教師公開招聘考試小學數(shù)學（計算題）模擬試卷1（共215題）

教師公開招聘考試小學數(shù)學（計算題）模擬試卷1（共7套）（共215題）教師公開招聘考試小學數(shù)學（計算題）模擬試卷第1套一、計算題(本題共30題，每題1.0分，共30分。)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知a≠b，c=√3，cos2A—cos2B=√3sinAcosA－√3sinBcosB．1、求角C的大??；標準答案：∵△ABC中，a≠b，c=√3，cos2A—cos2B=√2sinAcosA－√3sinBcosB,∴即cos2A—cos2B=√3sin2A－√3sin2B，即－2sin(A+B)sin(A—B)=2√3cos(A+B)sin(A—B)．∵a≠b，∴A≠B，sin(A—B)≠0，∴tan(A+B)=－√3，∴A+B=∴C=知識點解析：暫無解析2、若sinA=，求△ABC的面積．標準答案：∵sinA=(舍去)，∴cosA=．由正弦定理可得∴sinB=sinf(A+B)－A]=sin(A+B)cosA—COS(A+B)sinA=，∴△ABC的面積為知識點解析：暫無解析已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1a2a3…an=(√2)bn(n∈N*)．若{an}為等比數(shù)列，且a1=2，b3=6+b2．3、求an和bn；標準答案：∵a1a2a3…an=(√2)bn(n∈N*)①，當n≥2，n∈N*時，a1a2a3…an-1=(√2)bn-1②，由①②知：an=(√2)bn-bn-1，令n=3，則有a3=(√2)b3-b2．∵b3=6+b2，∴a3=8．∵{an}為等比數(shù)列，且a1=2，∴{an}的公比為q，則q2==4，由題意知an＞0，∴q＞0，∴q=2．∴an=2n(n∈N*)．又由a1a2a3…an=(√2)bn(n∈N*)得：21×22×23…×2n=(√2)bn，=(√2)bn,∴bn=n(n+1)(n∈N*)．知識點解析：暫無解析4、設(shè)cn=(n∈N*)．(i)求Sn；(ii)求正整數(shù)k，使得對任意n∈N*均有Sk≥Sn．標準答案：(i)∵cn=．∴Sn=c1+c2+c3+…+cn=(ii)因為c1=0，c2＞0，c3＞0，c4＞0；當n≥5時，cn=－1]，而＜1，所以，當n≥5時，cn＜0，綜上，對任意n∈N*，恒有S4≥Sn，故k=4．知識點解析：暫無解析已知函數(shù)f(x)=sin(x+θ)+acos(x+2θ)，其中a∈R，θ∈5、當a=√2，θ=時，求f(x)在區(qū)間[0，π]上的最大值與最小值；標準答案：當a=√2，θ=時，f(x)=sin(x+θ)+acos(x+2θ)=sin(x+)+√2cossinx+cosx－√2sinx=－cosx=sin(—x)=－sin(x－)．∵x∈[0，π]，∴x－∈，故f(x)在區(qū)間[0，π]上的最小值為－1，最大值為.知識點解析：暫無解析6、若f()=0，f(π)=1，求a，θ的值．標準答案：∵f(x)=sin(x+θ)+scos(x+2θ)a∈R，θ∈=0，f(π)=1，∴cosθ－asin2θ=0①，－sinθ－acos2θ=1②，由①求得sinθ=，由②可得cos2θ=再根據(jù)cos2θ=1－2sinθ，可得－，求得a=－1，∴sinθ=－．綜上可得，所求的a=－1，θ=－．知識點解析：暫無解析給定常數(shù)c＞0，定義函數(shù)f(x)=2|x+c+4|—|x+c|，數(shù)列a1，a2，a3…滿足an+1=f(an)，n∈N*．7、若a1=－c－2，求a2及a3；標準答案：因為c＞0，a1=－(c+2)，故a2=f(a1)=2|a1+c+4|—|a1+c|=2，a3=f(a2)=2|a2+c+4|—|a2+c|=c+10．知識點解析：暫無解析8、求證：對任意n∈N*，an+1－an≥C；標準答案：要證明原命題，只需證明f(x)≥x+c對任意x∈R都成立，f(x)≥x+c2|x+c+4|—|x+c|≥x+c即只需證明2|x+c+4|≥|x+c|+x+c若x+c≤0，顯然有2|x+c+4|≥|x+c|+x+c=0成立；若x+c＞0，則2|x+c+4|≥|x+c|+x+cx+c+4＞x+c顯然成立．綜上，f(x)≥x+c恒成立，即對任意的n∈N*，an+1－an≥c．知識點解析：暫無解析9、是否存在a1，使得a1，a2，…an，…成等差數(shù)列?若存在，求出所有這樣的a1，若不存在，說明理由．標準答案：由(Ⅱ)知，若{an}為等差數(shù)列，則公差d≥c＞0，故n無限增大時，總有an＞0此時，an+1=f(an)=2(anc+4)－(an+c)=an+c+8即d=c+8故a2=f(a1)=2|a1+c+4|—|a1+c|=a1+c+8，即2|a1+c+4|=|a1+c|+a1+c+8，當a1+c≥0時，等式成立，且n≥2時，an＞0，此時{an}為等差數(shù)列，滿足題意；若a1+c＜0，則|a1+c+4|=4[*]a1=－c－8，此時，a2=0，a3=c+8，…，an=(n－2)則a1=－(c+8)也滿足題意；綜上，滿足題意的a1的取值范圍是[－c，+∞)∪{－c－8)．知識點解析：暫無解析在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且cos(A—B)cosB—sin(A—B)sin(A+C)=－.10、求sinA的值；標準答案：由cos(A－B)cosB—sin(A－B)sin(A+C)=－，得cos(A－B)cosB－sin(A－B)sinB=．則cos(A－B+B)=－，即cosA=－．又因為0＜A＜π，則sinA=.知識點解析：暫無解析11、若a=4√2，b=5，求向量方向上的投影．標準答案：由正弦定理，得．所以sinB=由題知a＞b，則A＞B，故B=．根據(jù)余弦定理，有(4√2)2=52+c2－2×5c×，解得c=1或c=－7(負值舍去)．故向量方向上的投影為知識點解析：暫無解析在△ABC中，a=3，b=2√6，∠B=2∠A，12、求cosA的值；標準答案：因為a=3，b=2√6，∠B=2∠A，所以在△ABC中，由正弦定理得.所以知識點解析：暫無解析13、求C的值．標準答案：由(1)知，cosA=，所以sinA=．又因為∠B=2∠A，所以cosB=2cos2A－1=．所以sinB=．在△ABC中，sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=所以c==5．知識點解析：暫無解析在△ABC中，角A，B，C對應的邊分別是a，b，c．已知cos2A－3cos(B+C)=1．14、求角A的大小；標準答案：由已知條件得：cos2A+3cosA=1．∴2cos2A+3cosA－2=0，解得cosA=，角A=.知識點解析：暫無解析15、若△ABC的面積S=5√3，b=5，求sinBsinC的值．標準答案：S=bcsinA=5√3c=4，由余弦定理得：a2=21，(2R)2==28∴sinBsinC=.知識點解析：暫無解析已知等比數(shù)列{an}滿足：|a2－a3|=10，a1a2a3=125．16、求數(shù)列{an}的通項公式；標準答案：由已知條件得：a2=5，又∵a2|q－1|=10，∴q=－1或3，所以數(shù)列{an}的通項為an=5×3n-2或an=5×(－1)n-2．知識點解析：暫無解析17、是否存在正整數(shù)m，使得≥1?若存在，求m的最小值；若不存在，說明理由．標準答案：若q=－1，或0，不存在這樣的正整數(shù)m；若q=3，，不存在這樣的正整數(shù)m．知識點解析：暫無解析設(shè)向量a=(√3sinx,sinx),b=(cosx,sinx),x∈[0，].18、若|a|=|b|，求x的值；標準答案：由|a|2=(√3sinx)2+(sinx)2=4sin2x，|b|2=(cosx)2+(sinx)2=1，及|α|=|b|，得4sin2x=1．又∵x∈，從而sinx=，所以x=知識點解析：暫無解析19、設(shè)函數(shù)f(x)=a·b，求f(x)的最大值．標準答案：f(x)=a·b=√3sinx·cosx+sin2x=，當x=時，sin(2x－)取最大值1．所以f(x)的最大值為.知識點解析：暫無解析已知函數(shù)f(x)=(1+x)e-2x，g(x)=ax++1+2xcosx．當x∈[0，1]時，20、求證：1－x≤f(x)≤標準答案：要證：x∈[0，1]時，(1+x)e-2x≥1－x，只需證明(1+x)e-x≥(1－x)ex．記h(x)=(1+x)e-x(1－x)ex，則h＇(x)=x(ex－e-x)，當x∈(0，1)時，h＇(x)＞0，因此h(x)在[0，1]上是增函數(shù)，故h(x)≥h(0)=0．所以f(x)≥1－x，x∈[0，1]．要證x∈[0，1]時，(1+x)e-2x≤，只需證明ex≥x+1．記K(x)=ex－x－1，則K＇(x)=ex－1，當x∈(0，1)時，K＇(x)＞0，因此K(x)在[0，1]上是增函數(shù)，故K(z)≥K(0)=0．所以f(x)≤，x∈[0，1]．綜上，1－x≤f(x)≤，x∈[0，1]．知識點解析：暫無解析21、若f(x)≥g(x)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．標準答案：解法一：f(x)－g(x)=(1+x)e-2x一(ax++1+2xcosx)≥1－x－ax－1－－2xcosx=－x(a+1++2cosx)．設(shè)G(x)=+2cosx，則G＇(x)=x－2sinx．記H(x)=x－2sinx，則H＇(x)=1一2cosx，當x∈(0，1)時，H＇(x)＜0，于是G＇(z)在[0，1]上是減函數(shù)，從而當x∈(0，1)時，G＇(x)＜G＇(0)=0，故G(x)在[0，1]上是減函數(shù)．于是G(x)≤G(0)=2，從而a+1+G(x)≤a+3．所以，當a≤－3時，f(x)≥g(x)在[0，1]上恒成立．下面證明當a＞－3時，f(x)≥g(z)在[0，1]上不恒成立．f(x)－g(x)≤記I(x)=+a+G(x)，則I＇(x)=+G(x)，當x∈(0，1)時，I＇(x)＜0，故I(x)在[0，1]上是減函數(shù)，于是I(x)在[0，1]上的值域為[a+1+2cos1，a+3]．因為當a＞一3時，a+3＞0，所以存在x0∈(0，1)，使得I(x0)＞0，此時f(x0)＜g(x0)，即f(x)≥g(x)在[0，1]上不恒成立．綜上，實數(shù)a的取值范圍是(－∞，－3]．解法二：先證當x∈[0，1]時，1－x2≤cosx≤1－x2．記F(x)=cosx－1+x2，則F＇(x)=－sinx+x．記G(x)=－sinx+x，則G＇(x)=－cosx+1，當x∈(0，1)時，G＇(x)＞0，于是G(x)在[0，1]上是增函數(shù)，因此當x∈(0，1)時，G(x)＞G(0)=0，從而F(x)在[0，1]上是增函數(shù)．因此F(x)≥F(0)=0，所以當x∈[0，1]時，1－x2≤cosx．同理可證，當x∈[0，1]時，cosx≤1－x2．綜上，當x∈[0，1]時，1－x2≤cosx≤1－x2．因為當x∈[0，1]時，f(x)－g(x)=(1+x)e-2x－(ax++1+2xcosx)≥(1－x)－ax－－1－2x(1一x2)=－(a+3)x,所以當a≤－3時，f(x)≥g(x)在[0，1]上恒成立．下面證明當a＞－3時，f(x)≥g(x)在[0，1]上不恒成立．因為f(x)－g(x)=(1+x)e-2x－一(a+3)x≤，所以存在x0∈(0，1)(例如x0取中的較小值)滿足f(x0)＜g(x0)．即f(x)≥g(x)在[0，1]上不恒成立．綜上，實數(shù)a的取值范圍是(一∞，一3]．知識點解析：暫無解析已知函數(shù)f(x)=√2cos(x－),x∈R．22、求的值；標準答案：知識點解析：暫無解析23、若cosθ=，求標準答案：=cos2θ－sin2θ因為cosθ=.所以sinθ=－，所以sin2θ=2sinθcosθ=－，cos2θ=cos2θ－sin2θ=－所以f(2θ+)=cos2θ－sin2θ=—.知識點解析：暫無解析設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,已知a1=1，,n∈N*．24、a2的值；標準答案：依題意，2S1=a2－，又因為S1=a1=1，所以a2=4．知識點解析：暫無解析25、求數(shù)列{an}的通項公式；標準答案：當n≥2時，2Sn=nan+1－n3—n2－n，2Sn-1=(n—1)an－(n—1)3－(n－1)2－(n－1)，兩式相減得2an=nan+1－(n－1)an－(3n2－3n+1)－(2n－1)－，整理得(n+1)an=nan+1－n(n+1)，即=1，又因為=1故數(shù)列是首項為=1，公差為l的等差數(shù)列，所以：1+(n－1)×1=n，所以an=n2.知識點解析：暫無解析26、)證明：對－切正整數(shù)n，有標準答案：當n=1時，；當n=2時，；當n≥3時，綜上，對－切正整數(shù)n，有.知識點解析：暫無解析設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且a+c=6，b=2，cosB=27、求a，c的值；標準答案：由余弦定理，得cosB=．∴ac=9，故a=c=3．知識點解析：暫無解析28、求sin(A—B)的值．標準答案：由cosB=，得sinB=：cosA=．sinA=；∴sin(A—B)=sinAcosB—sinBcosA=知識點解析：暫無解析設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且S4=4S2，a2n=2an+1．29、求數(shù)列{an}的通項公式；標準答案：設(shè)等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d，由S4=4S2得4a1+6d=8a1+4d，即d=2a1；又由a2n=2an+l得a2=2a1+l，即d=a1+1，所以a1=1，d=2，于是，數(shù)列{an}的通項公式為an=2n－1．知識點解析：暫無解析30、設(shè)數(shù)列{bn}的前n項和Tn，且Tn+=λ(λ為常數(shù))，令cn=b2n，(n∈N*)．求數(shù)列{Cn}的前n項和Rn標準答案：∵an=2n－1，數(shù)列{bn}的前n項和Tn滿足Tn+=λ，即Tn=λ－當n=1時，T1=λ－1，當n≥2時，Tn-1=λ－，于是bn=Tn－Tn-1=．又cn=b2n=．兩式相減，得知識點解析：暫無解析教師公開招聘考試小學數(shù)學（計算題）模擬試卷第2套一、計算題(本題共31題，每題1.0分，共31分。)如圖，在四棱錐A—BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE=∠BED=90°，AB=CD=2，DE=BE=1，AC=√2．1、證明：DE⊥平面ACD；標準答案：在直角梯形BCDE中，由DE=BE=1，CD=2，得BD=BC=√2，由AC=√2，AB=2得AB2=AC2+BC2，即AC⊥BC，又因為平面ABC⊥平面BCDE，從而AC⊥平面BCDE，所以AC⊥DE，又因為DE⊥DC，從而DE⊥平面ACD．知識點解析：暫無解析2、求二面角B—AD—E的大小．標準答案：作BF⊥AD，與AD交于點F，過點F作FG∥DE，與AE交于點G，連接BG，由(Ⅰ)知DE⊥AD，則FG⊥AD，所以∠BFG就是二面角B—AD—E的平面角，在直角梯形BCDE中，由CD2－BC2+BD2，得BD⊥BC，又因為平面ABC⊥平面BCDE，得BD⊥平面ABC，從而BD⊥AB，由于AC⊥平面BCDE，得AC⊥CD．在Rt△ACD中，由DC=2，AC=√6，得AD=√2；在Rt△AED中，由ED=1，AD=√6得AE=√7；在Rt△ABD中，由BD=√2，AB=2，AD=√2得BF=AD，從而GF=，在△ABE，△ABG中，利用余弦定理分別可得cos∠BAE=．在△BFG中，cos∠BFG=，所以，∠BFG=，二面角B—AD—E的大小為.知識點解析：暫無解析如圖，已知雙曲線C：=y2=1(a＞0)的右焦點為F，點A，B分別在C的兩條漸近線上，AF⊥x軸，AB⊥0B，BF∥OA(O為坐標原點)．3、雙曲線C的方程；標準答案：依題意知，A(c，)，設(shè)B(t，－)，∵AB⊥OB，BF∥OA，∴整理得：t=，a=√3．∴雙曲線c的方程為－y2=1．知識點解析：暫無解析4、過C上－點P(x0，y0)(y0≠0)的直線l：－y0y=1與直線AF相交于點M，與直線x=相交于點N．證明：當點P在C上移動時，恒為定值，并求此定值．標準答案：證明由(Ⅰ)知A(2，)，l的方程為：－y0y=1，又F(2，0)，直線l：y0y=1與直線AF相交于點M，與直線x=相交于點N．于是可得M∴.知識點解析：暫無解析已知橢圓C：=1(a＞b＞0)的左焦點為F(－2，0)，離心率為5、求橢圓C的標準方程；標準答案：由已知可得，，c=2，所以a=√6．又由a2=b2+c2，解得b=√2．所以橢圓C的標準方程是=1．知識點解析：暫無解析6、設(shè)O為坐標原點，T為直線x=－3上－點，過F作TF的垂線交橢圓于P，Q．當四邊形OPTQ是平行四邊形時，求四邊形OPTQ的面積．標準答案：設(shè)T點的坐標為(－3，m)，則直線TF的斜率kTF==－m．當m≠0時，直線PQ的斜率kPQ=．直線PQ的方程是x=my－2．當m=0時，直線PQ的方程是x=－2，也符合x=my－2的形式．設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，將直線PQ的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，得．消去x，得(m2+3)y2－4my－2=0，其判別式Δ=16m2+8(m2+3)=24(m2+1)＞0．所以y1+y2=.y1y2=，x1+x2=m(y1+y2)－4=因為四邊形OPTQ是平行四邊形，所以，即(x1，y1)=(－3－x2，m—y2)．所以．解得m=±1．此時，四邊形的面積SOPTQ=2SOPQ=2×·|OF|·|y1－y2|==2√3．知識點解析：暫無解析已知橢圓C：=1(a＞b＞0)的－個焦點為(√5，0)，離心率為7、求橢圓C的標準方程；標準答案：依題意得c=√5，e=，所以a=3，b2=a2－c2=4，所以橢圓C的標準方程為=1.知識點解析：暫無解析8、若動點P(x0，y0)為橢圓C外－點，且點P到橢圓C的兩條切線相互垂直，求點P的軌跡方程．標準答案：當過點P的兩條切線l1，l2的斜率均存在時，設(shè)l1：y－y0=k(x—x0)，則，l2：y—y0=(x－x0)聯(lián)立，得(4+9k2)x2+18k(y0－kx0)x+9(y0－kx0)2－36=0，所以Δ=(18k)2(y0－kx0)2－4(4+9k2)[9(y0－kx0)2－36]=0，整理得(y0－kx0)2=4+9k2，即(x02－9)k2－2x0y0k+y02－4=0，因為l1⊥l2，所以k1k2==－1，整理得x02+y02=13；當過點P的兩條切線l1，l2－條斜率不存在，－條斜率為0時，P為(3，±2)或(－3，±2)，均滿足x02+y02=13．綜上所述，點P的軌跡方程為x2+y2=13．知識點解析：暫無解析設(shè)橢圓=1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1、F2，右頂點為A，上頂點為B，已知|AB|=|F1F2|．9、求橢圓的離心率；標準答案：設(shè)橢圓的右焦點為F2(c，0)，由|AB|=|F1F2|，可得×2c，化為a2+b2=3c2．又∵b2=a2－c2，∴a2=2c2．∴e=知識點解析：暫無解析10、設(shè)P為橢圓上異于其頂點的－點，以線段PB為直徑的圓經(jīng)過點F1，經(jīng)過原點O的直線l與該圓相切，求直線l的斜率．標準答案：由(Ⅰ)可得b2=c2．因此橢圓方程為=1．設(shè)P(x0，y0)，由F1(－c，0)，B(0，c)，可得=(x0+c，y0)．=(c，c)∵=c(x0+c)+cy0=0，∴x0+y0+c=0，∵點P在橢圓上，∴=1．聯(lián)立，化為3x02+4cx0=0，∵x0≠0．∴x0=－c，代入x0+y0+c=0，可得y0=．設(shè)圓心為T(x1，y1)，則x1=，∴圓的半徑r=.設(shè)直線l的斜率為k，則直線l的方程為：y=kx．∵直線l與圓相切，∴,整理得k2－8k+1=0，解得k=4±√15．∴直線l的斜率為4±√15．知識點解析：暫無解析已知圓C的方程為x2+(y－4)2=4，點O是坐標原點，直線l：y=kz與圓C交于M，N兩點．11、求k的取值范圍；標準答案：將y=kx代入x2+(y－4)2=4中，得(1+k2)x2－8kx+12=0(*)．由△=(－8k)2－4×(1+k2)×12＞0，得k2＞3．所以k的取值范圍是(－∞，－√3)∪(√3，+∞)．知識點解析：暫無解析12、設(shè)Q(m，n)是線段MN上的點，且，請將n表示為m的函數(shù)．標準答案：因為M，N在直線l上，可設(shè)點M，N的坐標分別為(x1，kx1)，(x2，kx2)，則|OM|2=(1+k2)x12，|ON|2=(1+k2)x22，又因為|OQ|2=m2+n2=(1+k2)m2．由.由(*)式可知，x1+x2=，x1x2=,所以m2=．因為點Q在直線y=kx上．所以k=，代入m2=中并化簡，得5n2一3m2=36．由m2=及k2＞3，可知0＜m2＜3，即，m∈(一√3，0)∪(0，√3)．根據(jù)題意，點Q在圓C內(nèi)，則n＞0，所以n=于是n與m的函數(shù)關(guān)系為n(m∈(一√3，0)∪(0，√3))．知識點解析：暫無解析已知A，B，C是橢圓W：+y2=1上的三個點，O是坐標原點．13、當點B是W的右頂點，且四邊形OABC為菱形時，求此菱形的面積；標準答案：橢圓W：+y2=1的右頂點B的坐標為(2，0)．因為四邊形OABC為菱形，所以AC與OB相互垂直平分．所以可設(shè)A(1，m)，代入橢圓方程得+m2=1，即m=±所以菱形OABC的面積是|OB|·|AC|=×2×2|m|=√3.知識點解析：暫無解析14、當點B不是W的頂點時，判斷四邊形OABC是否可能為菱形，并說明理由．標準答案：假設(shè)四邊形OABC為菱形。因為點B不是W的頂點，且直線AC不過原點，所以可設(shè)AC的方程為y=kx+m(k≠0，m≠0)．由，消y并整理得(1+4k2)x2+8kmx+4m2－4=0．設(shè)A(x1，y1)，C(x2，y2)，則所以AC的中點為M因為M為AC和OB的交點，所以直線OB的斜率為－．因為k·(－)≠－1，所以AC與OB不垂直．所以O(shè)ABC不是菱形，與假設(shè)矛盾．所以當點B不是W的頂點時，四邊形OABC不可能是菱形．知識點解析：暫無解析已知動點P，Q都在曲線C：(t為參數(shù))上，對應參數(shù)分別為t=α與t=2α(0＜a＜2π)，M為PQ的中點．15、求M的軌跡的參數(shù)方程；標準答案：依題意有P(2cosα，2sinα)，Q(2cos2α，2sin2α)，因此M(cosα+cos2α，sinα+sin2α)．M的軌跡的參數(shù)方程為(α為參數(shù)，0＜α＜2π)．知識點解析：暫無解析16、將M到坐標原點的距離d表示為α的函數(shù)，并判斷M的軌跡是否過坐標原點．標準答案：M點到坐標原點的距離d=(0＜α＜2π)．當α=π時，d=0，故M的軌跡過坐標原點．知識點解析：暫無解析如圖，拋物線C1：x2=4y，C2：x2=－2py(p＞0)．點M(x0，y0)在拋物線C2上，過M作C1的切線，切點為A，B(M為原點O時，A，B重合于O)．當x0=1－√2時，切線MA的斜率為－.17、求p的值；標準答案：因為拋物線C1：x2=4y上任意－點(x，y)的切線斜率為y＇=，且切線MA的斜率為－,所以A點坐標為，故切線MA的方程為y=－×(x+1)+因為點M(1－√2，y0)在切線MA及拋物線C2上，于是y=－×(2－√2)+由①②得p=2．知識點解析：暫無解析18、當M在C2上運動時，求線段AB中點N的軌跡方程(A，B重合于O時，中點為O)．標準答案：設(shè)N(x，y)，，x1≠x2，由N為線段AB中點知x=切線MA，MB的方程為y=由⑤⑥得MA，MB的交點M(x0，y0)的坐標為x0=．因為點M(x0，y0)在C2上，即x02=－4y0，所以x1x2=由③④⑦得x2=，x≠0．當x1=x2時，A，B重合于原點O，AB中點N為O，坐標滿足x2=y．因此AB中點N，的軌跡方程為x2=知識點解析：暫無解析在直角坐標系xOy中，以O(shè)為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系．圓C1，直線C2的極坐標方程分別為ρ=4sinθ，ρcos(θ－)=2√2．19、求C1與C2交點的極坐標；標準答案：圓C1的直角坐標方程為x2+(y－2)2=4，直線C2的直角坐標方程為x+y－4=0．所以C1與C2交點的極坐標為.知識點解析：暫無解析20、設(shè)P為C1的圓心，Q為C1與C2交點連線的中點．已知直線PQ的參數(shù)方程為(t∈R為參數(shù))，求a，b的值．標準答案：由(Ⅰ)可得，P點與Q點的直角坐標分別為(0，2)，(1，3)．故直線PQ的直角坐標方程為x—y+2=0．由參數(shù)方程可得y=．解得a=－1，b=2．知識點解析：暫無解析已知拋物線C的頂點為原點，其焦點F(0，c)(c＞0)到直線l：x—y－2=0的距離為設(shè)P為直線l上的點，過P點作拋物線C的兩條切線PA，PB，其中A，B為切點．21、求拋物線C的方程；標準答案：依題意，設(shè)拋物線C的方程為x2=4cy，由結(jié)合c＞O，解得c=1．所以拋物線C的方程為x2=4y．知識點解析：暫無解析22、當點P(x0，y0)為直線l上的定點時，求直線AB的方程；標準答案：拋物線C的方程為x2=4y，即y=x2，求導得y＇=x，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)(其中y1=.y2=)，則切線PA，PB的斜率分別為，所以切線PA的方程為y—y1=(x—x1)，即y=+y1，即x1x－2y－2y1=0同理可得切線PB的方程為x2x－2y－2y2=0因為切線PA，PB均過點P(x0，y0)，所以x1x0－2y0－2y1=0，x2x0－2y0－2y2=0，所以(x1，y1)，(x2，y2)為方程x0x－2y0－2y=0的兩組解．所以直線AB的方程為x0x－2y－2y0=0．知識點解析：暫無解析23、當點P在直線l上移動時，求|AF|·|BF|的最小值．標準答案：由拋物線定義可知|AF|=y1+l，|BF|=y2+1，所以|AF|·|BF|=(y1+1)(y2+1)=y1y2+(y1+y2)+1聯(lián)立方程消去x整理得y2+(2y0－x02)y+y02=0，由－元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得y1+y2=x02－2y0，y1y2=y02，所以|AF|·|BF|=y1y2+(y1+y2)+l=y02+x02－2y0+l，又因為點P(x0，y0)在直線l上，所以x0=y0+2，所以y02+x02－2y0+1=2y02+2y0+5=，所以當y0=－時，|AF|·|BF|取得最小值，且最小值為.知識點解析：暫無解析橢圓C：=1(a＞b＞0)的左、右焦點分別是F1、F2，離心率為，過F1且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長為1．24、求橢圓C的方程；標準答案：由題意得，即4c2=3a2，又因為點(－c，)在橢圓C上，于是有=1，得b2=1，a2=4，所以橢圓C的方程為+y2=1．知識點解析：暫無解析25、點P是橢圓C上除長軸端點外的任一點，連接PF1、PF2，設(shè)∠F1PF2的角平分線PM交C的長軸于點M(m，0)，求m的取值范圍；標準答案：由點P在橢圓C上，得|PF1|+|PF2|=2a=4，又因為P不是長軸端點，由三角形角平分線定理，得，(m≠√3)記|PF2|=t，則|PF1|=4－t，2－√3＜t＜2+√3，于是有，解之t=2－．解不等式2－√3＜2－＜2+√3，得－，即為所求m的取值范圍．知識點解析：暫無解析26、在(Ⅱ)的條件下，過點P作斜率為k的直線l，使得l與橢圓C有且只有一個公共點，設(shè)直線PF1，PF2的斜率分別為k1，k2，若k≠0，試證明為定值，并求出這個定值．標準答案：設(shè)P(x0，y0)，則+y02=1，且k=－為定值－8．知識點解析：暫無解析甲乙兩支排球隊進行比賽，約定先勝3局者獲得比賽的勝利，比賽隨即結(jié)束．除第五局甲隊獲勝的概率是外，其余每局比賽甲隊獲勝的概率是假設(shè)每局比賽結(jié)果互相獨立．27、分別求甲隊以3：0，3：1，3：2勝利的概率；標準答案：設(shè)第1局、第2局、第3局、第4局、第5局甲隊獲勝分別為事件A1，A2，A3，A4，A5，于是P(A1)=P(A2)=P(A3)=P(A4)=，P(A5)=．甲隊以3：0勝利的概率為P(A1A2A3)=：甲隊以3：1勝利的概率為P(A2A3A4)+P(A1A3A4)+P(A1A2A4)=3×；甲隊以3：2勝利，說明甲乙兩隊前四局各有兩局獲勝，第5局甲隊獲勝，其概率為C42×.知識點解析：暫無解析28、若比賽結(jié)果為3：0或3：1，則勝利方得3分，對方得0分；若比賽結(jié)果為3：2，則勝利方得2分、對方得1分，求乙隊得分X的分布列及數(shù)學期望．標準答案：乙隊得分X的取值為X=0，1，2，3，X=0時，乙方以0：3或1：3失敗，P(X=0)=()3+C31×X=1時，乙方以2：3失敗，P(X=1)=C42×;X=2時，乙方以3：2勝利，P(X=2)=C42×;X=3時，乙方以3：0或3：1勝利，P(X=3)=;X的分布列為X的數(shù)學期望為E(X)=×(16×0+1×4+2×4+3×3)=知識點解析：暫無解析已知函數(shù)f(x)=其中a是實數(shù)，設(shè)A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))為該函數(shù)圖象上的兩點，且x1＜x2．29、指出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；標準答案：函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，－1)，單調(diào)遞增區(qū)間為[－1，0)，(0，+∞)．知識點解析：暫無解析30、若函數(shù)f(x)的圖象在點A，B處的切線互相垂直，且x2＜0，證明：x2－x1≥1；標準答案：由導數(shù)的幾何意義可知，點A處的切線斜率為f＇(x1)，點B處的切線斜率為f＇(x2)，故當點A處的切線與點B處的切線垂直時，有f＇(x1)f＇(x2)=－1．當x＜0時，對函數(shù)f(x)求導，得f＇(x)=2x+2．因為x1＜x2＜0，所以，(2x1+2)(2x2+2)=－1．所以2x1+2＜0，2x2+2＞0．因此x2－x1=[－(2x1+2)+2x2+2]≥=1．(當且僅當－(2x1+2)=2x2+2=l，即x1=－且x2=－時等號成立)所以函數(shù)f(x)的圖象在點A，B處的切線互相垂直時，有x2－x1≥1．知識點解析：暫無解析31、若函數(shù)f(x)的圖象在點A，B處的切線重合，求a的取值范圍．標準答案：當x1＜x2＜0或x2＞x1＞0時，f＇(x1)≠f＇(x2)，故x1＜0＜x2．當x1＜0時，函數(shù)f(x)的圖象在點(x1，f(x1))處的切線方程為y－(x12+2x1+a)=(2x1+2)(x—x1)，即y=(2x1+2)x—x12+a．當x2＞0時，函數(shù)f(x)的圖象在點(x2，f(x2))處的切線方程為y－lnx2=(x—x2)，即y=·x+lnx2－1．兩切線重合的充要條件是由①及x1＜0＜x2知，0＜＜2．由①②得，a=lnx2+.令t=，則0＜t＜2，且a=t2－t－lnt，設(shè)h(t)=t2－t－lnt(0＜t＜2)，則h＇(t)=＜0．所以h(t)(0＜t＜2)為減函數(shù)，則h(t)＞h(2)=－ln2—1，所以a＞－ln2—1．而當t∈(0，2)且t趨近于0時，h(t)無限增大．所以a的取值范圍是(－ln2—1，+∞)．故當函數(shù)f(x)的圖象在點A，B處的切線重合時，a的取值范圍是(－ln2—1，+∞)．知識點解析：暫無解析教師公開招聘考試小學數(shù)學（計算題）模擬試卷第3套一、計算題(本題共30題，每題1.0分，共30分。)P(x0，y0)(x0≠±a)是雙曲線E：=1(a＞0，b＞0)上－點，M，N分別是雙曲線E的左、右頂點，直線PM，PN的斜率之積為1、求雙曲線的離心率；標準答案：點P(x0,y0)(x0≠±a)在雙曲線=1上，有=1．由題意又由，可得a2=5b2，c2=a2+b2=6b2，則e=.知識點解析：暫無解析2、過雙曲線E的右焦點且斜率為1的直線交雙曲線于A，B兩點，O為坐標原點，C為雙曲線上－點，滿足，求λ的值．標準答案：聯(lián)立，得4x2－10cx+35b2=0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則=(x3，y3)，又因為C為雙曲線上一點，即x32－5y32=5b2，有(λx1+x2)2－5(λy1+y2)2=5b2．化簡得：λ2(x12－5y12)+(x22－5y22)+2λ(x1x2－5y1y2)=5b2，又因為A(x1，y1)，B(x2，y2)在雙曲線上，所以x12－5y12=5b2，x22－5y22=5b2．由①式又由x1x2－5y1y2=x1x2－5(x1－c)(x2－c)=－4x1x2+5c(x1+x2)－5c2=10b2得：λ2+4λ=0，解出λ=0或λ=－4．知識點解析：暫無解析已知拋物線C1：x2=y，圓C2：x2+(y－4)2=1的圓心為點M．3、求點M到拋物線C1的準線的距離；標準答案：由題意可知，拋物線的準線方程為：y=－，所以圓心M(0，4)到準線的距離是.知識點解析：暫無解析4、已知點P是拋物線C1上－點(異于原點)，過點P作圓C2的兩條切線，交拋物線C1于A，B兩點，若過M，P兩點的直線l垂直于AB，求直線l的方程．標準答案：設(shè)P(x0，x02)，A(x1，x12)，B(x2，x22)，由題意得x0≠0，x0≠±1，x1≠x2．設(shè)過點P的圓C2的切線方程為y－x02=k(x－x0)，即y=kx－kx0+x02①．則=1，即(x02－1)k2+2x0(4一x02)k+(x02－4)2一1=0．設(shè)PA，PB的斜率為k1，k2(k1≠k2)，則k1，k2是上述方程的兩根，所以k1+k2=，k1k2=將①代入y=x2得x2－kx+kx0－x02=0，由于x0是此方程的根，故x1=k1－x0，x2=k2一x0，所以kAB==x1+x2=k1+k2—2x0=一2xx0，kMP=．由MP⊥AB，得kAB·kMP==－1，解得x02=.即點P的坐標為，所以直線l的方程為y=±x+4．知識點解析：暫無解析已知拋物線C：y=(x+1)2與圓M：(x－1)2+(y－)2=r2(r＞0)有－個公共點A，且在A處兩曲線的切線為同－直線l．5、求r；標準答案：設(shè)A(x0，(x0+1)2)，對y=(x+1)2求導得y＇=2(x+1)．故l的斜率k=2(x0+1)．當x0=－1時，不合題意，所以x0≠－1．圓心為M(1，)，MA的斜率k＇=.由l⊥MA知k·k＇=－1，即2(x0+1)·=－1，解得x0=0，故A(0，1)，r=|MA|=.知識點解析：暫無解析6、設(shè)m、n是異于l且與C及M都相切的兩條直線，m、n的交點為D，求D到l的距離．標準答案：設(shè)(t，(t+1)2)為C上－點，則在該點處的切線方程為y－(t+1)2=2(t+1)(x－t)，即y=2(t+1)x—t2+1．若該直線與圓M相切，則圓心M到該切線的距離為，即，化簡得t2(t2－4t－6)=0，解得t0=0，t1=2+√10，t2=2－√10．拋物線C在點(ti，(ti+1)2)(i=0，1，2)處的切線分別為l，m，n，其方程分別為y=2x+1①，y=2(t1+1)x－t12+1②，y=2(t2+1)x—t22+1③，②－③得．x==2．將x=2代入②得y=－1，故D(2，－1)．所以D到l的距離d=.知識點解析：暫無解析如圖，設(shè)橢圓的中心為原點O，長軸在x軸上，上頂點為A，左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，線段OF1，OF2的中點分別為B1，B2，且△AB1B2是面積為4的直角三角形．7、求該橢圓的離心率和標準方程；標準答案：如圖，設(shè)所求橢圓的標準方程為=1(a＞b＞0)，右焦點為F2(c，0)．因△AB1B2是直角三角形，又因為|AB1|=|AB2|，故∠B1AB2為直角，因此|OA|=|OB2|，得b=．結(jié)合c2=a2－b2得4b2=a2－b2，故a2=5b2，c2=4b2．所以離心率e=在Rt△AB1B2中，OA⊥B1B2，故S△AB1B2=·|B1B2|·|OA|=|OB2|．|OA|=·b=b2，由題設(shè)條件S△AB1B2=4得b2=4，從而a2=5b2=20．因此所求橢圓的標準方程為：=1.知識點解析：暫無解析8、過B1作直線l交橢圓于P，Q兩點，使PB2⊥QB2，求直線l的方程．標準答案：由(Ⅰ)知B1(－2，0)，B2(2，0)．由題意知直線l的傾斜角不為0，故可設(shè)直線l的方程為：x=my－2．代入橢圓方程得(m2+5)y2－4my－16=0．設(shè)P(x1，y1)、Q(x1，y2)，則y1，y2是上面方程的兩根，因此y1+y2=,y1·y2=－,又因為=(x1－2，y1)，=(x2—2，y2)，所以=(x1－2)(x2—2)+y1y2=(my1－4)(my2—4)+y1y2=(m2+1)y1y2—4m(y1+y2)+16=－，由PB2⊥QB2，得=0，即16m2－64=0，解得m=±2．所以滿足條件的直線有兩條，其方程分別為x+2y+2=0和x－2y+2=0．知識點解析：暫無解析如圖，設(shè)P是圓x2+y2=25上的動點，點D是P在x軸上的投影，M為PD上一點，且|MD|=PD|．9、當P在圓上運動時，求點M的軌跡C的方程；標準答案：設(shè)M的坐標為(x，y)，P的坐標為(xP，yP)，由已知得.∵P在圓上，∴x2+=25，即C的方程為=1.知識點解析：暫無解析10、求過點(3，0)且斜率為的直線被C所截線段的長度．標準答案：過點(3，0)且斜率為的直線方程為y=(x－3)，設(shè)直線與C的交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，將直線方程y=(x－3)代入C的方程，得=1，即x2－3x－8=0．∴x1=，x2=∴線段AB的長度為|AB|=知識點解析：暫無解析設(shè)圓c與兩圓(x+√5)2+y2=4，(x－√5)2+y2=4中的一個內(nèi)切，另一個外切．11、求圓C的圓心軌跡L的方程；標準答案：依題意得兩圓的圓心分別為F1(－√5，0)，F(xiàn)2(√5，0)，從而可得|CF1|+2=|CF2|－2或|CF2|+2=|CF1|－2，所以||CF2|—|CF1||=4=2a＜|F1F2|=2√5=2c．所以圓心C的軌跡是以原點為中心，焦點在x軸上，且實軸長為4，焦距為2√5的雙曲線，因此a=2，c=√5，b2=c2－a2=1．故圓C的圓心軌跡L的方程為－y2=1．知識點解析：暫無解析12、已知點M，F(xiàn)(√5，0)，且P為L上動點，求||MP|—|FP||的最大值及此時點P的坐標．標準答案：過點M，F(xiàn)的直線l的方程y=－2(x－√5)，將其代入－y2=1中，解得x1=故直線l與L的交點為T1，因為T1在線段MF外，T2在線段MF上，故||MT1|－|FT1||=|MF|=2，||MT2|—|FT2||＜|MF|=2，若點P不在MF上，則||MP|－|FP||＜|MF|=2，綜上所述，||MP|—|FP|只在點T1處取得最大值，即||MP|—|FP||的最大值為2，此時點P的坐標為.知識點解析：暫無解析已知橢圓=1(a＞b＞0)的離心率e=，連接橢圓的四個頂點得到的菱形的面積為4．13、求橢圓的方程；標準答案：由e=，得3a2=4c2．再由c2=a2－b2，得a=2b．由題意可知×2a×2b=4．即ab=2．解方程組得a=2，b=1，所以橢圓的方程為+y2=1.知識點解析：暫無解析14、設(shè)直線l與橢圓相交于不同的兩點A，B．已知點A的坐標為(－a，0)，點Q(0，y0)在線段AB的垂直平分線上，且=4．求y0的值．標準答案：由(Ⅰ)可知A(－2，0)，設(shè)B點的坐標為(x1，y1)，直線l的斜率為k，則直線l的方程為y=k(x+2)．于是A、B兩點的坐標滿足方程組由方程組消去y并整理，得(1+4k2)x2+16k2x+(16k2－4)=0．由－2x1=，得x1=，從而y1=．設(shè)線段AB的中點為M，則M的坐標為以下分兩種情況：①當k=0時，點B的坐標為(2，0)，線段AB的垂直平分線為y軸，于是=(－2，－y0)，=(2，－y0)．由=4，得y0=±2√2②當k≠0時，線段AB的垂直平分線方程為y－.令x=0，解得y0=－,由=(－2，－y0)，=(x1，y1—y0)，=－2x1－y0(y1－y0)==4.整理得7k2=2，故k=±，所以y0=±，綜上，y0=±2√2或y0=±.知識點解析：暫無解析已知橢圓E經(jīng)過點A(2，3)，對稱軸為坐標軸，焦點F1，F(xiàn)2在x軸上，離心率e=.15、求橢圓E的方程；標準答案：設(shè)橢圓E的方程為：=1，由e=，得,b2=a2－c2=3c2，∴=1．將A(2，3)代入，有=1，解得：c=2，∴橢圓E的方程為=1．知識點解析：暫無解析16、求∠F1AF2的角平分線所在直線l的方程．標準答案：由(Ⅰ)知F1(－2，0)，F(xiàn)2(2，0)，所以直線AF1的方程為y=(x+2)，即3x－4y+6=0，直線AF2的方程為x=2，由橢圓E的圖形知∠F1AF2的角平分線所在直線的斜率為正數(shù)．設(shè)P(x，y)為∠F1AF2的角平分線所在直線上任－點，則有=|x－2|，若3x－4y+6=5x－10，得x+2y－8=0，其斜率為負，不合題意．舍去，于是3x－4y+6=10－5x，即2x－y－1=0．∴∠F1AF2的角平分線所在直線的方程為2x—y－1=0．知識點解析：暫無解析如圖，△BCD與△MCD都是邊長為2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB=2√3．17、求點A到平面MBC的距離；標準答案：取CD中點O，連OB，OM，則OB=OM=√3，OB⊥CD，MO⊥CD．又因為平面MCD⊥平面BCD，則MO⊥平面BCD，所以MO∥AB，MO∥平面ABC，M，O到平面ABC的距離相等．作OH⊥BC于H，連MH，則MH⊥BC．求得OH=OC·sin60°=，MH=．設(shè)點A到平面MBC的距離為d，由VA-MBC=VM-ABC得·S△MBC·d=·S△ABC·OH，即，解得d=.知識點解析：暫無解析18、求平面ACM與平面BCD所成二面角的正弦值．標準答案：延長AM、BO相交于E，連CE、DE，CE是平面ACM與平面BCD的交線．由(1)知，O是BE的中點，則四邊形BCED是菱形．作BF⊥EC于F，連AF，則AF⊥EC，∠AFB就是二面角A—EC—B的平面角，設(shè)為θ．因為∠BCE=120°，所以∠BCF=60°，BF=2sin60°=√3，tanθ==2．sinθ=.則所求二面角的正弦值為知識點解析：暫無解析設(shè)橢圓C1：=1(a＞b＞0)，拋物線C2：x2+by=b2．19、若C2經(jīng)過C1的兩個焦點，求C1，的離心率；標準答案：因為拋物線C2經(jīng)過橢圓C1的兩個焦點F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)，可得c=b2，由a2=b2+c2=2c2，有，所以橢圓C1的離心率e=知識點解析：暫無解析20、設(shè)A(0，b)，Q(3√3，b)，又M、N為C1與C2不在y軸上的兩個交點，若△AMN的垂心為B(0，b)，且△QMN的重心在C2上，求橢圓C1和拋物線C2的方程．標準答案：由題設(shè)可知M，N，關(guān)于y軸對稱，設(shè)M(－x1，y1)，N(x1，y1)，(x1＞0)，則由△AMN，的垂心為B，有=0，所以－x12+(y1－b)(y1－b)=0①，由于點N(x1，y1)在C2上，故有x12+by1=b2②，由①②得y1=－或y1=b(舍去)，所以x1=，故，所以△QMN的重心為,因重心在C2上得3+=b2，所以b=2，M(－√5，－)，N(√5，－)，又因為M，N，在C1上，所以=1，得a2=．所以橢圓C1的方程為=1，拋物線C2的方程為x2+2y=4．知識點解析：暫無解析圓x2+y2=4的切線與x軸正半軸，y軸正半軸圍成－個三角形，當該三角形面積最小時，切點為P(如圖)，雙曲線C1：=1過點P且離心率為√3.21、求C1的方程；標準答案：設(shè)切點P(x0，y0)，(x0＞0，y0＞0)，則切線的斜率為－，可得切線的方程為y—y0=－(x－x0)，化為x0x+y0y=4．令x=0，可得y=；令y=0，可得x=．∴切線與x軸正半軸，y軸正半軸圍成－個三角形的面積S=．∵4=x02+y02≥2x0y0，當且僅當x0=y0=√2時取等號．∴S≥=4．此時P(√2，√2)．由題意可得，解得a2=1，b2=2.故雙曲線C1的方程為x2－=1．知識點解析：暫無解析22、若橢圓C2過點P且與C1有相同的焦點，直線l過C2的右焦點且與C2交于A，B兩點，若以線段AB為直徑的圓過點P，求l的方程．標準答案：由(Ⅰ)可知雙曲線C1的焦點(±√3，0)，即為橢圓C2的焦點．可設(shè)橢圓C2的方程為=(b1＞0)．把P(√2，√2)代入可得=1，解得b22=3，因此橢圓C2的方程為=1．由題意可設(shè)直線l的方程為x=my+√3，A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立，化為(m2+2)y2+2√3my－3=0，∴y1+y2=－．x1+x2=m(y1+y2)+2√3=，y1y2=∴x1x2=m2y1y2+√3m(y1+y2)+3==(√2－x1，√2－y1)，=(√2－x2，√2－y2)，∵=0，∴x1x2－√2(x1+x2)+y1y2－√2(y1+y2)+4=0，∴2m2－2√6m+4√6－11=0，解得m=－1或m=－(－1)，因此直線l的方程為：x－－1)y－√3=0或x+(－1)y－√3=0．知識點解析：暫無解析將圓x2+y2=1上每－點的橫坐標保持不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，得曲線C．23、寫出C的參數(shù)方程；標準答案：在曲線C上任意取一點(x，y)，由題意可得點(x，)在圓x2+y2=1上，∴x2+=1，即曲線C的方程為x2+=1，化為參數(shù)方程為(0≤θ＜2π，θ為參數(shù))．知識點解析：暫無解析24、設(shè)直線l：2x+y－2=0與C的交點為P1，P2，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，求過線段P1P2的中點且與l垂直的直線的極坐標方程．標準答案：由，不妨設(shè)P1(1，0)、P2(0，2)，則線段P1P2的中點坐標為(，1)，再根據(jù)與l垂直的直線的斜率為，故所求的直線的方程為y－1=，即x－2y+=0．再根據(jù)x=ρcosα、y=ρsinα可得所求的直線的極坐標方程為ρcosα－2ρsinα+=0，即ρ=知識點解析：暫無解析設(shè)F1．F2，分別是橢圓E：=1(a＞b＞0)的左、右焦點，過點F1的直線交橢圓E于A，B兩點，|AF1|=3|BF1|．25、若|AB|=4，△ABF2的周長為16，求|AF2|；標準答案：由|AF1|=3|F1B|，|AB|=4，得：|AF1|=3，|F1B|=1因為△ABF2的周長為16，所以由橢圓定義可得4a=16，|AF1|+|AF2|=2a=8故|AF2|=2a－|AF1|=8—3=5．知識點解析：暫無解析26、若cos∠AF2B=，求橢圓E的離心率．標準答案：設(shè)|F1B|=k，則k＞0且|AF1|=3k，|AB|=4k，由橢圓定義可得|AF2|=2a－3k，|BF2|=2a－k在△ABF2中，由余弦定理可得|AB|2=|AF2|2+|BF2|2－2|AF2|·|BF2|cos∠AF2B，即(4k)2=(2a－3k)2－(2a－k)2·(2a－3k)·(2a－k)，化簡可得(a+k)·(a－3k)=0，而(a+k)＞0，故a－3k=0于是有|AF2|=3k=|AF1|，|BF2|=5k因此|BF2|2=|F2A|2+|AB|2，可得F1A⊥F2A，故△AF1F2為等腰直角三角形，從而c=a，所以橢圓的離心率e=知識點解析：暫無解析設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：=1(a＞b＞0)的左，右焦點，M是C上－點且MF2與x軸垂直，直線MF1與C的另－個交點為N．27、若直線MN的斜率為，求C的離心率；標準答案：根據(jù)c=以及題設(shè)知M(c，)，2b2=3ac，將b2=a2－c2代入2b2=3ac，解得,=－2(舍去)故C的離心率為.知識點解析：暫無解析28、若直線MN，在y軸上的截距為2，且|MN|=5|F1N|，求a，b．標準答案：由題意，原點O是F1F2的中點，MF2∥y軸，所以直線MF1與y軸的交點D是線段MF1的中點，故=4，即b2=4a①，由|MN|=5|F1N|得|DF1|=|F1N|設(shè)N(x，y)，由題意可知y＜0，則，代入方程C，得=1②，將①以及c=代入②得到=1解得a=7，b2=4a=28，故a=7，b=2√7．知識點解析：暫無解析如圖，設(shè)橢圓C：=1(a＞b＞0)，動直線l與橢圓C只有－個公共點P，且點P在第－象限．29、已知直線l的斜率為k，用a，b，k表示點P的坐標;標準答案：設(shè)直線l的方程為y=kx+m(k＜0)，由消去y得(b2+a2k2)x2+2a2kmx+a2m2－a2b2=0．由于直線l與橢圓C只有－個公共點P，故Δ=0，即b2－m2+a2k2=0，解得點P的坐標為，又因為點P在第－象限，故點P的坐標為P,知識點解析：暫無解析30、若過原點O的直線l1與l垂直，證明：點P到直線l1的距離的最大值為a－b．標準答案：由于直線l1過原點O且與直線l垂直，故直線l1的方程為x+ky=0，所以點P到直線l1的距離d=，整理得：d=．因為a2k2+≥2ab，所以=a－b，當且僅當k2=時等號成立．所以點P到直線l1的距離的最大值為a—b．知識點解析：暫無解析教師公開招聘考試小學數(shù)學（計算題）模擬試卷第4套一、計算題(本題共31題，每題1.0分，共31分。)在一場娛樂晚會上，有5位民間歌手(1至5號)登臺演唱，由現(xiàn)場數(shù)百名觀眾投票選出最受歡迎歌手．各位觀眾須彼此獨立地在選票上選3名歌手，其中觀眾甲是1號歌手的歌迷，他必選1號，不選2號，另在3至5號中隨機選2名．觀眾乙和丙對5位歌手的演唱沒有偏愛，因此在1至5號中隨機選3名歌手．1、求觀眾甲選中3號歌手且觀眾乙未選中3號歌手的概率；標準答案：設(shè)A表示事件“觀眾甲選中3號歌手”，B表示事件“觀眾乙選中3號歌手”，則P(A)=∵事件A與B相互獨立，∴觀眾甲選中3號歌手且觀眾乙未選中3號歌手的概率為P(A)=P(A)·P()=P(A)．[1－P(B)]=知識點解析：暫無解析2、X表示3號歌手得到觀眾甲、乙、丙的票數(shù)之和，求X的分布列及數(shù)學期望．標準答案：設(shè)C表示事件“觀眾丙選中3號歌手”，則P(C)=，∵X可能的取值為0，1，2，3，且取這些值的概率分別為P(X=0)=．P(X=1)=PP(X=2)=PP(X=3)=P(ABC)=∴X的分布列為∴X的數(shù)學期望EX=0×知識點解析：暫無解析已知動圓過定點A(4，0)，且在y軸上截得弦MN的長為8．3、求動圓圓心的軌跡C的方程；標準答案：如圖，設(shè)動圓圓心O1(x，y)，由題意，|O1A|=|O1M|，當O1不在y軸上時，過O1作O1H⊥MN交MN于H，則H是MN的中點．∴|O1M|=，又∵|O1A|=，化簡得y2=8x(x≠0)．又當O1在y軸上時，O1與O重合，點O1的坐標(0，0)也滿足方程y2=8x，∴動圓圓心的軌跡C的方程為y2=8x．知識點解析：暫無解析4、已知點B(－1，0)，設(shè)不垂直于x軸的直線l與軌跡C交于不同的兩點P，Q，若x軸是∠PBQ的角平分線，證明直線l過定點．標準答案：由題意，設(shè)直線z的方程為y=kz+6(K≠0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，將y=kx+b代入y2=8x中，得k2x22+(2bk－8)x+b2=0，其中△=－32kb+64＞0．由求根公式得，x1+x2=①，x1x2=②，因為x軸是∠PBQ的角平分線，所以，即y1(x2+1)+y2(x1+1)=0，(kx1+b)(x2+1)+(kx2+b)(x1+1)=0，2kx1x2+(b+k)(x1+x2)+2b=0③，將①②代入③得2kb2+(k+b)(8—2bk)+2k2b=0，∴k=－b，此時△＞0，∴直線l的方程為y=k(x－1)，即直線l過定點(1，0)．知識點解析：暫無解析已知函數(shù)f(x)=ex，x∈R．5、若直線y=kx+1與f(x)的反函數(shù)的圖像相切，求實數(shù)k的值；標準答案：f(x)的反函數(shù)為g(x)=lnx．設(shè)直線y=kx+1與g(x)=lnx的圖象在P(x0，y0)處相切，則有y0=kx0+1=lnx0，k=g＇(x0)=，解得x0=e2，k=.知識點解析：暫無解析6、設(shè)x＞0，討論曲線y=f(x)與曲線y=mx2(m＞0)公共點的個數(shù)；標準答案：曲線y=ex與y=mx2的公共點個數(shù)等于曲線y=與y=m的公共點個數(shù)．令φ(x)=，則φ＇(x)=．∴φ＇(2)=0．當x∈(0，2)時，φ＇(x)＜0，φ(x)在(0，2)上單調(diào)遞減；當x∈(2，+∞)時，φ＇(x)＞0，φ(x)在(2，+∞)上單調(diào)遞增，∴φ(x)在(0，+∞)上的最小值為φ(2)=．當0＜m＜時，曲線y=與y=m無公共點；當m=時，曲線y=與y=m恰有－個公共點；當m＞時，在區(qū)間(0，2)內(nèi)存在x=，使得φ(x1)＞m，在(2,+∞)內(nèi)存在x2=me2，使得φ(x2)＞m．由φ(x)的單調(diào)性知，曲線y=與y=m在(0，+∞)上恰有兩個公共點．綜上所述，當x＞0時，若0＜m＜，曲線y=f(x)與y=mx2沒有公共點；若m=，曲線y=f(x)與y=mx2有－個公共點；若m＞，曲線y=f(x)與y=mx2有兩個公共點．知識點解析：暫無解析7、設(shè)a＜b，比較的大小，并說明理由．標準答案：解法－：可以證明．事實上，(b＞a)(*)．令φ(x)=(x≥0)，則φ＇(x)=≥0(僅當x=0時等號成立)，∴φ(x)在[0，+∞)上單調(diào)遞增，∴x＞0時，φ(x)＞φ(0)=0．令x=b－a，即得(*)式，結(jié)論得證．解法二：[(b－a)eb-a+(b－a)－2eb-a+2]，設(shè)函數(shù)u(x)=xex+x－2ex+2(x≥0)，則u＇(x)=ex+xex+1—2ex，令h(x)=u＇(x)，則h＇(x)=ex+ex+xex－2ex=xex≥0(僅當x=0時等號成立)．∴u＇(x)單調(diào)遞增，∴當x＞0時，u＇(x)＞u＇(0)=0．∴u(x)單調(diào)遞增．當x＞0時，u(x)＞u(0)=0．令x=b－a，則得(b－(x)eb-a+(b－a)－2eb-a+2＞0，∴知識點解析：暫無解析某人在如圖所示的直角邊長為4米的三角形地塊的每個格點(指縱、橫直線的交叉點以及三角形的頂點)處都種了一株相同品種的作物．根據(jù)歷年的種植經(jīng)驗，一株該種作物的年收獲量y(單位：kg)與它的“相近”作物株數(shù)X之間的關(guān)系如下表所示：這里，兩株作物“相近”是指它們之間的直線距離不超過1米．8、從三角形地塊的內(nèi)部和邊界上分別隨機選取一株作物，求它們恰好“相近”的概率；標準答案：所種作物總株數(shù)N=1+2+3+4+5=15，其中三角形地塊內(nèi)部的作物株數(shù)為3，邊界上的作物株數(shù)為12．從三角形地塊的內(nèi)部和邊界上分別隨機選取一株的不同結(jié)果有C31C121=36種，選取的兩株作物恰好“相近”的不同結(jié)果有3+3+2=8種．故從三角形地塊的內(nèi)部和邊界上分別隨機選取一株作物，它們恰好“相近”的概率為知識點解析：暫無解析9、從所種作物中隨機選取一株，求它的年收獲量的分布列與數(shù)學期望．標準答案：先求從所種作物中隨機選取的一株作物的年收獲量Y的分布列．因為P(Y=51)=P(X=1)，P(Y=48)=P(X=2)，P(Y=45)=P(X=3)，P(Y=42)=P(X=4)，所以只需求出P(X=k)(k=1，2，3，4)即可．記nk為其“相近”作物恰有尼株的作物株數(shù)(k=1，2，3，4)，則n1=2，n2=4，n3=6，n4=3．由P(X一k)=P(X=1)=，P(X=2)=，P(X=3)=，P(X=4)=故所求的分布列為所求的數(shù)學期望為E(Y)=5l×=46.知識點解析：暫無解析已知a＞0，函數(shù)f(x)=10、記f(x)在區(qū)間[0，4]上的最大值為g(a)，求g(a)的表達式；標準答案：當0≤x≤a時，f(x)=；當x＞a時，f(x)=因此，當：x∈(0，a)時，f＇(x)=＜0，f(x)在(0，a)上單調(diào)遞減；當x∈(a，+∞)時，f＇(x)=＞0，f(x)在(a，+∞)上單調(diào)遞增．①若a≥4，則f(x)在(0，4)上單調(diào)遞減，g(a)=f(0)=②若0＜a＜4，則f(x)在(0，a)上單調(diào)遞減，在(a，4)上單調(diào)遞增．所以g(a)=max{f(0)，f(4))．而f(0)一f(4)=，故當0＜a≤1時，g(a)=f(4)=；當1＜a＜4時，g(a)=f(0)=．綜上所述，g(a)=知識點解析：暫無解析11、是否存在a，使函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(0，4)內(nèi)的圖象上存在兩點，在該兩點處的切線互相垂直?若存在，求a的取值范圍；若不存在，請說明理由．標準答案：由(Ⅰ)知，當a≥4時，f(x)在(0，4)上單調(diào)遞減，故不滿足要求．當0＜a＜4時，f(x)在(0，a)上單調(diào)遞減，在(a，4)上單調(diào)遞增．若存在x1，x2∈(0，4)(x1＜x2)，使曲線y=f(x)在(x1，f(x1))，(x2，f(x2))兩點處的切線互相垂直，則x1∈(0，a)，x2∈(a，4)，且f＇(x1)·f＇(x2)=－1，即=－1．亦即x1+2a=(*)．由x1∈(0，a)，x2∈(a，4)得x1+2a∈(2a，3a)，.故(*)成立等價于集合A={x|2a＜x＜3以)與集合B=的交集非空．因為＜3a，所以當且僅當0＜2a＜1，即0＜a＜時，A∩B≠．綜上所述，存在a使函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，4)內(nèi)的圖象上存在兩點，在該兩點處的切線互相垂直，且a的取值范圍是(0，).知識點解析：暫無解析過拋物線E：x2=2py(p＞0)的焦點F作斜率分別為k1，k2的兩條不同直線l1，l2，且k1+k2=2，l1與E相交于點A，B，l2與E相交于點C，D，以AB，CD為直徑的圓M，圓N(M，N為圓心)的公共弦所在直線記為l．12、若k1＞0，k2＞0，證明：＜2p2；標準答案：由題意，拋物線E的焦點為F，直線l1的方程為y=k1x+得x2－2pk1x—P2=0．設(shè)A，B兩點的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則x1，x2是上述方程的兩個實數(shù)根．從而x1+x2=2pk1，y1+y2=k1(x1+x2)+p－2pk12+p.所以點M的坐標為(pk1，pk12+)，=(pk1，pk12)·同理可得點N的坐標為(pk2，pk22+),=(pk2，pk22)．于是=P2(k1k2+k2k22)．由題設(shè)，k1+k2=2，k1＞0，k2＞0，k1≠k2，所以0＜k1k1＜=1．故＜p2(1+12)=2p2．知識點解析：暫無解析13、若點M到直線l的距離的最小值為，求拋物線E的方程．標準答案：由拋物線的定義得|FA|=y1+，|FB|=y2+，所以|AB|=y1+y2+P=2pk12+2p．從而圓M的半徑r1=pk12+p，故圓M的方程為(x—pk1)2+(y－pk2－)2=(pk12+p)2．化簡得x2+y2－2pk1x—p(2k12+1)y－p2=0．同理可得圓N的方程為x2+y2－2pk2x—P(2k22+1)y－p2=0．于是圓M，圓N的公共弦所在直線l的方程為(k2－k1)x+(k22－k12)y=0．又k2－k1≠0，k1+k2=2，則l的方程為x+2y=0．因為P＞0，所以點M到直線l的距離d=故當k1=－時，d取最小值由題設(shè)，，解得p=8．故所求的拋物線E的方程為x2=16y．知識點解析：暫無解析設(shè)f(x)=，其中a為正實數(shù)．14、當a=時，求f(x)的極值點；標準答案：對f(x)求導得f＇(x)=ex①當a=時，若f＇(x)=0，則4x2－8x+3=0，解得x1=，x2=,結(jié)合①，可知所以，x1=是極小值點，x2=是極大值點．知識點解析：暫無解析15、若f(x)為R上的單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍．標準答案：若f(x)為R上的單調(diào)函數(shù)，則f＇(x)在R上不變號，結(jié)合①與條件a＞0，知ax2－2ax+1≥0，在R上恒成立，因此△=4a2－4a=4a(a－1)≤0，由此并結(jié)合a＞0，知0＜a≤1．知識點解析：暫無解析已知函數(shù)f(x)=xe-x(x∈R)．16、求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；標準答案：f＇(x)=(1－x)e-x．令f＇(x)=0，解得x=1．當x變化時，f＇(x)，f(x)的變化情況如下表：所以f(x)在(一∞，1)內(nèi)是增函數(shù)，在(1，+∞)內(nèi)是減函數(shù)．函數(shù)f(x)在x=1處取得極大值f(1)，且f(1)=知識點解析：暫無解析17、已知函數(shù)y=g(x)的圖象與函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱，證明當x＞1時，f(x)＞g(x)．標準答案：由題意可知g(x)=f(2－x)，得g(x)=(2－x)ex-2．令F(x)=f(x)－g(x)，即F(x)=xe-x+(x－2)ex-2．于是F＇(x)=(x－1)(e2x-2－1)e-x．當x＞1時，2x－2＞0，從而e2x-2－1＞0．又因為e-x＞0，所以F＇(x)＞0，從而函數(shù)F(x)在[1，+∞)上是增函數(shù)．又F(1)=e-1－e-1=0，所以x＞1時，有F(x)＞F(1)=0，即f(x)＞g(x)．知識點解析：暫無解析已知函數(shù)f(x)=(a+1)1nx+ax2+1．18、討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；標準答案：f(x)的定義域為(0，+∞)，f＇(x)=.當a≥0時，f＇(x)＞0，故f(x)在(0，+∞)單調(diào)遞增；當a≤－1時，f＇(x)＜0，故f(x)在(0，+∞)單調(diào)遞減；當－1＜a＜0時，令f＇(x)=0，解得x=．則當x∈(0，時，f＇(x)＞0，x∈(，+∞)時，f＇(x)＜0，故f(x)在(0，)單調(diào)遞增，在(，+∞)單調(diào)遞減．知識點解析：暫無解析19、設(shè)a＜－1．如果對任意x1，x2∈(0，+∞)，|f(x1)－f(x2)|≥4|x1－x2|，求a的取值范圍．標準答案：不妨假設(shè)x1≥x2．而a＜－1，由(Ⅰ)知f(x)在(0，+∞)單調(diào)遞減，從而x1，x2∈(0，+∞)，|f(x1)－f(x2)|≥4|x1－x2|，等價于x1，x2∈(0，+∞)，f(x2)+4x2≥f(x1)+4x1①．令g(x)=f(x)+4x，則g＇(x)=+2ax+4．等價于g(x)在(0，+∞)單調(diào)遞減，即+2ax+4≤0．從而a≤－2．故a的取值范圍為(－∞，－2]．知識點解析：暫無解析在五面體ABCDEF中，AB∥DC，∠BAD=，CD=AD=2，四邊形ABFE為平行四邊形，F(xiàn)A⊥平面ABCD，F(xiàn)C=3，ED=√7．20、求直線AB到平面EFCD的距離；標準答案：因為AB∥DC，DC平面EFCD，所以直線AB到平面EFCD的距離等于點A到平面EFCD的距離，如右圖，過點A作AG⊥FD于G，因∠BAD=，AB∥DC，故CD⊥AD；又因為FA⊥平面ABCD，由三垂線定理知CD⊥FD，故CD⊥平面FAD，知CD⊥AG，故AG為所求的直線AB到平面EFCD的距離．在Rt△FDC中，F(xiàn)D=，由FA上平面ABCD，得FA⊥AD，從而在Rt△FAD中，F(xiàn)A==1，所以AG=.知識點解析：暫無解析21、二面角F—AD—E的平面角的正切值．標準答案：由已知FA上平面ABCD，得FA上AD，又由∠BAD=，知AD⊥AB，故AD⊥平面ABFE，從而AD⊥AE．所以∠FAE為二面角F—AD—E的平面角，記為θ，在Rt△EAD中，AE=由四邊形ABFE為平行四邊形，得FE∥BA，從而∠EFA=，在Rt△EFA中，EF=故tanθ==√2．知識點解析：暫無解析22、設(shè)a∈R，f(x)=cosx(asinx—cosx)+cos2(－x)滿足f(－)=f(0)，求函數(shù)f(x)在上的最大值和最小值．標準答案：f(x)=asinxcosx—cos2x+sin2x=sin2x—cos2x．由f(－)=f(0)得－=－1，解得a=2√3．因此f(x)=√3sin2x—cos2x=2sin(2x－)．當x∈時，2x－，f(x)為增函數(shù)，當x∈時，2x－,f(x)為減函數(shù)，所以f(x)在上的最大值為f()=2．又因為,故f(x)在上的最小值為知識點解析：暫無解析如圖正方形ABCD所在平面與平面四邊形ABEF所在平面互相垂直，△ABE是等腰直角三角形，AB=AE，F(xiàn)A=FE，∠AEF=45°．23、求證：EF⊥平面BCE；標準答案：因為平面ABEF⊥平面ABCD，BC平面ABCD，BC⊥AB，平面ABEF∩平面ABCD=AB，所以BC⊥平面ABEF，所以BC⊥EF．因為△ABE為等腰直角三角形，AB=AE，所以∠AEB=45°．又因為∠AEF=45°，所以∠FEB=45°+45°=90°，即EF⊥BE．因為BC平面BCE，BE平面BCE．BC∩BE=B，所以EF⊥平面BCE．知識點解析：暫無解析24、設(shè)線段CD、AE的中點分別為P、M，求證：PM∥平面BCE；標準答案：取BE的中點N，連結(jié)CN，MN，則MNPC．所以PMNC為平行四邊形，所以PM∥CN．因為CN在平面BCE內(nèi)，PM不在平面B