2024年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)真題分類(lèi)匯編：圓的基本概念與性質(zhì)

6.1圓的基本概念與性質(zhì)

一、垂徑定理及其推論

1.（2022安徽中考第7題）己知。。的半徑為7,48是。。的弦，點(diǎn)尸在弦AB上.若以=4,PB=6,則

OP=（）

A.714B.4C.V23D.5

2.（2023安徽中考第20題）已知四邊形ABCD內(nèi)接于（對(duì)角線(xiàn)是「。的直徑.

（1）如圖1,連接。AC4,若。求證；C4平分/BCD；

（2汝口圖2,E為；。內(nèi)一點(diǎn)，滿(mǎn)足AE，BC,CE，A3,若BD=3布,AE=3,求弦8C的長(zhǎng).

3.（2021安徽中考第20題）如圖，圓。中兩條互相垂直的弦AB,CD交于點(diǎn)、E.

（l）M是C。的中點(diǎn)，0M=3,CD=12,求圓。的半徑長(zhǎng)；

（2）點(diǎn)尸在CD上，且CE=ER求證：AF±BD.

4.（2018安徽中考第2。題）如圖，。。為銳角AABC的外接圓，半徑為5.

（1）用尺規(guī)作圖作出N3AC的平分線(xiàn)，并標(biāo)出它與劣弧BC的交點(diǎn)E（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）;

（2）若（1）中的點(diǎn)E到弦8C的距離為3,求弦CE的長(zhǎng).

5.（2014安徽中考第19題）如圖，在。。中，半徑OC與弦AB垂直，垂足為區(qū)以O(shè)C為直徑的圓與弦

A8的一個(gè)交點(diǎn)為凡。是CF延長(zhǎng)線(xiàn)與。。的交點(diǎn).若。E=4,OF=6,求。。的半徑和CD的長(zhǎng).

6.（2019安徽中考第19題）筒車(chē)是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具.如圖1,明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政

全書(shū)》中用圖畫(huà)描繪了筒車(chē)的工作原理.如圖2,筒車(chē)盛水桶的運(yùn)行軌跡是以軸心。為圓心的圓.已知圓心在

水面上方，且圓被水面截得的弦AB長(zhǎng)為6米，ZOAB=41.3°,若點(diǎn)C為運(yùn)行軌道的最高點(diǎn)（C,O的連線(xiàn)

垂直于AB）,求點(diǎn)C到弦AB所在直線(xiàn)的距離.（參考數(shù)據(jù)：sin41.3°~0.66,cos41.3°=0.75,tan41.3°~0.88）

圖1

二、圓周角定理及其推論

7.（2021安徽中考第13題）如圖，圓。的半徑為1,ABC內(nèi)接于圓。.若NA=60。，4=75。，則48=

O.

BC

8.（2014安徽中考第19題）如圖，在。。中，半徑OC與弦A8垂直，垂足為E,以O(shè)C為直徑的圓與弦

AB的一個(gè)交點(diǎn)為F。是CF延長(zhǎng)線(xiàn)與。。的交點(diǎn).若OE=4,OF=6,求。。的半徑和CD的長(zhǎng).

三、與圓的基本性質(zhì)相關(guān)的最值問(wèn)題

9.（2016安徽中考第10題）如圖，RtAABC+，ABLBC,AB=6,BC=4,P是△ABC內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),

且滿(mǎn)足則線(xiàn)段CP長(zhǎng)的最小值為（）

「8后D*

I.--------

13

10.（2015安徽中考第20題）在。O中，直徑AB=6,BC是弦，ZABC=30°,點(diǎn)P在BC上，點(diǎn)Q在。O

上，MOP±PQ.

（1）如圖1,當(dāng)PQ〃AB時(shí)，求PQ的長(zhǎng)度；

（2）如圖2,當(dāng)點(diǎn)P在BC上移動(dòng)時(shí)，求PQ長(zhǎng)的最大值.

參考答案與解析

一、垂徑定理及其推論

1.(2022安徽中考第7題)已知。。的半徑為7,A8是。。的弦，點(diǎn)尸在弦AB上.若以=4,PB=6,則

OP=()

A.714B.4C..x/23D.5

【答案】D

【詳解】解：連接。4過(guò)點(diǎn)。作0c148于點(diǎn)C,如圖所示，

'：PA=4,PB=6,

：.AB=PA+PB=4+6=10,

'.AC=BC=-AB-5,

2

：.PC^AC-PA=5-4=1,

在RSTIOC中，OC=VCM2一心=夜2-52=2傷,

在RtAPOC中，OP=70c2+PC2=J（2佝之+p=5,

故選：D

2.（2023安徽中考第20題）已知四邊形ABCD內(nèi)接于（。，對(duì)角線(xiàn)8。是。的直徑.

圖I圖2

（1）如圖1,連接。4,C4,若OAJLBD,求證；C4平分NBCD；

（2）如圖2,E為。內(nèi)一點(diǎn)，滿(mǎn)足若50=36，AE=3,求弦BC的長(zhǎng).

【答案】（1）見(jiàn)解析⑵BC=3V2

【詳解】（1）??,對(duì)角線(xiàn)BD是。。的直徑，041BD

：.AB=AD,

C./.BCA=/.DCA,

平分/BCD.

（2）：對(duì)角線(xiàn)BD是。。的直徑，

：.Z.BAD=乙BCD=90°,

：.DC1BC,DALAB

\"AE1BC,CE1AB,

：.DC||AE,DA||CE,

...四邊形力ECD平行四邊形，

：.DC=4E=3,

又,：BD=3A/3,

：.BC=J（3⑹2-32=372.

3.（2021安徽中考第20題）如圖，圓O中兩條互相垂直的弦AB,C。交于點(diǎn)E.

（1）M是CZ）的中點(diǎn)，0M=3,8=12,求圓。的半徑長(zhǎng)；

（2）點(diǎn)尸在CQ上，且CE=EF,求證：AF±BD.

【答案】（1）3V5；（2）見(jiàn)解析.

【詳解】（1）解：連接OC,

是C。的中點(diǎn)，與圓。直徑共線(xiàn)

：.0M1CD,OM平分CD,

???乙OMC=90°.

vCD=12,.-.MC=6.

在Rt△OMC中，

OC=JM(72+0M2=,62+32=3V5

...圓0的半徑為

(2)證明：連接AC,延長(zhǎng)AB交于G.

???CE=EF,AE1FC,.--AF=AC.

又?：CE=EF,.-.zl=Z2.

???—阮，，Z2=乙DZ1=乙D

在Rt△中

乙0+=90°

..?+匕8=90°

???乙AGB=90°

???AF1BD

4.（2018安徽中考第20題）如圖，。。為銳角△ABC的外接圓，半徑為5.

（1）用尺規(guī)作圖作出NBAC的平分線(xiàn)，并標(biāo)出它與劣弧的交點(diǎn)E（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）;

（2）若（1）中的點(diǎn)E到弦8C的距離為3,求弦CE的長(zhǎng).

B

【答案】（1）畫(huà)圖見(jiàn)解析；（2）CE=V30

【詳解】解：（1）如圖所示，射線(xiàn)AE就是所求作的角平分線(xiàn);

（2）連接0E交于點(diǎn)R連接。C、CE,

平分/BAC,

:.腔=CE,

：.OELBC,EF=3,：.OF=5-3=2,

在R30FC中，由勾股定理可得FC=y/OC2-0F2=42i,

在RtAEFC中，由勾股定理可得CE=7EF2+FC2=回.

5.（2014安徽中考第19題）如圖，在。。中，半徑OC與弦垂直，垂足為E,以O(shè)C為直徑的圓與弦

的一個(gè)交點(diǎn)為E。是CF延長(zhǎng)線(xiàn)與。。的交點(diǎn).若OE=4,OF=6,求。。的半徑和CO的長(zhǎng).

【答案】9,6V5

【詳解】解：'：OE±AB,

：.ZOEF=9Q°,

:oc為小圓的直徑，

AZOFC=90°,

1^ZEOF=ZFOC,

：.RtAOEF^RtAOFC,

：.OE：OF=OF-.OC,即4：6=6：OC,

二。。的半徑0C=9；

在Rt/XOCF中，0F=6,OC=9,

：.CF^yJOC2-0F2=3V5,

；OF工CD,

：.CF=DF,

:.CD=2CF=6瓜

6.（2019安徽中考第19題）筒車(chē)是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具.如圖1,明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政

全書(shū)》中用圖畫(huà)描繪了筒車(chē)的工作原理.如圖2,筒車(chē)盛水桶的運(yùn)行軌跡是以軸心O為圓心的圓.已知圓心在

水面上方，且圓被水面截得的弦AB長(zhǎng)為6米，ZOAB=41.3°,若點(diǎn)C為運(yùn)行軌道的最高點(diǎn)（C,O的連線(xiàn)

垂直于AB）,求點(diǎn)C到弦AB所在直線(xiàn)的距離.（參考數(shù)據(jù)：sin41.3°?0.66,cos41.3°?0.75,tan41.3°?0.88）

圖1

【答案】6.64米

【詳解】解：如圖：連接CO并延長(zhǎng)，交A3于點(diǎn)￡>,

"JODLAB,AB=6,

：.AD=-AB=3,

2

在RrAOAD中,/OAB=41.3。，cosZOAD=^,

?“八AD.

..AO=---------=4,

coszOAD

sinNOAD=—,

AO

：.OD=AOsinZOAD=2.64,

CD=OC+OD=AO+OD=4+2.64=6.64米，

答：點(diǎn)C到弦AB所在直線(xiàn)的距離是6.64米.

c

二、圓周角定理及其推論

7.（2021安徽中考第13題）如圖，圓。的半徑為1,內(nèi)接于圓。.若NA=60。，4=75。，則AB=

【答案】V2

【詳解】解：連接。2、OC、作。

VZ4=60°

ZBOC=2ZA=120°

'：OB=OC

.?.NOBC=30°又NB=75°

ZABO=45°

在RtAOBO中，OB=1

；.B￡)==立

2

ODLAB

：.BD=AD=^

2

：.AB=^2

故答案為：V2

8.（2014安徽中考第19題）如圖，在。。中，半徑OC與弦垂直，垂足為E,以O(shè)C為直徑的圓與弦

AB的一個(gè)交點(diǎn)為F。是CF延長(zhǎng)線(xiàn)與。。的交點(diǎn).若OE=4,OF=6,求。。的半徑和的長(zhǎng).

【詳解】M：-：OE±AB,

：.ZOEF=9Q°,

：oc為小圓的直徑，

：.NOFC=90°,

而/EOF=ZFOC,

：.RtAOEF^RtAOFC,

：.OE：OF=OF：OC,即4：6=6：OC,

二。。的半徑OC=9；

在RtZ^OCB中，。尸=6,0c=9,

CF=70C2—0F2=3A/5,

'：OF±CD,

：.CF=DF,

:.CD=2CF=6瓜

三、與圓的基本性質(zhì)相關(guān)的最值問(wèn)題

9.（2016安徽中考第10題）如圖，RtAABC+，ABLBC,AB=6,BC=4,P是△ABC內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),

且滿(mǎn)足乙R48=NPBC,則線(xiàn)段CP長(zhǎng)的最小值為（

8A

rV-?--------D"

13

【答案】B

【詳解】解：VZABC=90°,

ZABP+ZPBC=90°,

*：APAB=APBC,

：