高中數(shù)學(xué)模擬試題(附答案及解析)

高中數(shù)學(xué)模擬試題（附答案及解析）

高中數(shù)學(xué)模擬試題

（附答案及解析）一、選擇題（共10小題）

zz-z-1

B.-iC.iD.2i

2.(2014?上海)設(shè)f(x)=,若f(0)是f(x)的最小值，則a的取值范圍為（）

A.[-1,2]B.[-1?0]C.[1,2]D.[0,2]

A3R3

A.aD.aC.M3D.&3

T12

D-ABC的體積為()

4.（2014?河南）如圖，圓。的半徑為1,A是圓上的定點(diǎn)，P是圓上的動(dòng)點(diǎn)，角x的始

邊為射線0A,終邊為射線0P,過(guò)點(diǎn)P做直線

0A的垂線，垂足為M,將點(diǎn)M到直線OP的距離表示為x的函數(shù)f(x),則尸f(x)在

[0,冗]的圖象大致為()

5.(2014?包頭一模)設(shè)函數(shù),則f(x)=sin(2x+

)+cos(2x+)，則(

A.y=f(x)在(0,

L7T)單調(diào)遞增,

2

其圖象關(guān)于直

線X」對(duì)稱

4

B.y=f(x)在(0,

TT

-—)單調(diào)遞增,

2

其圖象關(guān)于直

線對(duì)稱

2

C.y=f(x)在(0,

)

—）單調(diào)遞減，

2

其圖象關(guān)于直

線x』對(duì)?稱

4

D.y=f（x）在（0,

—）單調(diào)遞減.

2

其圖象關(guān)于直

線對(duì)稱

2

6.（2014?太原一模）復(fù)數(shù)

A.j.B.工c.運(yùn)D.在

4343

A|=2|F2A|,則cosNAF2Fl=()

A.1B.V3C.2D.3

9.(2014?重慶)已知函數(shù)f(x)=

-Sk=24,則k=（）二、填空題（共5小題）（除非特別說(shuō)明，請(qǐng)?zhí)顪?zhǔn)確值）

11.（2014?烏魯木齊二模）直三棱柱ABC-A1B1C1的各頂點(diǎn)都在同一球面上，若

AB=AC=AA1=2,ZBAC=120°,則此球的表面積等于

12.（2014?湖南）如圖所示，正方形ABCD與正方形DEFG的邊長(zhǎng)分別為a,b（a<

b）,原點(diǎn)0為AD的中點(diǎn)，拋物線y=2px（p>0）經(jīng)過(guò)C,F兩點(diǎn)，則=.2的共物復(fù)數(shù)是

（）

A._3.B.3.c.D.i

甲51

)，且g(x)=f(x)-111*-111在(-1,1］內(nèi)

A.「鋁一（一專(zhuān)一相

（。，寺（。，有

A.8B.7C.6D.5

13.（2014?云南?模）已知圓C過(guò)雙曲線

線中心的距離是.

14.（2014?上海）設(shè)f（x）=

15.（2014?上海）設(shè)f（x）=,若f（0）是f（x）的最小值，則a的取值范圍為，若

f（2）=4,則a的取值范圍為-=1的一個(gè)頂點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn)，且圓心在此雙曲線上，則圓

心到雙曲

三、解答題（共6小題）（選答題，不自動(dòng)判卷）

16.（2014?江西）如圖，四棱錐P-ABCD中，ABCD為矩形，平面PAD_L平面ABCD.

（1）求證：AB±PD；

（2）若NBPC=90°,PB=,PC=2,問(wèn)AB為何值時(shí)，四棱錐P-ABCD的體積最大？并求

此時(shí)平面BPC與平面DPC

B

夾角的余弦值.

17.(2014?江西模擬)設(shè)數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn,已知al=LSn+l=4an+2

(nGN).

(1)設(shè)bn=an+l-2an,證明數(shù)列｛bn｝是等比數(shù)列；

(2)求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式.

18.(2014?四川)三棱錐A-BCD及其側(cè)視圖、俯視圖如圖所示，設(shè)M,N分別為線段

AD,AB的中點(diǎn)，P為線段BC上的點(diǎn)，且MNLNP

帝視困

菁優(yōu)網(wǎng)(1)證明:P是線段BC的中點(diǎn);

(2)求二面角A-NP-M的余弦值.

19.(2014?天津)設(shè)f(x)=x-ae(aCR),xeR,已知函數(shù)y=f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)

xl,x2,且xl<x2.(I)求a的取值范圍；(H)證明：隨著a的減小而增大；x

(III)證明xl+x2隨著a的減小而增大.

20.(2014?陜西)設(shè)函數(shù)f(x)=lnx+,mSR.

(I)當(dāng)m=e(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))時(shí)，求f(x)的極小值;

(H)討論函數(shù)g(x)=f，(x)-零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

(III)若對(duì)任意b>a>0,

21.(2014?江蘇)已知函數(shù)f0(x)=

⑴求2f1()+f2(

*<1恒成立，求m的取值范圍.(x>0),設(shè)fn(x)為fn-1(x)的導(dǎo)數(shù)，

neN.*)的值；)+fn()【=都成立.(2)證明：對(duì)任意neN,等式|nfn-l(

參考答案與試題解析

-、選擇題(共10小題)

z

ZZ-Z-1

A.-21B.C.iD.2i

號(hào)點(diǎn)：復(fù)數(shù)代數(shù)形式

的混合運(yùn)算.

專(zhuān)題：計(jì)算題.

分析：求出復(fù)數(shù)Z的共

施發(fā)數(shù)，代入表

達(dá)式，求解即

可.

解答：解：Z=1-i,所

以ZZ-Z-1=

(1+i)(1-i)

-1-i-1=-i

故選B

點(diǎn)評(píng)：本題是基礎(chǔ)題，

考查復(fù)數(shù)代數(shù)

形式的混合運(yùn)

算，考查計(jì)算能

力，?？碱}型.

2.(2014?上海)設(shè)f(x

A.[-1,2]B.[-1,0]C.[I,2]D.[0,2]

)二,若f(0)是f(x)的最小值，則a的取值范圍為(

考點(diǎn):分段函數(shù)的應(yīng)

用.

專(zhuān)題:函數(shù)的性質(zhì)及

應(yīng)用.

分析：當(dāng)aVO時(shí)，顯

然f（0）不是f

（x）的最小值,

當(dāng)a一時(shí),解不

等式:a--a-

2<0,得-

問(wèn)題解

決.

解答：解:當(dāng)aVO時(shí),

顯然f（0）不是

f（x）的最小值,

.a>0時(shí)，f（0）

二a~.

由題意得：

aKx411a?

X

解不等式:a--a

_2<0?得■

l<a<2,

.X)<a<2,

故選：D.

點(diǎn)評(píng)：本題考察了分

段函數(shù)的問(wèn)題，

基本不等式的

應(yīng)用，滲透了分

類(lèi)討論思想，是

一道基礎(chǔ)題.

A3B.3C.V33D.a3

A,aa

aa

6121212

D-ABC的體積為（

考點(diǎn):棱柱、棱錐、棱

臺(tái)的體枳.

專(zhuān)題:計(jì)算題.

分析:取AC的中點(diǎn)

O,連接DO,

BO,求出三角

形DOB的面

枳，求出AC的

長(zhǎng)，即可求三棱

錐D-ABC的

體積.

解答:解：O是AC中

點(diǎn)，連接DO,

BOAADC,

△ABC都是等腰

直角三角形

DO=B()=^￡=

2

------,

2

BD=aZBDO也

是等腰直角三

角形DOJAC,

DOJBODO呼

而ABCDO就

是三棱錐D-

ABC的高

SAABC」LT三

2

棱錐D-ABC

的體積:

故選D.

點(diǎn)評(píng):本題考查棱錐

的體枳，是基礎(chǔ)

題.

4.（2014?河南）如圖，圓0的半徑為1,A是圓上的定點(diǎn)，P是圓上的動(dòng)點(diǎn)，角x的始

邊為射線OA,終邊為射線0P,過(guò)點(diǎn)P做直線0A的垂線，垂足為M,將點(diǎn)M到直線0P的距

離表示為x的函數(shù)f（x）,則y=f（x）在［0,n］的圖象大致為（）

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其

應(yīng)用.

專(zhuān)題:三角函數(shù)的圖

像與性質(zhì).

分析：在直角三角形

OMP中，求出

OM,注意長(zhǎng)度、

距離為正，再根

據(jù)立角三角形

的銳角三角函

數(shù)的定義即可

得到f（X）的表

達(dá)式，然后化

簡(jiǎn)，分析周期和

最值，結(jié)合圖象

正確選擇.

解答：解：在直角三角

形OMP中，

OP=I.

HOM=x,貝1」

OM=k:osxl?

??點(diǎn)M到直線

OP的距離表示

為X的函數(shù)f(x)

=OMIsinxl

=lcosxl*lsinxl=-i|

2

sin2xh

其周期為

最大值

2

為工，最小值為

2

0,

故選C.

點(diǎn)評(píng)：本題E要考查

三角函數(shù)的圖

象與性質(zhì),正確

表示函數(shù)的表

達(dá)式是解題的

關(guān)鍵，同時(shí)考查

二倍用公式的

運(yùn)用.

5.(2014?包頭一模)設(shè)函數(shù)，則f(x)=sin(2x+)+cos(2x+),則(?2010-2014

菁優(yōu)網(wǎng))

A.y=f(x)在(0,

—)單調(diào)遞增.

2

其圖象關(guān)F直

線、」￡對(duì)稱

4

B.y=f(X)在(0,

TT

單調(diào)遞增,

2

其圖象關(guān)于直

線X」對(duì)稱

2

C.y=f(x)在(0,

7T

單調(diào)遞減,

2

其圖象關(guān)于直

線x』對(duì)稱

4

D.y=f(x)在(0.

—)單調(diào)遞減,

2

其圖象關(guān)于直

線X=對(duì)稱

考點(diǎn)：正弦函數(shù)的對(duì)

稱性：正弦函數(shù)

的單調(diào)性.

專(zhuān)題：計(jì)算題：壓軸

題.

分析：利用輔助角公

式(兩角和的正

弦函數(shù))化筒函

數(shù)f(x)=sin

(2xt")+cos

4

(2xJL),然后

求出對(duì)稱軸方

程，判斷y=f(X)

在(0,—)單

2

調(diào)性,即可得到

答案.

解答：解：因?yàn)閒(x)

=sin(2x+兀)

4

+€OS(2x+",)

4

=V2sin

(2x4-21)

2

=VScos2x.

它的對(duì)稱軸方

程可以是:

TV

的共趣復(fù)數(shù)是()6.(2014?太原一模)復(fù)數(shù)

A._3,B.3,c.-iD.i

一后i百i

(2+i)(l+2i)

(l-2i)(l+2i)

考點(diǎn):復(fù)數(shù)代數(shù)形式

的混合運(yùn)算.

專(zhuān)題:計(jì)算題.

分析：復(fù)數(shù)的分子、分

一同乘分母的

共匏復(fù)數(shù),復(fù)數(shù)

化簡(jiǎn)為a+bi(a,

b€R)的形式，

然后求出共輒

復(fù)數(shù)，即可.

解答：解：復(fù)數(shù)

2+i

1-21

(2+i.)(1+

(l-2i)(1

=^i,它的共

5

匏復(fù)數(shù)為:-i.

故選C

點(diǎn)評(píng)：本題是基礎(chǔ)題，

考查復(fù)數(shù)代數(shù)

形式的混合運(yùn)

算，共扼復(fù)數(shù)的

概念，?？碱}

型.

A.1B.1c.V2D.返

43T

A|=2|F2A|,貝I]cosNAF2Fl=(

號(hào)點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單

性質(zhì).

專(zhuān)題：圓錐曲線的定

義、性質(zhì)與方

程.

分析:根據(jù)雙曲線的

定義，以及余弦

定理建立方程

關(guān)系即可得到

結(jié)論.

解答：解：?次曲線C

的離心率為2,

2二2，即

a

c=2a.

點(diǎn)A在雙曲線

上，

則IF1AI-

IF2Al=2a,

又IF|AI=2IF2AI,

?解得IFiAI=4a,

IF2A匕2a,

IIF|F2l=2c,

則由余弦定理

得

COSZAF2FI=

|AF2

2|AF2I

4整+41-IE

-2X2aX2c

c2-3a24a

2ac

故選：A.

點(diǎn)評(píng):本題工要考自

雙曲線的定義

和運(yùn)算，利用離

心率的定義和

余弦定理是解

決本題的關(guān)鍵，

架杏笠士的H-

a

A.1B.V3C.2D.3

考點(diǎn):棱柱、棱錐、棱

臺(tái)的體枳.

專(zhuān)題：計(jì)算題：壓軸

題.

分析：設(shè)出底面邊長(zhǎng)，

求出正四棱錐

的高，寫(xiě)出體積

表達(dá)式，利用求

導(dǎo)求得最大值

時(shí)，高的值.

解答：解：設(shè)底面邊長(zhǎng)

為a,則高

h=

以體積

V工％」

33

一

設(shè)y=12a4-

工『，則'=48a，

2

-3a',當(dāng)y取最

值時(shí)，y'=48a3

-3a'=0,解得

a=0或a=4時(shí)，

體枳最大，

此時(shí)

，故選C.

點(diǎn)評(píng):本試題主要考

查椎體的體積,

考查高次函數(shù)

的最值問(wèn)題的

土縣山歡

9.（2014?重慶）已知函數(shù)f（x）=

,且g(x)=f(x)-mx-mii(-1,1]內(nèi)

A-(-1-2]UB，(-旦-2]C（勺-2]UD，(-T

44

((0

。寺021°1J

考點(diǎn):分段函數(shù)的應(yīng)

用.

專(zhuān)題:函數(shù)的性質(zhì)及

應(yīng)用.

分析：由g(X)=f(x)

-mx-m=O?即

f(x)=m(x+1)?

作出兩個(gè)函數(shù)

的圖象，利用數(shù)

形結(jié)合即可得

到結(jié)論.

解答:解：由g(x>=f

(x)-mx-

m=0.即f(x)

=m(x+1)?

分別作出函數(shù)f

(x)和y=g(x)

=m(x+l)的圖

象如圖：

由圖象可知f

(I)=1?g(x)

表示過(guò)定點(diǎn)A

(-1,0)的直

線，

當(dāng)g(x)過(guò)(1,

I)時(shí)，此

2

時(shí)兩個(gè)函數(shù)有

兩個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)

滿足條件的m

的取值范圍是0

2

當(dāng)g(x)過(guò)(0,

-2)時(shí)，g(0)

=-2?解得m=

-o必附而不

A=9+4m=0得

m=-2此時(shí)直

4

線和f(x)相切,

?,要使函數(shù)有兩

個(gè)零點(diǎn)，

則"—<ni<-2

4

或0<m<-i.

2

點(diǎn)評(píng):本題主要考查

函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)

用，利用數(shù)形結(jié)

合是解決此類(lèi)

問(wèn)題的基本方

法.

A.8B.7C.6D.5

-Sk=24,則k=(

考占.等差數(shù)列的前n

項(xiàng)和.

專(zhuān)題：計(jì)算題.

分析：先由等差數(shù)列

前n項(xiàng)和公式求

得Sk+2,Sk，將

Sk+2~Sk=24轉(zhuǎn)

化為關(guān)于k的方

程求解.

解答：解:根據(jù)題意：

Sk+2=(k+2)-，

Sk=k2

?$k+2~Sk=24

轉(zhuǎn)化為：

J?

(k+2)-

k-=24

.1=5

故選D

本題主要考查

等差數(shù)列的前n

項(xiàng)和公式及其

應(yīng)用，同時(shí)還考

查了方程思想，

屬中檔題.

二、填空題（共5小題）（除非特別說(shuō)明，請(qǐng)?zhí)顪?zhǔn)確值）

11.（2014?烏魯木齊二模）直三棱柱ABC-A1B1C1的各頂點(diǎn)都在同一球面上，若

AB=AC=AA1=2,ZBAC=120°，則此球的表面積等于

考點(diǎn)：球內(nèi)接多而體.

專(zhuān)題：計(jì)算題：壓軸

題.

分析：通過(guò)已知體枳

求出底面外接

圓的半徑，設(shè)此

圓圓心為o;球

心為O，在

RT2BCT中，求

出球的半徑，然

后求出球的表

面積.

解答：的：在ZABC中

AB=AC=2,

zBAC=120°,

可得BC二2,.

由正弦定理，可

得AABC外接圓

半徑口2,

設(shè)此圓圓心為

O',球心為O,

在RTZiOBO,中，

易得球半徑

R二

故此球的表面

積為4KR-=20K

故答案為：20K

點(diǎn)評(píng)：本題是基礎(chǔ)題，

解題思路是：先

乘底而外將制

出球的半徑，這

是三棱柱外接

球的常用方法：

本題考查空間

想象能力，計(jì)算

能力.

12.（2014?湖南）如圖所示，正方形

V2+1

ABCD與正方形DEEG的邊長(zhǎng)分別為a

，b(a<b),原點(diǎn)0為AD的中點(diǎn)，拋物線y2=2px(p>0)經(jīng)過(guò)C,F兩點(diǎn)，則=

(-a)2=2p?-|

b2=2p(-1+b)

考點(diǎn):直線與圓錐曲

線的關(guān)系.

專(zhuān)題:計(jì)算題.

分析:可先由圖中的

點(diǎn)。拋物線的

位置關(guān)系，寫(xiě)出

C,F兩點(diǎn)的坐

標(biāo)，再將坐標(biāo)代

入拋物線方程

中，消去參數(shù)p

后,得到a.b

的關(guān)系式,再？

求上的值.

a

解答:解：由題意可得

F（金b）

將C,F兩點(diǎn)的

坐標(biāo)分別代入

拋物線方程

y2=2px中，得

1-&）2二2]

b^-2p匕

>乙

a>0,b>0,p

>0,兩式相比

消去P得

簡(jiǎn)整理得

77

a~+2ab-b^=0>

此式可看作是

關(guān)于a的一元二

次方程，由求根

公式得

-2b土標(biāo)

取

a=（我—1）

從而

故答案為：

V2+1.

點(diǎn)評(píng):本題關(guān)鍵是弄

清兩個(gè)正方形

9拋物線的位

置關(guān)系，這樣才

能順利寫(xiě)出c,

F的坐標(biāo)，接下

來(lái)是消參，得到

1?4、Y-I?<*卜

16

~3

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單

性質(zhì).

專(zhuān)一題:計(jì)算題.

分析:由雙曲線的兒

何性質(zhì)易知圓C

過(guò)雙曲線同］

支上的頂點(diǎn)和

13.（2014?云南一模）已知圓C過(guò)雙曲線線中心的距離是

.-=1的一個(gè)頂點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn)，且圓心在此雙曲線上，則圓心到雙曲

焦點(diǎn)，所以圓C

的圓心的橫坐

標(biāo)為4.故圓心

坐標(biāo)為（4,

土里1）.由此可

3

求出它到雙曲

線中心的距離.

解答:鋼：由雙曲線的

幾何性質(zhì)易知

圓C過(guò)雙曲線

同一支上的頂

點(diǎn)和焦點(diǎn)，

所以圓c的圓

心的橫坐標(biāo)為

故圓心坐標(biāo)為

（4.±^1）,

3

.它到中心（0,

0）的距離為

16b

16

3"

故答案為：

3

點(diǎn)評(píng):本題考查雙曲

線的性質(zhì)和應(yīng)

用，解題時(shí)注意

閭的枇樂(lè)配心；

考點(diǎn)：分段函數(shù)的應(yīng)

用：真題集萃.

專(zhuān)題：分類(lèi)討論；函數(shù)

的性質(zhì)及應(yīng)用.

分析：可對(duì)a進(jìn)行討

論，當(dāng)a>2時(shí),

當(dāng)a=2時(shí),當(dāng)a

V2時(shí),將a代

入相對(duì)■應(yīng)的函

數(shù)解析式，從而

14.(2014?上海)設(shè)f(x)=,若f(2)=4,則a的取值范圍為

求出a的范闈.

解答：解：當(dāng)a>2時(shí),

f(2)=2#4,不

合題意：

當(dāng)a=2時(shí)，f(2)

=22=4,符合題

意：

當(dāng)a<2時(shí),f(2)

=22=4,符合題

意：

?*a<2,

故答案為：(-

8,2].

點(diǎn)評(píng)：本題考察了分

段函數(shù)的應(yīng)用，

滲透了分類(lèi)討

論思想，本題是

一道基礎(chǔ)題.

15.(2014?上海)設(shè)f(x)=,若f(0)是f(x)的最小值，則a的取值范圍為

考點(diǎn)：分段函數(shù)的應(yīng)

用.

專(zhuān)題:函數(shù)的性質(zhì)及

應(yīng)用.

分析：分別由f(O)=a,

x+1.2,<1^X4--

XX

綜合得出a的取

值范圍.

解答：解：當(dāng)x=O時(shí)，

f(0)=a?

由題意得：

X

又

2,

.a<2,

故答案為：(-

°0,2].

點(diǎn)評(píng)：本題考察了分

段函數(shù)的應(yīng)用，

基本不等式的

性質(zhì)，是一道基

礎(chǔ)題.

三、解答題（共6小題）（選答題，不自動(dòng)判卷）

16.（2014?江西）如圖，四棱錐P-ABCD中，ABCD為矩形，平面PADJ_平面ABCD.

（1）求證：

AB±PD；

（2）若NBPC=90°,PB=，PC=2,問(wèn)AB為何值時(shí)，四棱錐P-ABCD的體積最大？并求

此時(shí)平面BPC與平面DPC夾角的余弦值.

考點(diǎn):二面角的平面

角及求法.

專(zhuān)題:空間角:空間向

量及應(yīng)用.

分析:(I)要證

ADJPD,可以證

明ABJlftlPAD,

再利用而而垂

程以及線而垂

直的性質(zhì),即可

證明ABJPD.

(2)過(guò)P做

POJAD得到

PO砰面

ABCD.作

OMJBC,連接

PM,由邊長(zhǎng)關(guān)

系得到

BC=V6?

AB=x,則Vp

1

ABCDf

J

7sx2-6x4,

故'h2二時(shí)，

3

VpABCD取最

大值，建立空間

在華坐標(biāo)系C-

夾角的余弦值.

解答:解：⑴?在四

棱錐P-ABCD

中，ABCD為矩

形，.'AB嶼D,

又?.平而PAD，

平面ABCD,平

|fljPADCF而

ABCD=AD,

.,ABJlfliPAD,

ZABJPD.

(2)過(guò)P做

POJAD..VO1

平面ABCD,

作OMJBC,連

接PM

.PMJBC,

?.㈤PC=90",

PB=&,PC=2,

世=找，

PM22V3

PM=—==--------,

y3

BM=^,

3

設(shè)AB=x,

A)M=x.PO=

?Vp

ABCD—xxx捉x

D（李,0,

3

o）.c（-

3

五,0）.M（0,

3

鼻）,B（恒

33

匹o）

3

而PBC的法向

盤(pán)為n=（0,I,

1）,而DPC的

法向所為IP=（1.

0,-2）

.COS0=

n?卬

In||n）|

-2

5

*17.(2014?江西模擬)設(shè)數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn,已知al=LSn+l=4an+2

(n￡N).

⑴設(shè)bn=an+l-2an,證明數(shù)列｛bn｝是等比數(shù)列；

(2)求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式.

考點(diǎn):數(shù)列遞推式：等

比關(guān)系的確定.

專(zhuān)題:綜合題.

分析:(1)由題設(shè)條

件知bj=a2"

2a|=3.由

Sn+l=4an+2和

Sn=4an|+2相

減得an+i=4an~

^an1?即an+[

?2an=2(an-

2an所以

bn=2bni，由此

可知｛加｝是以

b|=3為首項(xiàng)、以

2為公比的等比

數(shù)列.

(2)由題設(shè)知

_an_3

2^+12n-4

.所以數(shù)列

L公差為W的

24

等差數(shù)列.由此

能求出數(shù)列｛a。｝

的通騎公左一

又bn=an+i-

2%,所以bn=2bn

I,所以｛bn｝是

以bi=3為首項(xiàng)、

以2為公比的等

比數(shù)列.(6分)

(2)由⑴可

得bn=an+i-

n

2an=3*2I等

式兩邊同時(shí)除

以2葉1,得

%十1_^n_2

9n+l7n一.

所以數(shù)列

是首項(xiàng)為工，公

2

差為2的等差數(shù)

4

列.

所以

an1,/1

——\n-1

2n2

>HPan=(3n-1)

?2n2

(nGN*).<13

分)

占用.太!加里?杏物痂I

18.（2014?四川）三棱錐A-BCD及其側(cè)視圖、俯視圖如圖所示，設(shè)M,N分別為線段

AD,AB的中點(diǎn)，P為線段BC上的點(diǎn)，且MNLNP.

（1）證明：P是線段BC的中點(diǎn)；

?2010-2014菁優(yōu)網(wǎng)菁優(yōu)網(wǎng)（2）求二面角A-NP-M的余弦值.

考點(diǎn)：二面角的平面

用及求法：直線

與平面平行的

判定：用空間向

■求平面間的

夾角.

專(zhuān)題：空間向量及應(yīng)

用.

分析：（1）用線而垂

直的性質(zhì)和反

證法推出結(jié)論,

（2）先建空間

直角坐標(biāo)系,再

求平面的法向

量，即可求出二

面角A-NP-

M的余弦值.

解答：解：（1）由三棱

錐A-BCD及

其側(cè)視圖、俯視

圖可知,在三棱

錐A-BCD中：

平面ABD呼而

CBD,

AB=AD=BD=C

D=CB=2

設(shè)O為BD的中

點(diǎn)，連接OA,

OC

F是OAJBD,

OCJBD所以

㈤BC=600矛

盾，所以P為線

段BC的中點(diǎn)

(2)以O(shè)為坐

標(biāo)原點(diǎn),OB,

OC.OA分別為

x,y,z軸建立

空間直角坐標(biāo)

系，

則A(O,O,/5),

M(-A,O,

2

o,亞）,p（X

22

退,o）

2

于是

—?J1

AN乙-0，

前Co,喙

乙

MN二(1,0,(

設(shè)￥而ANP和

平面NPM的法

向量分別為

［而，n=0

由4

,PN?n二0

則

x2=0

，設(shè)Z2=l，則

n=(0,1,1)

cos<in，n>

—w->

二ID?n二

|m||n|

2,

V5-V25

所以二面角A-

NP-M的余弦

值手

點(diǎn)評(píng):本題考許線線

的位置關(guān)系，考

查二面角知識(shí)

的應(yīng)用，解題的

關(guān)鍵是掌握用

向量的方法求

二面角大小的

步驟，屬于中檔

xl9.(2014?天津)設(shè)f(x)=x-ae(aeR),xeR,已知函數(shù)y=f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)

xl,x2,且xl<x2.

(I)求a的取值范圍；

(11

號(hào)點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究

函數(shù)的單調(diào)性：

函數(shù)零點(diǎn)的判

定定理.

專(zhuān)題：綜合題：導(dǎo)數(shù)的

綜合應(yīng)用.

分析：(I)對(duì)f(X)

求導(dǎo),討論廣

(X)的正負(fù)以

)證明：隨著a的減小而增大；

(III)證明xl+x2隨著a的減小而增大.

及對(duì)應(yīng)f（X）的

單調(diào)性,得出函

數(shù)y=f（x）仃兩

個(gè)零點(diǎn)的等價(jià)

條件，從而求出

a的取值范圍:

（【D由f（x）

設(shè)g（X）=---,

eX

判定g（x）的單

調(diào)性即得證：

（II）由于

X,

xi=ae1，

x-)=at貝ljxi

"X|=lnx2-

?2/

lnxi=ln--->令

X1

盤(pán)=3整理得到

X1

xj+x2=

(t+l)let

t-1，

令h(x)

二(x41)Inx

Y

上是增函數(shù),不

合題意；

②>0時(shí)，由f'

(x)=0,得x=

-Ina,,與x變化

時(shí)，f(x)、f

(x)的變化情

況如下表：

1(x)

f(X)

?f(X)的單調(diào)增

區(qū)間是(-8,

-Ina),減區(qū)間

是(Tna,+—)：

?,函數(shù)y=f(x)

有兩個(gè)零點(diǎn)等

價(jià)于如下條件

同時(shí)成立：

(i)f(-Ina)

>0,(ii)存在

S|€(~-

Ina),滿足f(sj)

<0,(iii)存在

S2G(-Ina,

+(-*),滿足f(S2)

<0：

由f(-lna)>0,

即-Ina-1>0.

解得OVaVe

(ID證明：由f

(x)=x-

aex=O>得a=',

x

e

設(shè)g(x)=-^-?

x

e

由g'(x)

1-X

=——，得g(x)

X

e

在(-B,I)上

單調(diào)遞增，在

(1,上單

調(diào)遞減.

并且，當(dāng)XG(-

0)時(shí)，g(x)

<0,當(dāng)XE(0,

+8)時(shí)，g(X)

>0.

xi、X2滿足a=g

(xi)?a=g(x?)?

aG(0.eI)及

g(x)的單調(diào)性,

可得xi6(0.1).

x2E(1?+**?)：

對(duì)于任意的ar

a?E(0,e1)>

設(shè)ai>a2，g

(Xi)=g(X2)

=藥，其中0<X1

VTIV"Yr.

的減小而增大;

(in證明：

改i=agX,i,

x2=ae2，

.lnx]=lna+X],

Inx2=lna+X2：

.X2-xj=lnx2"

Xn

Inxi=ln---,設(shè)

X1

Xn

—^=t,則t>l,

X1

=

x2tlnx]

xI-x2=lnt

,解得

?XT=-t-i-n--t-,

-t-1

.X|+X2=

(t+L)Int

?

t