高中數(shù)學(xué)選修2-3第二章隨機變量及其分布教案

其次章隨機變量及其分布

2.1.1離散型隨機變■

第一課時

思索1：擲一枚骰子，出現(xiàn)的點數(shù)可以用數(shù)字I,2,3,4,5,6來表示.那么擲一枚硬幣的結(jié)果是否也可以用數(shù)字來表示呢？

擲一枚硬幣，可能出現(xiàn)正面對上、反面對上兩種結(jié)果.雖然這個隨機試驗的結(jié)果不具有數(shù)量性質(zhì)，但我們可以用數(shù)1和0分

別表示正面對上和反面對上(圖2.1—1).

在擲骰子和擲硬幣的隨機試驗中，我們確定了一個對應(yīng)關(guān)系，使得每一個試驗結(jié)果都用一個確定的數(shù)字表示.在這個對應(yīng)關(guān)系

下，數(shù)字隨著試驗結(jié)果的變更而變更.

定義1：隨著試驗結(jié)果變更而變更的變量稱為隨機變量(randomvariable).隨機變量常用字母X,Y,〃，…表示.

思索2：隨機變量和函數(shù)有類似的地方嗎？

隨機變量和函數(shù)都是一種映射，隨機變量把隨機試驗的結(jié)果映為實數(shù)，函數(shù)把實數(shù)映為實數(shù).在這兩種映射之間，試驗結(jié)果的

范圍相當(dāng)于函數(shù)的定義域，隨機變量的取值范圍相當(dāng)于函數(shù)的值域.我們把隨機變量的取值范圍叫做隨機變量的值域.

例如，在含有10件次品的100件產(chǎn)品中，隨意抽取4件，可能含有的次品件數(shù)X將隨著抽取結(jié)果的變更而變更，是一個隨

機變量，其值域是｛0,1,2,3,4).

利用隨機變量可以表達(dá)一些事務(wù).例如｛X=0｝表示“抽出0件次品"，｛X=4｝表示“抽出4件次品”等.你能說出｛X<3)

在這里表示什么事務(wù)嗎？“抽出3件以上次品”又如何用X表示呢？

定義2：全部取值可以---列出的隨機變量，稱為離散型隨機變量(discreterandomvariable).

離散型隨機變量的例子很多.例如某人射擊一次可能命中的環(huán)數(shù)X是一個離散型隨機變量，它的全部可能取值為0,1,…，

10；某網(wǎng)頁在24小時內(nèi)被閱讀的次數(shù)Y也是一個離散型隨機變量，它的全部可能取值為0,1,2,….

思索3：電燈的壽命X是離散型隨機變量嗎？

電燈泡的壽命X的可能取值是任何一個非負(fù)實數(shù)，而全部非負(fù)實數(shù)不能一一列出，所以X不是離散型隨機變量.

在探討隨機現(xiàn)象時，須要依據(jù)所關(guān)切的問題恰當(dāng)?shù)囟x隨機變量.例如，假如我們僅關(guān)切電燈泡的運用壽命是否超過1000小

時.，那么就可以定義如下的隨機變量：

,Jo,壽命<1000小時；

一11,壽命之1000小時.

與電燈泡的壽命X相比較，隨機變量Y的構(gòu)造更簡潔，它只取兩個不同的值0和1,是一個離散型隨機變量，探討起來更加簡潔.

連續(xù)型隨機變量：對于隨機變量可能取的值，可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的變量就叫做連續(xù)型隨機變量.

如某林場樹木最高達(dá)30米，則林場樹木的高度J是一個隨機變量，它可以取(0,30］內(nèi)的一切值.

4.離散型隨機變量與連續(xù)型隨機變量的區(qū)分與聯(lián)系：離散型隨機變量與連續(xù)型隨機變量都是用變量表示隨機試驗的結(jié)

果：但是離散型隨機變量的結(jié)果可以按肯定次序一一列出，而連續(xù)性隨機變量的結(jié)果不行以一一列出.

留意：(1)有些隨機試驗的結(jié)果雖然不具有數(shù)量性質(zhì)，但可以用數(shù)量來表達(dá)?如投擲一枚硬幣，J=0,表示正面對上，J=表

示反面對上.

(2)若J是隨機變量，=aj+是常數(shù)，則〃也是隨機變量.

三、講解范例:

例1.寫出下列隨機變量可能取的值，并說明隨機變量所取的值表示的隨機試驗的結(jié)果.

(1)一袋中裝有5只同樣大小的白球，編號為1,2,3,4,5.現(xiàn)從該袋內(nèi)隨機取出3只球，被取出的球的最大號碼數(shù)g；

(2)某單位的某部電話在單位時間內(nèi)收到的呼叫次數(shù)n?

解：⑴g可取3,4,5.

C=3,表示取出的3個球的編號為1,2,3：

€=4,表示取出的3個球的編號為1,2,4或1,3,4或2,3,4；

€=5,表示取出的3個球的編號為1,2,5或1,3,5或1,4,5或2,3或3,4,5.

(2)n可取0,1,…,n,….

n=i,表示被呼叫i次，其中i=0,1,2,????

例2,拋擲兩枚骰子各一次，記第一枚骰子擲出的點數(shù)與其次枚骰子擲出的點數(shù)的差為試問：“&>4”表示的試驗結(jié)果

是什么？

答：因為一枚骰子的點數(shù)可以是1,2,3,4,5,6六種結(jié)果之一，由已知得-5W&W5,也就是說>4”就是“目=5”?所以，

“g>4”表示第一枚為6點，其次枚為1點.

例3某城市出租汽車的起步價為10元，行駛路程不超出4km,則按10元的標(biāo)準(zhǔn)收租車費?若行駛路程超出4km,則按每超出

1km加收2元計費(超出不足1km的部分按1km計).從這個城市的民航機場到某賓館的路程為15km.某司機常駕車在機場與此賓館

之間接送旅客，由于行車路途的不同以及途中停車時間要轉(zhuǎn)換成行車路程(這個城市規(guī)定，每停車5分鐘按1km路程計費)，這個司

機一次接送旅客的行車路程;是一個隨機變量，他收旅客的租車費可也是?個隨機變量.

(1)求租車費H關(guān)于行車路程4的關(guān)系式；

(H)已知某旅客實付租車費38元，而出租汽車實際行駛了15km,問出租車在途中因故停車?yán)塾嬜疃鄮追昼姡?/p>

解：⑴依題意得n=2(g-4)+10,即n=2&+〃

(II)i38=2C+2,得&=18,5X(18-15)=15.

所以，出租車在途中因故停車?yán)塾嬜疃?5分鐘.

四、課堂練習(xí)：

1.①某尋呼臺一小時內(nèi)收到的尋呼次數(shù)占；②長江上某水文站視察到一天中的水位看；③某超市一天中的顧客量J.其中的J是連

續(xù)型隨機變量的是()

A.①；B.②；C.③；D.①②③

2.隨機變量4的全部等可能取值為1,2,???,〃，若P(J<4)=0.3,則()

A.〃=3；B.〃=4；c.n=10；D.不能確定

3.拋擲兩次骰子，兩個點的和不等于8的概率為()

4.假如看是一個離散型隨機變量，則假命題是()

A.J取每一個可能值的概率都是非負(fù)數(shù)；B.J取全部可能值的概率之和為1；

C.J取某幾個值的概率等于分別取其中每個值的概率之和；

D.J在某一范圍內(nèi)取值的概率大于它取這個范圍內(nèi)各個值的概率之和.

答案：l.B2.C3.B4.D

五、小結(jié)：隨機變量離散型、隨機變量連續(xù)型隨機變量的概念?隨機變量&是關(guān)于試驗結(jié)果的函數(shù)，即每一個試驗結(jié)果對應(yīng)著一

個實數(shù)；隨機變量g的線性組合n=ag+b(其中a、b是常數(shù))也是隨機變量.

2.1.2離散型隨機變量的分布列

一、復(fù)習(xí)引入：

1.隨機變量：假如隨機試驗的結(jié)果可以用一個變量來表示，那么這樣的變量叫做隨機變量.隨機變量常用希臘字母1、n等表示

2.離散型隨機變量:對于隨機變量可能取的值，可以按肯定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量.

3.連續(xù)型隨機變量：對于隨機變量可能取的值，可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的變量就叫做連續(xù)型隨機變量.

4.離散型隨機變量與連續(xù)型隨機變量的區(qū)分與聯(lián)系：離散型隨機變量與連續(xù)型隨機變量都是用變量表示隨機試驗的結(jié)

果；但是離散型隨機變量的結(jié)果可以按肯定次序一一列出，而連續(xù)性隨機變量的結(jié)果不行以一一列出.

若專是隨機變量，〃=+是常數(shù),則〃也是隨機變量.并且不變更其屬性（離散型、連續(xù)型）?

請同學(xué)們閱讀課本凡6的內(nèi)容，說明什么是隨機變量的分布列？

二、講解新課：

1.分布列：設(shè)離散型隨機變量f可能取得值為

X1,X&,…，刖，…，

<取每一個值無（六1,2,…）的概率為？（4=玉）=化，則稱表

小X2Xi

PP\Pi

為隨機變量f的概率分布，簡稱f的分布列.

2.分布列的兩特性質(zhì)：任何隨機事務(wù)發(fā)生的概率都滿意：OWP（4）W1,并且不行能事務(wù)的概率為0,必定事務(wù)的概率為1.由

此你可以得出離散型隨機變量的分布列都具有下面兩特性質(zhì)：

⑴用0,7=1,2,…；

（2）.+腎…=1.

對于離散型隨機變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個范圍內(nèi)各個值的概率的和.即

==乙）+0?=%事）+…?

3.兩點分布列：

例1.在擲一枚圖釘?shù)碾S機試驗中，令x=P''十尖向上；

[o,針尖向下.

假如針尖向上的概率為〃，試寫出隨機變量X的分布列.

解：依據(jù)分布列的性質(zhì)，針尖向下的概率是（1一〃）.于是，隨機變量X的分布列是

01

Pl-pp

像上面這樣的分布列稱為兩點分布列.

兩點分布列的應(yīng)用特別廣泛.如抽取的彩券是否中獎；買回的一件產(chǎn)品是否為正品；新生嬰兒的性別；投籃是否命中等，都可

以用兩點分布列來探討.假如隨機變量X的分布列為兩點分布列，就稱X聽從兩點分布（two—pointdistribution）,而稱p=P（X=

I）為勝利概率.

兩點分布又稱。一1分布.由于只有兩個可能結(jié)果的隨機試驗叫伯努利（Bernoulli）試驗，所以還稱這種分布為伯努利分布.

P（J=o）=q，P（J=i）=p,

0<p<\,p+q=1.

4.超幾何分布列：

例2.在含有5件次品的100件產(chǎn)品中，任取3件，試求：

（1）取到的次品數(shù)X的分布列；

（2）至少取到1件次品的概率.

解：（1）由于從100件產(chǎn)品中任取3件的結(jié)果數(shù)為C1,從100件產(chǎn)品中任取3件，

其中恰有k件次品的結(jié)果數(shù)為那么從100件產(chǎn)品中任取3件，其中恰有k件次品的概率為

「k^~y3—k

5~5

P(X=Z)=，攵=0,1,2,3。

所以隨機變量x的分布列是

X0123

C?c2c'

PyJ95

C：)oGooG1)Goo

(2)依據(jù)隨機變量X的分布列，可得至少取到1件次品的概率

P(X>1)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)

^0.13806+0.00588+0.00006

=0.14400.

一般地，在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件次品數(shù)，則事務(wù){(diào)X二k}發(fā)生的概率為

「k「n-k

p(X=k)=，后=0,1,2,

或

其中m=min{M,〃},顯n&N,M4N,n,M,NeN*.稱分布列

X01m

XT/I-I「in^n-m

p…

禺品

為超幾何分布列.假如隨機變量X的分布列為超幾何分布列，則稱隨機變量X聽從超幾何分布(hypergeometriCdistribution).

例3.在某年級的聯(lián)歡會上設(shè)計了一個摸獎嬉戲，在一個口袋中裝有10個紅球和20個白球，這些球除顏色外完全相同.一次

從中摸出5個球，至少摸到3個紅球就中獎.求中獎的概率.

解：設(shè)摸出紅球的個數(shù)為X,則X聽從超幾何分布，其中N=30,M=10,n=5.于是中獎的概率

P(X23)=P(X=3)+P(X=4)十P(X=5)

「305-3「405-405「5-5

jo5o」o++0cz30-10y0⑼

C；0C；oC；o

思索：假如要將這個嬉戲的中獎率限制在55%左右，那么應(yīng)當(dāng)如何設(shè)計中獎規(guī)則？

P1&=k)=C'C"，

例4.已知一批產(chǎn)品共"件，其中M件是次品，從中任取布件，試求這"件產(chǎn)品中所含次品件數(shù)X的分布律。

解明顯，取得的次品數(shù)X只能是不大于“與“最小者的非負(fù)整數(shù)，即X的可能取值為：0,1,....min{M,77},由

古典概型知

P(X=Q=",7,左=0,1,2,,m

CN

此時稱X聽從參數(shù)為的超幾何分布。

注超幾何分布的上述模型中，“任取浮件”應(yīng)理解為“不放回地一次取一件，連續(xù)取》件”.假如是有放回地抽取，就變成了"重

貝努利試驗，這時概率分布就是二項分布.所以兩個分布的區(qū)分就在于是不放回地抽樣，還是有放回地抽樣.若產(chǎn)品總數(shù)"很大時，

那么不放回抽樣可以近似地看成有放回抽樣.因此，當(dāng)斯―8時，超幾何分布的極限分布就是二項分布，即有如下定理.

M

定理假如當(dāng)Nf8時，—,p，那么當(dāng)NTco時(無，〃不變)，則

N

堂或小(1—p)j

由于普阿松分布又是二項分布的極限分布，于是有：

超幾何分布T二項分布T普阿松分布.

例5.一盒中放有大小相同的紅色、綠色、黃色三種小球，已知紅球個數(shù)是綠球個數(shù)的兩倍，黃球個數(shù)是綠球個數(shù)的一半.現(xiàn)

從該盒中隨機取出一個球，若取出紅球得1分，取出黃球得0分，取出綠球得一1分，試寫出從該盒中取出一球所得分?jǐn)?shù)<的分

布列.

分析：欲寫出f的分布列，要先求出S的全部取值，以及f取每一值時的概率.

解：設(shè)黃球的個數(shù)為〃，由題意知

綠球個數(shù)為2/7,紅球個數(shù)為4〃，盒中的總數(shù)為7〃.

4〃4,7]2〃2

??.pc=i)=；=,PC=O)=F=；pc=-i)===g

in77n7in7

所以從該盒中隨機取出一球所得分?jǐn)?shù)f的分布列為

§10-1

412

P

777

說明：在寫出f的分布列后，要剛好檢查全部的概率之和是否為1.

例6.某一射手射擊所得的環(huán)數(shù)f的分布列如下：

<45678910

P0.020.040.060.090.280.290.22

求此射手“射擊?次命中環(huán)數(shù)27”的概率.

分析：“射擊一次命中環(huán)數(shù)次7”是指互斥事務(wù)“f=7”、“f=8”、“f=9”、“f=10”的和，依據(jù)互斥事務(wù)的概率加法公

式，可以求得此射手“射擊一次命中環(huán)數(shù)27”的概率.

解：依據(jù)射手射擊所得的環(huán)數(shù)f的分布列，有

P(<=7)=0.09,P(<=8)=0.28,P(<=9)=0.29,P(<=10)=0.22.

所求的概率為/)(fN7)=0.09+0.28+0.29+0.22=0.88

四、課堂練習(xí)：

某一射手射擊所得環(huán)數(shù)J分布列為

445678910

P0.020.040.060.090.280.290.22

求此射手“射擊一次命中環(huán)數(shù)》7”的概率?

解：“射擊一次命中環(huán)數(shù)27”是指互斥事務(wù)“J=7”，“J=8”，“J=9”，“4=10”的和，依據(jù)互斥事務(wù)的概率加法公式，有:

P(=P(J=7)+P(J=8)+P(J=9)+P(4=10)=0.88.

注：求離散型隨機變量J的概率分布的步驟：

(1)確定隨機變量的全部可能的值上

(2)求出各取值的概率p(J=Xi)=Pi

(3)畫出表格.

五、小結(jié)：⑴依據(jù)隨機變量的概率分步(分步列)，可以求隨機事務(wù)的概率；⑵兩點分布是一種常見的離散型隨機變

量的分布，它是概率論中最重要的幾種分布之一?(3)離散型隨機變量的超幾何分布.

2.2.1條件概率

一、復(fù)習(xí)引入：

探究：三張獎券中只有一張能中獎，現(xiàn)分別由三名同學(xué)無放回地抽取，問最終一名同學(xué)抽到中獎獎券的概率是否比前兩名同學(xué)小.

若抽到中獎獎券用“Y”表示，沒有抽到用“y”,表示，那么三名同學(xué)的抽獎結(jié)果共有三種可能：丫丫丫，丫丫丫和丫丫丫.用

B表示事務(wù)“最終一名同學(xué)抽到中獎獎券”，則B僅包含一個基本領(lǐng)件丫YY.由古典概型計算公式可知，最終一名同學(xué)抽到中

獎獎券的概率為P(B)=g.

思索:假如已經(jīng)知道第一名同學(xué)沒有抽到中獎獎券，那么最終一名同學(xué)抽到獎券的概率又是多少？

因為已知第一名同學(xué)沒有抽到中獎獎券，所以可能出現(xiàn)的基本領(lǐng)件只有歹歹Y和歹Y歹.而“最終一名同學(xué)抽到中獎獎券”

——1

包含的基本領(lǐng)件仍是yYY.由古典概型計算公式可知.最終一名同學(xué)抽到中獎獎券的概率為一,不妨記為P(B|A)，其中A表示

2

事務(wù)”第一名同學(xué)沒有抽到中獎獎券”.

已知第一名同學(xué)的抽獎結(jié)果為什么會影響最終一名同學(xué)抽到中獎獎券的概率呢？

在這個問題中，知道第一名同學(xué)沒有抽到中獎獎券，等價于知道事務(wù)A肯定會發(fā)生，導(dǎo)致可能出現(xiàn)的基本領(lǐng)件必定在事務(wù)A

中，從而影響事務(wù)B發(fā)生的概率，使得P(B|A)關(guān)P(B).

思索:對于上面的事務(wù)A和事務(wù)B,P(B|A)與它們的概率有什么關(guān)系呢？

用C表示三名同學(xué)可能抽取的結(jié)果全體，則它由三個基本領(lǐng)件組成，即￡7=｛丫亍亍，F(xiàn)YF,?PY).既然已知事務(wù)A必

定發(fā)生，那么只需在A=｛歹丫7，歹歹Y)的范圍內(nèi)考慮問題，即只有兩個基本領(lǐng)件亍丫亍和歹歹Y.在事務(wù)A發(fā)生的狀況下事

務(wù)B發(fā)生，等價于事務(wù)A和事務(wù)B同時發(fā)生，即AB發(fā)生.而事務(wù)AB中僅含一個基本領(lǐng)件丫YY,因此

n(AB)

n(A)

其中n(A)和n(AB)分別表示事務(wù)A和事務(wù)AB所包含的基本領(lǐng)件個數(shù).另一方面，依據(jù)古典概型的計算公式,

"(4)

”(C)詞

其中n(。)表示。中包含的基本領(lǐng)件個數(shù).所以,

出

明

〃②aA

n(AB)__-

二加fi)

P(B|A)尸

〃SZ

n(Q)-一

一⑵

〃

因此，可以通過事務(wù)A和事務(wù)AB的概率來表示P(B|A).

條件概率

1.定義

設(shè)力和8為兩個事務(wù)，P(4)>0,那么，在“力已發(fā)生”的條件下，8發(fā)生的條件概率(conditionalprobability).P(B\A)

讀作A發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率.

P(B]A)定義為

P(A)

由這個定義可知，對隨意兩個事務(wù)A、B,若尸則有

P(AB)=P(BIA)P(A).

并稱上式微概率的乘法公式.

2.P(?|B)的性質(zhì)：

(1)非負(fù)性：對隨意的A￡f.0<P(BIA)<1：

(2)規(guī)范性：P(QIB)=1；

(3)可列可加性：假如是兩個互斥事務(wù)，則

P(BC|A)=P(B|A)+P(C|A).

更一般地，對隨意的一列兩兩部相容的事務(wù)A：(1=1,2-),有

pUAIBWP(A”)?

例1.在5道題中有3道理科題和2道文科題.假如不放回地依次抽取2道題，求：

(1)第1次抽到理科題的概率；

(2)第1次和第2次都抽到理科題的概率；

(3)在第1次抽到理科題的條件下，第2次抽到理科題的概率.

解：設(shè)第1次抽到理科題為事務(wù)A,第2次抽到理科題為事務(wù)B,則第1次和第2次都抽到理科題為事務(wù)AB.

(1)從5道題中不放回地依次抽取2道的事務(wù)數(shù)為

n(￡2)6=20.

依據(jù)分步乘法計數(shù)原理，n(A)=A；XA；=12.于是

〃(Q)205

(2)因為n(AB)==6,所以

尸(明二嚙叫得

(3)解法1由(1)(2)可得，在第1次抽到理科題的條件下，第2次抽到理科題的概

3

1

尸⑹加第10-=-

32

5一

解法2因為n(AB)=6,n(A)=12,所以

P(AB)61

P(B\A)=

P⑷122

例2.一張儲蓄卡的密碼共位數(shù)字，每位數(shù)字都可從0?9中任選一個.某人在銀行自動提款機上取錢時，遺忘了密碼的最終?

位數(shù)字，求：

(1)隨意按最終一位數(shù)字，不超過2次就按對的概率；

(2)假如他記得密碼的最終一位是偶數(shù)，不超過2次就按對的概率.

解:設(shè)第i次按對密碼為事務(wù)Aj(i=1,2),則A=A(A&)表示不超過2次就按對密碼.

因為事務(wù)與事務(wù)不互斥，由概率的加法公式得

(1)A4

—1QxlI

P(A)=P(A)+P(A4)=—+-----=

^1010x95

(2)用B表示最終一位按偶數(shù)的事務(wù)，則

P(A|3)=P(AI8)+P(44I3)

14x12

——I------——.

55x45

課堂練習(xí).

1、拋擲一顆質(zhì)地勻稱的骰子所得的樣本空間為S=(l,2,3,4,5,6},令事務(wù)A={2,3,5},B={1,2,4,5,6},求P(A),

P(B),P(AB),P(AIB)o

2、一個正方形被平均分成9個部分，向大正方形區(qū)域隨機地投擲一個點(每次都能投中)，設(shè)投中最左側(cè)3個小正方形區(qū)域的

事務(wù)記為A,投中最上面3個小正方形或正中間的1個小正方形區(qū)域的事務(wù)記為B,求P(AB),P(A|B)o

3、在一個盒子中有大小一樣的20個球，其中10和紅球，10個白球。求第1個人摸出1個紅球，緊接著第2個人摸出1個白

球的概率。

2.2.2事務(wù)的相互獨立性

一、復(fù)習(xí)引入：

1.事務(wù)的定義：隨機事務(wù)：在肯定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事務(wù)；

必定事務(wù)：在肯定條件下必定發(fā)生的事務(wù)；

不行能事務(wù)：在肯定條件下不行能發(fā)生的事務(wù).

m

2.隨機事務(wù)的概率：一般地，在大量重復(fù)進(jìn)行同一試驗時，事務(wù)A發(fā)生的頻率一總是接近某個常數(shù)，在它旁邊搖擺，這時就把

n

這個常數(shù)叫做事務(wù)A的概率，記作P(A).

3.概率的確定方法：通過進(jìn)行大量的重復(fù)試驗，用這個事務(wù)發(fā)生的頻率近似地作為它的概率；

4.概率的性質(zhì)：必定事務(wù)的概率為1,不行能事務(wù)的概率為0,隨機事務(wù)的概率為。4尸(A)<1,必定事務(wù)和不行能事務(wù)看作隨

機事務(wù)的兩個極端情形?

5.基本領(lǐng)件：一次試驗連同其中可能出現(xiàn)的每一個結(jié)果(事務(wù)A)稱為一個基本領(lǐng)件.

6.等可能性事務(wù)：假如一次試驗中可能出現(xiàn)的結(jié)果有〃個，而且全部結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，那么每個基本領(lǐng)件的概率都是

n

這種事務(wù)叫等可■能性事務(wù).

7.等可能性事務(wù)的概率：假如一次試驗中可能出現(xiàn)的結(jié)果有〃個，而且全部結(jié)果都是等可能的，假如事務(wù)A包含m個結(jié)果，那

tn

么事務(wù)A的概率尸(A)=—.

n

8.等可能性事務(wù)的概率公式及一般求解方法.

9.事務(wù)的和的意義:對于事務(wù)A和事務(wù)B是可以進(jìn)行加法運算的.

10.互斥事務(wù):不行能同時發(fā)生的兩個事務(wù).P(A+3)=P(A)+P(B)

一般地：假如事務(wù)A，4，,中的任何兩個都是互斥的，那么就說事務(wù)4,,A”彼此互斥.

11.對立事務(wù):必定有一個發(fā)生的互斥事務(wù).P(A+A)=1=P(A)=1-P(A)

12.互斥事務(wù)的概率的求法:假如事務(wù)4,彼此互斥，那么

2（4+4+...+4）=/4）+2（4）++P（4）.

探究：

(1)甲、乙兩人各擲一枚硬幣，都是正面朝上的概率是多少？

事務(wù)A：甲擲一枚硬幣，正面朝上；事務(wù)B：乙擲一枚硬幣，正面朝上.

(2)甲壇子里有3個白球，2個黑球，乙壇子里有2個白球，2個黑球，從這兩個壇子里分別摸出1個球，它們都是白球的概率

是多少？

事務(wù)A：從甲壇子里摸出1個球，得到白球：事務(wù)8：從乙壇子里摸出1個球，得到白球.

問題(1)、(2)中事務(wù)A、8是否互斥？(不互斥)可以同時發(fā)生嗎？(可以)

問題(1)、(2)中事務(wù)A(或B)是否發(fā)生對事務(wù)3(或A)發(fā)生的概率有無影響？(無影響)?

思索:三張獎券中只有一張能中獎，現(xiàn)分別由三名同學(xué)有放回地抽取，事務(wù)A為“第一名同學(xué)沒有抽到中獎獎券"，事務(wù)B為“最

終一名同學(xué)抽到中獎獎券”.事務(wù)A的發(fā)生會影響事務(wù)B發(fā)生的概率嗎？

明顯，有放回地抽取獎券時，最終一名同學(xué)也是從原來的三張獎券中任抽一張，因此第一名同學(xué)抽的結(jié)果對最終一名同學(xué)的抽

獎結(jié)果沒有影響，即事務(wù)A的發(fā)生不會影響事務(wù)B發(fā)生的概率.于是

P(B|A)=P(B),

P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B).

二、講解新課：

1.相互獨立事務(wù)的定義：

設(shè)A,B為兩個事務(wù)，假如P(AB)=P(A)P(B),則稱事務(wù)A與事務(wù)B相互獨立(mutuallyindependent).

事務(wù)A(或8)是否發(fā)生對事務(wù)8(或4)發(fā)生的概率沒有影響，這樣的兩個事務(wù)叫做相互獨立事務(wù).

若A與B是相互獨立事務(wù)，則A與B,A與8,A與3也相互獨立.

2.相互獨立事務(wù)同時發(fā)生的概率：P(AB)=P(A)P(B)

問題2中,“從這兩個壇子里分別摸出1個球,它們都是白球”是一個事務(wù)，它的發(fā)生，就是事務(wù)A,8同時發(fā)生，記作簡

稱積事務(wù))

從甲壇子里操出1個球，有5種等可能的結(jié)果；從乙壇子里摸出1個球，有4種等可能的結(jié)果?于是從這兩個壇子里分別摸出1

個球，共有5x4種等可能的結(jié)果?同時摸出白球的結(jié)果有3x2種?所以從這兩個壇子里分別摸出1個球，它們都是白球的概率

3x23

P(AJ?)=

5^4-W

32

另一方面，從甲壇子里摸出1個球，得到白球的概率尸(A)=g,從乙壇子里摸出1個球，得到白球的概率P(5)=1.明

顯尸(A?3)=尸(A)?P(B).

這就是說，兩個相互獨立事務(wù)同時發(fā)生的概率，等于每個事務(wù)發(fā)生的概率的積?一般地，假如事務(wù)4，人2，-相互獨立，那

么這〃個事務(wù)同時發(fā)生的概率，等于每個事務(wù)發(fā)生的概率的積，

即A.4…一4)=2A).24)……24)?

3.對于事務(wù)A與8及它們的和事務(wù)與積事務(wù)有下面的關(guān)系：

尸(A+5)=尸(A)+P(3)-尸(A?B).

三、講解范例：

例L某商場推出二次開獎活動，凡購買肯定價值的商品可以獲得一張獎券.獎券上有一個兌獎號碼，可以分別參與兩次抽獎方

式相同的兌獎活動.假如兩次兌獎活動的中獎概率都是0.05,求兩次抽獎中以下事務(wù)的概率：

(1)都抽到某一指定號碼；

(2)恰有一次抽到某一指定號碼；

(3)至少有一次抽到某一指定號碼.

解：(1)記“第一次抽獎抽到某一指定號碼”為事務(wù)A,“其次次抽獎抽到某一指定號碼”為事務(wù)B,則“兩次抽獎都抽到某

一指定號碼”就是事務(wù)AB.由于兩次抽獎結(jié)果互不影響，因此A與B相互獨立.于是由獨立性可得，兩次抽獎都抽到某一指定號

碼的概率

P(AB)=P(A)P(B)=0.05X0.05=0.0025.

(2)”兩次抽獎恰有一次抽到某一指定號碼”可以用(A8)U(AB)表示.由于事務(wù)A8與AB互斥，依據(jù)概率加法公式

和相互獨立事務(wù)的定義，所求的概率為

P(AB)十P(4B)=P(A)P(8)+P(A)P(B)

=0.05X(1-0.05)+(1-0.05)X0.05=0.095.

(3)“兩次抽獎至少有一次抽到某一指定號碼”可以用(AB)u(A8)u(AB)表示.由于事務(wù)AB.AB和AB兩兩互

斥，依據(jù)概率加法公式和相互獨立事務(wù)的定義，所求的概率為P(AB)+P(Afi)+P(B)=0.0025+0.095=0.0975.

例2.甲、乙二射擊運動員分別對一目標(biāo)射擊1次，甲射中的概率為0.8,乙射中的概率為0.9,求：

(1)2人都射中目標(biāo)的概率；

(2)2人中恰有1人射中目標(biāo)的概率；

(3)2人至少有1人射中目標(biāo)的概率；

(4)2人至多有1人射中目標(biāo)的概率？

解：記”甲射擊1次，擊中目標(biāo)”為事務(wù)A,“乙射擊1次，擊中目標(biāo)”為事務(wù)5,則A與8,A與B,A與8,A與B

為相互獨立事務(wù)，

(1)2人都射中的概率為：

P(AB)=P(A)-P(B)=0.8x0.9=0.72,

/.2人都射中目標(biāo)的概率是0.72.

(2)“2人各射擊1次，恰有1人射中目標(biāo)”包括兩種狀況：一種是甲擊中、乙未擊中(事務(wù)A?5發(fā)生)，另一種是甲未擊中、

乙擊中(事務(wù)發(fā)生).依據(jù)題意，事務(wù)與互斥，依據(jù)互斥事務(wù)的概率加法公式和相互獨立事務(wù)的概率乘法公式，

所求的概率為：

P(A-B)+P(AB)=P(A)-P(B)+-面.P(B)

=0.8x(l-0.9)+(1-0.8)x0.9=0.08+0.18=0.26

/.2人中恰有1人射中目標(biāo)的概率是0.26.

(3)(法1)：2人至少有1人射中包括“2人都中”和“2人有1人不中”2種狀況，其概率為

P=P(A-B)+[P(AB)+P(A-B)]=0.72+0.26=0.98.

(法2)：”2人至少有一個擊中"與“2人都未擊中”為對立事務(wù)，

2個都未擊中目標(biāo)的概率是P(A,B)=P(A),P(B)=(1—0.8)(l—0.9)=0.02,

“兩人至少有1人擊中目標(biāo)”的概率為尸=1—P(A-3)=1-0.02=0.98.

(4)(法1)：”至多有1人擊中目標(biāo)”包括“有1人擊中”和“2人都未擊中”，

故所求概率為：

P=P(AB)+P(AB)+P(AB)

=P(A)P(B)+P(A)-P(B)+P(A)-P(B)

=0.02+0.08+0.18=0.28.

(法2)：”至多有1人擊中目標(biāo)”的對立事務(wù)是“2人都擊中目標(biāo)”，

故所求概率為尸=1—P(A?8)=1—P(A)?P(3)=1-0.72=0.28.

例3.在一段線路中并聯(lián)著3個自動限制的常開開關(guān)，只要其中有J；V，1個開關(guān)能夠閉合，線路

就能正常工作?假定在某段時間內(nèi)每個開關(guān)能夠閉合的概率都是0.7,計算在這段時間內(nèi)線路

正常工作的概率.

解：分別記這段時間內(nèi)開關(guān)JA，JR，JC能夠閉合為事務(wù)A,B,C.

由題意，這段時間內(nèi)3個開關(guān)是否能夠閉合相互之間沒有影響?依據(jù)相互獨立事務(wù)的概率乘法公式，這段時間內(nèi)3個開關(guān)都不能

閉合的概率是

P(ABC)=P(不?P(歷?P(C)

=[1-P(A)][1-P(B)][1-P(C)]=(1-0.7)(l-0.7)(l-0.7)=0.027

，這段時間內(nèi)至少有1個開關(guān)能夠閉合,，從而使線路能正常工作的概率是

1—P(二瓦心)=1一0.027=0.973.

答：在這段時間內(nèi)線路正常工作的概率是0.973.

變式題1：如圖添加第四個開關(guān)與其它三個開關(guān)串聯(lián)，在某段時間內(nèi)此開關(guān)能夠閉合的概率也是0.7,計算在這段時間內(nèi)線

路正常工作的概率.

([l-P(A-B-C)]-P(D)=0.973x0.7=0.6811)

變式題2：如圖兩個開關(guān)串聯(lián)再與第三個開關(guān)并聯(lián)，在某段時間內(nèi)每個開關(guān)能夠閉合的概率都是0.7,計算在這段時間內(nèi)線路

正常工作的概率.

方法一：P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)

=P(A)?P(B)-P(C)+P(A)?P(B)?P(C)+P(N)?P(B)-P(C)

+P(A).P(3).P(C)+P(A)P(B)?P(C)

=0.847J%>JB>

方法二：分析要使這段時間內(nèi)線路正常工作只要解除J。開且與/臺至少有1個開的

狀況.-

1-P(C)[l-P(AB)]=l-0.3x(1-0.72)=0.847

例4.己知某種高炮在它限制的區(qū)域內(nèi)擊中敵機的概率為0.2.

(1)假定有5門這種高炮限制某個區(qū)域，求敵機進(jìn)入這個區(qū)域后未被擊中的概率；

(2)要使敵機一旦進(jìn)入這個區(qū)域后有0.9以上的概率被擊中，需至少布置幾門高炮？

分析：因為敵機被擊中的就是至少有1門高炮擊中敵機，故敵機被擊中的概率即為至少有1門高炮擊中敵機的概率.

解：(1)設(shè)敵機被第k門高炮擊中的事務(wù)為(k=i,2,3,4,5),那么5門高炮都未擊中敵機的事務(wù)為AAr4.

?.?事務(wù)A1,A2,A3,A4,4相互獨立，

.,.敵機未被擊中的概率為

d4?4?4?4)=p(不).口4).p(4)?p(4)?p(4)

=(l-0.2)5=(1)5.

...敵機未被擊中的概率為(1)5.

(2)至少須要布置〃門高炮才能有0.9以上的概率被擊中，仿(1)可得：

敵機被擊中的概率為1-

441

.??令1—(―)〃20.9,???(一)〃《一

5510

兩邊取常用對數(shù)，得—!一?10.3.

l-31g2

?;neN*,工n=ll?

???至少須要布置11門高炮才能有0.9以上的概率擊中敵機

點評：上面例1和例2的解法，都是解應(yīng)用題的逆向思索方法?采納這種方法在解決帶有詞語“至多”、“至少”的問題時的運用,

常常能使問題的解答變得簡便.

四、課堂練習(xí):

1.在一段時間內(nèi)，甲去某地的概率是』，乙去此地的概率是1，假定兩人的行動相互之間沒有影響，那么在這段時間內(nèi)至少有1

45

人去此地的概率是()

9

(嗚(B)((C)(D)—

I20

2.從甲口袋內(nèi)摸出1個臼球的概率是,，從乙口袋內(nèi)摸出1個白球的概率是1,從兩個口袋內(nèi)各摸出1個球，那么9等于()

326

(4)2個球都是白球的概率(8)2個球都不是白球的概率

(C)2個球不都是白球的概率(。)2個球中恰好有1個是白球的概率

3.電燈泡運用時間在1000小時以上概率為0.2,則3個燈泡在運用1000小時后壞了1個的概率是()

(A)0.128(3)0.096(C)0.104(￡))0.384

4.某道路的A、B、C三處設(shè)有交通燈，這三盞燈在一分鐘內(nèi)開放綠燈的時間分別為25秒、35秒、45秒，某輛車在這條路上

行駛時，三處都不停車的概率是()

(A)—(B)—(C)—(￡>)—

192192576192

5.(1)將一個硬幣連擲5次，5次都出現(xiàn)正面的概率是；

(2)甲、乙兩個氣象臺同時作天氣預(yù)報，假如它們預(yù)報精確的概率分別是0.8與0.7,那么在一次預(yù)報中兩個氣象臺都預(yù)報精確的

概率是.

6.棉籽的發(fā)芽率為0.9,發(fā)育為壯苗的概率為0.6,

(1)每穴播兩粒，此穴缺苗的概率為—;此穴無壯苗的概率為.

(2)每穴播三粒，此穴有苗的概率為;此穴有壯苗的概率為.

7.一個工人負(fù)責(zé)看管4臺機床，假如在1小時內(nèi)這些機床不須要人去照看的概率第1臺是0.79,第2臺是0.79,第3臺是0.80,

第4臺是0.81,且各臺機床是否須要照看相互之間沒有影響，計算在這個小時內(nèi)這4臺機床都不須要人去照看的概率.

8.制造一種零件，甲機床的廢品率是0.04,乙機床的廢品率是0.05.從它們制造的產(chǎn)品中各任抽1件，其中恰有1件廢品的概率

是多少？

9.甲袋中有8個白球，4個紅球；乙袋中有6個白球，6個紅球，從每袋中任取一個球，問取得的球是同色的概率是多少？

答案：1.c2.c3.B4.A5.(1)—(2)0.566.(1)0.01,0.16(2)0.999,0.936

32

7.P=0.792X0.812?0.4048.P=0.04x0.95+0.96x0.05?0.0869.提示:P=——+.

121212122

五、小結(jié)：兩個事務(wù)相互獨立，是指它們其中一個事務(wù)的發(fā)生與否對另一個事務(wù)發(fā)生的概率沒有影響?一般地，兩個事務(wù)不行能即

互斥又相互獨立，因為互斥事務(wù)是不行能同時發(fā)生的，而相互獨立事務(wù)是以它們能夠同時發(fā)生為前提的?相互獨立事務(wù)同時發(fā)生的概

率等于每個事務(wù)發(fā)生的概率的積,這一點與互斥事務(wù)的概率和也是不同的.

2.2.3獨立重復(fù)試驗與二項分布

一、復(fù)習(xí)引入：

1.事務(wù)的定義：隨機事務(wù)：在肯定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事務(wù)；

必定事務(wù)：在肯定條件下必定發(fā)生的事務(wù)；

不行能事務(wù)：在肯定條件下不行能發(fā)生的事務(wù).