高中數(shù)學(xué)筆記

高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)筆記

第一章集合

1一般地，研究對(duì)象統(tǒng)稱為元素(element),一些元素組

成的總體叫集合(set),也簡稱集。

2元素與集合的關(guān)系；

(1)如果a是集合A的元素，就說a屬于(belongto)A,

記作a￡A

(2)如果a不是集合A的元素，就說a不屬于(notbelong

to)A,記作a《A(或aA)(舉例)

3常用數(shù)集及其記法

非負(fù)整數(shù)集(或自然數(shù)集)，記作N

正整數(shù)集，記作N*或N+；

整數(shù)集，記作Z

有理數(shù)集，記作Q

4任何一個(gè)集合是它本身的子集

5真子集的概念：若集合AqB,存在元素xeB且ceA,則稱集

合A是集合B的真子集(propersubset)。記作：A*B(或

BSA)

6空集的概念

不含有任何元素的集合稱為空集(emptyset),記作：0

規(guī)定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集

7集合基本運(yùn)算的一些結(jié)論:

AnBoA,AnBoB,AAA=A,APl0=0,AAB=BAA

AoAUB,BcAUB,AUA=A,AU0=A/AUB=BUA

(CuA)UA=U,(CuA)AA=0

若AGB=A,則A=B,反之也成立

若AUB=B,則A^B,反之也成立

若x￡(APB),則x￡A且x￡B

若x￡(AUB),則x￡A,或x￡B

:AcA②A=B,且BqC,則AqC

第二章函數(shù)

§1.2.2函數(shù)的表示法

1.函數(shù)的概念：

設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f,使

對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)X,在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)

和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f：A-B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)

(function).

記作：y=f(x),x￡A.

其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域

(domain)；與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合

{f(x)|x￡A}叫做函數(shù)的值域(range).

2構(gòu)成函數(shù)的三要素：定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域

3一般地，設(shè)A、B是兩個(gè)非空的集合，如果按某一個(gè)確定的對(duì)

應(yīng)法則f,使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)元素X,在集合B中都有

唯一確定的元素y與之對(duì)應(yīng)，那么就稱對(duì)應(yīng)f：A-B為從集合A

到集合B的一個(gè)映射(mapping).

記作“f：A-B”說明：(1)這兩個(gè)集合有先后順序，A到B

的射與B到A的映射是截不同的.其中f表示具體的對(duì)應(yīng)法則，

可以用漢字?jǐn)⑹?/p>

補(bǔ)充：復(fù)合函數(shù)

如果y=f(u)(ueM),u=g(x)(xeA),則

y=f[g(x)]=F(x)(x￡A)稱為f、g的復(fù)合函數(shù)。

1.3.1函數(shù)的單調(diào)性

1.增函數(shù)

一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮,

如果對(duì)于定義域I內(nèi)的某個(gè)區(qū)間D內(nèi)的任意兩個(gè)自變量X],

X2，當(dāng)Xi<X2時(shí),都有f%)4%),那么就說f(X)在區(qū)間D上是增函

數(shù)(increasingfunction).

思考：仿照增函數(shù)的定義說出減函數(shù)的定義.(學(xué)生活動(dòng))

注意：

①函數(shù)的單調(diào)性是在定義域內(nèi)的某個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)，是函

數(shù)的局部性質(zhì)；

②必須是對(duì)于區(qū)間D內(nèi)的任意兩個(gè)自變量X1，X2；當(dāng)X1<X2

時(shí)，總有f(X“<f(X2)?

2.函數(shù)的單調(diào)性定義

如果函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)或是減函數(shù)，那么

就說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫

做y=f(x)的單調(diào)區(qū)間：

3.判斷函數(shù)單調(diào)性的方法步驟

利用定義證明函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性的一般

步驟：

①任取X1，X2￡D,且X1<X2；

②作差f(Xi)-f(X2卜

(3)變形(通常是因式分解和配方)；

④定號(hào)(即判斷差f(Xi)—f(X2)的正負(fù));

⑤下結(jié)論(即指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性).

§1.3.2函數(shù)的奇偶性

1.偶函數(shù)(evenfunction)(偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱)；

一般地，對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個(gè)x,都有f(-

x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函數(shù).

仿照偶函數(shù)的定義給出奇函數(shù)的定義

2.奇函數(shù)(oddfunction)(奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱)

一般地，對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個(gè)X,都有f(—x)=

—f(x),那么f(x)就叫做奇函數(shù).

注意：③作出相應(yīng)結(jié)論：若f(—x)=f(x)

或f(—X)—f(x)=0,則f(x)是偶函數(shù);若f(―

X)=-f(X)或f(―x)+f(X)=0,f(x)是奇

函數(shù).

注意：函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有

奇偶性的必要條件.首先看函數(shù)的定義域是否

關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若不對(duì)稱則函數(shù)是非奇非偶函

數(shù).若對(duì)稱，(1)再根據(jù)定義判定；(2)由f(~x)

士F34)或=±1來判定；⑶利用

定理，或借助函數(shù)的圖象判定.

§1.3.1函數(shù)的最大(小)值

(一)函數(shù)最大(小)值定義

1.最大值

一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)?,如果存在實(shí)數(shù)M滿

足：

(1)對(duì)于任意的x日,都有f(x)WM；

(2)存在X。曰,使得f(x0)=M

那么，稱M是函數(shù)y=f(x)的最大值(MaximumValue).

思考：仿照函數(shù)最大值的定義，給出函數(shù)y=f(x)的最小值

(MinimumValue)的定義.(學(xué)生活動(dòng))

注意：

①函數(shù)最大(小)首先應(yīng)該是某一個(gè)函數(shù)值，即存在x°￡/,

使得f(x0)=M；

②函數(shù)最大(小)應(yīng)該是所有函數(shù)值中最大(小)的，即

對(duì)于任意的x￡/,都有f(x)WM(f(x)NM).

2.利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大(小)值的方法

①利用二次函數(shù)的性質(zhì)(配方法)求函數(shù)的最大(小)值

②利用圖象求函數(shù)的最大(小)值

③利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大(小)值

如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［a,b］上單調(diào)遞增，在區(qū)間［b,c］上單調(diào)

遞減則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最大值f(b)；

如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［a,b］上單調(diào)遞減，在區(qū)間［b,c］上單調(diào)

遞增則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最小值f(b)；

§2.1.1指數(shù)

(一)指數(shù)與指數(shù)幕的運(yùn)算

1.根式的概念

一般地，如果x"=a,那么x叫做。的〃次方根(nthroot),

其中”>1,且〃￡N*.

當(dāng)〃是奇數(shù)時(shí)，正數(shù)的〃次方根是一個(gè)正數(shù)，負(fù)數(shù)的〃次方根

是一個(gè)負(fù)數(shù).此時(shí)，。的〃次方根用符號(hào)后表示.

式子后叫做根式(radical),這里“叫做根指數(shù)(radical

exponent),a叫做被開方數(shù)(radicand).

當(dāng)〃是偶數(shù)時(shí)，正數(shù)的〃次方根有兩個(gè)，這兩個(gè)數(shù)互為相反

數(shù).此時(shí)，正數(shù)。的正的〃次方根用符號(hào)后表示，負(fù)的〃次方根

用符號(hào)一Va表示.正的〃次方根與負(fù)的〃次方根可以合并成±,4a

(<7>0).

由此可得：負(fù)數(shù)沒有偶次方根；。的任何次方根都是0,記作

Vo=0.

思考：(課本P58探究問題)歷=。一定成立嗎？.(學(xué)生活動(dòng))

結(jié)論：當(dāng)〃是奇數(shù)時(shí)，Ga

當(dāng)〃是偶數(shù)時(shí)，^=\a\=\a叱°)

分?jǐn)?shù)指數(shù)騫

正數(shù)的分?jǐn)?shù)指數(shù)基的意義

規(guī)定：

m__

an=(a>O,m,neN\n>V)

一見]1

an-——=.——(a>O,m,neN",n>1)

.有理指數(shù)基的運(yùn)算性質(zhì)

(1)ar?ar=a'+s(。>0,r,swQ);

(2)(優(yōu))'=a"(a>O,r,seQ);

(3)(ah)r=a1ax(a>O,b>O,reQ).

§2.1.2指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

（一）指數(shù)函數(shù)的概念

一般地，函數(shù)y=a，（a>o,且awl）叫做指數(shù)函數(shù)（exponential

function）,其中x是自變量，函數(shù)的定義域?yàn)镽.

2.你能根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象的特征歸納出指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)嗎？

圖象特征函數(shù)性質(zhì)

a>10<a<la>10<a<l

向x、y軸正負(fù)方1可無限延伸函數(shù)的定義域?yàn)镽

圖象關(guān)于原點(diǎn)和y軸不對(duì)稱非奇非偶函數(shù)

函數(shù)圖象都在X軸上方函數(shù)的值域?yàn)镽+

函數(shù)圖象都過定點(diǎn)（0,1）a°=1

自左向右看，自左向右看，

圖象逐漸上圖象逐漸下增函數(shù)減函數(shù)

升降

在第一象限在第一象限

內(nèi)的圖象縱內(nèi)的圖象縱x>0,ax>1x>0,ax<1

坐標(biāo)都大于1坐標(biāo)都小于1

在第二象限在第二象限

內(nèi)的圖象縱內(nèi)的圖象縱x<0,ax<1x<0,ax>1

坐標(biāo)都小于1坐標(biāo)都大于1

函數(shù)值開始函數(shù)值開始

圖象上升趨圖象上升趨增長較慢，到減小極快，到

勢是越來越勢是越來越了某一值后了某一值后

陡緩增長速度極減小速度較

快；慢；

課題：§221對(duì)數(shù)

1.對(duì)數(shù)的概念

一般地，如果優(yōu)=N（a〉O,arl）,那么數(shù)x叫做以〃為底N的對(duì)

數(shù)（Logarithm）,記作：

x=k）g“N

a一底數(shù)，N—真數(shù)，k）g“N一對(duì)數(shù)式

說明：①注意底數(shù)的限制”0,且會(huì)1;

對(duì)數(shù)的性質(zhì)

（1）負(fù)數(shù)和零沒有對(duì)數(shù)；（2）1的對(duì)數(shù)是零：log.1=0;

（3）底數(shù)的對(duì)數(shù)是1：log"=l；（4）對(duì)數(shù)恒等式：/"'=N；

（5）logaa"=n.

:§2.2.2對(duì)數(shù)函數(shù)（一）

（一）對(duì)數(shù)函數(shù)的概念

1.定義：函數(shù)y=log“x（a>0,且"1）叫做對(duì)數(shù)函數(shù)

（logarithmicfunction）

其中x是自變量，函數(shù)的定義域是（0,+8）.

注意：①對(duì)數(shù)函數(shù)的定義與指數(shù)函數(shù)類似，都是形式定義,

注意辨別.如：^=21og2x,^^log5j都不是對(duì)數(shù)函數(shù)，而只能稱

其為對(duì)數(shù)型函數(shù).

②對(duì)數(shù)指數(shù)對(duì)數(shù)

（二）對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)

如果a>0,且awl,M>0,N>0,那么:

①loga(M,N)=log°M+log&N;

②k)g“=log,,M—log?N;

③log?M"=nlog?M(n€R).

注意：換底公式

logb-—(a>0,且awl;c>0>且cwl;

(llog,a

Z?>0).

利用換底公式推導(dǎo)下面的結(jié)論

n

(1)logb=—logfl/?;(2)logab=--^-—.

"m