2024-2025學(xué)年新教材高考數(shù)學(xué)第二章直線和圓的方程3.3分層演練綜合提升含解析新人教A版選擇性必修第一冊(cè)

PAGEPAGE5綜合提升A級(jí)基礎(chǔ)鞏固1.點(diǎn)(1,2)到直線3x-4y-3=0的距離為 ()A.45B.85C.157解析:由點(diǎn)到直線的距離公式,得點(diǎn)(1,2)到直線3x-4y-3=0的距離d=|3×1-4×2答案:B2.直線l通過(guò)兩直線7x+5y-24=0和x-y=0的交點(diǎn),且點(diǎn)(5,1)到直線l的距離為10,則直線l的方程是()A.3x+y+4=0B.3x-y+4=0C.3x-y-4=0D.x-3y-4=0解析:解方程組7x+5y-設(shè)直線l的方程為y-2=k(x-2),即kx-y-2k+2=0,則d=|5k-1-2k所以直線l的方程為y-2=3(x-2),即3x-y-4=0.答案:C3.若點(diǎn)M(1,3)到直線l:mx+y-1=0的距離等于1,則實(shí)數(shù)m等于 ()A.34B.43C.-4解析:由點(diǎn)M(1,3)到直線l:mx+y-1=0的距離等于1,得|m+3-1|答案:D4.若點(diǎn)P在x軸上,且點(diǎn)P到直線3x-4y+6=0的距離為6,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-12,0)或(8,0).解析:設(shè)P(a,0).由題意,得|3a-4×0+6|32+5.設(shè)直線l過(guò)點(diǎn)(2,3),且與直線x-2y+1=0平行,若點(diǎn)P(a,2)(a>0)到直線l的距離為55,則a=1解析:設(shè)直線l的方程為x-2y+c=0, 因?yàn)橹本€l過(guò)點(diǎn)(2,3),所以2-6+c=0,解得c=4,所以直線l的方程為x-2y+4=0.因?yàn)閨a-2×2+4|12+(-6.已知△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A(-1,0),B(1,0),C(0,2).(1)求點(diǎn)A到BC邊所在直線的距離d;(2)求證:AB邊上隨意一點(diǎn)P到直線AC,BC的距離之和等于d.(1)解:因?yàn)锽(1,0),C(0,2),所以由截距式可得直線BC的方程為x+y2即2x+y-2=0.由點(diǎn)到直線的距離公式,得點(diǎn)A(-1,0)到BC邊所在直線的距離d=|-2-2(2)證明:設(shè)P(t,0)為AB邊上隨意一點(diǎn),則-1≤t≤1.由A(-1,0),C(0,2)可得直線AC的方程是-x+y2=1,即2x-y所以點(diǎn)P到直線AC的距離d1=|2t+2|22+(-1)2=255(t+1),點(diǎn)P到直線BC的距離d2=|2t-2|22+12=25B級(jí)拓展提高7.在坐標(biāo)平面內(nèi),與點(diǎn)A(1,2)距離為1,且與點(diǎn)B(3,1)距離為2的直線共有()A.1條B.2條C.3條D.4條解析:依據(jù)題意可知,所求直線斜率存在,可設(shè)直線方程為y=kx+b,即kx-y+b=0,所以|k-2+b所以所求直線方程為y=3或4x+3y-5=0,所以符合題意的直線有2條.答案:B8.已知點(diǎn)P為直線x+y-4=0上一動(dòng)點(diǎn),則P到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的最小值為22.解析:依據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式,得原點(diǎn)O(0,0)到直線x+y-4=0的距離為d=|0+0-4|12+12=229.已知a,b,c分別為直角三角形的三邊長(zhǎng),c為斜邊長(zhǎng),若點(diǎn)M(m,n)在直線l:ax+by+2c=0上,則m2+n2的最小值為4.解析:因?yàn)閍,b,c分別為直角三角形的三邊長(zhǎng),c為斜邊長(zhǎng),所以c=a2又因?yàn)辄c(diǎn)M(m,n)在直線l:ax+by+2c=0上,所以m2+n2表示直線l上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方,所以m2+n2的最小值為原點(diǎn)到直線l的距離d的平方.由點(diǎn)到直線的距離公式可得d=2c所以m2+n2的最小值為d2=4.10.如圖,在△ABC中,A(5,-2),B(7,4),且AC邊的中點(diǎn)M在y軸上,BC邊的中點(diǎn)N在x軸上.(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo);(2)求△ABC的面積.解:(1)設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x,y).依據(jù)AC邊的中點(diǎn)M在y軸上,BC邊的中點(diǎn)N在x軸上,可得x+52所以點(diǎn)C的坐標(biāo)是(-5,-4).(2)因?yàn)锳(5,-2),B(7,4),所以|AB|=(7-5kAB=4-(-所以直線AB的方程為y+2=3(x-5),即3x-y-17=0,所以點(diǎn)C到直線AB的距離d=|-15+4-17所以△ABC的面積為12|AB|·d=12×210×2811.已知點(diǎn)P(2,-1).(1)求過(guò)點(diǎn)P,且與原點(diǎn)距離最大的直線l的方程,最大距離是多少?(2)是否存在過(guò)點(diǎn)P,且與原點(diǎn)距離為6的直線?若存在,求出方程;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.解:(1)作圖可知過(guò)點(diǎn)P與原點(diǎn)O距離最大的直線是過(guò)點(diǎn)P且與PO垂直的直線.由l⊥OP,得klkOP=-1,所以kl=-1k由點(diǎn)斜式,得直線l的方程為y+1=2(x-2),即2x-y-5=0.所以直線2x-y-5=0是過(guò)點(diǎn)P,且與原點(diǎn)距離最大的直線,最大距離為|OP|=5.(2)由(1)可得過(guò)點(diǎn)P的直線與原點(diǎn)的最大距離為5,5<6,所以不存在過(guò)點(diǎn)P,且與原點(diǎn)距離為6的直線.C級(jí)挑戰(zhàn)創(chuàng)新12.多選題直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,4),且原點(diǎn)到直線l的距離為2,則滿意條件的直線l的方程為 ()A.x=2B.3x-4y-10=0C.3x-4y+10=0D.3x+4y+10=0解析:當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,4)的直線方程為x=2,原點(diǎn)(0,0)到直線x=2的距離為2,滿意題意.當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè)斜率為k,則直線l的方程為y-4=k(x-2),整理可得kx-y+4-2k=0.由點(diǎn)到直線的距離公式可得d=|0-0+4-2k|k2+(-1)2=|4-2綜上所述,直線l的方程為x=2或3x-4y+10=0. 答案:AC13.多選題經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,1)的直線l到A(1,1),B(3,5)兩點(diǎn)的距離相等,則直線l的方程為()A.2x-y+3=0B.x=2C.2x-y-3=0D.都不對(duì)解析:當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),直線x=2明顯滿意題意.當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)直線l的斜率為k,則直線l的方程為y-1=k(x-2),即kx-y+1-2k=0.由點(diǎn)A到直線l的距離等于點(diǎn)B到直線l的距離,得|k-1+1化簡(jiǎn),得-k=k-4或k=k-4(無(wú)解),解得k=2.所以直線l的方程為2x-y-3=0.綜上所述,直線l的方程為x=2或2x-y-3=0.答案: