數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)

第四章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)

4.2.1指數(shù)函數(shù)的概念

教材分析

本節(jié)課是新版教材人教A版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)必修1第四章第4.2.1節(jié)《指數(shù)函數(shù)的

概念》。從內(nèi)容上看它是學(xué)生學(xué)習(xí)了一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)，以及函數(shù)性質(zhì)基礎(chǔ)上，通過實(shí)際問

題的探究，建立的第四個函數(shù)模型。其研究和學(xué)習(xí)過程，與先前的研究過程類似。先由實(shí)際問題探究，建

立指數(shù)函數(shù)的模型和概念，再畫函數(shù)圖像，然后借助函數(shù)圖像討論函數(shù)的性質(zhì)，最后應(yīng)用建立的指數(shù)函數(shù)

模型解決問題。體現(xiàn)了研究函數(shù)的一般方法，讓學(xué)生充分感受，數(shù)學(xué)建模、直觀想象、及由特殊到一般的

思想方法。

教學(xué)目標(biāo)與核心索琳

課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)

a.數(shù)學(xué)抽象：指數(shù)函數(shù)的概念；

1.理解指數(shù)函數(shù)的概念與意義,掌握指數(shù)函數(shù)

b.邏輯推理：指數(shù)函數(shù)的底數(shù)特點(diǎn)；

的定義域、值域的求法.（重點(diǎn)）C.數(shù)學(xué)運(yùn)算：待定系數(shù)法求指數(shù)函數(shù)解析式；

d.直觀想象：指數(shù)函數(shù)圖像；

2.理解指數(shù)函數(shù)增長變化迅速的特點(diǎn)（難點(diǎn)）

e.數(shù)學(xué)建模：在實(shí)際問題中建立指數(shù)函數(shù)模型；

3.培養(yǎng)勇于探索的精神,體會由特殊到一般的

研究方法，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

救學(xué)亶難算

重點(diǎn)：理解指數(shù)函數(shù)的概念與意義，掌握指數(shù)函數(shù)的定義域、值域的求法.

難點(diǎn)：理解指數(shù)函數(shù)增長變化迅速的特點(diǎn);

課前發(fā)備

多媒體

教學(xué)過程

教學(xué)過程設(shè)計(jì)意圖

核心教學(xué)素養(yǎng)目

標(biāo)

（一）、創(chuàng)設(shè)問題情境

對于塞a\a>0）,我們已經(jīng)把指數(shù)x的范圍拓展到了實(shí)數(shù).上一章學(xué)開門見山，通過

習(xí)了函數(shù)的概念和基本性質(zhì)，通過對幕函數(shù)的研究，進(jìn)一步了解了研究

一類函數(shù)的過程和方法.下面繼續(xù)研究其他類型的基本初等函數(shù).對指數(shù)幕運(yùn)算及

（二）、探索新知

函數(shù)概念和性質(zhì)

問題1隨著中國經(jīng)濟(jì)高速增長，人民學(xué)習(xí)的鋪墊，提

生活水平不斷提高，旅游成了越來越多出研究課題：指

家庭的重要生活方式.由于旅游人數(shù)不數(shù)函數(shù)。培養(yǎng)和

斷增加，A,B兩地景區(qū)自2011年起發(fā)展數(shù)學(xué)抽象和

采取了不同的應(yīng)對措施，A地提高了景數(shù)學(xué)建模的核心

區(qū)門票價(jià)格，而B地則取消了景區(qū)門票.下表給出了A,B兩地景區(qū)2011素養(yǎng)。

年至2015年的游客人次以及逐年增加量.

A地景區(qū)B地景區(qū)

時間/年

人次/萬次年增加量/萬次人次/萬次年增加量/萬次

2001600278

2002609930931

200362011：■；1135

20046311138339

20056111042744探究問題：

2006650947548

20076611152853探究1.通過景區(qū)

20086711058860

20096811065567門票價(jià)格制定與

20106911072974

20117021181182參觀景區(qū)人數(shù)，

2012711990392

2013721101005102兩個變量函數(shù)關(guān)

2014732111118113

系的建立，體會

2015713111244126

數(shù)學(xué)源于生活，

比較兩地景區(qū)游客人次的變化情況，你發(fā)現(xiàn)了怎樣的變化規(guī)律？為了有

利于觀察規(guī)律，根據(jù)表，分別畫出A,B兩地景區(qū)采取不同措施后的15發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽

年游客人次的圖象、數(shù)學(xué)建模和

數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素

養(yǎng);

人次/萬次人次歷次

n

JOO1300

nOO

OO1100-

O

ZOO900-

7OO

-OO700-

500-

300，-

20012003200520072009201120132015時間/年20012003200520072009201120132015時間/年

圖421圖4.2-2

觀察圖象和表格，可以發(fā)現(xiàn)，A地景區(qū)的游客人次近似于直線上升（線

性增長），年增加量大致相等（約為10萬次）；B地景區(qū)的游客人次

則是非線性增長，年增加量越來越大，但從圖象和年增加量都難以看出

變化規(guī)律.

我們知道，年增加量是對相鄰兩年的游客人次做減法得到的.能否通過典例問題

通過對B地景區(qū)每年的游客人次做其他運(yùn)算發(fā)現(xiàn)游客人次的變化規(guī)律的分析，讓學(xué)生

呢？請你試一試.

從2002年起，將B地景區(qū)每年的游客人次除以上一年的游客人次，可以體驗(yàn)實(shí)際問題分

得至U析方法，及指數(shù)

函數(shù)變化特點(diǎn)。

2002年游客人次_309

2001年游客人次278~'培養(yǎng)分析問題與

2003年游客人次344...

----------------------=~1.11解決問題的能

2002年游客人次309

力；

2015年游客人次1244

---------------二:C1-11

2014年游客人次1118

做減法可以得到游客人次的年增加量，做除法可以得到游客人次的

年增長率.增加量、增長率是刻畫事物變化規(guī)律的兩個很重要的量.

結(jié)果表明，B地景區(qū)的游客人次的年增長率都約為1.11-1=0.11,是一

個常數(shù)

像這樣，增長率為常數(shù)的變化方式，我們稱為指數(shù)增長.因此，B地景

區(qū)的游客人次近似于指數(shù)增長.顯然，從2001年開始，B地景區(qū)游

客人次的變化規(guī)律可以近似描述為：

1

1年后，游客人次是2001年的1.11倍；

2

2年后，游客人次是2001年的1.11倍；

3

3年后，游客人次是2001年的1.11倍；

x年后，游客人次是2001年的1.11倍.

如果設(shè)經(jīng)過x年后的游客人次為2001年的y倍，那么

X

y=1.11(x￡[0,+°°)).①

這是一個函數(shù)，其中指數(shù)X是自變量.

問題2當(dāng)生物死亡后，它機(jī)體內(nèi)原有的碳14含量會按確定的比率衰減

（稱為衰減率），大約每經(jīng)過5730年衰減為原來的一半，這個時間稱為

“半衰期”.按照上述變化規(guī)律，生物體內(nèi)碳14含量與死亡年數(shù)之間有

怎樣的關(guān)系？

設(shè)死亡生物體內(nèi)碳14含量的年衰減率為狎，如果把剛死亡的生物體

內(nèi)碳14含量看成1個單位，那么；

1

死亡1年后，生物體內(nèi)碳14含量為（1-p）；

2探究2.通過生物

死亡2年后，生物體內(nèi)碳14含量為（1-p）；

體死亡時間與體

死亡3年后，生物體內(nèi)碳14含量為（1-p）；……內(nèi)碳14含量，函

5730數(shù)關(guān)系的建立，

死亡5730年后，生物體內(nèi)碳14含量為（1-p）.

573011體會指數(shù)函數(shù)應(yīng)

根據(jù)已知條件，（1-p）=:,從而1產(chǎn)（喬麗所以標(biāo).

用的廣泛性，并

設(shè)生物死亡年數(shù)為X,死亡生物體內(nèi)碳14含量為y,那么y=（1-p）',

建立指數(shù)函數(shù)的

即y=（G）標(biāo)），（x￡[0,+0°））.這也是一個函數(shù)，指數(shù)x是自概念。體會由特

殊到一般的研究

變量.死亡生物體內(nèi)碳14含量每年都以1一（｝而減率衰減.像這樣，衰

方法，發(fā)展學(xué)生

減率為常數(shù)的變化方式，我們稱為指數(shù)衰減.因此，死亡生物體內(nèi)碳14

含量呈指數(shù)衰減.數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)

如果用字母a代替上述①②兩式中的底數(shù)1.11和（》嬴建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算

核心素養(yǎng)；

X1%

,那么函數(shù)丫=1.11和y=（（今西）

可以表示為y=〃的形式，

指數(shù)函數(shù)的概念

一般地，函數(shù)____（a>0,且存1）叫做指數(shù)函數(shù)，其中—是自變量，函數(shù)

的定義域是

思考：指數(shù)函數(shù)定義中為什么規(guī)定。大于0且不等于1?

1.思考辨析

（1）卜=/是指數(shù)函數(shù).（）通過典例分

（2）函數(shù)>=2一%不是指數(shù)函數(shù).（）析，進(jìn)一步熟悉

（3）指數(shù)函數(shù)的圖象一定在x軸的上方.（）

指數(shù)函數(shù)的概

［答案］)

(1X(2)x(3W念，及認(rèn)識到指

(三)典例解析

數(shù)函數(shù)變化迅速

例1.已知指數(shù)函數(shù)設(shè)黃x)=a*(a>0,且a=l),且式3)=兀

求式。)，JU)，八-3)的值；的特點(diǎn)；

X

分析：要求五0)，如3)的值，應(yīng)先求出"r)=a的解析式即先求出a

的值；

%1

解：因?yàn)殪?=a，且13)=兀，則合=兀，解得。二兀E,

于是7(x)=位，所以式0)=?！?1,￡1)=疝=赤,fi-3)=7i~1=-

7t

跟蹤訓(xùn)練1:已知函數(shù)於)為指數(shù)函數(shù)，且/(-|)=今

則式一2)=________.

_3

解析：設(shè)兀X)—爐(。>0且存1),由/(2)—%得a一一9，

所以。=3,又八-2)=/2,所以人—2)=3-2=*

［規(guī)律方法］

1.在指數(shù)函數(shù)定義的表達(dá)式中，要牢牢抓住三點(diǎn)：

(1)底數(shù)是大于。且不等于1的常數(shù)；

(2)指數(shù)函數(shù)的自變量必須位于指數(shù)的位置上；

(3)ax的系數(shù)必須為1.

2.求指數(shù)函數(shù)的解析式常用待定系數(shù)法

例2(1)在問題1中，如果平均每位游客出游一次可給當(dāng)?shù)貛?000

元門票之外的收入，A地景區(qū)的門票價(jià)格為150元，比較這15年間A,

B兩地旅游收入變化情況.

解：(1)設(shè)經(jīng)過x年，游客給A,B兩地帶來的收入分別為f(x)和g

X

(x),貝!If(x)=1150x(Wx+600),g(x)=1000x278x1.11.

利用計(jì)算工具可得，

當(dāng)x=0時，f(0)-g(0)=412000.

當(dāng)xM0.22時，f(10.22)Qg(10.22).

結(jié)合圖可知：當(dāng)x<10.22時，f(x)>g(x),

當(dāng)x>10.22時，f(x)<g(x).

當(dāng)x=14時，f(14)-g(14)-347303.

這說明，在2001年，游客給A地帶來的收入比B地多412000萬元；隨

后10年，雖然f(x)>g(x),但g(x)的增長速度大于f(x)；根

據(jù)上述數(shù)據(jù)，并考慮到實(shí)際情況，在2011年2月某個時刻就有f(x)=

g(X),

[

140k

rg吵

o|12345678910111213141516X

這時游客給A地帶來的收入和B地差不多；此后，f(x)<g(x),游客

給B地帶來的收入超過了A地；由于g(x)增長得越來越快，在2015

年，B地的收入己經(jīng)比A地多347303萬元了.

三、當(dāng)堂達(dá)標(biāo)

1.下列函數(shù)一定是指數(shù)函數(shù)的是()

A.y=2x+1B.y=VC.y=3?2，D.〉=3一，

【答案】D[由指數(shù)函數(shù)的定義可知D正確.]通過練習(xí)鞏固本

2.下列圖象中，有可能表示指數(shù)函數(shù)的是().節(jié)所學(xué)知識，鞏

固指數(shù)函數(shù)的概

念，及了解指數(shù)

o\x.x\o\jxo\x^\px

函數(shù)變化特點(diǎn)，

(A)(B)(C)(D)

增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)

【答案】C[由指數(shù)函數(shù)的增長速度及定義，可知C正確.]

抽象和數(shù)學(xué)直觀

3.已知函數(shù)段)=