2025版新教材高中數(shù)學第五章計數(shù)原理4二項式定理4.1二項式定理的推導課時作業(yè)北師大版選擇性必修第一冊

4．1二項式定理的推導必備學問基礎練學問點一二項式定理的正用、逆用1.若(2x－3eq\r(x))n＋3(n∈N*)的綻開式中共有15項，則n的值為()A．11B．12C．13D．142．1－3Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(10))＋9Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(10))－27Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(10))＋…－39Ceq\o\al(\s\up1(9),\s\do1(10))＋310＝______．3．求證：32n＋2－8n－9(n∈N*)能被64整除．學問點二二項綻開式的通項與系數(shù)4.(x－eq\r(2)y)10的綻開式中x6y4的系數(shù)是()A．－840B．840C．210D．－2105．(2x－eq\f(1,\r(x)))6的二項綻開式中的常數(shù)項為________．6．在(eq\r(x)＋eq\f(1,2\r(4,x)))n的綻開式中，前三項的系數(shù)按原依次成等差數(shù)列．(1)求綻開式中含x項的系數(shù)；(2)求綻開式中的有理項．學問點三二項綻開式中各項系數(shù)的和7.在(2x＋x2)10的綻開式中，各項的系數(shù)之和為()A．1B．310－1C．310D．2108．將(1－2x)(1－x)8的綻開式寫成按升冪排列的和的形式，那么全部奇數(shù)項的系數(shù)和為________，全部奇次項的系數(shù)和為________．9．設(1－2x)2024＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2024x2024(x∈R).(1)求a0＋a1＋a2＋…＋a2024的值；(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a2024的值；(3)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2024|的值．關(guān)鍵實力綜合練一、選擇題1．若(1＋eq\r(2))5＝a＋beq\r(2)(a，b為有理數(shù))，則a＋b＝()A．45B．55C．70D．802．在(eq\r(x)＋eq\f(2,x))n的綻開式中，若常數(shù)項為60，則n等于()A．3B．6C．9D．123．已知(1＋ax)(1＋x)5的綻開式中x2的系數(shù)為5，則a＝()A．－1B．－2C．－3D．－44．若(1－2x)2024＝a0＋a1x＋…＋a2024x2024(x∈R)，則eq\f(a1,2)＋eq\f(a2,22)＋…＋eq\f(a2024,22024)的值為()A．2B．1C．0D．－15．已知(x＋2)(2x－1)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6，則a0＋a2＋a4＋a6＝()A．123B．155C．－120D．－886．[探究題](x＋eq\f(1,x2)－1)6綻開式中x2的系數(shù)為()A．－45B．－15C．15D．45二、填空題7．設a∈Z，且0≤a<13，若512017＋a能被13整除，則a＝________．8．若(x＋2)n(n∈N*)的綻開式的第4項是eq\f(5,2)，第3項的二項式系數(shù)是15，則x的值為________．9．[易錯題]若(1＋2x2)(1＋eq\f(1,x))n的綻開式中全部項的系數(shù)和為96，則綻開式中含eq\f(1,x2)項的系數(shù)是________．三、解答題10．已知(eq\r(x)－eq\f(2,\r(3,x)))n(n∈N*)的綻開式中第5項的系數(shù)與第3項的系數(shù)的比為30∶1.(1)求綻開式中的全部有理項；(2)求n＋6Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n))＋36Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(n))＋…＋6n－1Ceq\o\al(\s\up1(n),\s\do1(n))的值；(3)求系數(shù)的肯定值最大的項．(注：結(jié)果可以有組合數(shù)、冪)學科素養(yǎng)升級練1．[多選題]若(x＋eq\f(a,x))(2x－eq\f(1,x))5的綻開式中各項系數(shù)之和為2，則下列結(jié)論正確的是()A．a(chǎn)＝1B．綻開式中x6的系數(shù)是－32C．綻開式中含x－1項D．綻開式中的常數(shù)項為402．(x＋y－2z)5的綻開式中，xy2z2的系數(shù)是________．3．[學科素養(yǎng)——數(shù)學運算]設f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n的綻開式中含x項的系數(shù)是19(m，n∈N*).(1)求f(x)的綻開式中含x2項的系數(shù)的最小值；(2)當f(x)的綻開式中含x2項的系數(shù)取最小值時，求f(x)的綻開式中含x7項的系數(shù)．4．1二項式定理的推導必備學問基礎練1．解析：因為(2x－3eq\r(x))n＋3的綻開式中共有n＋4項，所以n＋4＝15，即n＝11.故選A.答案：A2．解析：1－3Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(10))＋9Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(10))－27Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(10))＋…－39Ceq\o\al(\s\up1(9),\s\do1(10))＋310＝Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(10))(－1)10×30＋Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(10))(－1)9×31＋Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(10))(－1)8×32＋…＋Ceq\o\al(\s\up1(10),\s\do1(10))(－1)0×310＝(－1＋3)10＝210＝1024.答案：1024(或210)3．證明：32n＋2－8n－9＝9n＋1－8n－9＝(8＋1)n＋1－8n－9＝8n＋1＋Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(n＋1))8n＋Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n＋1))8n－1＋…＋Ceq\o\al(\s\up1(n－1),\s\do1(n＋1))82＋Ceq\o\al(\s\up1(n),\s\do1(n＋1))8＋1－8n－9＝82(8n－1＋Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(n＋1))8n－2＋Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n＋1))8n－3＋…＋Ceq\o\al(\s\up1(n－1),\s\do1(n＋1)))＋8(n＋1)＋1－8n－9＝64(8n－1＋Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(n＋1))8n－2＋Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n＋1))8n－3＋…＋Ceq\o\al(\s\up1(n－1),\s\do1(n＋1))).∵n∈N*，∴8n－1＋Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(n＋1))8n－2＋Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n＋1))8n－3＋…＋Ceq\o\al(\s\up1(n－1),\s\do1(n＋1))是整數(shù)，∴32n＋2－8n－9(n∈N*)能被64整除．4．解析：在通項Tk＋1＝Ceq\o\al(\s\up1(k),\s\do1(10))x10－k(－eq\r(2)y)k中，令k＝4，即得(x－eq\r(2)y)10的綻開式中x6y4的系數(shù)為Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(10))×(－eq\r(2))4＝840.答案：B5．解析：二項式(2x－eq\f(1,\r(x)))6的綻開式的通項為Tk＋1＝Ceq\o\al(\s\up1(k),\s\do1(6))·(2x)6－k·(－eq\f(1,\r(x)))k＝(－1)kCeq\o\al(\s\up1(k),\s\do1(6))·26－k·x6－eq\f(3,2)k.令6－eq\f(3,2)k＝0，解得k＝4，所以常數(shù)項為(－1)4×Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(6))×22＝60.答案：606．解析：(eq\r(x)＋eq\f(1,2\r(4,x)))n的綻開式中前三項的系數(shù)分別為Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(n))，eq\f(1,2)Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(n))，eq\f(1,4)Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n))，由題意知Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(n))＝Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(n))＋eq\f(1,4)Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n))，所以n＝1＋eq\f(n（n－1）,8)，即n2－9n＋8＝0，解得n＝8或n＝1(舍去).則二項式(eq\r(x)＋eq\f(1,2\r(4,x)))8的綻開式的通項為Tk＋1＝Ceq\o\al(\s\up1(k),\s\do1(8))·xeq\s\up6(\f(8－k,2))·eq\f(1,2k)·x－eq\f(k,4)＝eq\f(1,2k)·Ceq\o\al(\s\up1(k),\s\do1(8))·x4－eq\f(3,4)k.(1)令4－eq\f(3,4)k＝1，得k＝4，所以含x項的系數(shù)為eq\f(1,24)×Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(8))＝eq\f(35,8).(2)設綻開式中，第k＋1項為有理項，則當k＝0，4，8時對應的項為有理項，有理項分別為T1＝x4，T5＝eq\f(35,8)x，T9＝eq\f(1,256x2).7．解析：設(2x＋x2)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a20x20，令x＝1，則a0＋a1＋a2＋…＋a20＝310.故選C.答案：C8．解析：設(1－2x)(1－x)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，則全部奇數(shù)項的系數(shù)和為a0＋a2＋a4＋a6＋a8，全部奇次項的系數(shù)和為a1＋a3＋a5＋a7＋a9.令x＝1，則a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋a8＋a9＝0①，令x＝－1，則a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＋a8－a9＝3×28＝768②.由①＋②，得a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝eq\f(1,2)×768＝384.由①－②，得a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝－eq\f(1,2)×768＝－384，所以全部奇數(shù)項的系數(shù)和為384，全部奇次項的系數(shù)和為－384.答案：384－3849．解析：(1)令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a2024＝(－1)2024＝1.(2)令x＝－1，得a0－a1＋a2－…－a2024＋a2024＝32024，①由(1)，知a0＋a1＋a2＋…＋a2024＝1，②由②－①，得2(a1＋a3＋…＋a2024)＝1－32024，∴a1＋a3＋a5＋…＋a2024＝eq\f(1－32024,2).(3)∵Tk＋1＝(－1)kCeq\o\al(\s\up1(k),\s\do1(2024))(2x)k，∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2024|＝a0－a1＋a2－…＋a2024＝32024.關(guān)鍵實力綜合練1．解析：由二項式定理，得(1＋eq\r(2))5＝1＋Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(5))×eq\r(2)＋Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))×(eq\r(2))2＋Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5))×(eq\r(2))3＋Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(5))×(eq\r(2))4＋Ceq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(5))×(eq\r(2))5＝1＋5eq\r(2)＋20＋20eq\r(2)＋20＋4eq\r(2)＝41＋29eq\r(2).所以a＝41，b＝29，所以a＋b＝70.故選C.答案：C2．解析：綻開式的通項為Tk＋1＝Ceq\o\al(\s\up1(k),\s\do1(n))(eq\r(x))n－k(eq\f(2,x))k＝2kCeq\o\al(\s\up1(k),\s\do1(n))xeq\s\up6(\f(n－3k,2))，令eq\f(n－3k,2)＝0，得n＝3k.依據(jù)題意有2kCeq\o\al(\s\up1(k),\s\do1(3k))＝60，驗證知k＝2，故n＝6.答案：B3．解析：因為(1＋ax)(1＋x)5的綻開式中x2的系數(shù)為5，所以Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))＋aCeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(5))＝5，即10＋5a＝5，解得a＝－1，故選A.答案：A4．解析：令x＝0，得a0＝1，令x＝eq\f(1,2)，得a0＋eq\f(a1,2)＋eq\f(a2,22)＋…＋eq\f(a2024,22024)＝0，所以eq\f(a1,2)＋eq\f(a2,22)＋…＋eq\f(a2024,22024)＝－a0＝－1.答案：D5．解析：在(x＋2)(2x－1)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6中，令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝3，令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6＝－243，∴2(a0＋a2＋a4＋a6)＝－240，即a0＋a2＋a4＋a6＝－120，故選C.答案：C6．解析：(x＋eq\f(1,x2)－1)6＝[(x＋eq\f(1,x2))－1]6，綻開式的通項為Tr＋1＝Ceq\o\al(\s\up1(r),\s\do1(6))(x＋eq\f(1,x2))6－r(－1)r＝Ceq\o\al(\s\up1(r),\s\do1(6))·(－1)r(x＋eq\f(1,x2))6－r(r＝0，1，…，6)，對于(x＋eq\f(1,x2))6－r，設其綻開式的通項為Uk＋1＝Ceq\o\al(\s\up1(k),\s\do1(6－r))x6－r－k(eq\f(1,x2))k＝Ceq\o\al(\s\up1(k),\s\do1(6－r))x6－r－3k(k＝0，1，…，6)，令6－r－3k＝2，所以r＋3k＝4，解得r＝1，k＝1或者r＝4，k＝0.所以(x＋eq\f(1,x2)－1)6綻開式x2的系數(shù)為Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(6))(－1)1Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(5))＋Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(6))(－1)4Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(2))＝－15，故選B.答案：B7．解析：∵512017＋a＝(52－1)2017＋a＝Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(2017))·522017－Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2017))522016＋…＋Ceq\o\al(\s\up1(2016),\s\do1(2017))521－1＋a能被13整除，且0≤a＜13，a∈Z，∴－1＋a能被13整除，故a＝1.答案：18．解析：由(x＋2)n(n∈N*)的綻開式的第4項為23Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(n))xn－3，第3項的二項式系數(shù)是Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n))，可知23Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(n))xn－3＝eq\f(5,2)，Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n))＝15，可得n＝6，x＝eq\f(1,4).答案：eq\f(1,4)9．解析：當x＝1時，(1＋2x2)(1＋eq\f(1,x))n的綻開式中全部項的系數(shù)和為3×2n＝96，解得n＝5，∴(1＋eq\f(1,x))5綻開式的通項為Tk＋1＝Ceq\o\al(\s\up1(k),\s\do1(5))eq\f(1,xk)，∴(1＋2x2)(1＋eq\f(1,x))5綻開式中含eq\f(1,x2)項的系數(shù)為Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))＋2Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(5))＝20.答案：2010．解析：(1)(eq\r(x)－eq\f(2,\r(3,x)))n(n∈N*)的綻開式的通項為Tk＋1＝Ceq\o\al(\s\up1(k),\s\do1(n))(eq\r(x))n－k(eq\f(－2,\r(3,x)))k＝Ceq\o\al(\s\up1(k),\s\do1(n))(－2)kxeq\s\up6(\f(3n－5k,6)).由于綻開式中第5項的系數(shù)與第3項的系數(shù)的比為30∶1，則eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(n))24,Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n))22)＝30，化簡得n2－5n－84＝0，解得n＝12或n＝－7(舍去)，則綻開式的通項為Tk＋1＝Ceq\o\al(\s\up1(k),\s\do1(12))(－2)kxeq\s\up6(\f(36－5k,6))，當k＝0，6，12時對應的項為有理項，即T1＝x6，T7＝Ceq\o\al(\s\up1(6),\s\do1(12))26x，T13＝Ceq\o\al(\s\up1(12),\s\do1(12))·212x－4.(2)n＋6Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n))＋36Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(n))＋…＋6n－1Ceq\o\al(\s\up1(n),\s\do1(n))＝Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(12))＋6Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(12))＋36Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(12))＋…＋612－1Ceq\o\al(\s\up1(12),\s\do1(12))＝eq\f(1,6)(1＋6Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(12))＋62Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(12))＋63Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(12))＋…＋612Ceq\o\al(\s\up1(12),\s\do1(12)))－eq\f(1,6)＝eq\f(1,6)×(1＋6)12－eq\f(1,6)＝eq\f(712－1,6).(3)設第k＋1項的系數(shù)的肯定值最大，由Tk＋1＝Ceq\o\al(\s\up1(k),\s\do1(12))(－2)k·xeq\s\up6(\f(36－5k,6))，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Ceq\o\al(\s\up1(k),\s\do1(12))2k≥Ceq\o\al(\s\up1(k－1),\s\do1(12))2k－1,Ceq\o\al(\s\up1(k),\s\do1(12))2k≥Ceq\o\al(\s\up1(k＋1),\s\do1(12))2k＋1))，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2Ceq\o\al(\s\up1(k),\s\do1(12))≥Ceq\o\al(\s\up1(k－1),\s\do1(12)),Ceq\o\al(\s\up1(k),\s\do1(12))≥2Ceq\o\al(\s\up1(k＋1),\s\do1(12))))，即有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(26－2k≥k,24－2k≤1＋k))，解得eq\f(23,3)≤k≤eq\f(26,3)，則k＝8，故系數(shù)的肯定值最大的項為T9＝Ceq\o\al(\s\up1(8),\s\do1(12))28x－eq\f(2,3).學科素養(yǎng)升級練1．解析：因為(x＋eq\f(a,x))(2x－eq\f(1,x))5的綻開式中各項系數(shù)的和為2，令x＝1得，1＋a＝2，所以a＝1，故A正確；(x＋eq\f(a,x))(2x－eq\f(1,x))5＝(x＋eq\f(1,x))(2x－eq\f(1,x))5，(2x－eq\f(1,x))5綻開式的通項為Ceq\o\al(\s\up1(k),\s\do1(5))(2x)5－k·(－eq\f(1,x))k＝Ceq\o\al(\s\up1(k),\s\do1(5))25－k(－1)kx5－