2024年中考數(shù)學(xué)壓軸題型（江蘇專(zhuān)用）專(zhuān)題07 新定義情景題（解答壓軸題）（教師版）

PAGE1PAGE專(zhuān)題07新定義情景題（解答壓軸題）通用的解題思路：1.理解新定義：首先，你需要仔細(xì)閱讀題目，確保你完全理解題目中給出的新定義。這可能需要你反復(fù)閱讀，甚至可能需要你用自己的話重新解釋這個(gè)定義，以確保你真正理解了它。2.找出關(guān)鍵信息：在理解新定義的基礎(chǔ)上，找出題目中的關(guān)鍵信息。這可能包括給定的數(shù)值、公式、圖形或其他信息。這些信息將幫助你解決問(wèn)題。3.應(yīng)用新定義：將新定義應(yīng)用到題目中。這可能涉及到將新定義轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)表達(dá)式，或者將新定義用于解決特定的問(wèn)題。4.解決問(wèn)題：使用新定義和關(guān)鍵信息，嘗試解決問(wèn)題。這可能涉及到計(jì)算、推理、證明或其他數(shù)學(xué)技能。5.檢查答案：最后，檢查你的答案是否符合題目的要求。如果可能，你可以使用不同的方法重新計(jì)算或驗(yàn)證你的答案，以確保其正確性。1．（2023·江蘇鹽城·中考真題）定義：若一次函數(shù)的圖象與二次函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，并且都在坐標(biāo)軸上，則稱(chēng)二次函數(shù)為一次函數(shù)的軸點(diǎn)函數(shù)．【初步理解】（1）現(xiàn)有以下兩個(gè)函數(shù)：①；②，其中，_________為函數(shù)的軸點(diǎn)函數(shù)．（填序號(hào)）【嘗試應(yīng)用】（2）函數(shù)（為常數(shù)，）的圖象與軸交于點(diǎn)，其軸點(diǎn)函數(shù)與軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn).若，求的值．【拓展延伸】（3）如圖，函數(shù)（為常數(shù)，）的圖象與軸、軸分別交于，兩點(diǎn)，在軸的正半軸上取一點(diǎn)，使得.以線段的長(zhǎng)度為長(zhǎng)、線段的長(zhǎng)度為寬，在軸的上方作矩形.若函數(shù)（為常數(shù)，）的軸點(diǎn)函數(shù)的頂點(diǎn)在矩形的邊上，求的值．

【答案】（1）①；（2）或；（3）或或【分析】（1）求出函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，再判斷這兩個(gè)點(diǎn)在不在二次函數(shù)圖象上即可；（2）求出函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，再由求出點(diǎn)坐標(biāo)，代入二次函數(shù)解析式計(jì)算即可；（3）先求出，的坐標(biāo)，再根據(jù)的頂點(diǎn)在矩形的邊上分類(lèi)討論即可．【詳解】（1）函數(shù)交軸于，交軸于，∵點(diǎn)、都在函數(shù)圖象上∴①為函數(shù)的軸點(diǎn)函數(shù)；∵點(diǎn)不在函數(shù)圖象上∴②不是函數(shù)的軸點(diǎn)函數(shù)；故答案為：①；（2）函數(shù)交軸于，交軸于，∵函數(shù)的軸點(diǎn)函數(shù)∴和都在上，∵∴∵，∴∴或當(dāng)時(shí)，把代入得，解得，當(dāng)時(shí)，把代入得，解得，綜上，或；（3）函數(shù)交軸于，交軸于，∵，以線段的長(zhǎng)度為長(zhǎng)、線段的長(zhǎng)度為寬，在軸的上方作矩形∴，，,∵函數(shù)（為常數(shù)，）的軸點(diǎn)函數(shù)∴和在上∴，整理得∴∴的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∵函數(shù)的頂點(diǎn)在矩形的邊上∴可以分三種情況討論：當(dāng)與重合時(shí)；當(dāng)在上時(shí)；當(dāng)在上時(shí)；當(dāng)與重合時(shí)，即，解得；當(dāng)在上時(shí)，，整理得，解得此時(shí)二次函數(shù)開(kāi)口向下，則∴整理得：，由整理得，∴解得，∴，當(dāng)在上時(shí)，，整理得，解得∴此時(shí)對(duì)稱(chēng)軸左邊y隨x的增大而增大，∴∴整理得：∴代入、后成立∴，綜上所述，或或【點(diǎn)睛】本題綜合考查一次函數(shù)與二次函數(shù)，解題的關(guān)鍵是理解軸點(diǎn)函數(shù)的定義．2．（2023·江蘇·中考真題）綜合與實(shí)踐定義：將寬與長(zhǎng)的比值為（為正整數(shù)）的矩形稱(chēng)為階奇妙矩形．（1）概念理解：當(dāng)時(shí)，這個(gè)矩形為1階奇妙矩形，如圖（1），這就是我們學(xué)習(xí)過(guò)的黃金矩形，它的寬（）與長(zhǎng)的比值是_________．（2）操作驗(yàn)證：用正方形紙片進(jìn)行如下操作（如圖（2））：第一步：對(duì)折正方形紙片，展開(kāi)，折痕為，連接；第二步：折疊紙片使落在上，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，展開(kāi)，折痕為；第三步：過(guò)點(diǎn)折疊紙片，使得點(diǎn)分別落在邊上，展開(kāi)，折痕為．試說(shuō)明：矩形是1階奇妙矩形．

（3）方法遷移：用正方形紙片折疊出一個(gè)2階奇妙矩形．要求：在圖（3）中畫(huà)出折疊示意圖并作簡(jiǎn)要標(biāo)注．（4）探究發(fā)現(xiàn)：小明操作發(fā)現(xiàn)任一個(gè)階奇妙矩形都可以通過(guò)折紙得到．他還發(fā)現(xiàn)：如圖（4），點(diǎn)為正方形邊上（不與端點(diǎn)重合）任意一點(diǎn)，連接，繼續(xù)（2）中操作的第二步、第三步，四邊形的周長(zhǎng)與矩形的周長(zhǎng)比值總是定值．請(qǐng)寫(xiě)出這個(gè)定值，并說(shuō)明理由．【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析；（3），理由見(jiàn)解析【分析】（1）將代入，即可求解．（2）設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，根據(jù)折疊的性質(zhì)，可得，設(shè)，則，在中，勾股定理建立方程，解方程，即可求解；（3）仿照（2）的方法得出2階奇妙矩形．（4）根據(jù)（2）的方法，分別求得四邊形的周長(zhǎng)與矩形的周長(zhǎng)，即可求解．【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，，故答案為：．（2）如圖（2），連接，

設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，根據(jù)折疊的性質(zhì)，可得設(shè)，則根據(jù)折疊，可得，，在中，，∴，在中，∴解得：∴∴矩形是1階奇妙矩形．（3）用正方形紙片進(jìn)行如下操作（如圖）：第一步：對(duì)折正方形紙片，展開(kāi)，折痕為，再對(duì)折，折痕為，連接；第二步：折疊紙片使落在上，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，展開(kāi)，折痕為；第三步：過(guò)點(diǎn)折疊紙片，使得點(diǎn)分別落在邊上，展開(kāi)，折痕為．矩形是2階奇妙矩形，

理由如下，連接，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，根據(jù)折疊可得，則，

設(shè)，則根據(jù)折疊，可得，，在中，，∴，在中，∴解得：∴當(dāng)時(shí)，∴矩形是2階奇妙矩形．（4）如圖（4），連接誒，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為1，設(shè)，則，

設(shè)，則根據(jù)折疊，可得，，在中，，∴，在中，∴整理得，∴四邊形的邊長(zhǎng)為矩形的周長(zhǎng)為，∴四邊形的周長(zhǎng)與矩形的周長(zhǎng)比值總是定值【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的折疊問(wèn)題，勾股定理，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2023·江蘇南通·中考真題）定義：平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)，若，，其中為常數(shù)，且，則稱(chēng)點(diǎn)是點(diǎn)的“級(jí)變換點(diǎn)”．例如，點(diǎn)是點(diǎn)的“級(jí)變換點(diǎn)”．(1)函數(shù)的圖象上是否存在點(diǎn)的“級(jí)變換點(diǎn)”?若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由；(2)點(diǎn)與其“級(jí)變換點(diǎn)”分別在直線，上，在，上分別取點(diǎn)，．若，求證：；(3)關(guān)于x的二次函數(shù)的圖象上恰有兩個(gè)點(diǎn)，這兩個(gè)點(diǎn)的“1級(jí)變換點(diǎn)”都在直線上，求n的取值范圍．【答案】(1)存在，(2)見(jiàn)解析(3)n的取值范圍為且【分析】（1）根據(jù)“級(jí)變換點(diǎn)”定義求解即可；（2）求出點(diǎn)的坐標(biāo)為，得到直線，的解析式分別為和，根據(jù)進(jìn)行證明．（3）由題意得，二次函數(shù)的圖象上的點(diǎn)的“1級(jí)變換點(diǎn)”都在函數(shù)的圖象上，得到函數(shù)的圖象與直線必有公共點(diǎn)．分當(dāng)時(shí)和當(dāng)，時(shí)分類(lèi)討論即可．【詳解】（1）解：函數(shù)的圖象上存在點(diǎn)的“級(jí)變換點(diǎn)”根據(jù)“級(jí)變換點(diǎn)”定義，點(diǎn)的“級(jí)變換點(diǎn)”為，把點(diǎn)代入中，得，解得．（2）證明：點(diǎn)為點(diǎn)的“級(jí)變換點(diǎn)”，點(diǎn)的坐標(biāo)為．直線，的解析式分別為和．當(dāng)時(shí)，．，．，．．（3）解：由題意得，二次函數(shù)的圖象上的點(diǎn)的“1級(jí)變換點(diǎn)”都在函數(shù)的圖象上．由，整理得．，函數(shù)的圖象與直線必有公共點(diǎn)．由得該公共點(diǎn)為．①當(dāng)時(shí)，由得．又得，且．②當(dāng)，時(shí)，兩圖象僅有一個(gè)公共點(diǎn)，不合題意，舍去．綜上，n的取值范圍為且．【點(diǎn)睛】本題考查解一元一次不等式，根據(jù)題意理解新定義是解題的關(guān)鍵．4．（2022·江蘇泰州·中考真題）定義：對(duì)于一次函數(shù)，我們稱(chēng)函數(shù)為函數(shù)的“組合函數(shù)”.(1)若m=3，n=1，試判斷函數(shù)是否為函數(shù)的“組合函數(shù)”，并說(shuō)明理由;(2)設(shè)函數(shù)與的圖像相交于點(diǎn)P.①若，點(diǎn)P在函數(shù)的“組合函數(shù)”圖像的上方，求p的取值范圍；②若p≠1，函數(shù)的“組合函數(shù)”圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)P.是否存在大小確定的m值，對(duì)于不等于1的任意實(shí)數(shù)p，都有“組合函數(shù)”圖像與x軸交點(diǎn)Q的位置不變?若存在，請(qǐng)求出m的值及此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)是函數(shù)的“組合函數(shù)”(2)①；②存在，見(jiàn)詳解【分析】（1）把m=3，n=1代入組合函數(shù)中，化簡(jiǎn)后進(jìn)行判斷即可；（2）①先求出點(diǎn)P的坐標(biāo)和“組合函數(shù)”，把代入“組合函數(shù)”，再根據(jù)題意，列不等式求解即可；②將點(diǎn)P代入“組合函數(shù)”，整理得m+n=1，把n=1-m代入“組合函數(shù)”，消去n，把y=0代入解一元一次方程即可求解．【詳解】（1）解：是函數(shù)的“組合函數(shù)”，理由：由函數(shù)的“組合函數(shù)”為：，把m=3，n=1代入上式，得，函數(shù)是函數(shù)的“組合函數(shù)”；（2）解：①解方程組得，函數(shù)與的圖像相交于點(diǎn)P，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，的“組合函數(shù)”為，，，點(diǎn)P在函數(shù)的“組合函數(shù)”圖像的上方，，整理，得，，，p的取值范圍為；②存在，理由如下：函數(shù)的“組合函數(shù)”圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)P．將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入“組合函數(shù)”，得，，，，，將代入=，把y=0代入，得解得：，設(shè)，則，，對(duì)于不等于1的任意實(shí)數(shù)p，存在“組合函數(shù)”圖像與x軸交點(diǎn)Q的位置不變．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，一次函數(shù)與不等式的關(guān)系，一次函數(shù)與一元一次方程，正確理解“組合函數(shù)”的定義是解本題的關(guān)鍵．5．（2021·江蘇南通·中考真題）定義：若一個(gè)函數(shù)圖象上存在橫、縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)，則稱(chēng)該點(diǎn)為這個(gè)函數(shù)圖象的“等值點(diǎn)”．例如，點(diǎn)是函數(shù)的圖象的“等值點(diǎn)”．（1）分別判斷函數(shù)的圖象上是否存在“等值點(diǎn)”？如果存在，求出“等值點(diǎn)”的坐標(biāo)；如果不存在，說(shuō)明理由；（2）設(shè)函數(shù)的圖象的“等值點(diǎn)”分別為點(diǎn)A，B，過(guò)點(diǎn)B作軸，垂足為C．當(dāng)?shù)拿娣e為3時(shí)，求b的值；（3）若函數(shù)的圖象記為，將其沿直線翻折后的圖象記為．當(dāng)兩部分組成的圖象上恰有2個(gè)“等值點(diǎn)”時(shí)，直接寫(xiě)出m的取值范圍．【答案】（1）函數(shù)y=x+2沒(méi)有“等值點(diǎn)”；函數(shù)的“等值點(diǎn)”為(0，0)，(2，2)；（2）或；（3）或．．【分析】（1）根據(jù)定義分別求解即可求得答案；（2）根據(jù)定義分別求A(，)，B(，)，利用三角形面積公式列出方程求解即可；（3）由記函數(shù)y=x2-2（x≥m）的圖象為W1，將W1沿x=m翻折后得到的函數(shù)圖象記為W2，可得W1與W2的圖象關(guān)于x=m對(duì)稱(chēng)，然后根據(jù)定義分類(lèi)討論即可求得答案．【詳解】解：（1）∵函數(shù)y=x+2，令y=x，則x+2=x，無(wú)解，∴函數(shù)y=x+2沒(méi)有“等值點(diǎn)”；∵函數(shù)，令y=x，則，即，解得：，∴函數(shù)的“等值點(diǎn)”為(0，0)，(2，2)；（2）∵函數(shù)，令y=x，則，解得：(負(fù)值已舍)，∴函數(shù)的“等值點(diǎn)”為A(，)；∵函數(shù)，令y=x，則，解得：，∴函數(shù)的“等值點(diǎn)”為B(，)；的面積為，即，解得：或；（3）將W1沿x=m翻折后得到的函數(shù)圖象記為W2．∴W1與W2兩部分組成的函數(shù)W的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，∴函數(shù)W的解析式為，令y=x，則，即，解得：，∴函數(shù)的“等值點(diǎn)”為(-1，-1)，(2，2)；令y=x，則，即，當(dāng)時(shí)，函數(shù)W的圖象不存在恰有2個(gè)“等值點(diǎn)”的情況；當(dāng)時(shí)，觀察圖象，恰有2個(gè)“等值點(diǎn)”；當(dāng)時(shí)，∵W1的圖象上恰有2個(gè)“等值點(diǎn)”(-1，-1)，(2，2)，∴函數(shù)W2沒(méi)有“等值點(diǎn)”，∴，整理得：，解得：．綜上，m的取值范圍為或．【點(diǎn)睛】本題屬于二次函數(shù)的綜合題，考查了二次函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)的性質(zhì)以及函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性．解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問(wèn)題需要的條件．1．在平面直角坐標(biāo)系中，的半徑為，對(duì)于直線和線段，給出如下定義：若線段關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)圖形是的弦（，分別為，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)），則稱(chēng)線段是關(guān)于直線的“對(duì)稱(chēng)弦”(1)如圖，點(diǎn)，，，，，的橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)．線段，，中，是關(guān)于直線的“對(duì)稱(chēng)弦”的是；(2)是關(guān)于直線的“對(duì)稱(chēng)弦”，若點(diǎn)的坐標(biāo)為，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)已知直線和點(diǎn)，若線段是關(guān)于直線的“對(duì)稱(chēng)弦”，且，直接寫(xiě)出的值．【答案】(1)(2)或(3)或【分析】（1）根據(jù)題中定義即可畫(huà)圖得出；（2）根據(jù)題意可得直線垂直平分，，結(jié)合點(diǎn)的坐標(biāo)，推得點(diǎn)在上，即可得出點(diǎn)是與交點(diǎn)，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和勾股定理即可求得點(diǎn)、的坐標(biāo)；（3）結(jié)合（2）可得點(diǎn)是點(diǎn)與交點(diǎn)，先求出直線與，軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合三角形的面積求得的值，根據(jù)銳角三角函數(shù)可求得點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式即可列出方程，解方程即可．【詳解】（1）解：如圖所示：∴關(guān)于直線的“對(duì)稱(chēng)弦”的是線段；（2）解：設(shè)點(diǎn)，關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為,，∴直線垂直平分，，∵是關(guān)于直線的“對(duì)稱(chēng)弦”，∴,在上，∵點(diǎn)的坐標(biāo)為，即點(diǎn)在上，∵直線經(jīng)過(guò)圓心，∴點(diǎn)也在上，∵，故點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上，如圖：與交于點(diǎn)與點(diǎn)；∵，即是等邊三角形，故點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，同理，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為或；（3）解：設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為,∴直線垂直平分，∵線段是關(guān)于直線的“對(duì)稱(chēng)弦”，∴在上，由（2）可得點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上，又∵，即；令直線與，軸交于點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)作直線交于點(diǎn)，點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，如圖：令，則，即點(diǎn)，,令，則，即點(diǎn)，，則，則，∴，∵，，∴，∵，∴，∵，，∴，，∴，，即點(diǎn)的坐標(biāo)為，∵，；∴，整理得：，解得：或，故的值為或．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問(wèn)題，解直角三角形，勾股定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)等，正確理解新定義的含義，靈活應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．2．在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于圖形與圖形給出如下定義：為圖形上任意一點(diǎn)，將圖形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，將所有組成的圖形記作，稱(chēng)是圖形關(guān)于圖形的“關(guān)聯(lián)圖形”．(1)已知，，，其中．若，請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出點(diǎn)關(guān)于線段的“關(guān)聯(lián)圖形”；若點(diǎn)關(guān)于線段的“關(guān)聯(lián)圖形”與坐標(biāo)軸有公共點(diǎn)，直接寫(xiě)出的取值范圍；(2)對(duì)于平面上一條長(zhǎng)度為的線段和一個(gè)半徑為的圓，點(diǎn)在線段關(guān)于圓的“關(guān)聯(lián)圖形”上，記點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值和最小值的差為，當(dāng)這條線段和圓的位置變化時(shí)，直接寫(xiě)出的取值范圍（用含和的式子表示）．【答案】(1)①見(jiàn)詳解；②或(2)【分析】（）根據(jù)新定義找出關(guān)鍵點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)后連接即可；同上理分情況討論即可；（）畫(huà)出分析圖，如圖所示，線段的長(zhǎng)度為，圓的半徑為，易得且相似比為，再移動(dòng)圖形即可求出；本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，圓的有關(guān)性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：如圖所示：線段即為所求；如圖：當(dāng)時(shí)，點(diǎn)關(guān)于線段的“關(guān)聯(lián)圖形”與軸恰有公共點(diǎn)，∴時(shí)，點(diǎn)關(guān)于線段的“關(guān)聯(lián)圖形”與軸有公共點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)關(guān)于線段的“關(guān)聯(lián)圖形”與軸恰有公共點(diǎn)，∴時(shí)，點(diǎn)關(guān)于線段的“關(guān)聯(lián)圖形”與軸有公共點(diǎn)；綜上所述：或；（2）如圖，畫(huà)出分析圖，如圖所示，線段的長(zhǎng)度為，圓的半徑為，點(diǎn)分別繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，分析可知且相似比為，可得圓的半徑均為，隨意轉(zhuǎn)動(dòng)圖，可得．3．定義：在平面直角坐標(biāo)系中，若某函數(shù)圖象上至少存在不同的兩點(diǎn)關(guān)于直線（n為常數(shù)）對(duì)稱(chēng)，則稱(chēng)該函數(shù)為“函數(shù)”．(1)在下列函數(shù)中，是“函數(shù)”的有（填序號(hào)）．①；②；③；④(2)若關(guān)于x的函數(shù)是“函數(shù)”，且圖象與直線相交于A，B兩點(diǎn)，函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為P，當(dāng)時(shí)，求h，k的值．(3)若關(guān)于x的函數(shù)是函數(shù)，且過(guò)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值與最小值的差為2，求t的值．【答案】(1)④(2)，(3)或【分析】（1）由定義即可求解；（2）證明、、是等腰直角三角形，得到，即可求解；（3）由新定義得到“函數(shù)”為，再分類(lèi)求解即可．【詳解】（1）由定義知，整個(gè)圖象關(guān)于成軸對(duì)稱(chēng)，符合題設(shè)的條件，其他都不符合新定義的要求．故答案為：④；（2）如圖：根據(jù)題意，，則，，函數(shù)的圖象與直線相交于、兩點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，設(shè)，，聯(lián)立兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式得：，整理得：，，，且，則，根據(jù)該函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)得，，，，、、是等腰直角三角形，點(diǎn)到的距離為，，由得，（舍去），；（3）由題意，得，解得，此“函數(shù)”為，①當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，解得：；②當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則，解得：；③當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則，解得：（舍去）；④當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則，解得：（舍去）；綜上所述：或．【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到新定義、等腰直角三角形的性質(zhì)、軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)等，分類(lèi)求解是解題的關(guān)鍵．4．定義：一組鄰邊相等且對(duì)角互補(bǔ)的四邊形叫作“等補(bǔ)四邊形”．如圖1，四邊形中，，，則四邊形叫作“等補(bǔ)四邊形”．(1)概念理解①在以下四種圖形中，一定是“等補(bǔ)四邊形”的是（

）A．平行四邊形

B．菱形

C．矩形

D．正方形②等補(bǔ)四邊形中，若，則；③如圖1，在四邊形中，平分，，．求證：四邊形是等補(bǔ)四邊形．(2)探究發(fā)現(xiàn)如圖2，在等補(bǔ)四邊形中，，連接，是否平分？請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)拓展應(yīng)用如圖3，在等補(bǔ)四邊形中，，其外角的平分線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)①D；②；③見(jiàn)解析(2)平分，理由見(jiàn)解析(3)．【分析】（1）①判斷圖形是否滿足“等補(bǔ)四邊形”的對(duì)角互補(bǔ)，鄰邊相等的條件；②利用“等補(bǔ)四邊形”的對(duì)角互補(bǔ)，列式計(jì)算即可求解；③在上截取，證明，推出，．據(jù)此即可證明結(jié)論成立；（2）過(guò)點(diǎn)分別作于，于，證明，推出，根據(jù)角平分線的判定定理即可得解；（3）連接，由（2）知，平分，證得，再證明，利用相似三角形的性質(zhì)列式計(jì)算即可求解．【詳解】（1）解：①平行四邊形的對(duì)角相等，不一定互補(bǔ)，對(duì)邊相等，鄰邊不一定相等，平行四邊形不一定是等補(bǔ)四邊形；菱形四邊相等，對(duì)角相等，但不一定互補(bǔ)，菱形不一定是等補(bǔ)四邊形；矩形對(duì)角互補(bǔ)，但鄰邊不一定相等，矩形不一定是等補(bǔ)四邊形；正方形四個(gè)角是直角，四條邊相相等，正方形一定是等補(bǔ)四邊形，故選：D；②等補(bǔ)四邊形對(duì)角互補(bǔ)，，設(shè)，∴，解得，∴，∴，故答案為：；③證明：在上截取，連接，如圖1，在和中，，，，．，．．，，又，四邊形是等補(bǔ)四邊形；（2）解：平分，理由如下，如圖2，過(guò)點(diǎn)分別作于，于，則，四邊形是等補(bǔ)四邊形，，又，，，，，是的平分線（在角的內(nèi)部且到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角平分線上），即平分．（3）解：連接，∵等補(bǔ)四邊形中，，由（2）知，平分，∵四邊形是等補(bǔ)四邊形，∴，又，∴，∵是的平分線，∴，∵，∴，∴，即，解得．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的判定，“等補(bǔ)四邊形”的概念，正確引出輔助線解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．5．新定義：已知拋物線（其中），我們把拋物線稱(chēng)為的“輪換拋物線”．例如：拋物線的“輪換拋物線”為．已知拋物線：的“輪換拋物線”為，拋物線、與軸分別交于點(diǎn)、，點(diǎn)在點(diǎn)的上方，拋物線的頂點(diǎn)為．(1)如果點(diǎn)的坐標(biāo)為，求拋物線的表達(dá)式；(2)設(shè)拋物線的對(duì)稱(chēng)軸與直線相交于點(diǎn)，如果四邊形為平行四邊形，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)已知點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，求的值．【答案】(1)(2)(3)或【分析】本題考查的是二次函數(shù)綜合題，重點(diǎn)考查二次函數(shù)的性質(zhì)、平行四邊形性質(zhì)及相似三角形性質(zhì)，（1）將點(diǎn)代入表達(dá)式，求出m的值，根據(jù)“輪換拋物線”定義寫(xiě)出即可；（2）根據(jù)輪換拋物線定義得出拋物線表達(dá)式及點(diǎn)E、F坐標(biāo)，并求出P、Q坐標(biāo)，根據(jù)平行四邊形性質(zhì)得出列方程并解出m值，進(jìn)而解決問(wèn)題；（3）先求，結(jié)合求出的點(diǎn)P、E、F坐標(biāo)得出及，根據(jù)相似三角形性質(zhì)得出關(guān)于m的方程，解方程即可解決．【詳解】（1）解：拋物線：與軸交于點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)，代入，得，，拋物線表達(dá)式為，拋物線的“輪換拋物線”為表達(dá)式為；（2）解：拋物線：，當(dāng)時(shí)，，即與y軸交點(diǎn)為，拋物線：的“輪換拋物線”為，拋物線表達(dá)式為，同理拋物線與y軸交點(diǎn)為，拋物線對(duì)稱(chēng)軸為直線，當(dāng)時(shí)，，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸與直線交點(diǎn)，點(diǎn)在點(diǎn)的上方，，解得：，，四邊形為平行四邊形，，即，解得：，；（3）解：點(diǎn)在拋物線上，當(dāng)時(shí)，，即，點(diǎn)坐標(biāo)為，，，，，，，，，，解得：．6．定義概念：在平面直角坐標(biāo)系中，我們定義直線為拋物線的“衍生直線”．如圖1，拋物線與其“衍生直線”交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)B在x軸上，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)．

(1)求拋物線和“衍生直線”的表達(dá)式及點(diǎn)A的坐標(biāo)；(2)如圖2，拋物線的“衍生直線”與y軸交于點(diǎn)，依次作正方形，正方形，…，正方形（n為正整數(shù)），使得點(diǎn)，，，…，在“衍生直線”上，點(diǎn)，，，…，在x軸負(fù)半軸上．①直接寫(xiě)出下列點(diǎn)的坐標(biāo)：______，______，______，______；②試判斷點(diǎn)，，…，是否在同一條直線上？若是，請(qǐng)求出這條直線的解析式；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)拋物線的表達(dá)式為，“衍生直線”的表達(dá)式為，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2)①，，，；②是，這條直線的解析式為【分析】（1）由題意可知，再根據(jù)“衍生直線”的定義可知“衍生直線”的表達(dá)式為．進(jìn)而可求出點(diǎn)B的坐標(biāo)．由拋物線與x軸交于點(diǎn)，，即可直接得出拋物線的表達(dá)式為．聯(lián)立、，解之即可求出點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2）①根據(jù)題意可求出，即得出．結(jié)合正方形的性質(zhì)可得出，即可求出．再根據(jù)點(diǎn)，，，…，在直線上，可求出，從而可求出，同理得出，…，；②由，令，，結(jié)合冪的運(yùn)算法則即可得出這條直線的表達(dá)式．【詳解】（1）解：拋物線為，，“衍生直線”的表達(dá)式為．“衍生直線”與x軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)B的坐標(biāo)為．拋物線與x軸交于點(diǎn)，，拋物線的表達(dá)式為．令，解得或，把代入，得，點(diǎn)A的坐標(biāo)為；（2）解：①對(duì)于，令，則，∴，∴．∵四邊形為正方形，∴，∴．∵點(diǎn)，，，…，在“衍生直線”上，即在直線上，∴，∴．同理可求出，…，．故答案為：，，，；②點(diǎn)，，…，在同一條直線上．令，，∴，∴，這條直線的表達(dá)式為．【點(diǎn)睛】本題為二次函數(shù)和一次函數(shù)的綜合題，考查二次函數(shù)和一次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，正方形的性質(zhì)，冪的運(yùn)算，坐標(biāo)與圖形等知識(shí)．理解題意，掌握“衍生直線”的定義是解題關(guān)鍵．7．定義：若一個(gè)三角形的面積是另一個(gè)三角形面積的倍，就說(shuō)這個(gè)三角形是另一個(gè)三角形的“倍三角形”，另一個(gè)三角形是這個(gè)三角形的“分之一三角形”．如圖1，的中線把三角形分成面積相等的兩部分，即和的面積都是面積的一半，所以是或的“2倍三角形”，和都是的“2分之一三角形”．(1)①如圖2，是的“2倍三角形”，那么是的“________分之一三角形”；②若點(diǎn)是的重心，連接，，則是的“________倍三角形”；(2)在中，，分別延長(zhǎng)邊，到點(diǎn)，，連接．已知，是的“16倍三角形”．求證：與是相似三角形；(3)如圖3，在矩形中，，連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，點(diǎn)，分別是線段，上的動(dòng)點(diǎn)，連接，．已知是的“4倍三角形”，求的最小值．【答案】(1)①3；②3(2)見(jiàn)解析(3)【分析】（1）①首先根據(jù)題意得到的面積是面積的3倍，然后根據(jù)“分之一三角形”的概念求解即可；②根據(jù)題意畫(huà)出圖形，設(shè)，求出，然后根據(jù)三角形重心的性質(zhì)和中線的性質(zhì)表示出，進(jìn)而根據(jù)“倍三角形”的概念求解即可；（2）根據(jù)題意畫(huà)出圖形，連接，根據(jù)三角形中線的性質(zhì)和“倍三角形”的性質(zhì)得到，進(jìn)而求出，然后得到，，進(jìn)而得到，結(jié)合即可證明出；（3）作點(diǎn)C關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，點(diǎn)Q關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接，，，根據(jù)題意得到的面積是面積的4倍，的面積是面積的3倍，然后證明出，得到，求出，然后得到，，然后證明出當(dāng)點(diǎn)E，P，三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，即的長(zhǎng)度，當(dāng)時(shí)，最小，然后求出，，然后利用特殊角的三角函數(shù)值求解即可．【詳解】（1）①∵是的“2倍三角形”，∴的面積是面積的2倍，∴的面積是面積的3倍，∴是的“3分之一三角形”；②如圖所示，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，點(diǎn)O是是的重心∵點(diǎn)D是的中點(diǎn)∴設(shè)∴∵點(diǎn)O是的重心∴∴∴∴∴是的3倍∴是的“3倍三角形”；（2）如圖所示，連接，∵∴∴∵是的“16倍三角形”∴∴∴∴∴，即∵，∴∴，∴又∵∴；（3）如圖所示，作點(diǎn)C關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，點(diǎn)Q關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接，，∵是的“4倍三角形”，∴的面積是面積的4倍∴的面積是面積的4倍∴的面積是面積的3倍∵∴∵∴∴，即∴∵的面積是面積的3倍∴∴∵點(diǎn)C關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)∴∵點(diǎn)C關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，點(diǎn)Q關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)∴∴∴當(dāng)點(diǎn)E，P，三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，即的長(zhǎng)度，∴當(dāng)時(shí)，最小∵，，∴∴由對(duì)稱(chēng)性質(zhì)可得，∴∴．∴的最小值為，∴的最小值為．【點(diǎn)睛】此題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，解直角三角形，軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)，三角形重心的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線求解．8．【圖形定義】有一組鄰邊相等的凸四邊形叫做“等鄰邊四邊形”．【問(wèn)題探究】：（1）如圖①，已知矩形是“等鄰邊四邊形”，則矩形____（填“一定”或“不一定”）是正方形；（2）如圖②，在菱形中，，，動(dòng)點(diǎn)、分別在、上（不含端點(diǎn)），若，試判斷四邊形是否為“等鄰邊四邊形”？如果是“等鄰邊四邊形”，請(qǐng)證明；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；并直接寫(xiě)出四邊形的周長(zhǎng)的最小值；【嘗試應(yīng)用】：（3）現(xiàn)有一個(gè)平行四邊形材料，如圖③，在中，，，，點(diǎn)在上，且，在邊上有一點(diǎn)，使四邊形為“等鄰邊四邊形”，請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)的長(zhǎng)．【答案】（1）一定；（2）四邊形是等鄰邊四邊形，理由見(jiàn)解析，周長(zhǎng)的最小值為4+4；（3）AP的長(zhǎng)為或或3【分析】（1）根據(jù)等鄰邊四邊形”的定義和正方形的判定可得出結(jié)論；（2）如圖②中，結(jié)論：四邊形是等鄰四邊形．利用全等三角形的性質(zhì)證明即可；（3）如圖③中，過(guò)點(diǎn)作于，過(guò)點(diǎn)作于，則四邊形是矩形．分三種情形：①當(dāng)時(shí)，②當(dāng)時(shí)，③當(dāng)時(shí)，四邊形為“等鄰邊四邊形”，分別求解即可．【詳解】解：（1）矩形是“等鄰邊四邊形”，四邊形的鄰邊相等，矩形一定是正方形；故答案為：一定；（2）如圖②中，結(jié)論：四邊形是等鄰四邊形．理由：連接．四邊形是菱形，，，，都是等邊三角形，，，，，，，，四邊形是等鄰邊四邊形，，，的值最小時(shí)，四邊形的周長(zhǎng)最小，根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)時(shí)，的值最小，此時(shí)，四邊形的周長(zhǎng)的最小值為；（3）如圖③中，過(guò)點(diǎn)作于，過(guò)點(diǎn)作于，則四邊形是矩形．，，，，，，①當(dāng)時(shí)，四邊形為“等鄰邊四邊形”；②當(dāng)時(shí)，四邊形為“等鄰邊四邊形”，設(shè)，在中，，，，；③當(dāng)時(shí)，四邊形為“等鄰邊四邊形”，此時(shí)點(diǎn)與重合，，綜上所述：的長(zhǎng)為或或3．【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了“等鄰邊四邊形”的定義，等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)正確尋找全等三角形解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)用分類(lèi)討論的思想思考問(wèn)題．9．在平面直角坐標(biāo)系中，的半徑為1，對(duì)于直線l和線段，給出如下定義：若將線段關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng)，可以得到的弦（，分別為A，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)），則稱(chēng)線段是的關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng)的“關(guān)聯(lián)線段”．例如：在圖1中，線段是的關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng)的“關(guān)聯(lián)線段”．(1)如圖2，點(diǎn)，，，，，的橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)．①在線段，，中，的關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的“關(guān)聯(lián)線段”是______；②若線段，，中，存在的關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的“關(guān)聯(lián)線段”，則______；(2)已知交x軸于點(diǎn)C，在中，，．若線段是的關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的“關(guān)聯(lián)線段”，直接寫(xiě)出b的最大值和最小值，以及相應(yīng)的長(zhǎng)．【答案】(1)①；②3或2；(2)b的最大值為，；最小值為，．【分析】（1）①分別畫(huà)出線段，，關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)線段，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，即可求解；②從圖象性質(zhì)可知，直線與x軸的夾角為45°，而線段⊥直線，線段關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)線段還在直線上，顯然不可能是的弦；線段，的最長(zhǎng)的弦為2，得線段的對(duì)稱(chēng)線段不可能是的弦，而線段∥直線，線段，所以線段的對(duì)稱(chēng)線段，且線段，平移這條線段，使其在上，有兩種可能，畫(huà)出對(duì)應(yīng)圖形即可求解；（2）先表示出，b最大時(shí)就是最大，b最小時(shí)就是長(zhǎng)最小，根據(jù)線段關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)線段在上，得，再由三角形三邊關(guān)系得