新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識總結(jié) 平面向量及其應(yīng)用（含解析）

第六章平面向量及其應(yīng)用知識點一：向量的有關(guān)概念1.向量：既有大小又有方向的量叫做向量.向量的大小叫向量的模(也就是用來表示向量的有向線段的長度).2.向量的表示方法：(1)字母表示法：如SKIPIF1<0等.(2)幾何表示法：用一條有向線段表示向量.如SKIPIF1<0，SKIPIF1<0等.(3)坐標(biāo)表示法：在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)向量SKIPIF1<0的起點SKIPIF1<0為在坐標(biāo)原點，終點A坐標(biāo)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0稱為SKIPIF1<0的坐標(biāo)，記為SKIPIF1<0=SKIPIF1<0.3.相等向量：長度相等且方向相同的向量.向量可以自由平移，平移前后的向量相等.兩向量SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相等，記為SKIPIF1<0.4.零向量：長度為零的向量叫零向量.零向量只有一個，其方向是任意的.5.單位向量：長度等于1個單位的向量.單位向量有無數(shù)個，每一個方向都有一個單位向量.6.共線向量：方向相同或相反的非零向量，叫共線向量.任一組共線向量都可以移到同一直線上.規(guī)定：SKIPIF1<0與任一向量共線.注：共線向量又稱為平行向量.7.相反向量：長度相等且方向相反的向量.知識點二、向量的運算1.運算定義運算圖形語言符號語言坐標(biāo)語言加法與減法SKIPIF1<0SKIPIF1<0+SKIPIF1<0=SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0=SKIPIF1<0記SKIPIF1<0=(x1，y1)，SKIPIF1<0=(x2，y2)則SKIPIF1<0=(x1+x2，y1+y2)SKIPIF1<0=(x2-x1，y2-y1)SKIPIF1<0SKIPIF1<0+SKIPIF1<0=SKIPIF1<0實數(shù)與向量的乘積SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0記SKIPIF1<0=(x，y)則SKIPIF1<0兩個向量的數(shù)量積SKIPIF1<0SKIPIF1<0記SKIPIF1<0則SKIPIF1<0=x1x2+y1y22.運算律加法：①SKIPIF1<0(交換律)；②SKIPIF1<0(結(jié)合律)實數(shù)與向量的乘積：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0兩個向量的數(shù)量積：①SKIPIF1<0·SKIPIF1<0=SKIPIF1<0·SKIPIF1<0；②(SKIPIF1<0)·SKIPIF1<0=SKIPIF1<0·(SKIPIF1<0)=SKIPIF1<0(SKIPIF1<0·SKIPIF1<0)；③(SKIPIF1<0+SKIPIF1<0)·SKIPIF1<0=SKIPIF1<0·SKIPIF1<0+SKIPIF1<0·SKIPIF1<03.運算性質(zhì)及重要結(jié)論(1)平面向量基本定理：如果SKIPIF1<0是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量，那么對于這個平面內(nèi)任一向量SKIPIF1<0，有且只有一對實數(shù)SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，稱SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的線性組合.①其中SKIPIF1<0叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的基底；②平面內(nèi)任一向量都可以沿兩個不共線向量SKIPIF1<0的方向分解為兩個向量的和，并且這種分解是唯一的.③當(dāng)基底SKIPIF1<0是兩個互相垂直的單位向量時，就建立了平面直角坐標(biāo)系，因此平面向量基本定理實際上是平面向量坐標(biāo)表示的基礎(chǔ).向量坐標(biāo)與點坐標(biāo)的關(guān)系：當(dāng)向量起點在原點時，定義向量坐標(biāo)為終點坐標(biāo)，即若A(x，y)，則SKIPIF1<0=(x，y)；當(dāng)向量起點不在原點時，向量SKIPIF1<0坐標(biāo)為終點坐標(biāo)減去起點坐標(biāo)，即若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則SKIPIF1<0=(x2-x1，y2-y1)(2)兩個向量平行的充要條件符號語言：SKIPIF1<0坐標(biāo)語言為：設(shè)非零向量SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0SKIPIF1<0(x1，y1)=SKIPIF1<0(x2，y2)，或x1y2-x2y1=0.(3)兩個向量垂直的充要條件符號語言：坐標(biāo)語言：設(shè)非零向量SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0(4)兩個向量數(shù)量積的重要性質(zhì)：①SKIPIF1<0即SKIPIF1<0(求線段的長度)；②(垂直的判斷)；③SKIPIF1<0(求角度).要點詮釋：1.向量的線性運算(1)在正確掌握向量加法減法運算法則的基礎(chǔ)上能結(jié)合圖形進行向量的計算，將數(shù)和形有機結(jié)合，并能利用向量運算完成簡單的幾何證明；(2)向量的加法表示兩個向量可以合成，利用它可以解決有關(guān)平面幾何中的問題，減法的三角形法則應(yīng)記住：連接兩端(兩向量的終點)，指向被減(箭頭指向被減數(shù)).記清法則是靈活運用的前提.2.共線向量與三點共線問題向量共線的充要條件實質(zhì)上是由實數(shù)與向量的積得到的.通常用來判斷三點在同一條直線上或兩直線平行.該定理主要用于證明點共線、求系數(shù)、證直線平行等題型問題.(1)用向量證明幾何問題的一般思路：先選擇一組基底，并運用平面向量基本定理將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運算來證明.(2)向量在幾何中的應(yīng)用：①證明線段平行問題，包括相似問題，常用向量平行(共線)的充要條件SKIPIF1<0SKIPIF1<0(x1，y1)=SKIPIF1<0(x2，y2)②證明垂直問題，常用垂直的充要條件SKIPIF1<0SKIPIF1<0③求夾角問題，利用SKIPIF1<0④求線段的長度，可以利用SKIPIF1<0或SKIPIF1<0知識點三：向量的應(yīng)用1：正弦定理在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦比相等，即：SKIPIF1<0要點詮釋：（1）正弦定理適合于任何三角形，且SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的外接圓半徑）；（2）應(yīng)用正弦定理解決的題型：①已知兩角和一邊，求其它②已知兩邊和一邊的對角，求其它．（3）在已知兩邊和一邊的對角，求其它的類型中，可能出現(xiàn)無解、一解或兩解，應(yīng)結(jié)合“三角形中大邊對大角”定理及幾何作圖來幫助理解.2：余弦定理在△ABC中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0變形為：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0要點詮釋：（1）應(yīng)用余弦定理解決的題型：①已知三邊，求各角②已知兩邊和一邊的對角，求其它=3\*GB3③已知兩邊和夾角，求其它；（2）正、余弦定理的實質(zhì)是一樣的，從而正弦定理能解的問題余弦定理也一定能解，反之亦然；只是方便程度有別；（3）正、余弦定理可以結(jié)合使用.3：三角形的面積公式(1)SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0為SKIPIF1<0邊上的高(2)SKIPIF1<0（3）SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<04：三角形形狀的判定方法設(shè)△ABC的三邊為a、b、c，對應(yīng)的三個角為A、B、C，解斜三角形的主要依據(jù)是：（1）角與角關(guān)系：由于A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=－cosC；tan(A+B)=－tanC；SKIPIF1<0；（2）邊與邊關(guān)系：a+b>c，b+c>a，c+a>b，a－b<c，b－c<a，c－a>b；（3）邊與角關(guān)系：正弦定理、余弦定理常用兩種途徑：（1）由正余弦定理將邊轉(zhuǎn)化為角；（2）由正余弦定理將角轉(zhuǎn)化為邊.要點詮釋：=1\*GB3①化簡中將三角形內(nèi)角和、三角同角基本關(guān)系式、誘導(dǎo)公式、兩角和與差的三角公式等綜合結(jié)合起來.=2\*GB3②在△ABC中，熟記并會證明：∠A，∠B，∠C成等差數(shù)列的充分必要條件是∠B=60°；△ABC是正三角形的充分必要條件是∠A，∠B，∠C成等差數(shù)列且a，b，c成等比數(shù)列.5：解三角形應(yīng)用的分類（1）距離問題：一點可到達(dá)另一點不可到達(dá)；兩點都不可到達(dá)；（2）高度問題（最后都轉(zhuǎn)化為解直角三角形）；（3）角度問題；（4）面積問題.類型一：平面向量的概念例1.給出下列命題：①若|SKIPIF1<0|=|SKIPIF1<0|，則SKIPIF1<0=SKIPIF1<0；②若A，B，C，D是不共線的四點，則SKIPIF1<0是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件；③若SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0=SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0=SKIPIF1<0的充要條件是|SKIPIF1<0|=|SKIPIF1<0|且SKIPIF1<0//SKIPIF1<0；⑤若SKIPIF1<0//SKIPIF1<0，SKIPIF1<0//SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0//SKIPIF1<0；其中正確的序號是.(2)設(shè)為單位向量，(1)若為平面內(nèi)的某個向量，則SKIPIF1<0；(2)若與平行，則；(3)若與平行且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.上述命題中，假命題個數(shù)是()A.0 B.1 C.2 D.3【思路點撥】利用平面向量的相關(guān)基本概念和基本知識進行判斷?！窘馕觥?1)①不正確.兩個向量的長度相等，但它們的方向不一定相同；②正確；∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，又A，B，C，D是不共線的四點，∴四邊形ABCD為平行四邊形；反之，若四邊形ABCD為平行四邊形，則SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，因此，SKIPIF1<0.③正確；∵SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的長度相等且方向相同；又SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的長度相等且方向相同，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的長度相等且方向相同，故SKIPIF1<0=SKIPIF1<0.④不正確；當(dāng)SKIPIF1<0//SKIPIF1<0且方向相反時，即使|SKIPIF1<0|=|SKIPIF1<0|，也不能得到SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，故|SKIPIF1<0|=|SKIPIF1<0|且SKIPIF1<0//SKIPIF1<0不是SKIPIF1<0=SKIPIF1<0的充要條件，而是必要不充分條件；⑤不正確；考慮SKIPIF1<0=SKIPIF1<0這種特殊情況；綜上所述，正確命題的序號是②③.(2)向量是既有大小又有方向的量，與SKIPIF1<0模相同，但方向不一定相同，故(1)是假命題；若與平行，則與方向有兩種情況：一是同向二是反向，反向時SKIPIF1<0，故(2)、(3)也是假命題.綜上所述，答案選D.【總結(jié)升華】本例主要復(fù)習(xí)向量的基本概念.向量的基本概念較多，因而容易遺忘.為此，復(fù)習(xí)時一方面要構(gòu)建良好的知識結(jié)構(gòu)，另一方面要善于與物理中、生活中的模型進行類比和聯(lián)想.向量的概念較多，且容易混淆，故在學(xué)習(xí)中要分清，理解各概念的實質(zhì)，注意區(qū)分共線向量、平行向量、同向向量等概念.類型二：平面向量的運算法則例2.如圖所示，已知正六邊形ABCDEF，O是它的中心，若SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，試用SKIPIF1<0，SKIPIF1<0將向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0表示出來.【思路點撥】根據(jù)向量加法的平行四邊形法則和減法的三角形法則，用向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0來表示其他向量，只要考慮它們是哪些平行四邊形或三角形的邊即可.【解析】因為六邊形ABCDEF是正六邊形，所以它的中心O及頂點A，B，C四點構(gòu)成平行四邊形ABCO，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0=SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0，SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0+SKIPIF1<0，由于A，B，O，F(xiàn)四點也構(gòu)成平行四邊形ABOF，所以SKIPIF1<0=SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0=SKIPIF1<0+SKIPIF1<0=SKIPIF1<0+SKIPIF1<0+SKIPIF1<0=2SKIPIF1<0+SKIPIF1<0，同樣在平行四邊形BCDO中，SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0＋(SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0)=SKIPIF1<0＋2SKIPIF1<0，SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0-SKIPIF1<0.【總結(jié)升華】其實在以A，B，C，D，E，F(xiàn)及O七點中，任兩點為起點和終點，均可用SKIPIF1<0，SKIPIF1<0表示，且可用規(guī)定其中任兩個向量為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，另外任取兩點為起點和終點，也可用SKIPIF1<0，SKIPIF1<0表示.類型三：平面向量的坐標(biāo)及運算例3.已知點SKIPIF1<0，試用向量方法求直線SKIPIF1<0和SKIPIF1<0(SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點)交點SKIPIF1<0的坐標(biāo).【解析】設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0因為SKIPIF1<0是SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的交點，所以SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上，也在直線SKIPIF1<0上.即得SKIPIF1<0，由點SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0.得方程組SKIPIF1<0，解之得SKIPIF1<0.故直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的交點SKIPIF1<0的坐標(biāo)為SKIPIF1<0.例4.已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，按下列條件求實數(shù)SKIPIF1<0的值.(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0；SKIPIF1<0.【解析】SKIPIF1<0SKIPIF1<0(1)SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0；SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.【總結(jié)升華】此例展示了向量在坐標(biāo)形式下的平行、垂直、模的基本運算.例5.已知SKIPIF1<0(1)求SKIPIF1<0；(2)當(dāng)SKIPIF1<0為何實數(shù)時，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0與SKIPIF1<0平行，平行時它們是同向還是反向？【解析】(1)因為SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0因為SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0與SKIPIF1<0平行，所以SKIPIF1<0即得SKIPIF1<0.此時SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即此時向量SKIPIF1<0與SKIPIF1<0方向相反.【總結(jié)升華】上面兩個例子重點解析了平面向量的性質(zhì)在坐標(biāo)運算中的體現(xiàn)，重點掌握平面向量的共線的判定以及平面向量模的計算方法.類型四：平面向量的夾角問題例6.（2015重慶）已知非零向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【思路點撥】由已知向量垂直得到數(shù)量積為0，于是得到非零向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的模與夾角的關(guān)系，求出夾角的余弦值．【答案】C【解析】由已知非零向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，設(shè)兩個非零向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，θ∈[0，π]，所以SKIPIF1<0；故選C．例7.設(shè)向量SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0=_____.【思路點撥】本題主要考查平面向量的坐標(biāo)運算和平面向量的數(shù)量積，以及用平面向量的數(shù)量積處理有關(guān)角度的問題.【解析】設(shè)SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，故填SKIPIF1<0.例8.已知兩單位向量SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，試求SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角.【解析】由題意，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0.而SKIPIF1<0SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角，則SKIPIF1<0.例9.已知SKIPIF1<0、SKIPIF1<0都是非零向量，且SKIPIF1<0+3SKIPIF1<0與SKIPIF1<0垂直，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0垂直，求SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角θ?！舅悸伏c撥】把向量垂直轉(zhuǎn)化為數(shù)量積為0SKIPIF1<0聯(lián)立求SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的關(guān)系SKIPIF1<0應(yīng)用夾角公式求結(jié)果?！窘馕觥縎KIPIF1<0例10.已知向量SKIPIF1<0，（1）求證：SKIPIF1<0;（2）若存在不等于0的實數(shù)k和t，使SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0試求此時SKIPIF1<0的最小值?！舅悸伏c撥】（1）可通過求SKIPIF1<0證明SKIPIF1<0;（2）由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，即求出關(guān)于k，t的一個方程，從而求出SKIPIF1<0的代數(shù)表達(dá)式，消去一個量k，得出關(guān)于t的函數(shù)，從而求出最小值。【解析】（1）SKIPIF1<0（2）由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0類型五：平面向量綜合問題例11.已知向量SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的對應(yīng)關(guān)系用表示.(1)證明：對于任意向量SKIPIF1<0及常數(shù)m，n恒有成立；(2)設(shè)SKIPIF1<0，求向量SKIPIF1<0及SKIPIF1<0的坐標(biāo)；(3)求使SKIPIF1<0，(p，q為常數(shù))的向量SKIPIF1<0的坐標(biāo).【解析】(1)設(shè)，則，故，∴(2)由已知得SKIPIF1<0=(1，1)，=(0，-1)(3)設(shè)SKIPIF1<0=(x，y)，則SKIPIF1<0，∴y=p，x=2p-q，即SKIPIF1<0=(2p-q，p).例12.求證：起點相同的三個非零向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，3SKIPIF1<0-2SKIPIF1<0的終點在同一條直線上.證明：設(shè)起點為O，SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，SKIPIF1<0=3SKIPIF1<0-2SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0=2(SKIPIF1<0-SKIPIF1<0)，SKIPIF1<0=SKIPIF1<0-SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0共線且有公共點A，因此，A，B，C三點共線，即向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，3SKIPIF1<0-2SKIPIF1<0的終點在同一直線上.【總結(jié)升華】(1)利用向量平行證明三點共線，需分兩步完成：①證明向量平行；②說明兩個向量有公共點；(2)用向量平行證明兩線段平行也需分兩步完成：①證明向量平行；②說明兩向量無公共點.例13.已知SKIPIF1<0.【思路點撥】SKIPIF1<0，可以看作向量SKIPIF1<0的模的平方，而SKIPIF1<0則是SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的數(shù)量積，從而運用數(shù)量積的性質(zhì)證出該不等式.【證明】設(shè)SKIPIF1<0則SKIPIF1<0.【總結(jié)升華】在向量這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)過程中，我們接觸了不少含不等式結(jié)構(gòu)的式子，如SKIPIF1<0等.類型六：正、余弦定理的基本應(yīng)用例14.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，A+C＝2B．(1)求cosB的值；(2)若b2＝ac，求sinAsinC的值．【思路點撥】由題設(shè)“A+C＝2B”易知B＝60°，又由邊之間的關(guān)系“b2＝ac”，如何求“sinAsinC”的值？正、余弦定理的運用都可以求出值.【解析】(1)由已知2B＝A+C，A+B+C＝180°，解得B＝60°，所以SKIPIF1<0．(2)解法一：由已知SKIPIF1<0，及SKIPIF1<0，根據(jù)正弦定理得SKIPIF1