5%是在CP/一籃子商品中，還是在食品中即可.D.易知豬肉與其他畜肉在CP/

一籃子商品中所占權(quán)重約為2.1%+2.5%=4.6%.

【詳解】

A.C77一籃子商品中居住占23%,所占權(quán)重最大的，故正確.

B.CP7一籃子商品中吃穿住所占23%+8%+19.9%=50.9%,權(quán)重超過50%,故正確.

C.食品占中19.9%,分解后后可知豬肉是占在CP/一籃子商品中所占權(quán)重約為2.5%,故正確.

D.豬肉與其他畜肉在CP/一籃子商品中所占權(quán)重約為2.1%+2.5%=4.6%,故錯(cuò)誤.

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題主要考查統(tǒng)計(jì)圖的識(shí)別與應(yīng)用，還考查了理解辨析的能力，屬于基礎(chǔ)題.

2、A

【解析】

根據(jù)函數(shù)解析式，可知/(九)的定義域?yàn)閤eR,通過定義法判斷函數(shù)的奇偶性，得出/(—4)="力，貝！|/(九)為偶

函數(shù)，可排除選項(xiàng)，觀察A,3選項(xiàng)的圖象，可知代入％=0,解得/(0)>0,排除3選項(xiàng)，即可得出答案.

【詳解】

eE、r”\COSX

解：因?yàn)?(%)=下百「

所以的定義域?yàn)閤eR,

則〃一)=巴叢￡^=小)，

''Tx+2X2X+2~x''

.?./(九)為偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對稱，排除選項(xiàng)，

且當(dāng)x=o時(shí)，/(o)=|>o,排除3選項(xiàng)，所以A正確.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查由函數(shù)解析式識(shí)別函數(shù)圖象，利用函數(shù)的奇偶性和特殊值法進(jìn)行排除.

3、D

【解析】

利用拋物線的定義，求得P的值，由利用兩點(diǎn)間距離公式求得歸冽，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，求得歸閘疝「由歸。|取

得最小值為忸出京-1,求得結(jié)果.

【詳解】

由拋物線C:V=2Px(°>0)焦點(diǎn)在x軸上，準(zhǔn)線方程x=—g,

則點(diǎn)(5/)到焦點(diǎn)的距離為d=5+4=6,則。=2,

2

所以拋物線方程：>2=4%,

設(shè)尸(x,y),圓M:(x—6)2+_/=1,圓心為(6,1),半徑為1,

貝！11=J(x-6)2+y=正―6y+4x=J(x-釬+20，

當(dāng)％=4時(shí)，|PQ|取得最小值，最小值為同一1=2退一1,

故選D.

【點(diǎn)睛】

該題考查的是有關(guān)距離的最小值問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有拋物線的定義，點(diǎn)到圓上的點(diǎn)的距離的最小值為其到圓心的

距離減半徑，二次函數(shù)的最小值，屬于中檔題目.

4、B

【解析】

利用誘導(dǎo)公式以及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡求解即可.

【詳解】

1（萬）

cosa=——,a—,7V\

3【2）

,zx2V2

r.sm（萬+tz）=-sma=---------

'）3

本題正確選項(xiàng)：B

【點(diǎn)睛】

本題考查誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力.

5、B

【解析】

根據(jù)隨機(jī)數(shù)表法的抽樣方法，確定選出來的第5個(gè)個(gè)體的編號(hào).

【詳解】

隨機(jī)數(shù)表第1行的第4列和第5列數(shù)字為4和6,所以從這兩個(gè)數(shù)字開始，由左向右依次選取兩個(gè)數(shù)字如下46,64,

42,16,60,65,80,56,26,16,55,43,50,24,23,54,89,63,21,…其中落在編號(hào)01,02,...?39,40內(nèi)

的有:16,26,16,24,23,21,…依次不重復(fù)的第5個(gè)編號(hào)為21.

故選：B

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查隨機(jī)數(shù)表法進(jìn)行抽樣，屬于基礎(chǔ)題.

6、D

【解析】

結(jié)合純虛數(shù)的概念，可得。=0,。00,再結(jié)合充分條件和必要條件的定義即可判定選項(xiàng).

【詳解】

若復(fù)數(shù)z=a+次為純虛數(shù)，則。=0,。/0,所以而=0,若ab=0,不妨設(shè)a=lS=。，此時(shí)復(fù)數(shù)2=。+初=1,

不是純虛數(shù)，所以“復(fù)數(shù)z=a+bi為純虛數(shù)”是“ab=O”的充分不必要條件.

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查充分條件和必要條件，考查了純虛數(shù)的概念，理解充分必要條件的邏輯關(guān)系是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

7、C

【解析】

利用三角恒等變換化簡三角函數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)正弦型三角函數(shù)，即可容易求得最小值.

【詳解】

由于coY尤+疝2/尤+"-1+?！?2%I2；

'）I4）22

?cos2xsin2x

=1+-----+-----

22

=l+^^sin（2x+71,

故其最小值為：1-也.

2

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用降塞擴(kuò)角公式、輔助角公式化簡三角函數(shù)，以及求三角函數(shù)的最值，屬綜合基礎(chǔ)題.

8、A

【解析】

根據(jù)幕函數(shù)的定義域與分母不為零列不等式組求解即可.

【詳解】

因?yàn)楹瘮?shù)二=、E+±.二｛三；二

解得一三：且-；;

.屈數(shù)二二=、二0+二的定義域?yàn)楣蔬xA.

【點(diǎn)睛】

定義域的三種類型及求法：（1）已知函數(shù)的解析式，則構(gòu)造使解析式有意義的不等式（組）求解；（2）對實(shí)際問題：由實(shí)際

意義及使解析式有意義構(gòu)成的不等式（組）求解；（3）若已知函數(shù)二二的定義域?yàn)槎?，則函數(shù)二二二的定義域由不

等式二三二二4二求出.

9、B

【解析】

根據(jù)所求雙曲線的漸近線方程為y=±JIx,可設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為2x2-y2=k.再把點(diǎn)（2應(yīng),-J5）代入，

求得k的值，可得要求的雙曲線的方程.

【詳解】

?.?雙曲線的漸近線方程為y=±0x,.?.設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為2x2-y2=k.又（2行,-J5）在雙曲線上，則

22

k=16-2=14,即雙曲線的方程為2x2一2=14,二雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為2c—!_=1

714

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題主要考查用待定系數(shù)法求雙曲線的方程，雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程，以及雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

10、C

【解析】

試題分析：由已知，-2a+i=l—bi,根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件，有2=一J，b=-l

2

所以|a+bi|=J（—g）2+（—I-=與，選C

考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算，復(fù)數(shù)相等的充要條件，復(fù)數(shù)的模

11、A

【解析】

設(shè)出A,3的坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)求出過4,3的切線的斜率，結(jié)合PA.P8=0,可得xi*2=-l.再寫出04,03所在

直線的斜率，作積得答案.

【詳解】

解：設(shè)A（與王），B（%，三），

14-4

1,1

由拋物線C：x2=ly,得y=則曠=大X.

42

由/>A-PB=O，可得^石々=-1,即

?k-k=芯-=-4=1

??04OB16164,

故選：A.

點(diǎn)睛：(1)本題主要考查拋物線的簡單幾何性質(zhì)，考查直線和拋物線的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生對這些基礎(chǔ)知識(shí)的掌

握能力和分析推理能力.(2)解答本題的關(guān)鍵是解題的思路，由于與切線有關(guān)，所以一般先設(shè)切點(diǎn)，先設(shè)

A(2a,a2),B(2b,/)，a?b，再求切線PA,PB方程，

求點(diǎn)P坐標(biāo)，再根據(jù)E4.PB=0得到ab=-L最后求直線GH與08的斜率之積.如果先設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)，計(jì)算量就大一

些.

12、B

【解析】

根據(jù)程序框圖，逐步執(zhí)行，直到S的值為63,結(jié)束循環(huán)，即可得出判斷條件.

【詳解】

執(zhí)行框圖如下：

初始值：5=0,z=l,

第一步：S=0+l=l,i=l+l=2,此時(shí)不能輸出，繼續(xù)循環(huán)；

第二步：S=l+2=3"=2+l=3,此時(shí)不能輸出，繼續(xù)循環(huán)；

第三步：S=3+4=7,i=3+l=4,此時(shí)不能輸出，繼續(xù)循環(huán)；

第四步：S=7+8=15,i=4+l=5,此時(shí)不能輸出，繼續(xù)循環(huán)；

第五步：S=15+16=31,i=5+l=6,此時(shí)不能輸出，繼續(xù)循環(huán)；

第六步：S=31+32=63,i=6+l=7,此時(shí)要輸出，結(jié)束循環(huán)；

故，判斷條件為注6.

故選B

【點(diǎn)睛】

本題主要考查完善程序框圖，只需逐步執(zhí)行框圖，結(jié)合輸出結(jié)果，即可確定判斷條件，屬于?？碱}型.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、36；1.

【解析】

J的可能取值為0,1,2,3*=1對應(yīng)的排法有：&\/；=36.分別求出尸(。=0),尸(4=1),產(chǎn)仁=2),尸依=3),

由此能求出E(J).

【詳解】

解：有2名老師和3名同學(xué)，將他們隨機(jī)地排成一行，用J表示兩名老師之間的學(xué)生人數(shù)，

則J的可能取值為0,1,2,3,

、=1對應(yīng)的排法有:C；A；A；=36.

...J=1對應(yīng)的排法有36種;

相=。)=等=總

C；A；A；36

尸仁=1)=

120

%=2)=%三=奇,

A2A219

P（^=3）=^4^=—

'7A；120

??.E?=0x四+lx至+2x3+3x上1

120120120120

故答案為：36；1.

【點(diǎn)睛】

本題考查了排列、組合的應(yīng)用，離散型隨機(jī)變量的分布列以及數(shù)學(xué)期望，屬于中檔題.

5

14、

2

【解析】

由/(尤)是偶函數(shù)可得%>0時(shí)恒有/(-%)=/(%),根據(jù)該恒等式即可求得4，b,。的值，從而得到F(元)，令”/(%),

可解得4,B,C三點(diǎn)的橫坐標(biāo)，根據(jù)AB=BC可列關(guān)于r的方程，解出即可.

【詳解】

解：因?yàn)閒(x)是偶函數(shù)，所以%>0時(shí)恒有/(一%)=/(%),即2/-辰+c=/-4xT,

所以（。-2）尤2+（b-4）x—c—1=0,

a—2=Q

所以<b-4=0,解得〃=2,b=49c=—l；

c+1=0

2%2—4x-1,x..0

所以/(%)=<

2x2+4x-l,x<0

由，=2f+4%—l,即2/+4%—1-/=0,解得元=一1±：二2，+6；

2

工人=一]--<2t+6fXg-—1+—J2」+6」.

由％=2x2—4x—1,即2x2—4x—l—t=09解得x=l±-<2t+6.

XQ—1—-《2t+6fXD=1+—《2t+6.

因?yàn)锳B=5C,所以乙一九4=%-乙，即j2/+6=2—J2/+6，解得Z=—1,

故答案為：

2

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)及二次函數(shù)的圖象、性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬中檔題.

15、-1

【解析】

建立直角坐標(biāo)系，結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解在方向上的投影即可.

【詳解】

建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，由題意可知：4(0,0),B(2,0),

則：45=(2,0),ABBC=-2

H|AB|=2,\BC\=S/1Q,

ABBC-2,

據(jù)此可知A5在BC方向上的投影為=才=一1.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，向量投影的定義與計(jì)算等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.

16、11

【解析】

由等差數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)可得%=2,由42—%2=（。8+。1（。8-%）即可求出公差1,即可求解；

【詳解】

解：設(shè)等差數(shù)列的公差為d,

4+/+。5+%+9%+為^/+%=2a5

%=2

3

又因?yàn)?（。8+。2）（。8—%）=2%x6d=36,解得。=—

41=%+6d=11

故答案為：11

【點(diǎn)睛】

本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及等差數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、（1）見解析（2）2互

7

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)已知條件由線線垂直得出線面垂直，再根據(jù)面面垂直的判定定理證得成立；（2）通過已知條件求

出各邊長度,建系如圖所示，求出平面PZ用的法向量，根據(jù)線面角公式代入坐標(biāo)求得結(jié)果.

試題解析：(1)證明：取PD的中點(diǎn)N,連接AN,MN,則MN//CD,MN=LCD,

2

又ABI/CD,AB=LCD,所以MN//AB,MN=AB,則四邊形ABMN為平行四邊形，所以ANIIBM,

2

又平面PCD,

...4VL平面PCD,

：.AN±PD,AN±CD.

由石。=E4即=及N為的中點(diǎn)，可得△/%￡＞為等邊三角形，

/.ZPDA=60°.

又NEDC=150°，，NCZM=90°，?,?C￡)_LAD,

CD,平面PAD,CDu平面ABCD,

.,?平面上ID,平面ABCD.

(2)解:

AB//CD,二NPCD為直線PC與A5所成的角，

PD1

由(1)可得NP￡)C=90°，???tanNPCD=^=5，.?.CD=2P。,

設(shè)PD=1,則CD=2,PA=AD=AB=1,

取AO的中點(diǎn)。，連接P0,過。作A3的平行線,

可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz,

(3

所以。3=(1,1,0),,BM=——,0,

4

%+y=0

n-DB-0

設(shè)〃=(蒼y,z)為平面的法向量，貝!!{，即｛1百,

n-PB=0—x+y-------z=0

22

取x=3,則〃=(3,—3,—6)為平面的一個(gè)法向量,

/nBM-3_277

..COS(n,BM)=—?—zz|

?\n\\BM\亞義是7

2

則直線BM與平面PDB所成角的正弦值為巫.

7

點(diǎn)睛：判定直線和平面垂直的方法:①定義法.②利用判定定理：一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該

直線和此平面垂直.③推論：如果在兩條平行直線中，有一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條直線也垂直于這個(gè)平面.平

面與平面垂直的判定方法:①定義法.②利用判定定理：一個(gè)平面過另一個(gè)平面的一條垂線，則這兩個(gè)平面垂直.

18、(1)a＜l；(2)證明見解析

【解析】

InY1nX

(1)由/(%)W0恒成立，可得—-^恒成立，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)g(x)=x--求導(dǎo)可判斷出g(E?的單調(diào)性，

XX

進(jìn)而可求出g(x)的最小值g(x)min，令。＜g(x)min即可；

(2)由八X)=—2廠+">+1,可知存在唯一的與e(0,+8),使得1(%)=0,則—2焉+質(zhì)+1=0,a=2%-工,

Xxo

進(jìn)而可得即曲線M的方程為y=lnx+%2—1,進(jìn)而只需證明對任意左wR,方程

Inx+f—1=區(qū)有唯一解，然后構(gòu)造函數(shù)尸(x)=lnx+x2—履―1,分左＜0、0＜女＜20和左＞2行三種情況，

分別證明函數(shù)尸(x)在(0,+8)上有唯一的零點(diǎn)，即可證明結(jié)論成立.

【詳解】

Inx

(1)由題意，可知%＞0,由/(x)W0恒成立，可得——^恒成立.

X

./、Inx…，X2-1+lnx

令g(x)=x-------,貝!!/(%)=

xx2

令h(x)=x2-1+Inx,貝！Ihr(x)=2x+—

x9

0,.?.〃(%)>0,

)(尤)=/一1+in尤在(0,+8)上單調(diào)遞增，又A(l)=0,

xe(0,l)時(shí)，h(x)<0；xe(l,+8)時(shí)，h(x)>0,

即xe(0,l)時(shí)，g'(x)<0；xe(l,+oo)時(shí)，g\x)>0,

.?.xe(0,l)時(shí)，g?)單調(diào)遞減；xe(l,+8)時(shí)，gO)單調(diào)遞增，

:.x=l時(shí),g(x)取最小值g⑴=1,

(2)證明：由/(x)=1-2x+a=—2廠+依+1,令T(x)=—2/+辦+1,

XX

由7(0)=1>0,結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)可知，存在唯一的毛￡(0,+8),使得((%)=0,故/(%)存在唯一的極值點(diǎn)％,

C1

貝?。菀?%；9+ox。+1=0,1=2%-----,

22

/./(x0)=In-x0+axQ=Inx0+x0-1,

曲線〃的方程為y=lnx+x2—i.

故只需證明對任意上eR,方程lnx+尤2—1=所有唯一解.

令R(x)=lnx+x2—依—1,則/(%)=±+2%-左=三_竺二，

XX

①當(dāng)上40時(shí)，b'(x)>0恒成立，??.R(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

eA<l,e2A<1,二F(e*)=左+e?*—左上一1=左(1—e,+e2*—1<0,

產(chǎn)⑴=—心0,.?.存在，滿足時(shí)，使得/⑺=0.

又F(x)單調(diào)遞增，所以％=/為唯一解.

②當(dāng)0〈人W2后時(shí)，二次函數(shù)了=2f--+1,滿足八=%2_840，

則9(工)>0恒成立，二/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

F(l)=-k<Q,F(e3)=3+e6-fe3-l=(e3-V2)2+e3(2V2-k)>0,

二存在re(l,e3)使得F⑺=0,

又b(x)在(0,+s)上單調(diào)遞增，.?.%=/為唯一解.

③當(dāng)人>2&時(shí)，二次函數(shù)y=2%2——+1,滿足A=^—8>0,

此時(shí)尸（%）=。有兩個(gè)不同的解占,當(dāng),不妨設(shè)％<%，

列表如下:

X（0,須）X|(不㈤%(無2，+°°)

F,M+0—0+

F(x)/極大值極小值7

由表可知，當(dāng)％時(shí)，/(X)的極大值為尸(%)=111%+X12-打一1.

2xj2-A%]+1=0,/.F(Xj)=InXj-Xj2-2,

0<x.<—<，.,.In%<+2,

2

2

F(Xj)=lnx1-%j-2<0,F(X2)<F(x1)<0.

尸(e")=r+e?"—ke!"2—1=(e〃—左)e"+左?—1?

下面來證明e#-左〉0，

[,2]

構(gòu)造函數(shù)加(％)=x2-Inx(x>2A/2),則m'(x)=lx——=-......

xx

.??當(dāng)元￡(2夜,+oo)時(shí)，m(x)>0,此時(shí)加(%)單調(diào)遞增，

m(x)>m(2y/2)=8--ln2>0,

二xe(2"+co)時(shí)，%2>\nx>e?>elnx=%?

故/-n>0成立.

???F(e〃)=(I2-k)e『+k2-l>0>

???存在人(w，/),使得在⑺=0.

又/（均在（々,+8）單調(diào)遞增，:.1=，為唯一解.

所以，對任意ZeR,方程lnx+V-1=近有唯一解，即過原點(diǎn)任意的直線>=丘與曲線〃有且僅有一個(gè)公共點(diǎn).

【點(diǎn)睛】

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，考查不等式恒成立問題，考查利用單調(diào)性研究圖象交點(diǎn)問題，考查學(xué)生的

計(jì)算求解能力與推理論證能力，屬于難題.

214

19、(1){%e7?|-2<x<4)(2)(-00,--]1[—,+<?)

【解析】

(1)當(dāng)。=1時(shí)，利用含有一個(gè)絕對值不等式的解法，求得不等式的解集.(2)對。分成。>2和。<2兩類，利用零

點(diǎn)分段法去絕對值，將/(%)表示為分段函數(shù)的形式，求得了(%)的最小值，進(jìn)而求得。的取值范圍.

【詳解】

(1)當(dāng)a=2時(shí)，/(x)=3|%-l|

由得K-心3

由|尤-1區(qū)3得—3Wx-1W3

解：-3<x-l<3,得-2WxW4

.?.當(dāng)a=2時(shí)，關(guān)于x的不等式/(尤)49的解集為{xeR|-24尤W4}

3%—3〃+3,%>2〃一3

(2)①當(dāng)〃〉2時(shí)，—<2(1—3,/(%)=<%+〃一3,—VxV2a—3

2

___a

~3x+3ci—3,x<一

2

所以/(力在-8,g上是減函數(shù)，在于+°0]是增函數(shù)，所以小心=/]￡|=?一3,

由題設(shè)得天—324,解得aN—.②當(dāng)。<2時(shí)，同理求得a<一一.

233

(214

綜上所述，。的取值范圍為-8,+s

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查含有一個(gè)絕對值不等式的求法，考查利用零點(diǎn)分段法解含有兩個(gè)絕對值的不等式，屬于中檔題.

20、(1)>2=4%(2)m=2019

【解析】

（1）設(shè)出直線的方程，再與拋物線聯(lián)立方程組，進(jìn)而求得點(diǎn)A,3的坐標(biāo)，結(jié)合弦長即可求得拋物線的方程；

（2）設(shè)直線的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理可得內(nèi)+左=4,可得4+1之間的關(guān)系，再運(yùn)用「一=1=7進(jìn)行裂項(xiàng),

可求得$2020，解不等式求得團(tuán)的值?

【詳解】

解：（1）設(shè)過拋物線焦點(diǎn)的直線方程為了=女（犬-5）,

與拋物線方程聯(lián)立得：左2/一（4220X+&互=0,

4

n2

設(shè)A4,%）,3（々，%），%%=—，

所以A（節(jié)/P）,咤岑P）/2P2=3p2,

：.P=2,

所以拋物線方程為y2=4x

(2)設(shè)直線方程為x=77Z(y—1),—1),

\/=4x

2

y-Amy+4m=0,yxy2=4m,%+%=4根，

k2+^=—+—=4,

%%2

22

.-.-16an+1+(4an+2)=4,a?+l-an+an=an(an+l),

.1111

a

'>?,,+l4(4+1)n4+1'

.?工=1_J-),

4+1an4+1，

S2020=2020(--—+—-—+—------)=2020-1+