必修5第三章第三節(jié)基本不等式（教師版）

個(gè)性化教學(xué)輔導(dǎo)教案學(xué)生姓名年級(jí)高一學(xué)科數(shù)學(xué)上課時(shí)間教師姓名陳偉星課題人教版必修五第三章第三節(jié)基本不等式教學(xué)目標(biāo)從代數(shù)，幾何兩個(gè)角度探索不等式的推導(dǎo)通過(guò)應(yīng)用基本不等式解決基本問(wèn)題培養(yǎng)學(xué)習(xí)興趣教學(xué)過(guò)程教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)已知變量x，y滿足約束條件，則的最大值為（B）A．﹣3 B．1 C．3 D．0已知A（2，1），O（0，0），點(diǎn)M（x，y）滿足，則的最大值為（D）A．﹣5 B．﹣1 C．0 D．1已知，其中實(shí)數(shù)x，y滿足，且z的最大值是最小值的4倍，則a的值是（B）A． B． C．4 D．某車間計(jì)劃生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，甲種產(chǎn)品每噸消耗A原料6噸、B原料4噸、C原料4噸，乙種產(chǎn)品每噸消耗A原料3噸、B原料12噸、C原料6噸．已知每天原料的使用限額為A原料240噸、B原料400噸、C原料240噸．生產(chǎn)甲種產(chǎn)品每噸可獲利900元，生產(chǎn)乙種產(chǎn)品每噸可獲利600元，分別用x，y表示每天生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品的噸數(shù)（Ⅰ）用x，y列出滿足生產(chǎn)條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式，并畫(huà)出相應(yīng)的平面區(qū)域；（Ⅱ）每天分別生甲、乙兩種產(chǎn)品各多少噸，才能使得利潤(rùn)最大？并求出此最大利潤(rùn)．解：（Ⅰ）由已知x，y滿足的數(shù)學(xué)關(guān)系式為，該二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)閳D中的陰影部分．（Ⅱ）解：設(shè)利潤(rùn)為z萬(wàn)元，則目標(biāo)函數(shù)z=900x+600y，所以y=﹣x+，這是斜率為﹣，在y軸上的截距為的一族平行直線．當(dāng)取最大值時(shí)，z的值最大，又因?yàn)閤，y滿足約束條件，所以由圖可知，當(dāng)直線z=900x+600y經(jīng)過(guò)可行域中的點(diǎn)M時(shí)，截距的值最大，即z的值最大．解方程組，得點(diǎn)M的坐標(biāo)為（30，20），所以Zmax=900×30+600×20=39000．故每天生產(chǎn)甲種產(chǎn)品30噸，乙種產(chǎn)品20噸時(shí)利潤(rùn)最大，且最大利潤(rùn)為39000元．下列函數(shù)中，最小值為4的是（）A．y=x+ B．y=sinx+（0＜x＜π）C．y=ex+4e﹣x D．y=+【答案】C【解析】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，無(wú)最小值；

對(duì)于B，令t=sinx，由0＜x＜π知,易知在時(shí)，單調(diào)遞減，,故不成立；

對(duì)于D,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)“=”成立，易知最小值為，不成立.

故選C設(shè)，則的最大值是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，，則，選D.已知，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】，故選A。已知均為正數(shù)，且，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】，選B.已知，且，則的最小值（）A． B． C． D．無(wú)最小值【答案】C【解析】（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）.選C.設(shè)求證：【答案】可以運(yùn)用多種方法?！窘馕觥?/p>

試題分析：證明[法一]：

2分

10分

當(dāng)且僅當(dāng)，取“=”號(hào)。11分

故12分

證明[法二]：

當(dāng)且僅當(dāng)，取“=”號(hào)。

故

證明[法三]：

當(dāng)且僅當(dāng)，取“=”號(hào)。

故

證明[法四]：

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取“=”號(hào)。

故

證明[法五]：

∴設(shè)

則

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取“=”號(hào)。

故

證明[法六]：

∴設(shè)

則

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取“=”號(hào)。

故

證明[法七]

運(yùn)貨卡車以每小時(shí)x千米的速度勻速行駛130千米，按交通法規(guī)限制50≤x≤100（單位：千米/時(shí)）．假設(shè)汽油的價(jià)格是每升2元，而汽車每小時(shí)耗油升，司機(jī)的工資是每小時(shí)14元．

（1）求這次行車總費(fèi)用y關(guān)于x的表達(dá)式；

（2）當(dāng)x為何值時(shí)，這次行車的總費(fèi)用最低，并求出最低費(fèi)用的值．【答案】(1)，x∈[50，100];(2)詳見(jiàn)解析.【解析】試題分析：（1）由題意，總費(fèi)用包含汽油價(jià)格和司機(jī)工資，所以可以寫(xiě)出表達(dá)式，x∈[50，100]；（2）為對(duì)勾函數(shù)，則當(dāng)且僅當(dāng)，等號(hào)成立，解得。

試題解析：

（1）設(shè)所用時(shí)間為，則

，

x∈[50，100]．

所以這次行車總費(fèi)用y關(guān)于x的表達(dá)式是

，x∈[50，100]．（或，x∈[50，100]．

（2），

當(dāng)且僅當(dāng)，

即時(shí)，等號(hào)成立．

故當(dāng)千米/時(shí)，這次行車的總費(fèi)用最低，最低費(fèi)用的值為元．【學(xué)科問(wèn)題】基本不等式的應(yīng)用比較廣泛，靈活，方法技巧性較強(qiáng)，在解題時(shí)不容易找到突破口，【學(xué)生問(wèn)題】學(xué)生對(duì)基本不等式求最值的條件容易忽略，“一正，二定，三取等”2、對(duì)幾何平均、算術(shù)平均、平方平均不會(huì)合理選擇從而證明不等式；3、求最值時(shí)不會(huì)根據(jù)題型進(jìn)行湊配、拆分、換元、1代換等技巧處理；4、在實(shí)際問(wèn)題中不能列出正確的不等關(guān)系重要不等式：a2＋b2≥2ab(a，bR)一般地，對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b，有a2＋b2≥2ab，當(dāng)且僅當(dāng)__a＝b___時(shí)，等號(hào)成立．基本不等式】如果a＞0，b＞0，那么，當(dāng)且僅當(dāng)__a＝b___時(shí)，等號(hào)成立．其中，叫做正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)．因此基本不等式也可敘述為：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．基本不等式的證明】（1）代數(shù)法：方法一因?yàn)閍＞0，b＞0，所以我們可以用，分別代替重要不等式中的a，b，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．即(a＞0，b＞0)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立．方法二因?yàn)?，所以，即，所以．方法三要證，只要證，即證，即證，顯然總是成立的，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立．（2）幾何法：如圖，AB是圓的直徑，C是AB上一點(diǎn)，AC＝a，BC＝b，過(guò)點(diǎn)C作垂直于AB的弦DE，連接AD，BD．易證，則CD2＝CA·CB，即CD＝_____．這個(gè)圓的半徑為，顯然它大于或等于CD，即，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C與圓心重合，即a＝b時(shí)，等號(hào)成立．由此我們可得的幾何意義：半徑不小于半弦．重要不等式和均值不等式的常用變形公式及推廣公式】（1）(a，b同號(hào))；(a，b異號(hào))．（2）(a＞0)；(a＜0)．（3）(a＞0，b＞0)；(a＞0，b＞0)．（4），，4ab≤a2＋b2＋2ab，2(a2＋b2)≥(a＋b)2．（5）．（6）為正實(shí)數(shù)，且．均值不等式鏈】若a＞0，b＞0，則，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立．其中和分別叫做a，b的調(diào)和平均數(shù)和平方平均數(shù)．最值定理】已知x＞0，y＞0，則若x＋y為定值s，則當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，積xy有最大值(簡(jiǎn)記：和定積最大)；若xy為定值t，則當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，和x＋y有最小值(簡(jiǎn)記：積定和最小)．利用基本不等式判斷不等式是否成立】要判斷不等式是否成立，關(guān)鍵是把握其運(yùn)用基本不等式時(shí)能否嚴(yán)格遵循“一正、二定、三相等”這三個(gè)條件．設(shè)f(x)＝lnx，0＜a＜b，若p＝f()，q＝，r＝(f(a)＋f(b))，則下列關(guān)系式中正確的是A．q＝r＜p B．p＝r＜q C．q＝r＞p D．p＝r＞q【答案】B【解析】方法一由題意知，p＝＝ln，q＝＝ln，r＝(f(a)＋f(b))＝(lna＋lnb)＝lnab＝ln．又0＜a＜b，所以．因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝lnx為增函數(shù)，所以p＝r＜q，故選B．方法二(特值法)令a＝1，b＝2，則p＝f()＝ln，q＝＝ln，r＝(ln1＋ln2)＝ln．因?yàn)椋?，所以ln＜ln，所以p＝r＜q，故選B．給出下列不等式：①；②；③；④；⑤若0＜a＜1＜b，則logab＋logba≤－2．其中正確的是________．【答案】②⑤【解析】當(dāng)x＞0時(shí)，，當(dāng)x＜0時(shí)，，所以，故①不正確，②正確；由于x＞0，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故③不正確；當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，故④不正確；當(dāng)0＜a＜1＜b時(shí)，，，故logab＋logba≤－2，⑤正確．綜上，②⑤正確．利用基本不等式證明不等式】利用基本不等式證明不等式的一般思路：先觀察題中要證明的不等式的結(jié)構(gòu)特征，若不能直接使用基本不等式證明，則考慮對(duì)代數(shù)式進(jìn)行拆項(xiàng)、變形、配湊等，使之達(dá)到能使用基本不等式的形式；若題目中還有其他條件，則先觀察已知條件和所證不等式之間的聯(lián)系，當(dāng)已知條件中含有“1”時(shí)，要注意“1”的代換．另外，解題時(shí)要時(shí)刻注意等號(hào)能否取到．已知a＞0，b＞0，c＞0，求證：；【答案】因?yàn)閍＞0，b＞0，c＞0，所以利用基本不等式可得，，，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)等號(hào)成立．已知a＞b，ab＝2，求證：．【解析】因?yàn)閍＞b，所以a－b＞0，又ab＝2，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)．利用基本不等式求最值】（1）直接應(yīng)用類：此類問(wèn)題較為基礎(chǔ)，注意“一正、二定、三相等”即可．（1）已知f(x)＝x＋＋2(x＜0)，則f(x)有（）A．最大值為4 B．最小值為4 C．最小值為0 D．最大值為0【答案】Ｄ【解析】因?yàn)閤＜0，所以f(x)＝－[(－x)＋]＋2≤－2＋2＝0，當(dāng)且僅當(dāng)－x＝，即x＝－1時(shí)取等號(hào)．故選D．已知0＜x＜4，則x(4－x)取得最大值時(shí)x的值為（）A．0 B．2 C．4 D．16【答案】Ｃ【解析】因?yàn)?＜x＜4，所以4－x＞0，所以x(4－x)≤＝4，當(dāng)且僅當(dāng)x＝4－x，即x＝2時(shí)取等號(hào)．故選C．已知函數(shù)f(x)＝(x＞0)，若f(a＋b)＝16，則f(ab)的最大值為_(kāi)_________；【答案】16【解析】因?yàn)?，所以a＋b＝4，所以，f(ab)＝≤16，故f(ab)的最大值為16．已知a，bR，且ab＝8，則|a＋2b|的最小值是________．【答案】8【解析】依題意得a，b同號(hào)，于是|a＋2b|＝|a|＋|2b|≥＝＝＝8，當(dāng)且僅當(dāng)|a|＝|2b|＝4時(shí)取等號(hào)，因此|a＋2b|的最小值是8．（2）配湊定值類：此類問(wèn)題一般不能直接使用基本不等式，要從整體上把握進(jìn)而運(yùn)用基本不等式，對(duì)不滿足使用基本不等式條件的可通過(guò)“變形”來(lái)轉(zhuǎn)換，常見(jiàn)的變形技巧有：拆項(xiàng)、湊項(xiàng)、湊系數(shù)等．已知x＞0，則函數(shù)y＝的最小值為_(kāi)_______；【答案】5【解析】因?yàn)閤＞0，所以y＝＝≥2＋3＝5，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)取等號(hào)．故填5．若x＞1，則函數(shù)y＝的最小值為_(kāi)_______；【答案】3【解析】因?yàn)閤＞1，所以y＝≥2＋1＝3，當(dāng)且僅當(dāng)x＝2時(shí)取等號(hào)．故填3．若0＜x＜，則函數(shù)y＝x(12－5x)的最大值為_(kāi)_______．【答案】【解析】因?yàn)?＜x＜，所以y＝5x(12－5x)≤＝，當(dāng)且僅當(dāng)5x＝12－5x，即x＝時(shí)取等號(hào)．故填．（3）條件最值類：在求解含有兩個(gè)變量的代數(shù)式的最值問(wèn)題時(shí)，通常采用“變量替換”或“常數(shù)1”的替換，或構(gòu)造不等式求解．已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，則的最小值為_(kāi)_______；【答案】4【解析】因?yàn)閍＞0，b＞0，a＋b＝1，所以＝＝≥＋2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝時(shí)等號(hào)成立．故填4．已知a＞0，b＞0，＝2，則a＋b的最小值為_(kāi)_______；【答案】2【解析】因?yàn)閍＞0，b＞0，＝2，所以a＋b＝＝≥＋1＝2，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝1時(shí)等號(hào)成立．故填2．若正實(shí)數(shù)x，y滿足x＋y＋3＝xy，則xy的最小值是________；【答案】9【解析】由x＞0，y＞0，x＋y＋3＝xy，得xy≥＋3，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝3時(shí)等號(hào)成立，故－－3≥0，即≥0，由＞0解得＞3，即xy≥9．故xy的最小值為9．已知x＞0，y＞0，x＋y＋xy＝3，則x＋y的最小值是________．【答案】2【解析】由x＞0，y＞0，x＋y＋xy＝3，得xy＝3－(x＋y)≤，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝1時(shí)等號(hào)成立，故＋(x＋y)－3≥0，解得x＋y≥2或x＋y≤－6(舍去)，故x＋y的最小值是2．基本不等式在實(shí)際中的應(yīng)用】利用基本不等式解決應(yīng)用問(wèn)題的關(guān)鍵是構(gòu)建模型，一般來(lái)說(shuō)，都是從具體的幾何圖形，通過(guò)相關(guān)的關(guān)系建立關(guān)系式．在解題過(guò)程中盡量向模型(a＞0，b＞0，x＞0)上靠攏．如圖，要規(guī)劃一個(gè)矩形休閑廣場(chǎng)，該休閑廣場(chǎng)含有大小相等的左右兩個(gè)矩形草坪（如圖中陰影部分所示），且草坪所占面積為18000m2，四周道路的寬度為10m，兩個(gè)草坪之間的道路的寬度為5m．試問(wèn)，怎樣確定該矩形休閑廣場(chǎng)的長(zhǎng)與寬的尺寸（單位：m），能使矩形休閑廣場(chǎng)所占面積最?。俊窘馕觥糠椒ㄒ辉O(shè)矩形休閑廣場(chǎng)的長(zhǎng)為xm，寬為ym，則矩形草坪的長(zhǎng)和寬分別為(x－20)m，m，其中x＞20，y＞25，則草坪的面積為2(x－20)＝18000，由此得y＝，所以休閑廣場(chǎng)的面積S＝xy＝x()＝，整理得S＝．因?yàn)閤－20＞0，所以S≥，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)有(x－20)2＝14400，解得x＝140，代入y＝，得y＝175，即當(dāng)x＝140，y＝175時(shí)，S取得最小值24500．故當(dāng)矩形休閑廣場(chǎng)的長(zhǎng)為140m，寬為175m時(shí)，可使休閑廣場(chǎng)的面積最?。椒ǘO(shè)矩形草坪的長(zhǎng)為am，寬為bm，則ab＝9000，其中a＞0，b＞0．易知矩形休閑廣場(chǎng)的長(zhǎng)為(a＋20)m，寬為(2b＋25)m．故休閑廣場(chǎng)的面積S＝(a＋20)(2b＋25)＝2ab＋40b＋25a＋500＝18500＋25a＋40b≥18500＋，當(dāng)且僅當(dāng)25a＝40b時(shí)等號(hào)成立．此時(shí)，代入ab＝9000得a＝120，b＝75，即當(dāng)a＝120，b＝75時(shí)，S取得最小值24500．故當(dāng)矩形休閑廣場(chǎng)的長(zhǎng)為140m，寬為175m時(shí)，可使休閑廣場(chǎng)的面積最?。雎缘忍?hào)成立的條件導(dǎo)致錯(cuò)誤】函數(shù)的最小值為_(kāi)________．【錯(cuò)解】，所以函數(shù)的最小值為2．【錯(cuò)因分析】錯(cuò)解中使用基本不等式時(shí)，等號(hào)成立的條件為，即＝1，顯然x2≠－1，即等號(hào)無(wú)法取到，函數(shù)的最小值為2是不正確的．【正解】，令，．易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以．故函數(shù)的最小值為．忽略等號(hào)成立的一致性導(dǎo)致錯(cuò)誤】若x＞0，y＞0，且x＋2y＝1，則的最小值為_(kāi)________．【錯(cuò)解】因?yàn)閤＞0，y＞0，所以1＝x＋2y≥，即8xy≤1，即xy≤，故≥8．因?yàn)椤?，所以≥．故的最小值為．【錯(cuò)因分析】在求解過(guò)程中使用了兩次基本不等式：x＋2y≥，≥，但這兩次取“＝”需滿足x＝2y與x＝y(tǒng)，互相矛盾，所以“＝”不能同時(shí)取到，從而導(dǎo)致錯(cuò)誤．【正解】因?yàn)閤＋2y＝1，x＞0，y＞0，所以＝，當(dāng)且僅當(dāng)，即，即時(shí)取等號(hào)．故的最小值為．（題型二）已知x，y，z均為正數(shù)．求證：．【答案】不等式的證明可以考慮運(yùn)用均值不等式法來(lái)得到?！窘馕觥吭囶}分析：證明：∵x，y，z都是為正數(shù)，∴

同理，可得，．

將上述三個(gè)不等式兩邊分別相加，并除以2，得

．（題型三）已知a＞0，b＞0，m＝，n＝，且a，b的等比中項(xiàng)是1，則m＋n的最小值是A．3 B．4C．5 D．6【答案】B【解析】由題意知：ab＝1，所以m＝＝2b，n＝＝2a，所以m＋n＝2(a＋b)≥＝4．故選B．（題型三）（題型三）函數(shù)取得最小值時(shí)，的值為（）A． B． C．1 D．2【答案】B【解析】，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),此時(shí)，

故選：B.（題型三）已知都是正數(shù),且則的最小值等于（）A． B． C． D．【答案】C【解析】,故選C.（題型三）在平面直角坐標(biāo)系中，已知第一象限的點(diǎn)在直線上，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵第一象限的點(diǎn)在直線上，

∴，且，即，

∴.

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，的最小值為，故選B.（題型四）某車間分批生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每批的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用為800元，若每批生產(chǎn)x件，則平均倉(cāng)儲(chǔ)時(shí)間為天，且每件產(chǎn)品每天的倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)用為1元，為使平均到每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用與倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，每批應(yīng)生產(chǎn)產(chǎn)品A．60件 B．80件 C．100件 D．120件【答案】B【解析】記平均到每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用與倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)用之和為，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即x＝80(負(fù)值舍去)時(shí)取等號(hào)，故選B．若正數(shù)x，y滿足x＋3y＝5xy，則3x＋4y的最小值為A． B．C．5 D．6【答案】C【解析】由x＋3y＝5xy及x＞0，y＞0可得，所以3x＋4y，當(dāng)且僅當(dāng)，即x＝2y時(shí)取等號(hào)．故3x＋4y的最小值為5．故選C．若a，b，c＞0且(a＋c)(a＋b)＝，則2a＋b＋c的最小值為A． B．C． D．【答案】D【解析】由a，b，c＞0及(a＋c)(a＋b)＝，可得＝(a＋c)(a＋b)≤，當(dāng)且僅當(dāng)b＝c時(shí)取等號(hào)，所以(2a＋b＋c)2≥，即2a＋b＋c≥，故2a＋b＋c的最小值為，故選D．已知，，且，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為A． B．C． D．【答案】C【解析】用轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想先求的最小值，再建立不等式求解即可．因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故，所以，解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍為．故選C．【查漏補(bǔ)缺】已知a＞0，b＞0，m＝，n＝，且a，b的等比中項(xiàng)是1，則m＋n的最小值是A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】由題意知：ab＝1，所以m＝＝2b，n＝＝2a，所以m＋n＝2(a＋b)≥＝4．已知，則m，n之間的大小關(guān)系是A．m＞n B．m＜n C．m＝n D．不確定【答案】A【解析】因?yàn)閍＞2，所以a－2＞0，所以，當(dāng)且僅當(dāng)a＝3時(shí)取等號(hào)，故，．由b≠0得b2＞0，所以2－b2＜2，所以＜4，即n＜4，故．綜上可得m＞n，故選A．某車間分批生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每批的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用為800元，若每批生產(chǎn)x件，則平均倉(cāng)儲(chǔ)時(shí)間為天，且每件產(chǎn)品每天的倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)用為1元，為使平均到每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用與倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，每批應(yīng)生產(chǎn)產(chǎn)品A．60件 B．80件 C．100件 D．120件【答案】B【解析】記平均到每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用與倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)用之和為，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即x＝80(負(fù)值舍去)時(shí)取等號(hào)，故選B．已知不等式對(duì)任意正實(shí)數(shù)x，y恒成立，則正實(shí)數(shù)a的最小值為A．8 B．6 C．4 D．2【答案】C【解析】因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．要使對(duì)任意正實(shí)數(shù)x，y恒成立，則，即－8≥0，解得或(舍去)，故a≥4，即a的最小值為4，故選C．已知a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1，則的最小值為_(kāi)_______．【答案】9【解析】因?yàn)閍＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1，所以＝＝3＋＝3＋≥3＋2＋2＋2＝9，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝時(shí)等號(hào)成立．在4×＋9×＝60的兩個(gè)中，分別填入一個(gè)自然數(shù)，使它們的倒數(shù)之和最小，則應(yīng)分別填入________和________．【答案】64【解析】設(shè)兩數(shù)為x，y，則4x＋9y＝60，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即x＝6，y＝4時(shí)等號(hào)成立，故應(yīng)填6和4．（1）已知函數(shù)，試比較與的大小，并加以證明；（2）若0＜x＜1，a＞0，b＞0．求證：．【解析】（1）≤．證明如下：因?yàn)閤1，x2(0，＋∞)，≤，所以≤，所以≤，又，，所以≤，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．（2）觀察易得x＋(1－x)＝1(定值)，不等號(hào)右邊不含x，且1－x＞0，故右邊，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立．所以．（1）求函數(shù)的最小值；（2）已知正數(shù)a，b和正數(shù)x，y，若a＋b＝10，，且x＋y的最小值是18，求a，b的值．【解析】（1）因?yàn)閤＞－1，所以x＋1＞0，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即x＝1時(shí)等號(hào)成立．所以當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)取得最小值為9．（2）x＋y＝＝≥，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以．由，解得或．【舉一反三】若正數(shù)x，y滿足x＋3y＝5xy，則3x＋4y的最小值為A． B． C．5 D．6【答案】C【解析】由x＋3y＝5xy及x＞0，y＞0可得，所以3x＋4y，當(dāng)且僅當(dāng)，即x＝2y時(shí)取等號(hào)．故3x＋4y的最小值為5．若a，b，c＞0且(a＋c)(a＋b)＝，則2a＋b＋c的最小值為A． B． C． D．【答案】D【解析】由a，b，c＞0及(a＋c)(a＋b)＝，可得＝(a＋c)(a＋b)≤，當(dāng)且僅當(dāng)b＝c時(shí)取等號(hào)，所以(2a＋b＋c)2≥，即2a＋b＋c≥，故2a＋b＋c的最小值為，選D．若a＞0，b＞0，a＋b＝2，則下列不等式中恒成立的個(gè)數(shù)為①ab≤1；②≤；③a2＋b2≥2；④a3＋b3≥3；⑤≥2．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】因?yàn)閍b≤，所以①正確；因?yàn)椤?，所以≤，故②不正確；因?yàn)閍2＋b2≥，所以③正確；因?yàn)閍3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)＝2[(a＋b)2－3ab]＝2(4－3ab)＝8－6ab≥8－6＝2，所以④不正確；因?yàn)椤?，所以⑤正確．故正確的為①③⑤，共3個(gè)．故選C．函數(shù)y＝loga(x＋3)－1(a＞0且a≠1)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在直線mx＋ny＋1＝0上，其中mn＞0，則的最小值為_(kāi)______．【答案】8【解析】因?yàn)楹瘮?shù)y＝loga(x＋3)－1(a＞0且a≠1)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)A(－2，－1)，且點(diǎn)A在直線mx＋ny＋1＝0上，所以－2m－n＋1＝0，即2m＋n＝1，又mn＞0，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，取得最小值為8．若實(shí)數(shù)a，b滿足，則的最小值為A． B．2 C． D．4【答案】C【解析】由可得a＞0，b＞0，因?yàn)?，所以ab≥，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為，故選C．設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足，則xy的最大值為A． B． C．12 D．14【答案】A【解析】畫(huà)出可行域如圖中陰影部分所示，易知當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在線段AC上時(shí)xy取得最大值，此時(shí)2x＋y＝10，故xy＝(2x·y)≤，當(dāng)且僅當(dāng)x＝，y＝5時(shí)取等號(hào)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)(，5)落在線段AC上，故最大值為．已知a＞0，b＞0，ab＝8，則當(dāng)a的值為時(shí)取得最大值．【答案】2【解析】≤，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，結(jié)合a＞0，b＞0，ab＝8，可得a＝4，b＝2．已知a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1，則的最小值為_(kāi)________________．【答案】9【解析】因?yàn)閍＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1，所以＝＝3＋＝3＋≥3＋2＋2＋2＝9，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝時(shí)等號(hào)成立．在4×＋9×＝60的兩個(gè)中，分別填入一個(gè)自然數(shù)，使它們的倒數(shù)之和最小，則中應(yīng)分別填入____________和____________．【答案】64【解析】設(shè)兩數(shù)為x，y，則，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即x＝6，y＝4時(shí)等號(hào)成立，故中應(yīng)分別填入6和4．函數(shù)y＝loga(x＋3)－1(a＞0且a≠1)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在直線mx＋ny＋1＝0上，其中mn＞0，則的最小