中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)重難點(diǎn)與壓軸題型專項(xiàng)突破訓(xùn)練專題07 全等三角形旋轉(zhuǎn)、一線三等角模型（重點(diǎn)突圍）(教師版)

專題07全等三角形旋轉(zhuǎn)、一線三等角模型【中考考向?qū)Ш健磕夸汿OC\o"1-3"\h\u【直擊中考】 1【考向一全等三角形旋轉(zhuǎn)模型】 1【考向二全等三角形一線三等角模型】 26【直擊中考】【考向一全等三角形旋轉(zhuǎn)模型】例題：（2022·山東菏澤·菏澤一中?？寄M預(yù)測(cè)）如圖①，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點(diǎn)D，E分別在邊SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0．則SKIPIF1<0．現(xiàn)將SKIPIF1<0繞點(diǎn)A順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為SKIPIF1<0．如圖②，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)如圖②，請(qǐng)直接寫出SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的數(shù)量關(guān)系．(2)將SKIPIF1<0旋轉(zhuǎn)至如圖③所示位置時(shí)，請(qǐng)判斷SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并加以證明．(3)在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，當(dāng)SKIPIF1<0的面積最大時(shí)，SKIPIF1<0______．（直接寫出答案即可）【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，理由見解析(3)SKIPIF1<0【分析】（1）利用SKIPIF1<0證明SKIPIF1<0，可得結(jié)論；（2）設(shè)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相交于點(diǎn)O，證明SKIPIF1<0，即可得到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，進(jìn)一步得到SKIPIF1<0，即可得到結(jié)論．（3）在SKIPIF1<0中，邊SKIPIF1<0的長(zhǎng)度為定值，當(dāng)SKIPIF1<0邊上的高最大時(shí)，SKIPIF1<0的面積最大，則當(dāng)點(diǎn)D在SKIPIF1<0的垂直平分線上時(shí)，SKIPIF1<0的面積最大，進(jìn)一步求解即可得到旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)．【詳解】（1）SKIPIF1<0，理由如下：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0且SKIPIF1<0．理由如下：∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相交于點(diǎn)O，由SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0且SKIPIF1<0；（3）在SKIPIF1<0中，邊SKIPIF1<0的長(zhǎng)度為定值，當(dāng)SKIPIF1<0邊上的高最大時(shí)，SKIPIF1<0的面積最大，∴當(dāng)點(diǎn)D在SKIPIF1<0的垂直平分線上時(shí)，SKIPIF1<0的面積最大，如圖所示，∵SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0于點(diǎn)G，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即當(dāng)SKIPIF1<0的面積最大時(shí)，SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)，證明SKIPIF1<0是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】一、選擇題1．（2022·重慶璧山·統(tǒng)考一模）如圖，在正方形SKIPIF1<0中，將邊SKIPIF1<0繞點(diǎn)SKIPIF1<0逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則線段SKIPIF1<0的長(zhǎng)度為（

）A．2 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可知SKIPIF1<0SKIPIF1<0．取點(diǎn)SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0SKIPIF1<0的中點(diǎn)，并連接SKIPIF1<0．根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)，可證得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，從而證得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0再利用勾股定理即可求解．【詳解】解：如圖，取點(diǎn)SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0SKIPIF1<0的中點(diǎn)，并連接SKIPIF1<0．依題意得，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在正方形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)及勾股定理的運(yùn)用等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是輔助線的添加．2．（2022·四川南充·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直角SKIPIF1<0的頂點(diǎn)SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，將SKIPIF1<0繞頂點(diǎn)SKIPIF1<0旋轉(zhuǎn)，兩邊SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別交SKIPIF1<0，SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．下列四個(gè)結(jié)論：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0是等腰直角三角形；③SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，上述四個(gè)結(jié)論始終正確的有（）A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④【答案】D【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0．可證SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即證得SKIPIF1<0與SKIPIF1<0全等，根據(jù)全等三角形性質(zhì)判斷結(jié)論是否正確．【詳解】解：∵SKIPIF1<0，直角SKIPIF1<0的頂點(diǎn)P是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0與SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故①正確；∴SKIPIF1<0是等腰直角三角形，故②正確；∵SKIPIF1<0是等腰直角三角形，P是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0不一定是SKIPIF1<0的中位線，∴SKIPIF1<0不一定成立，故③錯(cuò)誤；∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故④正確．故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形的面積，掌握等腰直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，DE平分SKIPIF1<0交BC于點(diǎn)E，點(diǎn)F是CD邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)D重合）．點(diǎn)P為DE上一動(dòng)點(diǎn)，SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，角的兩邊交射線DA于H，G兩點(diǎn)，有下列結(jié)論：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0，其中一定正確的是（

）A．①② B．②③ C．①④ D．③④【答案】D【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)判斷得SKIPIF1<0，可判斷③正確，證SKIPIF1<0可判斷④正確，從而得出結(jié)果.【詳解】解：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，SKIPIF1<0，∵DE平分SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴PH=PD，∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0故③正確；∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，故④正確；根據(jù)已知條件無(wú)法證明①DH=DE，②DP=DG.故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查矩形的性質(zhì)、三角形的全等、三角形的相似，掌握相關(guān)知識(shí)并靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．二、填空題4．（2022·廣西賀州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，SKIPIF1<0為等腰三角形，SKIPIF1<0，點(diǎn)B到x軸的距離為4，若將SKIPIF1<0繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，則點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)為__________．【答案】SKIPIF1<0【分析】過(guò)B作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，過(guò)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0軸于SKIPIF1<0，構(gòu)建SKIPIF1<0，即可得出答案．【詳解】過(guò)B作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，過(guò)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0軸于SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，由旋轉(zhuǎn)可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及如何構(gòu)造全等三角形求得線段的長(zhǎng)度，準(zhǔn)確構(gòu)造全等三角形求得線段長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵．5．（2022·江蘇無(wú)錫·模擬預(yù)測(cè)）笑笑將一副三角板按如圖所示的位置放置，SKIPIF1<0的直角頂點(diǎn)SKIPIF1<0在邊SKIPIF1<0的中點(diǎn)處，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0繞點(diǎn)SKIPIF1<0自由旋轉(zhuǎn)，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別交SKIPIF1<0，SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0的長(zhǎng)為______．【答案】SKIPIF1<0【分析】連接AO，證明SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，在利用勾股定理求出SKIPIF1<0的長(zhǎng)即可．【詳解】如圖，連接AO，∵由題意可知SKIPIF1<0是等腰直角三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是邊SKIPIF1<0的中點(diǎn)∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵在SKIPIF1<0中，由勾股定理得：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，和勾股定理，正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．6．（2022·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形ABCD中，BC=2AB，點(diǎn)P為邊AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段BP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BP'，連接PP'，CP'．當(dāng)點(diǎn)P'落在邊BC上時(shí)，∠PP'C的度數(shù)為________；當(dāng)線段CP'的長(zhǎng)度最小時(shí)，∠PP'C的度數(shù)為________【答案】

120°##120度

75°##75度【分析】由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)及旋轉(zhuǎn)角知△BPP′為等邊三角形，得到∠PP′B=60°；當(dāng)點(diǎn)P'落在邊BC上時(shí)，∠PP'C=180°-∠PP′B=120°；將線段BA繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后點(diǎn)A落在點(diǎn)E，連接BE，得到△ABP≌△EBP′(SAS)，再證明△ABP為等腰直角三角形，進(jìn)而得到∠EP′B=∠APB=45°，最后當(dāng)CP′⊥EF于H時(shí)，CP′有最小值，由此可以求出∠PP'C=∠EP′C-∠EP′P=90°-15°=75°．【詳解】解：由線段BP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BP'可知，△BPP′為等邊三角形，∴∠PP′B=60°，當(dāng)點(diǎn)P'落在邊BC上時(shí)，∠PP'C=180°-∠PP′B=180°-60°=120°；將線段BA繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，點(diǎn)A落在點(diǎn)E，連接BE，設(shè)EP′交BC于G點(diǎn)，如下圖所示：則∠ABP=∠ABE-∠PBE=60°-∠PBE，∠EBP′=∠PBP′-∠PBE=60°-∠PBE，∴∠ABP=∠EBP′，且BA=BE，BP=BP′，∴△ABP≌△EBP′(SAS),∴AP=EP′，∠E=∠A=90°，由點(diǎn)P'落在邊BC上時(shí)，∠PP'C=120°可知，∠EGC=120°，∴∠CGP′=∠EGB=180°-120°=60°，∴△EBG與△P′CG均為30°、60°、90°直角三角形，設(shè)EG=x，BC=2y，則BG=2EG=2x，CG=BC-BG=2y-2x，GP′=SKIPIF1<0CG=y-x，∴EP′=EG+GP′=x+(y-x)=y=SKIPIF1<0BC，又已知AB=SKIPIF1<0BC，∴EP′=AB，又由△ABP≌△EBP′知：AP=EP′，∴AB=AP，∴△ABP為等腰直角三角形，∴∠EP′B=∠APB=45°，∠EP′P=60°-∠EP′B=60°-45°=15°，當(dāng)CP′⊥EF于H時(shí)，CP′有最小值，此時(shí)∠PP'C=∠EP′C-∠EP′P=90°-15°=75°，故答案為：120°，75°．【點(diǎn)睛】本題考察了三角形全等的判定方法、矩形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)，屬于四邊形的綜合題，難度較大，熟練掌握各圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．三、解答題7．（2022·山東日照·?？级＃┰赟KIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)，連接SKIPIF1<0，將線段SKIPIF1<0繞點(diǎn)SKIPIF1<0逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為SKIPIF1<0，得到線段SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)如圖1，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，①求證：SKIPIF1<0；②求SKIPIF1<0的度數(shù)；(2)如圖2，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，請(qǐng)直接寫出SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的數(shù)量關(guān)系．(3)當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距離為【答案】(1)①見解析；②SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0；(3)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．【分析】（1）①證明SKIPIF1<0可得結(jié)論．②利用全等三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題即可．（2）證明SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0解決問(wèn)題．（3）分兩種情形，解直角三角形求出SKIPIF1<0即可解決問(wèn)題．【詳解】（1）①證明：如圖1中，SKIPIF1<0將線段SKIPIF1<0繞點(diǎn)SKIPIF1<0逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為SKIPIF1<0，得到線段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是等邊三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．②解：如圖1中，設(shè)SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．（2）解：結(jié)論：SKIPIF1<0．理由：如圖2中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（3）過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0的延長(zhǎng)線于SKIPIF1<0．如圖SKIPIF1<0中，當(dāng)SKIPIF1<0是鈍角三角形時(shí)，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由（2）可知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0如圖SKIPIF1<0中，當(dāng)SKIPIF1<0是銳角三角形時(shí)，同法可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，綜上所述，滿足條件的SKIPIF1<0的值為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．故答案為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形或相似三角形解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問(wèn)題注意一題多解．8．（2022·河北保定·?？家荒＃┤鐖D1，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝10SKIPIF1<0cm，D為AB邊上一點(diǎn)，tan∠ACD＝SKIPIF1<0，點(diǎn)P由C點(diǎn)出發(fā)，以2cm/s的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，連接PD，將PD繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段DQ，連接PQ．(1)填空：BC＝，BD＝；(2)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)幾秒，DQ最短；(3)如圖2，當(dāng)Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到直線AB下方時(shí)，連接BQ，若S△BDQ＝8，求tan∠BDQ；(4)在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，若∠BPQ＝15°，請(qǐng)直接寫出BP的長(zhǎng)．【答案】(1)20cm，8SKIPIF1<0cm(2)4秒(3)SKIPIF1<0(4)8+8SKIPIF1<0或8+SKIPIF1<0【分析】（1）利用勾股定理求出BC，利用三角函數(shù)求出AD，即可得到BD；（2）當(dāng)PD⊥BC時(shí)，PD最短，即DQ最短，利用面積求出PD，即可得到運(yùn)動(dòng)時(shí)間；（3）分別過(guò)點(diǎn)Q、P作AB的垂線，垂足分別為點(diǎn)G，H，證明△DGQ≌△PHD，推出QG=DH，DG=PH，利用面積求出DH=QG=SKIPIF1<0，求出DG即可求出結(jié)果；（4）過(guò)點(diǎn)D作DM⊥BC于點(diǎn)M，則MD=MB=SKIPIF1<0BD=8，分兩種情況，①當(dāng)點(diǎn)Q在BC左側(cè)時(shí)，得∠BPD=SKIPIF1<0，求出PM即可；②當(dāng)點(diǎn)Q在BC右側(cè)時(shí)，得到∠BPD=SKIPIF1<0，求出PM即可．（1）解：∵等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝10SKIPIF1<0cm，∴BC=SKIPIF1<0AB=20cm，∵tan∠ACD＝SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得AD=2SKIPIF1<0cm，∴BD=AB-AD=8SKIPIF1<0cm，故答案為：20cm，8SKIPIF1<0cm；（2）如圖，當(dāng)PD⊥BC時(shí)，PD最短，即DQ最短，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，得PD=8，∴點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)8÷2=4秒，∴點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)4秒時(shí)DQ最短；（3）分別過(guò)點(diǎn)Q、P作AB的垂線，垂足分別為點(diǎn)G，H，則BH=PH，∠QGD=∠PHD=SKIPIF1<0，∵∠QDG+∠DQG=SKIPIF1<0，∠QDG+∠PDH=SKIPIF1<0，∴∠DQG=∠PDH，又∵PD=QD，∴△DGQ≌△PHD，∴QG=DH，DG=PH，∵SKIPIF1<0，BD=8SKIPIF1<0，∴DH=QG=SKIPIF1<0，∵DG=PH=BH=BD-DH=7SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（4）過(guò)點(diǎn)D作DM⊥BC于點(diǎn)M，則MD=MB=SKIPIF1<0BD=8，分兩種情況，①當(dāng)點(diǎn)Q在BC左側(cè)時(shí)，如圖（1），由題意知∠QPD=SKIPIF1<0，又∵BPQ=SKIPIF1<0，∴∠BPD=SKIPIF1<0，∴PM=SKIPIF1<0MD=8SKIPIF1<0，∴BP=BM+PM=8+8SKIPIF1<0；②當(dāng)點(diǎn)Q在BC右側(cè)時(shí)，如圖（2），∵∠QPD=SKIPIF1<0，BPQ=SKIPIF1<0，∴∠BPD=SKIPIF1<0，∴PM=SKIPIF1<0MD=SKIPIF1<0，∴BP=BM+PM=8+SKIPIF1<0；故BP的長(zhǎng)度為8+8SKIPIF1<0或8+SKIPIF1<0．【點(diǎn)睛】此題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，全等三角形的判定和性質(zhì)，垂線段最短的性質(zhì)，熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)及掌握銳角三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵．9．（2022秋·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，正方形ABCD和正方形CEFG（其中BD>2CE），直線BG與DE交于點(diǎn)H．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)G在CD上時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段BG與DE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；(2)將正方形CEFG繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)一周．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在直線CD右側(cè)時(shí)，求證：SKIPIF1<0；②當(dāng)∠DEC＝45°時(shí)，若AB＝3，CE＝1，請(qǐng)直接寫出線段DH的長(zhǎng)．【答案】(1)BG＝DE，BG⊥DE(2)①見解析；②SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【分析】（1）證明△BCG≌△DCE可得結(jié)論；（2）①在線段BG上截取BK＝DH，連接CK．證明△BCK≌△DCH(SAS)，推出CK＝CH，∠BCK＝∠DCH，推出△KCH是等腰直角三角形，即可解決問(wèn)題；②分兩種情形：當(dāng)D，G，E三點(diǎn)共線時(shí)∠DEC＝45°，連接BD；和當(dāng)D，H，E三點(diǎn)共線時(shí)∠DEC＝45°，連接BD，分別根據(jù)正方形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理求解即可解決問(wèn)題．（1）解：BG＝DE，BG⊥DE，理由如下：∵四邊形ABCD和四邊形CEFG都為正方形，∴BC＝CD，∠BCG＝∠DCE＝90°，CG＝CE，∴△BCG≌△DCE(SAS)，∴BG＝DE，∠CBG＝∠CDE．∵∠CDE+∠DEC＝90°，∴∠HBE+∠BEH＝90°，∴∠BHD＝90°，即SKIPIF1<0．綜上可知BG和DE的關(guān)系為BG＝DE且SKIPIF1<0．故答案為：BG＝DE且SKIPIF1<0；（2）①證明：如圖，在線段BG上截取BK＝DH，連接CK．∵四邊形ABCD和四邊形CEFG都為正方形，∴BC＝CD，∠BCD＝∠GCE＝90°，CG＝CE，∴∠BCG＝∠DCE，∴△BCG≌△DCE(SAS)，∴∠CBK＝∠CDH，∵BK＝DH，BC＝DC，∴△BCK≌△DCH(SAS)，∴CK＝CH，∠BCK＝∠DCH，∴∠BCK+∠KCD＝∠DCH+∠KCD，即∠KCH＝∠BCD＝90°，∴△KCH是等腰直角三角形，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；②如圖，當(dāng)D，G，E三點(diǎn)共線時(shí)∠DEC＝45°，連接BD．由（1）同樣的方法可知，BH＝DE，∵四邊形CEFG為正方形∴CE＝CH＝1，∴SKIPIF1<0．∵AB＝3，∴SKIPIF1<0，設(shè)DH＝x，則SKIPIF1<0，在Rt△BDH中，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0（舍）故此時(shí)SKIPIF1<0；如圖，當(dāng)H，E重合時(shí)，∠DEC＝45°，連接BD．設(shè)DH＝x，∵BG＝DH，∴SKIPIF1<0，在Rt△BDH中，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0（舍）故此時(shí)SKIPIF1<0；綜上所述，滿足條件的DH的值為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，正確尋找全等三角形解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．10．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在SKIPIF1<0與SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點(diǎn)D在SKIPIF1<0上．(1)如圖1，若點(diǎn)F在SKIPIF1<0的延長(zhǎng)線上，連接SKIPIF1<0，探究線段SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(2)如圖2，若點(diǎn)D與點(diǎn)A重合，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，連接SKIPIF1<0，點(diǎn)G為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，連接SKIPIF1<0，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，求SKIPIF1<0的最小值；(3)如圖3，若點(diǎn)D為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，連接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0交于點(diǎn)M，SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點(diǎn)N，且SKIPIF1<0，請(qǐng)直接寫出SKIPIF1<0的值．【答案】(1)SKIPIF1<0，證明見解析(2)SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0【分析】（1）過(guò)F作SKIPIF1<0于H，過(guò)E作SKIPIF1<0于G，結(jié)合K字型全等，等腰直角三角形，四點(diǎn)共圓即可得到答案；（2）第二問(wèn)考察隱圓問(wèn)題與阿氏圓，取SKIPIF1<0的中點(diǎn)O，連接SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0上取SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，構(gòu)建相似，轉(zhuǎn)化線段即可得到答案；（3）過(guò)點(diǎn)C作SKIPIF1<0平行線，點(diǎn)F作SKIPIF1<0平行線交于點(diǎn)G；過(guò)點(diǎn)G作SKIPIF1<0于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)K作SKIPIF1<0，證明SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，結(jié)合勾股定理、相似三角形及解直角三角形的知識(shí)進(jìn)行計(jì)算．【詳解】（1）解：（1）線段SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0之間的數(shù)量關(guān)系：SKIPIF1<0，證明如下：過(guò)F作SKIPIF1<0于H，過(guò)E作SKIPIF1<0于G，如圖：∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴點(diǎn)F、D、A、E四點(diǎn)共圓，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0和SKIPIF1<0為等腰直角三角形，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（2）取SKIPIF1<0的中點(diǎn)O，連接SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0上取SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，如圖：∵G為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，O為SKIPIF1<0中點(diǎn)，∴SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中位線，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，要使SKIPIF1<0的最小，需SKIPIF1<0最小，∴當(dāng)H、G、C三點(diǎn)共線時(shí)，SKIPIF1<0的最小，SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<0，如圖：∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<0SKIPIF1<0．（3）過(guò)點(diǎn)C作SKIPIF1<0平行線，點(diǎn)F作SKIPIF1<0平行線交于點(diǎn)G；過(guò)點(diǎn)G作SKIPIF1<0于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)K作SKIPIF1<0，如圖：∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0由SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0為等腰直角三角形，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0為等腰直角三角形，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．【點(diǎn)睛】本題考查等腰直角三角形中的旋轉(zhuǎn)變換，涉及全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形、勾股定理等知識(shí)，中間穿插了不同的模型，對(duì)模型的運(yùn)用與轉(zhuǎn)化能力要求很高，難度較大，屬于壓軸題，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形或相似三角形．11．（2022·內(nèi)蒙古通遼·模擬預(yù)測(cè)）綜合實(shí)踐問(wèn)題情境在圖SKIPIF1<0所示的直角三角形紙片SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是斜邊SKIPIF1<0的中點(diǎn)．?dāng)?shù)學(xué)老師讓同學(xué)們將SKIPIF1<0繞中點(diǎn)SKIPIF1<0做圖形的旋轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)，探究旋轉(zhuǎn)過(guò)程中線段之間的關(guān)系．解決問(wèn)題（1）“實(shí)踐小組”的同學(xué)們將SKIPIF1<0以點(diǎn)SKIPIF1<0為中心按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)SKIPIF1<0的對(duì)應(yīng)點(diǎn)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0重合時(shí)，SKIPIF1<0與它的對(duì)應(yīng)邊SKIPIF1<0交于點(diǎn)SKIPIF1<0．他們發(fā)現(xiàn)：SKIPIF1<0．請(qǐng)你幫助他們寫出證明過(guò)程．?dāng)?shù)學(xué)思考（2）在圖SKIPIF1<0的基礎(chǔ)上，“實(shí)踐小組”的同學(xué)們繼續(xù)將SKIPIF1<0以點(diǎn)SKIPIF1<0為中心進(jìn)行逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)SKIPIF1<0的對(duì)應(yīng)邊SKIPIF1<0時(shí)，設(shè)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于點(diǎn)SKIPIF1<0．他們認(rèn)為SKIPIF1<0．他們的認(rèn)識(shí)是否正確？請(qǐng)說(shuō)明理由．再探發(fā)現(xiàn)（3）解決完上面兩個(gè)問(wèn)題后，“實(shí)踐小組”的同學(xué)們?cè)趫DSKIPIF1<0中連接SKIPIF1<0，他們認(rèn)為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0也具有一定的數(shù)量關(guān)系．請(qǐng)你寫出這個(gè)數(shù)量關(guān)系______．（不要求證明）【答案】（1）見解析；（2）正確，理由見解析；（3）SKIPIF1<0【分析】（1）根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)可得SKIPIF1<0，根據(jù)等邊對(duì)等角、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，根據(jù)等腰三角形三線合一可證SKIPIF1<0；（2）過(guò)點(diǎn)O作SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，垂足分別為N，M，利用“角邊角”證明SKIPIF1<0，推出SKIPIF1<0，再利用“角角邊”證明SKIPIF1<0SKIPIF1<0，推出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，進(jìn)而證明四邊形SKIPIF1<0正方形，通過(guò)等量代換可得SKIPIF1<0，再利用相似三角形的性質(zhì)得出SKIPIF1<0，即可證明SKIPIF1<0；（3）利用正方形的性質(zhì)可得SKIPIF1<0，再結(jié)合（2）的結(jié)論可得SKIPIF1<0．【詳解】解：（1）證明如下：SKIPIF1<0SKIPIF1<0是SKIPIF1<0斜邊SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0；（2）他們的認(rèn)識(shí)正確，理由如下：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．如圖，過(guò)點(diǎn)O作SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，垂足分別為N，M，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四邊形SKIPIF1<0矩形．SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，

SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四邊形SKIPIF1<0正方形．SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0；（3）如圖，連接SKIPIF1<0．由（2）知四邊形SKIPIF1<0正方形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0．【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的判定與性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等，綜合性較強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是通過(guò)作輔助線構(gòu)造全等三角形．【考向二全等三角形一線三等角模型】例題：（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）感知：數(shù)學(xué)課上，老師給出了一個(gè)模型：如圖1，點(diǎn)A在直線SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，像這種一條直線上的三個(gè)頂點(diǎn)含有三個(gè)相等的角的模型我們把它稱為“一線三等角“模型．應(yīng)用：(1)如圖2，SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，過(guò)A作SKIPIF1<0于點(diǎn)D，過(guò)B作SKIPIF1<0于點(diǎn)E．求證：SKIPIF1<0．(2)如圖3，在SKIPIF1<0中，D是SKIPIF1<0上一點(diǎn)，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，求點(diǎn)C到SKIPIF1<0邊的距離．(3)如圖4，在SKIPIF1<0中，E為邊SKIPIF1<0上的一點(diǎn)，F(xiàn)為邊SKIPIF1<0上的一點(diǎn)．若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值．【答案】(1)見解析(2)SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0【分析】（1）由直角三角形的性質(zhì)得出SKIPIF1<0，可證明SKIPIF1<0；（2）過(guò)點(diǎn)D作SKIPIF1<0于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)C作SKIPIF1<0于，交SKIPIF1<0的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，證明SKIPIF1<0，由全等三角形的性質(zhì)可得出SKIPIF1<0，則可得出答案；（3）過(guò)點(diǎn)D作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，證明SKIPIF1<0，由相似三角形的性質(zhì)可得出答案．【詳解】（1）證明：∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（2）解：過(guò)點(diǎn)D作SKIPIF1<0于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)C作SKIPIF1<0于，交SKIPIF1<0的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即點(diǎn)C到SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0；（3）過(guò)點(diǎn)D作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，∴SKIPIF1<0，∵四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】一、選擇題1．（2022秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝9，點(diǎn)E在邊AC上，AE的中垂線交BC于點(diǎn)D，若∠ADE＝∠B，CD＝3BD，則CE等于（）A．3 B．2 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠B＝∠C，推出∠BAD＝∠CDE，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AD＝ED，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CD＝AB＝9，BD＝CE，即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵AB＝AC＝9，∴∠B＝∠C，∵∠ADE＝∠B，∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB，∠CDE＝180°﹣∠ADE﹣∠ADB，∴∠BAD＝∠CDE，∵AE的中垂線交BC于點(diǎn)D，∴AD＝ED，在△ABD與△DCE中，SKIPIF1<0，∴△ABD≌△DCE（AAS），∴CD＝AB＝9，BD＝CE，∵CD＝3BD，∴CE＝BD＝3故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．二、解答題2．（2022秋·廣東惠州·八年級(jí)校考期中）如圖1，SKIPIF1<0，垂足分別為D，E．(1)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的長(zhǎng)．(2)在其它條件不變的前提下，將SKIPIF1<0所在直線變換到SKIPIF1<0的外部（如圖2），請(qǐng)你猜想SKIPIF1<0三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(3)如圖3，將（1）中的條件改為：在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，D，C，E三點(diǎn)在同一條直線上，并且有SKIPIF1<0，其中α為任意鈍角，那么（2）中你的猜想