2021-2022學(xué)年北京市東城區(qū)文匯中學(xué)九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷【含解析】

第1頁（共1頁）2021-2022學(xué)年北京市東城區(qū)文匯中學(xué)九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每小題只有一個選項符合題意，每題2分，共16分）1．（2分）下列交通標(biāo)志中，是中心對稱圖形的是（）A．禁止駛?cè)?B．靠左側(cè)道路行駛 C．向左和向右轉(zhuǎn)彎 D．環(huán)島行駛2．（2分）拋物線y＝（x﹣2）2﹣4的頂點坐標(biāo)為（）A．（4，2） B．（2，4） C．（﹣2，4） D．（2，﹣4）3．（2分）已知點A（﹣1，m）與點B（3，n）都在反比例函數(shù)（k＞0）的圖象上，那么m與n的關(guān)系是（）A．m＜n B．m＞n C．m＝n D．不能確定4．（2分）如圖，將△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)35°得到△DEC，邊ED、AC相交于點F，若∠A＝30°，則∠EFC的度數(shù)為（）A．65° B．15° C．75° D．115°5．（2分）如圖，點D、E分別在△ABC的AB、AC邊上，下列條件中：①∠ADE＝∠C；②＝；③＝．使△ADE與△ACB一定相似的是（）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③6．（2分）拋物線y＝﹣3x2經(jīng)過平移得到拋物線y＝﹣3（x+1）2﹣2，平移的方法是（）A．向左平移1個，再向下平移2個單位 B．向右平移1個，再向下平移2個單位 C．向左平移1個，再向上平移2個單位 D．向右平移1個，再向上平移2個單位7．（2分）運動員將足球沿與地面成一定角度的方向踢出，足球飛行的路線可以看作是一條拋物線，不考慮空氣阻力，足球距離地面的高度y（單位：m）與足球被踢出后經(jīng)過的時間x（單位：s）近似滿足函數(shù)關(guān)系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如圖記錄了3個時刻的數(shù)據(jù)，根據(jù)函數(shù)模型和所給數(shù)據(jù)，可推斷出足球飛行到最高點時的時刻x是（）A．4 B．4.5 C．5 D．68．（2分）設(shè)m是非零實數(shù)，給出下列四個命題：①若﹣1＜m＜0，則＜m＜m2；②若m＞1，則＜m2＜m；③若m＜＜m2，則m＜0；④若m2＜m＜，則0＜m＜1．其中命題成立的序號是（）A．①③ B．①④ C．②③ D．③④二、填空題（每題2分，共16分）9．（2分）點A的坐標(biāo)為（2，﹣3），它關(guān)于坐標(biāo)原點O對稱的點的坐標(biāo)為．10．（2分）將y＝x2﹣4x+7化為y＝a（x﹣h）2+k的形式：．11．（2分）反比例函數(shù)（k≠0）的圖象經(jīng)過點A（1，2），B（2，y1），C（3，y2），則y1y2．（填“＜，＝，＞”）12．（2分）中國“一帶一路”倡議給沿線國家和地區(qū)帶來很大的經(jīng)濟效益，沿線某地區(qū)居民2017年年人均收入300美元，預(yù)計2019年年人均收入將達(dá)到y(tǒng)美元．設(shè)2017年到2019年該地區(qū)居民年人均收入平均增長率為x，那么y與x的函數(shù)關(guān)系式是．13．（2分）如圖，P是反比例函數(shù)圖象上一點，且矩形PAOB的面積為4，則反比例函數(shù)的解析式是．14．（2分）如圖，直角三角形紙片ABC，AC邊長為10cm，現(xiàn)從下往上依次裁剪寬為4cm的矩形紙條，若剪得第二張矩形紙條恰好是正方形，那么BC的長度是cm．15．（2分）平面直角坐標(biāo)系中，點A，B的坐標(biāo)分別是A（2，4），B（3，0），在第一象限內(nèi)以原點O為位似中心，把△OAB縮小為原來的，則點A的對應(yīng)點A'的坐標(biāo)為．16．（2分）小云計劃戶外徒步鍛煉，每天有“低強度”“高強度”“休息”三種方案，下表對應(yīng)了每天不同方案的徒步距離（單位：km）．若選擇“高強度”要求前一天必須“休息”（第一天可選擇“高強度”）．則小云5天戶外徒步鍛煉的最遠(yuǎn)距離為km．日期第1天第2天第3天第4天第5天低強度86654高強度121315128休息00000三、解答題（17-22題每題5分，23-26題每題6分，27、28題每題7分）17．（5分）如圖，在正方形網(wǎng)格中，將格點△ABC繞某點順時針旋轉(zhuǎn)角α（0°＜α＜180°）得到格點△A1B1C1，點A與點A1，點B與點B1，點C與點C1是對應(yīng)點．（1）請通過畫圖找到旋轉(zhuǎn)中心，將其標(biāo)記為點O；（2）直接寫出旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)．18．（5分）已知：如圖，點C在∠MON的邊OM上．求作：射線CD，使CD∥ON，且點D在∠MON的角平分線上．作法：①以點O為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交射線OM，ON于點A，B；②分別以點A，B為圓心，大于的長為半徑畫弧，交于點Q；③畫射線OQ；④以點C為圓心，CO長為半徑畫弧，交射線OQ于點D；⑤畫射線CD．射線CD就是所求作的射線．（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補全圖形（保留作圖痕跡）；（2）完成下面的證明：∵OD平分∠MON，∴∠MOD＝．∵OC＝CD，∴∠MOD＝．∴∠NOD＝∠CDO．∴CD∥ON（）（填推理的依據(jù)）．19．（5分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線y＝過點A（1，1），與直線y＝4x交于B，C兩點（點B的橫坐標(biāo)小于點C的橫坐標(biāo)）．（1）求k的值；（2）求點B，C的坐標(biāo)；（3）若直線x＝t與雙曲線y＝交于點D（t，y1），與直線y＝4x交于點E（t，y2），當(dāng)y1＜y2時，寫出t的取值范圍．20．（5分）如圖，E是平行四邊形ABCD的邊BA延長線上一點，連接EC，交AD于點F，AE＝1，CD＝2．（1）求證：△EBC∽△CDF．（2）求S△AEF：S△CDF．21．（5分）二次函數(shù)圖象上部分點的橫坐標(biāo)x，縱坐標(biāo)y的對應(yīng)值如下表：x…﹣4﹣3﹣2﹣1012…y…50﹣3﹣4﹣305…（1）求這個二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）求當(dāng)﹣4≤x≤0時，y的取值范圍．22．（5分）為迎接國慶節(jié)，某商店購進(jìn)了一批成本為每件30元的紀(jì)念商品．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品每天的銷售量y（件）與銷售單價x（元）滿足一次函數(shù)關(guān)系，其圖象如圖所示．（1）求該商品每天的銷售量y與銷售單價x的函數(shù)關(guān)系式；（2）若商店按不低于成本價，且不高于60元的單價銷售，求獲得利潤w（元）與銷售單價x（元）的函數(shù)關(guān)系式；（3）求當(dāng)獲得利潤w最大時，銷售單價x為多少？23．（6分）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2﹣2ax+a2﹣a﹣3與x軸分別交于P（x1，0），Q（x2，0）（x1≠x2）．（1）求拋物線的頂點坐標(biāo)；（2）當(dāng)a＝1時，求x1+x2；（3）當(dāng)|x1+x2|＞3時，求a的取值范圍．24．（6分）如圖，在?ABCD中，連接DB，F(xiàn)是邊BC上一點，連接DF并延長，交AB的延長線于E，且∠EDB＝∠A．（1）求證：△BDF∽△BCD；（2）如果BD＝3，BC＝9，求的值．25．（6分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，函數(shù)y＝（x＞0）的圖象G經(jīng)過點A（3，2），直線l：y＝kx﹣1（k≠0）與y軸交于點B，與圖象G交于點C．（1）求m的值；（2）橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點叫做整點．記圖象G在點A，C之間的部分與線段BA，BC圍成的區(qū)域（不含邊界）為W．①當(dāng)直線l過點（2，0）時，直接寫出區(qū)域W內(nèi)的整點個數(shù)；②若區(qū)域W內(nèi)的整點不少于3個，結(jié)合函數(shù)圖象，求k的取值范圍．26．（6分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線y＝﹣x+3與x軸，y軸分別交于點A，B，拋物線y＝ax2+bx﹣3a經(jīng)過點A，將點B向右平移5個單位長度，得到點C．（1）求C點坐標(biāo)；（2）求拋物線對稱軸；（3）若拋物線與線段BC有一個公共點，結(jié)合圖象，求a的取值范圍．27．（7分）已知如圖，等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α（α＞90°），F(xiàn)為BC中點，D為BC延長線上一點，以點A為中心，將線段AD逆時針旋轉(zhuǎn)α得到線段AE，連接CE，DE．（1）補全圖形并比較∠BAD和∠CAE的大小；（2）用等式表示CE，CD，BF之間的關(guān)系，并證明；（3）過F作AC的垂線，并延長交DE于點H，求EH和DH之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．28．（7分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對于線段AB和點C，若△ABC是以AB為一條直角邊，且滿足AC＞AB的直角三角形，則稱點C為線段AB的“關(guān)聯(lián)點”，已知點A的坐標(biāo)為（0，1）．（1）若B（2，1），則點D（3，1），E（2，0），F(xiàn)（0，﹣3），G（﹣1，﹣2）中，是AB關(guān)聯(lián)點的有；（2）若點B（﹣1，0），點P在直線y＝2x﹣3上，且點P為線段AB的關(guān)聯(lián)點，求點P的坐標(biāo)；（3）若點B（b，0）為x軸上一動點，在直線y＝2x+2上存在兩個AB的關(guān)聯(lián)點，求b的取值范圍．

2021-2022學(xué)年北京市東城區(qū)文匯中學(xué)九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（每小題只有一個選項符合題意，每題2分，共16分）1．（2分）下列交通標(biāo)志中，是中心對稱圖形的是（）A．禁止駛?cè)?B．靠左側(cè)道路行駛 C．向左和向右轉(zhuǎn)彎 D．環(huán)島行駛【分析】根據(jù)中心對稱圖形的概念進(jìn)行判斷即可．【解答】解：A．是中心對稱圖形，故此選項符合題意；B．不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；C．不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；D．不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；故選：A．【點評】本題考查的是中心對稱圖形的概念，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與自身重合．2．（2分）拋物線y＝（x﹣2）2﹣4的頂點坐標(biāo)為（）A．（4，2） B．（2，4） C．（﹣2，4） D．（2，﹣4）【分析】形如y＝a（x﹣h）2+k的頂點坐標(biāo)為（h，k），據(jù)此可以直接求頂點坐標(biāo)．【解答】解：拋物線y＝（x﹣2）2﹣4的頂點坐標(biāo)為（2，﹣4）．故選：D．【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．二次函數(shù)的頂點式方程y＝a（x﹣k）2+h的頂點坐標(biāo)是（k，h），對稱軸方程是x＝k．3．（2分）已知點A（﹣1，m）與點B（3，n）都在反比例函數(shù)（k＞0）的圖象上，那么m與n的關(guān)系是（）A．m＜n B．m＞n C．m＝n D．不能確定【分析】根據(jù)反比例函數(shù)圖象的增減性來比較m與n的大?。窘獯稹拷猓骸遦＞0，∴反比例函數(shù)（k＞0）的圖象位于第一、三象限，∴點A（﹣1，m）位于第三象限，點B（3，n）位于第一象限，∴m＜n．故選：A．【點評】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2分）如圖，將△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)35°得到△DEC，邊ED、AC相交于點F，若∠A＝30°，則∠EFC的度數(shù)為（）A．65° B．15° C．75° D．115°【分析】將△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)35°得到△DEC，得∠ACD＝35°，∠A＝∠D＝30°，于是得到結(jié)論．【解答】解：∵將△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)35°得到△DEC，∴∠ACD＝35°，∠A＝∠D＝30°，∴∠EFC＝∠ACD+∠D＝35°+30°＝65°，故選：A．【點評】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)等知識，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（2分）如圖，點D、E分別在△ABC的AB、AC邊上，下列條件中：①∠ADE＝∠C；②＝；③＝．使△ADE與△ACB一定相似的是（）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③【分析】根據(jù)有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似對①進(jìn)行判斷；根據(jù)兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個三角形相似對②③進(jìn)行判斷．【解答】解：∵∠DAE＝∠BAC，∴當(dāng)ADE＝∠C時，△ADE∽△ACB；當(dāng)＝時，△ADE∽△ACB．故選：C．【點評】本題考查了相似三角形的判定：三組對應(yīng)邊的比相等的兩個三角形相似；兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個三角形相似；有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似．6．（2分）拋物線y＝﹣3x2經(jīng)過平移得到拋物線y＝﹣3（x+1）2﹣2，平移的方法是（）A．向左平移1個，再向下平移2個單位 B．向右平移1個，再向下平移2個單位 C．向左平移1個，再向上平移2個單位 D．向右平移1個，再向上平移2個單位【分析】先確定兩個拋物線的頂點坐標(biāo)，再利用點平移的規(guī)律確定拋物線平移的情況．【解答】解：拋物線y＝﹣3x2的頂點坐標(biāo)為（0，0），拋物線y＝﹣3（x+1）2﹣2的頂點坐標(biāo)為（﹣1，﹣2），而點（0，0）向左平移1個，再向下平移2個單位可得到（﹣1，﹣2），所以拋物線y＝﹣3x2向左平移1個，再向下平移2個單位得到拋物線y＝﹣3（x+1）2﹣2．故選：A．【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換：由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線解析式通常可利用兩種方法：一是求出原拋物線上任意兩點平移后的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點坐標(biāo)，即可求出解析式．7．（2分）運動員將足球沿與地面成一定角度的方向踢出，足球飛行的路線可以看作是一條拋物線，不考慮空氣阻力，足球距離地面的高度y（單位：m）與足球被踢出后經(jīng)過的時間x（單位：s）近似滿足函數(shù)關(guān)系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如圖記錄了3個時刻的數(shù)據(jù)，根據(jù)函數(shù)模型和所給數(shù)據(jù)，可推斷出足球飛行到最高點時的時刻x是（）A．4 B．4.5 C．5 D．6【分析】由題意得出點（3，18）、（5，20）、（7，14）在拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）上，再用待定系數(shù)法求出拋物線解析式，進(jìn)而配成頂點式，即可得出結(jié)論．【解答】解：由題意得，點（3，18）、（5，20）、（7，14）在拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）上，∴，∴，∴拋物線解析式為y＝﹣x2+9x＝﹣（x﹣）2+，∴當(dāng)x＝時，足球飛行達(dá)到最高點，故選：B．【點評】此題是二次函數(shù)的應(yīng)用，主要考查了待定系數(shù)法，配方法，利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式是解本題的關(guān)鍵．8．（2分）設(shè)m是非零實數(shù)，給出下列四個命題：①若﹣1＜m＜0，則＜m＜m2；②若m＞1，則＜m2＜m；③若m＜＜m2，則m＜0；④若m2＜m＜，則0＜m＜1．其中命題成立的序號是（）A．①③ B．①④ C．②③ D．③④【分析】判斷一個命題是假命題，只需舉出一個反例即可．【解答】解：①若﹣1＜m＜0，則＜m＜m2，當(dāng)m＝﹣時，，是真命題；②若m＞1，則＜m2＜m，當(dāng)m＝2時，，原命題是假命題；③若m＜＜m2，則m＜0，當(dāng)m＝﹣時，，原命題是假命題；④若m2＜m＜，則0＜m＜1，當(dāng)m＝時，，是真命題；故選：B．【點評】此題考查命題于定理，關(guān)鍵是根據(jù)不等式的性質(zhì)解答即可．二、填空題（每題2分，共16分）9．（2分）點A的坐標(biāo)為（2，﹣3），它關(guān)于坐標(biāo)原點O對稱的點的坐標(biāo)為（﹣2，3）．【分析】根據(jù)關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)特點：兩個點關(guān)于原點對稱時，它們的坐標(biāo)符號相反可直接寫出答案．【解答】解：∵點A的坐標(biāo)為（2，﹣3），∴它關(guān)于坐標(biāo)原點O對稱的點的坐標(biāo)為（﹣2，3），故答案為：（﹣2，3）．【點評】此題主要考查了關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)特點，關(guān)鍵是熟練掌握點的變化規(guī)律．10．（2分）將y＝x2﹣4x+7化為y＝a（x﹣h）2+k的形式：y＝（x﹣2）2+3．【分析】利用配方法整理即可得解．【解答】解：y＝x2﹣4x+7＝x2﹣4x+4﹣4+7＝（x﹣2）2+3，故將y＝x2﹣4x+7化為y＝a（x﹣h）2+k的形式為：y＝（x﹣2）2+3．故答案為：y＝（x﹣2）2+3．【點評】本題考查二次函數(shù)的三種形式，正確運用配方法把二次函數(shù)的一般式化為頂點式是解題的關(guān)鍵．11．（2分）反比例函數(shù)（k≠0）的圖象經(jīng)過點A（1，2），B（2，y1），C（3，y2），則y1＞y2．（填“＜，＝，＞”）【分析】求得系數(shù)k＝2，根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)得出圖象在第一、三象限內(nèi)，在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而減小，再比較即可．【解答】解：∵反比例函數(shù)（k≠0）的圖象經(jīng)過點A（1，2），∴k＝1×2＝2＞0，∴圖象在第一、三象限內(nèi)，在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而減小，∵2＜3，∴y1＞y2，故答案為＞．【點評】本題考查了反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，能熟記反比例函數(shù)的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．12．（2分）中國“一帶一路”倡議給沿線國家和地區(qū)帶來很大的經(jīng)濟效益，沿線某地區(qū)居民2017年年人均收入300美元，預(yù)計2019年年人均收入將達(dá)到y(tǒng)美元．設(shè)2017年到2019年該地區(qū)居民年人均收入平均增長率為x，那么y與x的函數(shù)關(guān)系式是y＝300（x+1）2．【分析】是關(guān)于增長率問題，一般用增長后的量＝增長前的量×（1+增長率），如果設(shè)2017年到2019年該地區(qū)居民年人均收入平均增長率為x，那么根據(jù)題意可用x表示2019年年人均收入，然后根據(jù)已知可以得出關(guān)系式．【解答】解：設(shè)2017年到2019年該地區(qū)居民年人均收入平均增長率為x，那么根據(jù)題意得2019年年人均收入為：300（x+1）2，y與x的函數(shù)關(guān)系式是為：y＝300（x+1）2．故答案為y＝300（x+1）2．【點評】考查了根據(jù)實際問題列二次函數(shù)關(guān)系式，對于平均增長率問題，一般形式為a（1+x）2＝b，a為起始時間的有關(guān)數(shù)量，b為終止時間的有關(guān)數(shù)量．13．（2分）如圖，P是反比例函數(shù)圖象上一點，且矩形PAOB的面積為4，則反比例函數(shù)的解析式是．【分析】根據(jù)反比例函數(shù)k的幾何意義可得|k|＝4，再根據(jù)圖象在二、四象限可確定k＝﹣4，進(jìn)而得到解析式．【解答】解：∵S矩形PAOB＝4，∴|k|＝4，∵圖象在二、四象限，∴k＜0，∴k＝﹣4，∴反比例函數(shù)解析式為y＝﹣，故答案為：y＝﹣．【點評】此題主要考查了反比例函數(shù)k的幾何意義，關(guān)鍵是掌握y＝（k≠0）圖象中任取一點，過這一個點向x軸和y軸分別作垂線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積是定值|k|．14．（2分）如圖，直角三角形紙片ABC，AC邊長為10cm，現(xiàn)從下往上依次裁剪寬為4cm的矩形紙條，若剪得第二張矩形紙條恰好是正方形，那么BC的長度是20cm．【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)，可知：DE∥BC，進(jìn)而可得出△ADE∽△ACB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求出BC的長度．【解答】解：在圖中標(biāo)上字母，如圖所示．根據(jù)矩形的性質(zhì)，可知：DE∥BC，∴△ADE∽△ACB，∴＝，∴BC＝?DE＝×4＝20cm．故答案為：20．【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)，根據(jù)矩形的性質(zhì)結(jié)合相似三角形的判定定理找出△ADE∽△ACB是解題的關(guān)鍵．15．（2分）平面直角坐標(biāo)系中，點A，B的坐標(biāo)分別是A（2，4），B（3，0），在第一象限內(nèi)以原點O為位似中心，把△OAB縮小為原來的，則點A的對應(yīng)點A'的坐標(biāo)為（1，2）．【分析】根據(jù)位似變換的性質(zhì)解答．【解答】解：以原點O為位似中心，把△OAB縮小為原來的，A（2，4），∴A的對應(yīng)點A'的坐標(biāo)為（2×，4×），即（1，2），故答案為：（1，2）．【點評】本題考查的是位似變換，在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應(yīng)點的坐標(biāo)的比等于k或﹣k．16．（2分）小云計劃戶外徒步鍛煉，每天有“低強度”“高強度”“休息”三種方案，下表對應(yīng)了每天不同方案的徒步距離（單位：km）．若選擇“高強度”要求前一天必須“休息”（第一天可選擇“高強度”）．則小云5天戶外徒步鍛煉的最遠(yuǎn)距離為36km．日期第1天第2天第3天第4天第5天低強度86654高強度121315128休息00000【分析】根據(jù)“高強度”要求前一天必須“休息”，則如果“高強度”的距離比前一天+當(dāng)天的“低強度”距離短的話，則沒有必要選擇“高強度”，因此只有第一天和第三天適合選擇“高強度”計算出此時的距離即可．【解答】解：∵“高強度”要求前一天必須“休息”，∴當(dāng)“高強度”的徒步距離＞前一天“低強度”距離+當(dāng)天“低強度”距離時選擇“高強度”能使徒步距離最遠(yuǎn)，∵15＞6+6，12＞6+5，∴適合選擇“高強度”的是第三天和第四天，又∵第一天可選擇“高強度”，∴方案①第一天選擇“高強度”，第二天“休息”，第三天選擇“高強度”，第四天和第五天選擇“低強度”，此時徒步距離為：12+0+15+5+4＝36（km），方案②第一天選擇“高強度”，第二天選擇“低強度”，第三天選擇“休息”，第四天選擇“高強度”，第五天選擇“低強度”，此時徒步距離為：12+6+0+12+4＝34（km），綜上，徒步的最遠(yuǎn)距離為36km．【點評】本題主要考查最優(yōu)路線選擇，找出適合選擇“高強度”的時間是解題的關(guān)鍵．三、解答題（17-22題每題5分，23-26題每題6分，27、28題每題7分）17．（5分）如圖，在正方形網(wǎng)格中，將格點△ABC繞某點順時針旋轉(zhuǎn)角α（0°＜α＜180°）得到格點△A1B1C1，點A與點A1，點B與點B1，點C與點C1是對應(yīng)點．（1）請通過畫圖找到旋轉(zhuǎn)中心，將其標(biāo)記為點O；（2）直接寫出旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)．【分析】（1）連接CC1、AA1，再分別作兩線段的中垂線，兩中垂線的交點即為所求；（2）連接CO、C1O，結(jié)合網(wǎng)格特點可得旋轉(zhuǎn)角∠COC1＝α＝90°．【解答】解：（1）如圖所示，點O即為所求；（2）如圖所示，∠COC1＝α＝90°．【點評】本題主要考查作圖﹣旋轉(zhuǎn)變換，解題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)變換的定義和性質(zhì)．18．（5分）已知：如圖，點C在∠MON的邊OM上．求作：射線CD，使CD∥ON，且點D在∠MON的角平分線上．作法：①以點O為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交射線OM，ON于點A，B；②分別以點A，B為圓心，大于的長為半徑畫弧，交于點Q；③畫射線OQ；④以點C為圓心，CO長為半徑畫弧，交射線OQ于點D；⑤畫射線CD．射線CD就是所求作的射線．（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補全圖形（保留作圖痕跡）；（2）完成下面的證明：∵OD平分∠MON，∴∠MOD＝∠NOD．∵OC＝CD，∴∠MOD＝∠CDO．∴∠NOD＝∠CDO．∴CD∥ON（內(nèi)錯角相等兩直線平行）（填推理的依據(jù)）．【分析】（1）根據(jù)要求作出圖形即可．（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及角平分線的定義證明∠CDO＝∠DON即可．【解答】解：（1）如圖，射線CD即為所求作．（2）∵OD平分∠MON，∴∠MOD＝∠NOD．∵OC＝CD，∴∠MOD＝∠CDO，∴∠NOD＝∠CDO．∴CD∥ON（內(nèi)錯角相等兩直線平行）．故答案為：∠NOD，∠CDO，內(nèi)錯角相等兩直線平行．【點評】本題考查作圖﹣復(fù)雜作圖，平行線的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，正確作出圖形，屬于中考?？碱}型．19．（5分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線y＝過點A（1，1），與直線y＝4x交于B，C兩點（點B的橫坐標(biāo)小于點C的橫坐標(biāo)）．（1）求k的值；（2）求點B，C的坐標(biāo)；（3）若直線x＝t與雙曲線y＝交于點D（t，y1），與直線y＝4x交于點E（t，y2），當(dāng)y1＜y2時，寫出t的取值范圍．【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法即可求得；（2）解析式聯(lián)立，組成方程組，解方程組即可求得；（3）根據(jù)圖象即可求得．【解答】解：（1）∵雙曲線y＝過點A（1，1），∴k＝1×1＝1；（2）解得或，∴B（﹣，﹣2），C（，2）；（3）觀察函數(shù)的圖象，當(dāng)y1＜y2時，t的取值范圍為﹣＜t＜0或t＞．【點評】本題是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，主要考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，圖象上點的坐標(biāo)特征，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．20．（5分）如圖，E是平行四邊形ABCD的邊BA延長線上一點，連接EC，交AD于點F，AE＝1，CD＝2．（1）求證：△EBC∽△CDF．（2）求S△AEF：S△CDF．【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)可知∠B＝∠D，BE∥CD．再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得出∠E＝∠DCF，即證明△EBC～△CDF．（2）由∠E＝∠DCF，∠AFE＝∠DFC，即可判定△AFE～△DFC，再根據(jù)相似三角形面積比等于相似比的平方即可求解．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠B＝∠D，BA∥CD．∵點E是邊BA延長線上一點，∴BE∥CD，∴∠E＝∠DCF，∴△EBC∽△CDF．（2）解：∵∠E＝∠DCF，∠AFE＝∠DFC，∴△AFE∽△DFC，∴．【點評】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)．掌握判定三角形相似的條件是解答本題的關(guān)鍵．21．（5分）二次函數(shù)圖象上部分點的橫坐標(biāo)x，縱坐標(biāo)y的對應(yīng)值如下表：x…﹣4﹣3﹣2﹣1012…y…50﹣3﹣4﹣305…（1）求這個二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）求當(dāng)﹣4≤x≤0時，y的取值范圍．【分析】（1）利用表中數(shù)據(jù)和拋物線的對稱性可得到二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)為（﹣1，﹣4），則可設(shè)頂點式y(tǒng)＝a（x+1）2﹣4，然后把點（0，﹣3）代入求出a即可；（2）畫二次函數(shù)圖象，求得x＝﹣4和0時的函數(shù)值，然后根據(jù)函數(shù)的圖象可知頂點在其范圍內(nèi)，即可求解．【解答】解：（1）二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)為（﹣1，﹣4），設(shè)二次函數(shù)的解析式為：y＝a（x+1）2﹣4，把點（0，﹣3）代入y＝a（x+1）2﹣4得a＝1，∴拋物線解析式為y＝（x+1）2﹣4；（2）如圖：當(dāng)x＝﹣4時，y＝5；x＝0時，y＝﹣3，當(dāng)x＝﹣1時，y＝﹣4．∴當(dāng)自變量x的取值范圍是﹣4≤x≤0時，對應(yīng)函數(shù)值y的取值范圍是﹣4≤y≤5，故答案為：﹣4≤y≤5．【點評】本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．?dāng)?shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．22．（5分）為迎接國慶節(jié)，某商店購進(jìn)了一批成本為每件30元的紀(jì)念商品．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品每天的銷售量y（件）與銷售單價x（元）滿足一次函數(shù)關(guān)系，其圖象如圖所示．（1）求該商品每天的銷售量y與銷售單價x的函數(shù)關(guān)系式；（2）若商店按不低于成本價，且不高于60元的單價銷售，求獲得利潤w（元）與銷售單價x（元）的函數(shù)關(guān)系式；（3）求當(dāng)獲得利潤w最大時，銷售單價x為多少？【分析】（1）將點（30，100）、（45，700）代入一次函數(shù)表達(dá)式，即可求解；（2）利用每件利潤乘以件數(shù)列出函數(shù)w＝（x﹣30）（﹣2x+160）＝﹣2x2+220x﹣4800寫出自變量范圍30≤x≤60即可；（3）將函數(shù)配方得：w＝﹣2（x﹣55）2+1250根據(jù)開口方向﹣2＜0，且30≤x≤60．，可得當(dāng)x＝55時，w取得最大值，此時w＝1250即可．【解答】解：（1）設(shè)銷售量y與銷售單價x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx+b，將點（30，100）、（45，70）代入，得：，解得，∴函數(shù)的關(guān)系式為：y＝﹣2x+160，（2）每件利潤為（x﹣30）元，∴w＝（x﹣30）（﹣2x+160）＝﹣2x2+220x﹣4800，且30≤x≤60，（3）將函數(shù)配方得：w＝﹣2（x﹣55）2+1250，∵﹣2＜0，且30≤x≤60，∴當(dāng)x＝55時，w取得最大值，此時w＝1250．∴銷售單價定為55元時，該商店每天獲得的利潤最大，最大利潤是1250元．【點評】此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的頂點式，最值等知識，解答時求出函數(shù)的解析式是關(guān)鍵．23．（6分）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2﹣2ax+a2﹣a﹣3與x軸分別交于P（x1，0），Q（x2，0）（x1≠x2）．（1）求拋物線的頂點坐標(biāo)；（2）當(dāng)a＝1時，求x1+x2；（3）當(dāng)|x1+x2|＞3時，求a的取值范圍．【分析】（1）把解析式化成頂點式即可求得拋物線的頂點坐標(biāo)；（2）利用拋物線的對稱性求得即可；（3）根據(jù)題意得到＝﹣＝a，即可求得x1+x2＝2a，由|x1+x2|＞3得到|2a|＞3，解得a＞或a＜﹣．【解答】解：（1）拋物線y＝x2﹣2ax+a2﹣a﹣3＝（x﹣a）2﹣a﹣3，∴拋物線的頂點坐標(biāo)為（a，﹣a﹣3）；（2）當(dāng)a＝1時，拋物線為y＝x2﹣2x﹣3，∵拋物線y＝x2﹣2x﹣3與x軸分別交于P（x1，0），Q（x2，0）（x1≠x2），∴＝﹣＝1，∴x1+x2＝2；（3）∵拋物線y＝x2﹣2ax+a2﹣a﹣3與x軸分別交于P（x1，0），Q（x2，0）（x1≠x2），∴＝﹣＝a，∴x1+x2＝2a，∵|x1+x2|＞3，∴|2a|＞3，解得a＞或a＜﹣．【點評】本題考查了拋物線與x軸的交點，二次函數(shù)的性質(zhì)，熟知二次函數(shù)的對稱性是解題的關(guān)鍵．24．（6分）如圖，在?ABCD中，連接DB，F(xiàn)是邊BC上一點，連接DF并延長，交AB的延長線于E，且∠EDB＝∠A．（1）求證：△BDF∽△BCD；（2）如果BD＝3，BC＝9，求的值．【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)可得出∠A＝∠C，結(jié)合∠EDB＝∠A可得出∠EDB＝∠C，再由∠DBF＝∠CBD即可證出△BDF∽△BCD；（2）由△BDF∽△BCD，利用相似三角形的性質(zhì)可求出BF的長度，由DC∥AE可得出△DFC∽△EFB，再利用三角形的性質(zhì)及AB＝DC即可求出的值．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴DC∥AE，∠A＝∠C．∵∠EDB＝∠A，∴∠EDB＝∠C．∵∠DBF＝∠CBD，∴△BDF∽△BCD；（2）解：∵△BDF∽△BCD，∴＝，即＝，∵BF＝5．∵DC∥AE，∴△DFC∽△EFB，∴＝，即＝．又∵AB＝DC，∴＝．【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）利用“兩角對應(yīng)相等，兩個三角形相似”證出△BDF∽△BCD；（2）牢記相似三角形對應(yīng)邊的比相等．25．（6分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，函數(shù)y＝（x＞0）的圖象G經(jīng)過點A（3，2），直線l：y＝kx﹣1（k≠0）與y軸交于點B，與圖象G交于點C．（1）求m的值；（2）橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點叫做整點．記圖象G在點A，C之間的部分與線段BA，BC圍成的區(qū)域（不含邊界）為W．①當(dāng)直線l過點（2，0）時，直接寫出區(qū)域W內(nèi)的整點個數(shù)；②若區(qū)域W內(nèi)的整點不少于3個，結(jié)合函數(shù)圖象，求k的取值范圍．【分析】（1）把A（3，2）代入y＝中可得k的值；（2）①將（2，0）代入y＝kx﹣1可得：直線解析式為y＝x﹣1，畫圖可得整點的個數(shù)；②分兩種情況：直線l在OA的下方和上方，畫圖計算邊界時k的值，可得k的取值．【解答】解：（1）把A（3，2）代入y＝得m＝3×2＝6；∴m的值為6；（2）①當(dāng)直線l過點（2，0）時，∴2k﹣1＝0，解得：k＝，∴直線l的解析式為y＝x﹣1，畫出圖形，如圖所示，區(qū)域W內(nèi)的整點有（3，1）一個；②如圖，直線l在AB的下方，直線l：y＝kx﹣1過（2，0）時，0＝2k﹣1，解得k＝，當(dāng)直線l在OA的上方，直線l經(jīng)過（1，2）時，2＝k﹣1，解得k＝3，觀察圖象可知：當(dāng)或k＞3，區(qū)域W內(nèi)的整點不少于3個．【點評】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，本題理解整點的定義是關(guān)鍵，并利用數(shù)形結(jié)合的思想．26．（6分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線y＝﹣x+3與x軸，y軸分別交于點A，B，拋物線y＝ax2+bx﹣3a經(jīng)過點A，將點B向右平移5個單位長度，得到點C．（1）求C點坐標(biāo)；（2）求拋物線對稱軸；（3）若拋物線與線段BC有一個公共點，結(jié)合圖象，求a的取值范圍．【分析】（1）根據(jù)坐標(biāo)軸上點的坐標(biāo)特征可求點B的坐標(biāo)，根據(jù)平移的性質(zhì)可求點C的坐標(biāo)；（2）根據(jù)坐標(biāo)軸上點的坐標(biāo)特征可求點A的坐標(biāo)，進(jìn)一步求得拋物線的對稱軸；（3）結(jié)合圖形，分三種情況：①a＞0；②a＜0，③拋物線的頂點在線段BC上；進(jìn)行討論即可求解．【解答】解：（1）與y軸交點：令x＝0代入直線y＝﹣x+3得y＝3，∴B（0，3），∵點B向右平移5個單位長度，得到點C，∴C（5，3）（2）與x軸交點：令y＝0代入直線y＝﹣x+3得x＝3，∴A（3，0），將點A（3，0）代入拋物線y＝ax2+bx﹣3a中得0＝9a+3b﹣3a，即b＝﹣2a，∴拋物線的對稱軸直線；（3）∵拋物線y＝ax2+bx﹣3a經(jīng)過點A（3，0）且對稱軸x＝1，由拋物線的對稱性可知拋物線也一定過A的對稱點（﹣1，0），①a＞0時，如圖1，將x＝0代入拋物線得y＝﹣3a，∵拋物線與線段BC恰有一個公共點，∴﹣3a＜3，∴a＞﹣1，將x＝5代入拋物線得y＝12a，∴12a≥3，解得a≥∴a≥；②a＜0時，如圖2，將x＝0代入拋物線得y＝﹣3a，∵拋物線與線段BC恰有一個公共點，∴﹣3a＞3，解得a＜﹣1；③當(dāng)拋物線的頂點在線段BC上時，則頂點為（1，3），如圖3，將點（1，3）代入拋物線得3＝a﹣2a﹣3a，解得a＝﹣．綜上所述，a≥或a＜﹣1或a＝﹣．【點評】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)以及解一元一次不等式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握解一元一次方程，待定系數(shù)法求拋物線解析式．本題屬于中檔題，難度不大，但涉及知識點較多，需要對二次函數(shù)足夠了解才能快捷的解決問題．27．（7分）已知如圖，等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α（α＞90°），F(xiàn)為BC中點，D為BC延長線上一點，以點A為中心，將線段AD逆時針旋轉(zhuǎn)α得到線段AE，連接CE，DE．（1）補全圖形并比較∠BAD和∠CAE的大??；（2）用等式表示CE，CD，BF之間的關(guān)系，并證明；（3）過F作AC的垂線，并延長交DE于點H，求EH和DH之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【分析】（1）根據(jù)題意補全圖形即可，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知∠BAC＝∠DAE，即∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即得出∠BAD＝∠CAE；（2）由旋轉(zhuǎn)可知AD＝AE，即可利用“SAS”證明△BAD≌△CAE，得出BD＝CE．再由點F為BC中點，即可得出CE﹣CD＝2BF．（3）連接AF，作AN⊥DE，由等腰三角形“三線合一”可知∠AFD＝90°，．即得出∠AFD+∠AND＝180°，說明A、F、D、N四點共圓．再根據(jù)圓周角定理可知∠AFN＝∠ADN．再次利用等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)可知EN＝DN，．即得出∠AFN+∠FAC＝90°．再由∠AFH+∠FAC＝90°，即可說明點H與點N重合，即得出結(jié)論EH＝DH．【解答】解：（1）如圖，即為補全的圖形，根據(jù)題意可知∠BAC＝∠DAE＝α，∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE．（2）由旋轉(zhuǎn)可知AD＝AE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE．∵BD＝BC+CD，∴CE＝BC+CD．∵點F為BC中點，∴BC＝2BF，∴CE＝2BF+CD，即CE﹣CD＝2BF．（3）如圖，連接AF，作AN⊥DE，∵AB＝AC，F(xiàn)為BC中點，∴∠AFD＝90°，．根據(jù)作圖可知∠AND＝90°，∴∠AFD+∠AND＝180°，∴A、F、D、N四點共圓，∴∠AFN＝∠ADN．∵AD＝AE，AN⊥DE，∴EN＝DN，．∴．∵∠AFH+∠FAC＝90°，且點H在線段DE上，∴點H與點N重合，∴EH＝DH．【點評】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，四點共圓，圓周角定理等知識，較難．利用數(shù)形結(jié)合的思想是解答本題的關(guān)鍵．28．（7分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對于線段AB和點C，若△ABC是以AB為一條直角邊，且滿足AC＞AB的直角三角形，則稱點C為線段AB的“關(guān)聯(lián)點”，已知點A的坐標(biāo)為（0，1）．（1）若B（2，1），則點D（3，1），E（2，0），F(xiàn)（0，﹣3），G（﹣1，﹣2）中，是AB關(guān)聯(lián)點的有點E，點F；（2）若點B（﹣1，0），點P在直線y＝2x﹣3上，且點P為線段AB的關(guān)聯(lián)點，求點P的坐標(biāo)；（3）若點B（b，0）為x軸上一動點，在直線y＝2x+2上存在兩個AB的關(guān)聯(lián)點，求b的取值范圍．【分析】（1）根據(jù)以點B為直角頂點，點B與點E橫坐標(biāo)相同，點E在過點B與AB垂直的直線上，△ABE為直角三角形，且AE大于AB；以點A為直角頂點，點A與點F橫坐標(biāo)相同，△AFB為直角三角形，BF大于AB即可；（2）根據(jù)點A（0，1）點B（﹣1，0），OA＝OB，∠AOB＝90°，得出△AOB為等腰直角三角形，可得∠ABO＝∠BAO＝45°，以點A為直角頂點，過點A，與AB垂