二輪復習專題十二空間向量的應用作業(yè)（A）

2023屆新高考數(shù)學高頻考點專項練習：專題十二考點34空間向量的應用（A卷）1.已知向量，平面的一個法向量，若，則()A.， B.，C. D.2.若平面的法向量為，直線的方向向量為，直線與平面所成的角為，則下列關系式成立的是()A. B. C. D.3.如圖，正四棱錐中，O為頂點在底面內(nèi)的投影，P為側(cè)棱SD的中點，且，則直線BC與平面PAC的夾角是()

A．30° B．45° C．60° D．90°4.如圖，在四棱錐中，側(cè)面PAD是邊長為4的正三角形，底面ABCD為正方形，側(cè)面底面ABCD，若M為平面ABCD上的一個動點，且滿足，則點M到直線AB的最大距離為()

A. B. C. D.5.在正方體中，點E為的中點，則平面與平面ABCD的夾角的余弦值為()A. B. C. D.6.如圖，正方體的棱長為1，中心為O，，，則四面體的體積為()

A. B. C. D.7.在棱長為2的正方體中，E，F(xiàn)分別為棱的中點，G為棱上的一點，且，則點G到平面的距離為()

A. B. C. D.8.(多選)正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角，下列結論正確的有()A.AD與BC所成的角為30°B.AC與BD所成的角為90°C.BC與面ACD所成角的正弦值為D.平面ABC與平面BCD的夾角的正切值是9.(多選)已知正方體的棱長為1，點E、O分別是、的中點，P在正方體內(nèi)部且滿足，則下列說法正確的是()A.點A到直線BE的距離是B.點O到平面的距離為C.平面與平面間的距離為D.點P到直線AB的距離為10.如圖，在直三棱柱中，，，D為上一點.若二面角的大小為30°，則AD的長為_____________.11.已知點E，F(xiàn)分別在正方體的棱，上，且，，則平面AEF與平面ABC所成角的正切值為________________.12.在長方體中，，，Q是線段上一點，且，則點Q到平面的距離為____________.13.在長方體中，，，則直線與所成角的余弦值為_____________.14.如圖，在四棱柱中，平面ABCD，四邊形ABCD是直角梯形，，PD和AN交于點E.(1)求證：平面平面PDG；(2)求直線PD與平面AMN所成角的正弦值.15.如圖1，在中，分別為上的點，，現(xiàn)將沿著直線翻折，使得點A到達點的位置，如圖2，二面角的大小為60°，連接為上的點，且，連接.(1)求證:平面;(2)若，求平面和平面所成二面角的正弦值.

答案以及解析1.答案：A解析：因為，所以，由，得，，，.故選A.2.答案：D解析：設直線的方向向量與平面的法向量的夾角為，則或..3.答案：A解析：如圖所示，以為原點建立空間直角坐標系Oxyz.設，則.則，設平面的法向量為，則，可求得，則.∴，∴直線與平面所成的角為.故選A.4.答案：B解析：以D為原點，DA所在直線為x軸，DC所在直線為y軸，過D作平面ABCD的垂線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，.

設，則，.，，整理得，M為為平面ABCD上到點（1，2）的距離為的一個動點，故點M到直線AB的最大距離為.故選B.5.答案：B解析：以A為原點，AB，AD，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，設正方體的棱長為1，則，，，，.設平面的法向量為，則有即令，得.易得平面ABCD的一個法向量，，即平面與平面ABCD的夾角的余弦值為.6.答案：D解析：如圖所示，以D為坐標原點，DA，DC，所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，

則，，，，因此，，，所以，，.

易得，所以.

設平面EBF的一個法向量為，則

令，得，

所以點O到平面EBF的距離為，所以四面體的體積.7.答案：D解析：以D為原點，分別為x軸，y軸，z軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，，，，

因此，，.

設平面的法向量為，則，

令，得，

點G到平面的距離為，故選D.8.答案：BD解析：取BD的中點O，連接AO，CO，正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角，以O為原點，OC所在直線為x軸，OD所在直線為y軸，OA所在直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，設，則，，，，，，，，.，異面直線AD與BC所成的角為60°，故A錯誤；，，故B正確；設平面ACD的法向量為，則取，得，，，設BC與面ACD所成角為，則，故C錯誤；易知平面BCD的一個法向量為，設平面ABC的法向量為，則取，得，，，設兩個平面的夾角為，則，，，平面ABC與平面BCD的夾角的正切值是，故D正確.故選BD.9.答案：BC解析：如圖，建立空間直角坐標系，則，，，，，，，所以，.設，則，.故A到直線BE的距離，故A錯.易知，平面的一個法向量，則點O到平面的距離，故B對.，，.設平面的法向量為，則所以令，得，，所以.所以點到平面的距離.因為易證得平面平面，所以平面與平面間的距離等于點到平面的距離，所以平面與平面間的距離為，故C對.因為，所以，又，則，所以點P到AB的距離，故D錯.10.答案：解析：如圖，以C為坐標原點，CA，CB，所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系Cxyz，則，，，，.設，則點D的坐標為，.設平面的法向量為，則令，得.又平面的一個法向量為，記為n，則由，解得（負值舍去），故.11.答案：解析：如圖，以點D為坐標原點，DA，DC，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系Dxyz，設，由已知條件得，，，，，則，，.設平面AEF的法向量為，平面AEF與平面ABC所成角為，由得令，則，，所以，易得平面ABC的一個法向量，則，又，所以，所以.12.答案：解析：如圖，以，，所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，則，，，，，，，由，得，，設平面的法向量為，由得取，則，，，點Q到平面的距離.13.答案：解析：設，，，則，，.由，得（負值舍去），，，，又，，.14.答案：(1)證明過程見解析.(2)正弦值為.解析：(1)平面ABCD，平面ABCD，.，，，.又平面PDC.平面EAC，平面平面PDC.(2)解法一：由(1)知，，平面ABCD，平面ABCD，，又平面PAC.又平面PAC，又平面AMN，平面平面PAC.易知平面平面，過點P作于點H，則平面AMN，連接EH，則為直線PD與平面AMN所成的角.在中，P，則.設，易知F為PC的中點，，連接PM，則，，在中，，得，，故直線PD與平面AMN所成角的正弦值為.解法二：由(1)知，，又，所以.連接PM，則.因為平面ABCD，故以C為坐標原點，的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系，則，.設平面AMN的法向量為，則，即，則，取，則，所以.設直線PD與平面AMN所成的角為，則，故直線PD與平面AMN所成角的正弦值為.15.答案：(1)見解析(2)解析：(1)取的三等分點G，且，連接.因為，所以，所以且.又，可知且.所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面平面，所以平面.(2)解法一：由題意可知，，將沿翻折，易得平面，故，又易知二面角的平面角，所以，由于，故，所以平面，故以C為坐標原點，所在直線為x軸，所在直線為y軸，所在直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，所以，設是平面的法向量，則即令，得.又平面的一個法向量為，設平面與平面所成二面角的大小為θ，