位移法的典型方程及計算步驟講解

建筑力學主講人：田寧1位移法基本概念2位移法典型方程及計算步驟3位移法應用示例4應用轉(zhuǎn)角位移方程計算超靜定結(jié)構(gòu)目錄

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第15章

位移法2位移法典型方程及計算步驟

如圖（a）所示的剛架，桿件31和42有側(cè)移發(fā)生，這類結(jié)構(gòu)稱為有側(cè)移結(jié)構(gòu)。經(jīng)分析可知該剛架有一個獨立的結(jié)點角位移Z1和一個獨立的結(jié)點線位移Z2，共有兩個基本未知量。2）位移法的典型方程

在結(jié)點1處增加一附加剛臂，在結(jié)點2處增加一附加水平支座鏈桿(當然也可在結(jié)點1處增加一水平支座鏈桿)，得到如圖（b）所示的位移法基本結(jié)構(gòu)。

令附加剛臂產(chǎn)生與原結(jié)構(gòu)相同的轉(zhuǎn)角Z1，令附加鏈桿產(chǎn)生與原結(jié)構(gòu)相同的線位移Z2，再將荷載加到基本結(jié)構(gòu)上，便得到位移法基本體系。如（c）圖所示。

根據(jù)基本體系與原結(jié)構(gòu)完全等效，即基本體系的變形和內(nèi)力及反力與原結(jié)構(gòu)完全相同。由于原結(jié)構(gòu)在結(jié)點1和2處并無約束，也就沒有反力偶和反力，因此基本結(jié)構(gòu)在結(jié)點位移Z1、Z2和荷載共同作用下，附加剛臂的附加反力偶R1和附加支座鏈桿的附加反力R2都應該等于零。2）位移法的典型方程

設基本結(jié)構(gòu)在結(jié)點位移Z1單獨作用下引起的附加剛臂上的附加力偶為R11，引起的附加支座鏈桿的反力為R21；在結(jié)點位移Z2單獨作用下引起的附加剛臂上的附加力偶為R12，引起的附加支座鏈桿的反力為R22；在荷載單獨作用下引起的附加剛臂上的附加力偶為R1P，引起的附加支座鏈桿的反力為R2P。

根據(jù)疊加原理，可得2）位移法的典型方程

再設基本結(jié)構(gòu)在單位結(jié)點位移分別單獨作用下所引起的附加剛臂的附加反力偶分別為r11、r12，附加支座鏈桿的附加反力分別為r21、r22，物理意義：基本結(jié)構(gòu)在所有的結(jié)點位移和荷載共同作用下，每一個附加約束上的附加反力偶和附加反力都應等于零。因此典型方程實質(zhì)上反映了原結(jié)構(gòu)的靜力平衡條件。位移法的典型方程則有：2）位移法的典型方程

對于有n個獨立結(jié)點位移的超靜定結(jié)構(gòu)，相應地在基本結(jié)構(gòu)中應加入n個附加約束，根據(jù)每個附加約束的附加反力偶或附加反力均應等于零的平衡條件，即可建立n個方程：典型方程中，主對角線上的系數(shù)rii稱為主系數(shù)或主反力，其它系數(shù)rij(i≠j)稱為副系數(shù)或副反力，RiP稱為自由項。

系數(shù)和自由項的正負號規(guī)定為：與該附加約束所設的位移方向一致為正，相反則為負。2）位移法的典型方程

根據(jù)反力互等定理可知，位于主對角線兩側(cè)對稱位置的兩個副系數(shù)rij與rji是相等的，即rij=rji。

主反力rii表示基本結(jié)構(gòu)在單位結(jié)點位移單獨作用下所引起的第i個附加約束的附加反力偶或附加反力，由于其方向總是與所設位移的方向一致，故主系數(shù)恒為正，且不會等于零。

副系數(shù)rij表示基本結(jié)構(gòu)在單位結(jié)點位移單獨作用下所引起的第j個附加約束的附加反力偶或附加反力，其值可能為正，可能為負，也可能等于零。

自由項RiP表示基本結(jié)構(gòu)在荷載單獨作用下所引起的第i個附加約束的附加反力偶或附加反力，其值可能為正，可能為負，也可能等于零。2）位移法的典型方程

在位移法的典型方程中，由于每個系數(shù)都是由單位結(jié)點位移所引起的附加約束的反力或反力偶。很明顯，如果結(jié)構(gòu)的剛度越大，那么這些反力或反力偶也就越大，因此這些系數(shù)又稱為結(jié)構(gòu)的剛度系數(shù)，位移法典型方程也稱為結(jié)構(gòu)的剛度方程，位移法也稱為剛度法。2）位移法的典型方程

繪出基本結(jié)構(gòu)在單位結(jié)點位移和荷載分別單獨作用下的彎矩圖，即圖、圖、MP圖:

取結(jié)點1為隔離體，由力矩平衡方程可求得附加剛臂上的附加反力偶分別為：2）位移法的典型方程位移法的典型方程：將系數(shù)和自由項代入典型方程，得解得:

所得結(jié)果為正值，說明結(jié)點1、2的實際位移方向與圖(c)中在Z1、Z2所設的方向相同。

用截面截割兩柱頂端，取柱頂端以上水平桿部分為隔離體，并由表查出柱13、24的頂端截面剪力:由投影方程可求得附加支座鏈桿的附加反力分別為：2）位移法的典型方程結(jié)構(gòu)的最后彎矩圖為：結(jié)構(gòu)各桿端最后彎矩可由疊加法求得：2）位移法的典型方程

（1）確定原超靜定結(jié)構(gòu)的基本未知量，即確定原超靜定結(jié)構(gòu)的獨立的結(jié)點角位移和線位移，加入附加約束得到基本結(jié)構(gòu)。

（2）令各附加約束產(chǎn)生與原結(jié)構(gòu)相同的結(jié)點位移，根據(jù)基本結(jié)構(gòu)在所有的結(jié)點位移和荷載共同作用下，各附加約束處的附加反力偶或附加反力均應等于零，建立位移法的典型方程。3）位移法的計算步驟由前面的分析討論可知，位移法的計算步驟為：

（6）根據(jù)彎矩圖由靜力平衡條件繪出剪力圖，再根據(jù)剪力圖由靜力平衡條件繪出軸力圖。（4）求解典型方程，求出基本未知