廣西柳州某中學(xué)、南寧市某中學(xué)2023屆高三聯(lián)考數(shù)學(xué)（文）試題（含答案解析）

廣西柳州高級中學(xué)、南寧市第三中學(xué)2023屆高三聯(lián)考數(shù)學(xué)（文）

試題

學(xué)校:姓名：班級：考號(hào)：

一、單選題

1.設(shè)"=1<,A={-4,-2,0,2,4},B={x|x>3},則A值同=()

A.{0,2}B.{-2,0,2}C.{Y-2,0,2}D.{4}

2.已知復(fù)數(shù)z=*（i為虛數(shù)單位），則因=（）

1-1

D.叵

A.2B.y/5C.Vio

2

3.已知角a的始邊與x軸非負(fù)半軸重合，終邊過點(diǎn)A（a,2a）（其中awO）,則

cos2a+cos2a=（）

A.--B.--C.--D.-

5555

4.如圖，網(wǎng)格小正方形的邊長為1,網(wǎng)格紙上繪制了一個(gè)多面體的三視圖，則該多面

體的體積為（）

5.某高中高一學(xué)生從物化生政史地六科中選三科組合，其中選物化生組合的學(xué)生有600

人，選物化地組合的學(xué)生有400人，選政史地組合的學(xué)生有250人，現(xiàn)從高一學(xué)生中選

取25人作樣本調(diào)研情況.為保證調(diào)研結(jié)果相對準(zhǔn)確，下列判斷錯(cuò)誤的是（）

A.用分層抽樣的方法抽取物化生組合的學(xué)生12人

B.用分層抽樣的方法抽取政史地組合的學(xué)生5人

C.物化生組合學(xué)生小張被選中的概率比物化地組合學(xué)生小王被選中的概率大

D.政史地組合學(xué)生小劉被選中的概率為表

6.若a>0,h>0,a+b=2,則”:，的最小值為（）

A.—B.V2C.1D.2

2

'2x+y-8<0

7.已知實(shí)數(shù)x,y滿足，2x-y20,若直線y=h-1經(jīng)過該可行域，則實(shí)數(shù)%的最小

x+y—320

值為（）

152

A.-5B.——C.——D.——

525

8.設(shè)拋物線C：V=4x的焦點(diǎn)為F,/為準(zhǔn)線，P為C上一動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到準(zhǔn)線/的距

離4和點(diǎn)尸到直線3*+今+17=0的距離4之和4+4的最小值為（）

A.4B.3C.2啦D.2石

9.在..ABC中，角A、B、C所對的邊分別為“、b、c,已知8=60,b=4,則ABC

面積的最大值為（）

A.36B.46C.5y/3D.6

10.從數(shù)學(xué)必修一、二和政治必修一、二共四本書中任取兩本書，那么互斥而不對立的

兩個(gè)事件是（）

A.至少有一本政治與都是數(shù)學(xué)B.至少有一本政治與都是政治

C.至少有一本政治與至少有一本數(shù)學(xué)D.恰有1本政治與恰有2本政治

11.在三棱錐尸一48（7中，AB1BC,BCYCP,￡LBC=\,CP=2,AB=3,AP=，

則此三棱錐外接球的體積為（）

A.向B.誣兀C.量叵兀D.271471

33

12.函數(shù)〃x）=ln2x的圖象與函數(shù)g（x）=e，-e-，+x-2的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)方,則

e"In2x（）=（）

A.-In2B.—yC.D.In2

二、填空題

13.設(shè)向量。=（%-2）,&=（2,-l）,若Q+2）與〃共線，則實(shí)數(shù)x的值為一.

22

14.雙曲線夫-7一三一K=M加24）的離心率的取值范圍是—.

15.已知函數(shù)/（切=[/+X2_2ax+1,若函數(shù)/（X）在（1,2）上有極值，則實(shí)數(shù)。的取值

試卷第2頁，共4頁

范圍為一.

16.圣彼得大教堂坐落在梵蒂岡城內(nèi)，是世界上最大的天主教教堂作為最杰出的文藝復(fù)

興建筑和世界上最大的教堂，它是典型的哥特式建筑，哥特式建筑的特點(diǎn)之一就是窗門

處使用尖拱造型，其結(jié)構(gòu)是由兩段不同圓心的圓弧組成的對稱圖形.如圖，AC所在圓

三、解答題

17.記為數(shù)列｛為｝的前〃項(xiàng)和，巴=《,+2.

n

(1)證明｛%｝是等差數(shù)列；

(2)已知4=5,若c"=2"L”“，求數(shù)列｛%｝的前“項(xiàng)和.

18.中國女排曾經(jīng)十度成為世界冠軍，鑄就了響徹中華的女排精神，看過中國女排的紀(jì)

錄片后，某大學(xué)掀起“學(xué)習(xí)女排精神，塑造健康體魄”的年度主題活動(dòng)，一段時(shí)間后，學(xué)

生的身體素質(zhì)明顯提高，將該大學(xué)近5個(gè)月體重超重的人數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如下表格：

月份X12345

體重超重的人數(shù)y640540420300200

(1)若該大學(xué)體重超重人數(shù)y與月份變量x(月份變量x依次為1,2,3,4,5...)具有

線性相關(guān)關(guān)系，請預(yù)測從第幾月份開始該大學(xué)體重超重的人數(shù)隆至100人以下？

(2)從這5個(gè)月中隨機(jī)抽取2個(gè)月，求抽取的這兩個(gè)月中體重超重的人數(shù)都少于500人的

概率.

附1：回歸方程夕=加+4中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：b......-

決T

附2：參考數(shù)據(jù)：￡>*=5180,^<=12+22+32+42+52=55

<=1/=|

19.陽馬，中國古代算數(shù)中的一種幾何形體，是底面為長方形，兩個(gè)三角面與底面垂直

的四棱錐體.如圖，四棱錐P—ABC。就是陽馬結(jié)構(gòu)，平面ABC。，且叨=1,

(1)證明：砂〃平面PAO；

(2)若2GC=BG，求三棱錐G—DE尸的體積.

20.已知函數(shù)f(x)=hu-￡x(其中aeR,e為自然對數(shù)的底數(shù)).

(1)若函數(shù)f(x)存在極大值，且極大值不小于1,求。的取值范圍;

(2)當(dāng)a=e時(shí)，證明f(x)-e^+2x+\<0.

21.已知橢圓￡:0+2=1(。>8>°)的右焦點(diǎn)為「，且經(jīng)過點(diǎn),過戶的直線與

橢圓E交于C,。兩點(diǎn)，當(dāng)CDLx軸時(shí)，|C4=1.

⑴求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)橢圓E的右頂點(diǎn)為A,若橢圓上的存在兩點(diǎn)P,Q,且使原戶/“二卷成立，證明直

線PQ過定點(diǎn).

22.在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線G的普通方程為G：x2+-^=l,曲線的極坐標(biāo)方

程為：o=2cos夕+4sin，，以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.

(1)求曲線C1參數(shù)方程和曲線C?的普通方程;

⑵若曲線。=?2>0)與曲線G，C?分別交于M，N兩點(diǎn)，求

23.已知函數(shù)/(x)=|x-2|+3此

⑴求不等式/(x)210的解集；

⑵若“X)的最小值為“3正數(shù)4,b,C滿足a+/?+C=m,求證/+〃+c22g.

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

1.C

【分析】先根據(jù)補(bǔ)集的運(yùn)算求出68={x|x<3},然后根據(jù)交集的運(yùn)算，即可得出答案.

【詳解】由已知可得，婢=RB={X\X<3},

所以，A￡])={<-2,0,2}.

故選：C.

2.D

31

+

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，化簡可得z2-2-進(jìn)而即可求出復(fù)數(shù)的模.

【詳解】由已知可得，z=2=-i=哥(2-i高)(l+=i)可3=+萬i3+在1

所以，\z\=

故選：D.

3.B

【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義推得tana=2.根據(jù)二倍角的余弦公式化簡，將原式化為齊次

式,得到關(guān)于tanc的式子，代入即可得出答案.

【詳解】根據(jù)三角函數(shù)的定義，由已知可得tana=的=2.

a

f-e.u汽,2■■>2c2.22cos2a-sin2a

所以，cos2a+cos-a-cos'a-sin-a+cos-a=2cos-a-sin-a=---------------、—.

cos-a+sin-a

因?yàn)閏osaH0,所以cos2a+cos:a=-_。=一2.

1+tan2a1+225

故選：B.

4.C

【分析】由三視圖還原出原幾何體為三棱臺(tái)以及各邊的關(guān)系，先證明Cq_L平面ABC,得

出棱臺(tái)的高.然后求出上下底面的面積，根據(jù)棱臺(tái)的體積公式，即可得出答案.

答案第1頁，共17頁

GBl

A

如圖，由三視圖還原可得，原幾何體為三棱臺(tái)，

且有CC|_LC4,CC,±CB,ACJ.BC,1.

因?yàn)镃4u平面ABC,CBu平面ABC,C4cC8=C,

所以CG，平面ABC.

又CJ=2,所以，三棱臺(tái)的高即為6=CJ=2.

又4c=2,BC=4,AC=1,81cl=2,ACIBC,A￡_L4G，

所以

，S[?=S/AiDfiCv=—2xACxBC=—2x2x4=4,S4?=S.Af,c=—2xA.*C.*xB*C.*=—2x1x2=1,

所以，由棱臺(tái)的體積公式V=*+S2+府')/7=；x(l+4+2)x2=g.

故選：C.

5.C

【分析】根據(jù)分層抽樣，計(jì)算各層抽取的人數(shù)以及抽樣比，即可得出答案.

【詳解】對于A項(xiàng)，用分層抽樣的方法抽取物化生組合的學(xué)生為25*600+黑+250=微人'

故A項(xiàng)正確；

對于B項(xiàng)，用分層抽樣的方法抽取政史地組合的學(xué)生為25xc6=5,故B項(xiàng)正

600+400+250

確；

對于C項(xiàng)，根據(jù)分層抽樣的特征知,每位同學(xué)被選中的概率相等，均為次2三5七;白1，

600+400+25050

故C項(xiàng)錯(cuò)誤；

對于D項(xiàng)，由C知，每位同學(xué)被選中的概率均為專，故D項(xiàng)正確.

故選：C.

6.D

答案第2頁，共17頁

【分析】根據(jù)基本不等式推出“而4字=1，進(jìn)而根據(jù)不等式可得421,即可得出答案.

2ah

【詳解】由已知可得華=2.

abab

因?yàn)閍>0,b>0,由基本不等式知而4學(xué)=1,

當(dāng)且僅當(dāng)a=6=1時(shí)，等號(hào)成立.

所以0<而<1,所以—21,

ab

所以綽的最小值為2.

ab

故選：D.

7.B

f2x+y-8=0

【分析】作出可行域，根據(jù)左的幾何意義，結(jié)合圖象，可知&P8最小?解.八得出8

[x+y-3=0

點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出最小值.

【詳解】作出可行域

根據(jù)已知可知，直線y=^-i過定點(diǎn)P(O,-I),

%表示可行域內(nèi)點(diǎn)(x,y)與定點(diǎn)P(O,-1)連線的斜率,

根據(jù)圖象可知，其最小值為公入

[2x+y-8=0fx=5、

聯(lián)立。八可得，，所以8z5,-2,

[x+y-3=0[y=-2

答案第3頁，共17頁

二匚i—2+11

所以％陽=—7=一￡,

D-UJ

所以實(shí)數(shù)％的最小值為-g.

故選：B.

8.A

【分析】過點(diǎn)P,作PN與直線3x+4y+17=0垂直，垂足為N,結(jié)合拋物線的定義可知

4+4=|PE|+|PN|?結(jié)合圖象可知，當(dāng)共線時(shí)，距離和取得最小值，根據(jù)點(diǎn)到直線的

距離，即可得出答案.

【詳解】由已知，可得尸(1,0),過點(diǎn)P作P<1/,垂足為兒

由拋物線的定義，點(diǎn)P到準(zhǔn)線/的距離4=|%］等于點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離|PF|.

過點(diǎn)P,作PN與直線3x+4y+17=0垂直，垂足為N,

則dt+d2=\PF\+\PN\>|EV|,

當(dāng)尸,MP三點(diǎn)共線，且點(diǎn)尸位于線段N尸上時(shí)，等號(hào)成立.

3x+4y+17=0

此時(shí)4+4的最小值等于點(diǎn)F到直線3x+4y+17=0的距離d='邛

V32+42=4

故選：A.

9.B

【分析】利用余弦定理結(jié)合基本不等式可求得的最大值，再利用三角形的面積公式可求

得,ABC面積的最大值.

【詳解】由余弦定理可得16=6?=a2+c2-2accosB-a2+c2-ac>2ac-ac-ac,即ac<\6,

當(dāng)且僅當(dāng)a=c=4時(shí)，等號(hào)成立，ii^SABC=—acsinB=—ac<—xl6=4\/3.

ABC244

因此，AfiC面積的最大值為4石.

答案第4頁，共17頁

故選：B.

10.D

【分析】總的可能的結(jié)果為“兩本政治”，"兩本數(shù)學(xué)”，”一本數(shù)學(xué)一本政治”，然后寫出各個(gè)

事件包含的事件，結(jié)合互斥事件與對立事件的概念，即可得出答案.

【詳解】從裝有2本數(shù)學(xué)和2本政治的四本書內(nèi)任取2本書，

可能的結(jié)果有：“兩本政治”，"兩本數(shù)學(xué)”，“一本數(shù)學(xué)一本政治”，

“至少有一本政治”包含事件：“兩本政治”，“一本數(shù)學(xué)一本政治”.

對于A,事件“至少有一本政治”與事件“都是數(shù)學(xué)”是對立事件，故A錯(cuò)誤；

對于B,事件“至少有一本政治”包含事件“都是政治”，兩個(gè)事件是包含關(guān)系，不是互斥事件，

故B錯(cuò)誤；

對于C,事件“至少有一本數(shù)學(xué)”包含事件：“兩本數(shù)學(xué)”，“一本數(shù)學(xué)一本政治”，因此兩個(gè)事

件都包含事件“一本數(shù)學(xué)一本政治“，不是互斥事件，故C錯(cuò)誤；

對于D,“恰有1本政治”表示事件“一本數(shù)學(xué)一本政治”,與事件“恰有2本政治”是互斥事件，

但是不對立，故D正確.

故選:D.

11.B

【分析】由已知求得AC=根據(jù)勾股定理證明得至I」ACLPC,進(jìn)而推得PC1平面ABC,

則該三棱錐可以看作是長方體的一部分,求出長方體的體對角線長，即可得出外接球的半徑，

進(jìn)而根據(jù)體積公式，即可得出答案.

【詳解】如圖1,

因?yàn)锽C=l,AB=3,

所以ACujG+BC?

又CP=2,=

所以在△APC中，有C產(chǎn)+AC?=14=A尸2,

答案第5頁，共17頁

IT

所以，ZACP=-,即AC，PC.

2

又BCLCP,ACu平面ABC,BCu平面ABC,ACBC=C,

所以尸CL平面ABC.

則該三棱錐可以看作是長方體的一部分，如圖2

其中，BC=1,CP=2,AB=3,

則AP=AB2+BC2+CP2=V14>

所以此三棱錐外接球的半徑為R=絲=上，

22

所以，此三棱錐外接球的體積為4兀心[T\7714.

V=----=---------」=----71

333

故選：B.

12.B

【分析】由/(%)=g(&),代入整理變形可得e"—e』-x0=「限陽)_冽23+1n2%.構(gòu)造函

數(shù)〃(x)=e=e--x,求出導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)得出//(x)在(0,+巧上單調(diào)遞增.即可得出

天二-ln(2x0),則e%=丁，代入即可得出答案.

【詳解】由已知可得，〃%)=g(%)，即e--e』+/-不一=ln2x。，

-1-|n2tln2r

即-e"-x0=In2x0-2x0-t——^—=e(?)_e(<>)+in2x0

2%

令Mx)=e*-e"—x,x>0,則/(力=e工+釬-122Je'.葭-1=1>0,

當(dāng)且僅當(dāng)e*=e-3即x=0時(shí)等號(hào)成立.

因?yàn)閤>0,所以〃'(x)>l>0在(。,”)上恒成立，

所以/?(%)在(0,+e)上單調(diào)遞增.

答案第6頁，共17頁

/、xI

所以有M%)=MTn(2x()))可得,毛=-111(2天)，則

所以e'"In2與=止x(一%)=一；.

故選：B.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：由4%)=g(%)得出e--e』+x°-：=ln2xo后，進(jìn)行同構(gòu)變形得到

e*一片%-x0=e.(2⑹_/(2%)+ln2%然后構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)得出函數(shù)的單調(diào)性，得到關(guān)

于今的關(guān)系式，即可得出答案.

13.4

【分析】求出。+2b=(x+4,-4),然后根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示，列出方程，求解即可得出

答案.

【詳解】由已知可得，a+2b=(x+4,Y).

因?yàn)椤?2%與b共線，所以有(x+4)x(-l)_(-4)x2=0,

解得x=4.

故答案為：4.

【分析】由已知求得/=疝，，=2加2-3機(jī)+2,得至1」，=《=2|<!一3]+-.X0<-<^-,

a~\tn8m4

根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得出?<e2<2,開方即可得出答案.

O

【詳解】由題意可知，a2=m2,h2=(m-\^m-2)=nr-3m+2,

所以，2=/+/=2加2-3心+2,

所以e2=g=^^=2化丫_3二+2=2化—窗+L

am~I"Um4/8

因?yàn)閙24,所以。<一

m4

所以二We?。，所以叵<e<&.

84

答案第7頁，共17頁

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系求解即可.

【詳解】因?yàn)椤▁)=gx3+W-2ax+l,所以/'(x)=$2+2x-2。，

/'(x)=gx2+2x-2a為二次函數(shù)，且對稱軸為毛=-3,

所以函數(shù)尸(x)=$2+2x-2a在(-3,80)單調(diào)遞增，

貝IJ函數(shù)尸(x)=#+2x-2a在(1,2)單調(diào)遞增，

因?yàn)楹瘮?shù)/(*)在(1,2)上有極值，

所以/'(x)=0在(1,2)有解，

7

——2a<0

3

根據(jù)零點(diǎn)的存在性定理可知即，

166c'

---2a>0

3

7Q

解得:<a<\

o3

故答案為：

(n-2a]m2

16.------Y----

8cos,a

【分析】過點(diǎn)C作CDLA8,在RtADC中，表示出然后在RtaOOC中，根據(jù)

勾股定理,得出穴=公^?進(jìn)耐艮據(jù)已知，結(jié)合三角形的面積公式，即可得出答案?

如圖，過點(diǎn)C作C。J_43,設(shè)AC所在圓的半徑為R，則|AO|=|OC|=R,

在RtADC中，ZCAD=a,\AC\=m,

所以|AZ)|=/Mcose,|C￡)|=znsina,

所以，\OD\=R-mcosa.

在RtAODC中，有|8「+\OD^=\OCf,

答案第8頁，共17頁

即sincr)"+(R-mcosa)~=R2,

整理可得，.

2cosa

因?yàn)閨AO|=|OC|=R,所以NCOA=7t-2z,

所以，扇形0AC的面積為5」(兀-20/;2=區(qū)孚上.

2'18cos2a

故答案為：(”2沙一.

8cosa

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：作CDLAB,得到兩個(gè)直角三角形.表示出各邊關(guān)系，進(jìn)而求得扇形的

半徑.

17.(1)證明見詳解

(2)(3〃-4).2"+4

【分析】(1)由已知推得2S“=na?+2〃，將〃換成〃+1,作差整理可得(〃一1”向一解,+2=0,

將“換成n-l,作差整理可得/M+a,i=2a“，即可得出證明；

(2)由己知可推得c,=(3〃-1)?2*'，設(shè)數(shù)列｛c.｝的前〃項(xiàng)和為7；,得出7；以及27；,的表達(dá)式，

作差整理即可得出答案.

【詳解】(1)由一=%+2可得，2S,=”+2〃①，

n

所以2sz=5+1”,,M+2〃+2②，

②-①得,2??+1=(〃+1)4田一'以"+2’

所以，(〃一I)-—解,+2=0③，

當(dāng)“22時(shí)，(“-2)a“-(〃-+2=0(4),

③-④得，(附一1)%+1-2(〃-1)。“+(〃-1)41=。，

即4,+I+4I=2%,

所以，｛可｝是等差數(shù)列.

(2)令〃=1,由已知可得2E=2q=q+2,解得q=2.

答案第9頁，共17頁

因?yàn)椋?=5,由（1）知，公差d=a「%=3,

所以，an=o,+（?-l）J=2+3（n-l）=3n-l,

所以，c?=2"-'-a?=（3?-l）-2"-1.

設(shè)數(shù)列匕｝的前?"項(xiàng)和為7；,

則（=G+C2++c?=2x20+5x2'++（3〃-l>2"T,

27；,=2X2'+5X22++（3〃-1）-2",

n

作差可得，一方=2*2°+3x2,+3x2?+3-2?-'-（3H-1）-2"=2+3x^t^-（3n-l）.2

=T+（4—3〃>2",

所以，7>（3"—4>2"+4.

18.（1）6

【分析】（1）根據(jù)己知求出元只￡%為￡>：的值，根據(jù)公式求得b=T12,金=756,得出

r=lr=I

回歸直線方程為$=-112x+756.解y=-112x+756<100,即可得出答案；

（2）由已知寫出樣本空間，求出要求事件包含基本事件的個(gè)數(shù)，根據(jù)古典概型的概率公式，

即可得出答案.

1+2+3+4+5

【詳解】（1）由已知可得，%

640+540+420+300+2002100

又因?yàn)椤?gt;戊=5180,^X,2=12+22+32+42+52=55,

X（x,-x）（yf-?）fx,y,-5取

5180-5x3x420

^-5x255-5x3?

所以*=1一猿=420—（—112）x3=756,

所以，9=去+2=—112%+756,

答案第1（）頁，共17頁

當(dāng)y=-112x+756＜100（xeN*）B寸，解得：x26,

可以預(yù)測從第6月份開始該大學(xué)體重超重的人數(shù)降至100人以下.

（2）從這5個(gè)月中隨機(jī)抽取2個(gè)月的基本事件有（1,2）,（1,3）,（1,4）,（1,5）,（2,3）,（2,4）,

（2,5）,（3,4）,（3,5）,（4,5）,共10個(gè)基本事件.

抽取的這兩個(gè)月中體重超重的人數(shù)都少于500人的基本事件有（3,4）,（3,5）,（4,5）,共3

個(gè)，

3

所以抽取的這兩個(gè)月中體重超重的人數(shù)都少于500人的概率為京.

19.（1）證明見詳解

【分析】（1）取C力中點(diǎn)為證明￡77〃尸￡＞，F(xiàn)H//AD,進(jìn)而根據(jù)線面平行以及面面平行

的判定定理證明平面EFH〃平面皿＞，然后根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理，即可證得線面平行:

221

（2）由已知可推出,進(jìn)而推得5.根據(jù)等體積法可推得％=；匕38,

然后根據(jù)體積公式求解，即可得出答案.

【詳解】（1）

如圖，取8中點(diǎn)為乩連接班,〃￡

因?yàn)镻會(huì)E=DgF=1，所以分別為PC,8￡）的中點(diǎn).

又“為CO的中點(diǎn)，所以EH//PD,FH//BC.

又ADUBC,所以FH//AD.

因?yàn)槠矫鍼AD,PDu平面E4O,

所以〃平面PAD.

同理可得，尸〃〃平面PAD.

答案第11頁，共17頁

因?yàn)槠矫鍱FE,FHu平面EF”，EHFH=H,

所以，平面EF”//平面PAD.

因?yàn)镋Fu平面EF〃，所以EF〃平面PAD.

2

(2)因?yàn)?GC=5G，所以68=36。.

11?

x

因?yàn)镾WG=萬$DBG=——SBCD

112。112.2

223ABCD2233

V

所以％DEF=EnfG=-VnnPC=-X-xPDxSDfc=-xlxlx-=l.

20.

(2)證明見解析

【分析】（1）求出了'（x）=：-?.則aVO時(shí)，函數(shù)無極值；當(dāng)”>0時(shí)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)得出函數(shù)

的單調(diào)性，進(jìn)而得到極大值為了（：）,求解了（2）21，即可得出”的取值范圍；

x-1

e2

（2）因?yàn)閤>0,所以只需證明/（》）<—}-2即可.代入。=€,根據(jù)（1）的結(jié)論求出

X4--

2

X-1

/（力皿=〃1）=-1-構(gòu)造83=匕-2，求出《（“，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)求出武力而?=8（；|=-1,

x+-O

2

即可得出答案.

【詳解】（1）由已知可得，函數(shù)/（X）定義域?yàn)椋?,+功,r（^）=----

①當(dāng)a40時(shí)，r（x）=、-，>0在（0,+8）上恒成立，

xe

所以“X）在（0,+8）上單調(diào)遞增，此時(shí)函數(shù)“X）無極值；

②當(dāng)a>0時(shí)，f（x）=3衛(wèi)，

ex

解ra）=三絲=0可得x=2.

exa

當(dāng)0<x<：時(shí)，所以〃x）在（0常）上單調(diào)遞增；

答案第12頁，共17頁

當(dāng)x>?時(shí)，r(x)<o,所以在仁,+可上單調(diào)遞減，

所以，函數(shù)/(X)在X=?處取得極大值/(：).

由己知，./(/1,即個(gè))=1吟-121,

解得0<a<—,

e

所以，。的取值范圍為(0，5.

(2)因?yàn)?x+g)〃x)-e'2+2x+l=(x+；)(〃x)+2)-e*2,

e/

又因?yàn)閤>0,所以只需證明〃x)<—j-2即可.

當(dāng)a=e時(shí)，/(x)=lnx-x,由(1)知/(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(l,+oo)上單調(diào)遞減,

所以，“X)在x=l處取得極大值，也是最大值/(x)gx=/(l)=-l.

P2

記g(x)=-f-2,x>0,

X4—

2

所以當(dāng)0<x<；時(shí)，g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減;

當(dāng)時(shí)，g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增,

所以，g")在X處取得極小值，也是最小值g(xL=gI

因?yàn)椤癊L與g(￡L不能同時(shí)取到，

所以結(jié)論成立.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：證明不等式恒成立問題，常常構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)函數(shù)求解函數(shù)的

最值的問題.根據(jù)已知函數(shù)的形式，進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，使得?gòu)造的函數(shù)簡單化，從而降低題

目的難度.

21.(1)—+/=1

4

(2)證明見詳解

答案第13頁，共17頁

【分析】（1）由已知可推得乎=1,又點(diǎn)卜日）在橢圓上，可得:■+余=1，聯(lián)立兩方程，

即可求出4,6的值；

（2）設(shè)直線方程為PQ：y=^+m,聯(lián)立直線與橢圓的方程，得出

（1+4公）/+8加a+4〃?2-4=0,由韋達(dá)定理得出坐標(biāo)關(guān)系，求出直線的斜率.根據(jù)已知，列

出-C=右'代入王+”2，士工2的表達(dá)式，整理得出〃/-〃法-6公=0,解出,*=-2k

Xj—zx2—&zu

或加=3%,代入直線方程，舍去不合適的值，即可得出定點(diǎn)坐標(biāo).

【詳解】（1）當(dāng)軸時(shí),C。方程為x=c,

o2（從、

由片上++從工=1,可得。。與橢圓兩交點(diǎn)為G-一,百

則3|=亞

a

由于|cq=i,所以也=i.

a

又因?yàn)闄E圓經(jīng)過點(diǎn)1,

13

所以有/+方=L

2b2

1

a=2

聯(lián)立:3,解得'

b=\

./+獷小

因?yàn)樾哪?°=白，所以直線AP與AQ的斜率同號(hào),

所以直線PQ不垂直于x軸,

答案第14頁，共17頁

故可設(shè)PQ:y=fcx+/n,設(shè)P（±，x）,Q（孫力），

=

聯(lián)立直線與橢圓的方程--4-+V，1可得，

y=kx+m

（1+4左2）%2+8ZJ7Z￥4-4A7?2-4=0.

由韋達(dá)定理可得%+々,X,X2=]-8笫,

1十^TK1+QK

所以X%=（"1+機(jī)）（也+⑼=攵2西工2+版（％+W）+〃》.

又△二（86『一40+4々2）（4相2-4）=16（4/一加2+1J>0,

所以有nr<4攵2+1.

1

因?yàn)轫剖?"9，砥。=，^AP^AQ=!，

%-2X2-220

乂％_1

所以---o------^一右，

西一2x2-220

所以（％-2）（X2-2）=20>^2=20[%2現(xiàn)式2+6（％+/）+病],

22

整理可得，（20&-1）西赴+（20切?+2）（為+X2）+20/77-4=0,

所以（20左2-1）?^^+（20加?+2）?^^+20，"2-4=0,

整理可得，nr-mk-6k2=0,

所以〃2=-2k或m=3k.

當(dāng)機(jī)=-2攵時(shí)，滿足〃=4公<4r+1,此時(shí)直線方程為y=H-2Z=Mx-2）過點(diǎn)A（2,0）,

舍去；

當(dāng)，"=3々時(shí)，由療=9/<4/+1可得有解，此時(shí)直線方程為丫=丘+3左=4"+3）過

定點(diǎn)（-3,0）.

所以直線PQ經(jīng)過定點(diǎn)（-3,0）.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：設(shè)直線方程為尸。:丫=履+利，聯(lián)立直線與橢圓的方程，得出一元二次

方程，由韋達(dá)定理得出坐標(biāo)，求出