高三數(shù)學(xué)二輪培優(yōu)微專(zhuān)題36講04.重要的指對(duì)組合型函數(shù)及其應(yīng)用

重要的指對(duì)組合型函數(shù)及其應(yīng)用本節(jié)我們介紹幾個(gè)重要的函數(shù)及其圖象和性質(zhì)，這些函數(shù)或是由熟識(shí)的指對(duì)函數(shù)組合而成.對(duì)于第一類(lèi)由指對(duì)函數(shù)組合而成的六個(gè)重要函數(shù)，它們都具有良好的函數(shù)性質(zhì)和圖像，是高考考察的重點(diǎn)對(duì)象，本節(jié)將系統(tǒng)梳理其重要的性質(zhì)，并通過(guò)例題來(lái)展示其命題手法.一．基本原理上述六個(gè)指數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)組合出的新函數(shù)及其圖象是特別重要的.須要留意的是，對(duì)于函數(shù)與在處的極限值，須要由洛必達(dá)法則來(lái)計(jì)算，此處計(jì)算一個(gè)以展示其原理.，故其圖象在處趨近于.除此之外，還需留意函數(shù)與函數(shù)的圖象在正無(wú)窮遠(yuǎn)的特征，其它們圖象都是上去了之后就不再下穿軸.最終，要留意到與函數(shù)之間的基本關(guān)系，后者事實(shí)上是前者向上平移一個(gè)單位得到，在實(shí)際應(yīng)用中，后者出現(xiàn)的頻率也相當(dāng)之高.二．典例分析1.考察函數(shù)基本性質(zhì).例1．已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有且僅有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A． B． C． D．解析：因?yàn)?，所以，?dāng)，；當(dāng)，，所以在和單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，，，故的大致圖象如圖所示：關(guān)于的方程等價(jià)于，即或，由圖知，方程有且僅有一解，則有兩解，所以，解得，故選:C.例2．已知函數(shù)關(guān)于的不等式只有一個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____解析：由，令，解得，令，解得，的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，故的最大值是，時(shí)，時(shí)，且，故在時(shí)，，在時(shí)，，①時(shí)，由不等式得或，而時(shí)無(wú)整數(shù)解，的解集為，整數(shù)解有多數(shù)多個(gè)，不合題意；②時(shí)，由不等式得解集為，整數(shù)解有多數(shù)多個(gè)，不合題意；③時(shí)，由不等式，得或，的解集為無(wú)整數(shù)解，只需的解集整數(shù)解只有一個(gè)，且在上遞增，在遞減，而，這一正整數(shù)只能為3，，，綜上所述，的取值范圍是，故答案為.2.朗博不等式.朗博不等式是近年來(lái)隨著函數(shù)同構(gòu)出現(xiàn)的一個(gè)熱門(mén)的不等式，其原理如下：下面主要留意的是，那么依據(jù)指數(shù)函數(shù)的基本不等式可得：，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng).例3．若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．解法1：因?yàn)椋?，設(shè)，則且原不等式可化為，只需．設(shè)，則，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．所以，所以．故選：B．解法2：由不等式，可得.例4.（2024德陽(yáng)三診）．已知函數(shù)（，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），.（1）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，對(duì)隨意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解析1.（2）當(dāng)時(shí)，，原命題等價(jià)于對(duì)一切恒成立對(duì)一切恒成立.令，令，，則在上單增，又，，使即①當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即在遞減，在遞增，由①知函數(shù)在單調(diào)遞增即，實(shí)數(shù)的取值范圍為.解析2.由不等式，可得.留意：朗博不等式命制的導(dǎo)數(shù)題目用通法解決時(shí)會(huì)出現(xiàn)同構(gòu)型隱零點(diǎn)情形，即：與這樣的基本關(guān)系，讀者在此處需特別留意.3.凸凹反轉(zhuǎn)凸凹反轉(zhuǎn)是證明不等式的一種技巧，欲證明，若可將不等式左端拆成，且的話(huà)，就可證明原不等式成立.通常狀況，我們一般選取為上凸型函數(shù)，為下凹型函數(shù)來(lái)完成證明.于是，這就須要我們熟識(shí)中學(xué)階段常見(jiàn)的六個(gè)具有這樣特點(diǎn)的函數(shù).關(guān)于上述六個(gè)函數(shù)的性質(zhì)和圖像的應(yīng)用在之前已經(jīng)講過(guò)，本節(jié)主要的目標(biāo)就是來(lái)展示凸凹反轉(zhuǎn)技巧的基本應(yīng)用手法和命題技術(shù).例如在上面六個(gè)函數(shù)中，我們可以選取凸函數(shù)，求導(dǎo)可得：，故可得在上減，上增，于是.再考慮凹函數(shù)，則，故在處取得最大值，即.這樣可得，即，將這個(gè)不等式包裝一下就得到了下面這道2013年高考真題.例5.（2013全國(guó)卷）設(shè)函數(shù)，曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)為．（1）求；（2）證明：．解析：（2），從而等價(jià)于．設(shè)函數(shù)，則，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，從而在上的最小值為．設(shè)函數(shù)，則．所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，從而在上的最大值為.由于，所以當(dāng)時(shí)，，即．例6．設(shè)函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求的極值；（2）當(dāng)時(shí)，證明：在上恒成立．解析：（2）當(dāng)時(shí)，，下面證，即證，設(shè)，則，在上，，是減函數(shù)；在上，，是增函數(shù)．所以.設(shè)，則，在上，，是增函數(shù)；在上，，是減函數(shù)，所以.所以，即，所以，即，即在上恒成立．注：凸凹反轉(zhuǎn)技巧性較強(qiáng)，是一種命題的好方法，但對(duì)于應(yīng)試的考生而言，技巧性過(guò)強(qiáng)而難以駕馭，同時(shí)，它的運(yùn)用范圍也比較局限.4.指對(duì)同構(gòu)解決指對(duì)混合不等式時(shí)，常規(guī)的方法計(jì)算困難，則將不等式變形為的結(jié)構(gòu)，即為外層函數(shù)，其單調(diào)性易于探討.常見(jiàn)變形方式：=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③；=4\*GB3④；=5\*GB3⑤.答題思路；1.干脆變形：（1）積型：（同左）；（同右）；（取對(duì)數(shù)）.說(shuō)明：取對(duì)數(shù)是最快捷的，而且同構(gòu)出的函數(shù)，其單調(diào)性一看便知.（2）商型：（同左）；（同右）；（取對(duì)數(shù)）.（3）和差型：（同左）；（同右）.2.先湊再變形：若式子無(wú)法干脆進(jìn)行變形同構(gòu)，往往須要湊常數(shù)、湊參數(shù)或湊變量，如兩邊同乘以，同加上等，再用上述方式變形.常見(jiàn)的有：=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③④⑤例7.（2024全國(guó)甲卷）已知函數(shù)．（1）若,求的取值范圍；（2）證明：若有兩個(gè)零點(diǎn)，，則．解析：（1），令，則，于是.于是等價(jià)于在上恒成立，故.（2）由（1）知要使得有兩個(gè)零點(diǎn)，則假設(shè).要證明即證明，又由于在單增，即證明.下面構(gòu)造函數(shù)由于，又函數(shù)在單減，.時(shí)在單調(diào)遞增，而得證．例8.已知函數(shù)．（為常數(shù)）若，若對(duì)隨意的，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解析：由題意得：；即：因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，構(gòu)造簡(jiǎn)潔得：，所以只須要滿(mǎn)意.例9.若，則（）A.B.C.D.解析：A選項(xiàng)：，設(shè)，設(shè)，則有恒成立，所以在單調(diào)遞增，所以，從而存在，使得，由單調(diào)性可推斷出：，所以在不單調(diào)，不等式不會(huì)恒成立B選項(xiàng)：，設(shè)可知單調(diào)遞增.所以應(yīng)當(dāng)，B錯(cuò)誤C選項(xiàng)：，構(gòu)造函數(shù)，，則在恒成立。所以在單調(diào)遞減，所以成立.D選項(xiàng)：，同樣構(gòu)造，由C選項(xiàng)分析可知D錯(cuò)誤.例10．已知函數(shù)和有相同的最大值.（1）求a；（2）證明：存在直線(xiàn)y=b，其與兩條曲線(xiàn)和共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，并且從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等比數(shù)列.解析：（2）由（1）知，由于時(shí)，，時(shí)，，因此只有才可能滿(mǎn)意題意，記，且，由（1）得在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，且，所以存在，使得，設(shè)，則，設(shè)，則，時(shí)，，遞減，時(shí)，，遞增，所以，所以，是增函數(shù)，時(shí)，，，又，所以存在，使得，即此時(shí)與有兩個(gè)交點(diǎn)，其中一個(gè)交點(diǎn)在內(nèi)，另一個(gè)交點(diǎn)在內(nèi)，