2022-2023學(xué)年北京市朝陽區(qū)陳經(jīng)綸中學(xué)八年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷【含解析】

第1頁（共1頁）2022-2023學(xué)年北京市朝陽區(qū)陳經(jīng)綸中學(xué)八年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（共30分，每題3分）第1-10題均有四個選項，其中符合題意的選項只有一個．請將選擇題答案填寫在答題卡的表格中．1．（3分）下列圖形中不是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．2．（3分）點M（1，2）關(guān)于x軸對稱點的坐標為（）A．（﹣1，2） B．（﹣1，﹣2） C．（2，﹣1） D．（1，﹣2）3．（3分）用三角板作△ABC的邊BC上的高，下列三角板的擺放位置正確的是（）A． B． C． D．4．（3分）如圖，為了估計池塘岸邊A，B兩點間的距離，小玥同學(xué)在池塘一側(cè)選取一點O，測得OA＝12米，OB＝7米，則A，B間的距離不可能是（）A．5米 B．7.5米 C．10米 D．18.9米5．（3分）一個多邊形的內(nèi)角和是外角和的2倍，這個多邊形是（）A．四邊形 B．五邊形 C．六邊形 D．八邊形6．（3分）如圖，△ABC≌△DEF，DF和AC，F(xiàn)E和CB是對應(yīng)邊．若∠A＝100°，∠F＝47°，則∠DEF等于（）A．100° B．53° C．47° D．33°7．（3分）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于點D，點E為AB的中點，若AB＝12，CD＝3，則△DBE的面積為（）A．10 B．12 C．9 D．68．（3分）如圖，正方形紙片ABCD：①先對折使AB與CD重合，得到折痕EF；②折疊紙片，使得點A落在EF的點H上，沿BH和CH剪下△BCH．則判定△BCH為等邊三角形的依據(jù)是（）A．三個角都相等的三角形是等邊三角形 B．有兩個角是60°的三角形是等邊三角形 C．三邊都相等的三角形是等邊三角形 D．有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形9．（3分）如圖，網(wǎng)格中的每個小正方形邊長均為1，△ABC的頂點均落在格點上，若點A的坐標為（﹣2，﹣1），則到△ABC三個頂點距離相等的點的坐標為（）A．（0，1） B．（1，0） C．（0，0） D．（1，﹣1）10．（3分）老師布置的作業(yè)中有這么一道題：如圖，在△ABC中，D為BC的中點，若AC＝3，AD＝4．則AB的長不可能是（）A.5B.7C.8D.9甲同學(xué)認為AB，AC，AD這條三邊不在同一個三角形中，無法解答，老師給的題目有錯誤．乙同學(xué)認為可以從中點D出發(fā)，構(gòu)造輔助線，利用全等的知識解決．丙同學(xué)認為可以從點C作平行線，構(gòu)造輔助線，利用全等的知識解決．你認為正確的是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．乙和丙二、填空題（共24分，每題3分）11．（3分）蓋房子時，在窗框未安裝好之前，木工師傅常常先在窗框上斜釘一根木條，使窗框不變形，這樣做的數(shù)學(xué)原理是°12．（3分）等腰三角形的兩邊長為4和6，則此等腰三角形的周長為．13．（3分）如圖，點A、E、B、F在同一條直線上，AC∥DF，AC＝DF，要使△ABC≌△FED，則可以補充一個條件：．14．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，BD為∠ABC的平分線，則∠BDC＝．15．（3分）如圖，在三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點D，∠B＝30°，且AD＝1，那么BD＝．16．（3分）如圖，△ABC中，DE、FG分別是AB、AC的垂直平分線，BC＝4cm，∠BAC＝100°．則△ADF的周長是cm，∠DAF＝°．17．（3分）如圖，∠A＝∠B，AB＝60，E，F(xiàn)分別為線段AB和射線BD上的一點，若點E從點B出發(fā)向點A運動，同時點F從點B出發(fā)沿射線BD運動，二者速度之比為3：7，當(dāng)點E運動到點A時，兩點同時停止運動．在射線AC上取一點G，使△AEG與△BEF全等，則AG的長為．18．（3分）如圖，等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥DC于D，點O是線段AD上一點，點P是BA延長線上一點，若OP＝OC，則下列結(jié)論：①∠APO+∠DCO＝30°；②∠APO＝∠DCO；③△POC是等邊三角形；④AB＝OA+AP．其中正確的是．三、解答題（共46分，第19題4分，第20-25題，每題5分，第26，27題，每題6分）19．（4分）如圖，已知∠BAD＝∠CAE，AB＝AD，AC＝AE．求證：∠B＝∠D．20．（5分）如圖，AD平分∠CAE，∠B＝30°，∠CAE＝144°，求∠ADB與∠ACD的度數(shù)．21．（5分）已知：如圖，點B是∠MAN邊AM上的一定點（其中∠MAN＜45°），求作：△ABC，使其滿足：①點C在射線AN上，②∠ACB＝2∠A．下面是小兵設(shè)計的尺規(guī)作圖過程．作法：①作線段AB的垂直平分線l，直線l交射線AN于點D；②以點B為圓心，BD長為半徑作弧，交射線AN于另一點C；③連接BC，則△ABC即為所求三角形．根據(jù)小兵設(shè)計的尺規(guī)作圖過程，（1）使用直尺和圓規(guī)，補全圖形；（保留作圖痕跡）（2）完成下面的證明．證明：∵直線l為線段AB的垂直平分線，∴AD＝BD（），（填推理的依據(jù)）∴∠A＝∠，∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝2∠A；∵BC＝BD，∴∠ACB＝∠BDC（），（填推理的依據(jù)）∴∠ACB＝2∠A．22．（5分）如圖，在△ABC中，D是邊AB上一點，E是邊AC的中點，作CF∥AB交DE的延長線于點F．若∠B＝∠ACB，CE＝5，CF＝7，求DB的長．23．（5分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線l是第一、三象限的角平分線．已知△ABC的三個頂點坐標分別為A（3，0），B（5，3），C（6，1）．（1）若△ABC與△A'B'C'關(guān)于y軸對稱，畫出△A'B'C'；（2）若直線l上存在點P，使AP+BP最小，則點P的坐標為，AP+BP的最小值為．24．（5分）在學(xué)習(xí)完全等三角形及軸對稱的知識后，小明經(jīng)過思考得出猜想：“如果一個三角形一邊上的中點到另兩條邊的距離相等，那么這個三角形是等腰三角形”．老師說小明的猜想是正確的．請你幫助小明完成以上猜想的證明．已知：求證：證明：25．（5分）如圖，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD⊥BC，垂足為D，判斷AB、CD和BD這三條線段的數(shù)量關(guān)系（用等式表示），并證明．26．（6分）在平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為（0，3），點B在x軸上，過點B作BC⊥AB，且BC＝AB．這樣得到的點C稱為點A關(guān)于點B的“伴隨點”．（1）如圖1，當(dāng)點B的坐標為（1，0）時，請在圖中畫出點A關(guān)于點B的“伴隨點”，并寫出“伴隨點”的坐標：；（2）在下列各點中：①（2，﹣1），②（﹣3，﹣1），③（5，2），能成為點A關(guān)于點B的“伴隨點”的是（填序號）；（3）若點B坐標為（a，0），直接寫出點A關(guān)于點B的“伴隨點”的坐標（用a表示）．27．（6分）在△ABC中，∠ABC為銳角，AB＝5，BC＝3，作外角∠PBA的平分線MB，在MB上找一點D，使得DC＝DA，過點D作DE⊥BP交于點E．（1）在圖1中，依題意補全圖形；（2）直接寫出BE的值；（3）如圖2，當(dāng)∠ABC為鈍角時，猜想AB，BC，BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

2022-2023學(xué)年北京市朝陽區(qū)陳經(jīng)綸中學(xué)八年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（共30分，每題3分）第1-10題均有四個選項，其中符合題意的選項只有一個．請將選擇題答案填寫在答題卡的表格中．1．（3分）下列圖形中不是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)軸對稱圖形的定義進行判斷即可．【解答】解：根據(jù)軸對稱圖形的定義：軸對稱圖形沿一條直線對折兩邊能夠完全重合可知，選項A、B、D中的圖形都是軸對稱圖形，只有選項C中的圖形不是軸對稱圖形，符合題意．故選：C．【點評】本題考查了軸對稱圖形的識別，掌握軸對稱圖形的定義是解題的關(guān)鍵．2．（3分）點M（1，2）關(guān)于x軸對稱點的坐標為（）A．（﹣1，2） B．（﹣1，﹣2） C．（2，﹣1） D．（1，﹣2）【分析】兩點關(guān)于x軸對稱，那么讓橫坐標不變，縱坐標互為相反數(shù)即可．【解答】解：∵2的相反數(shù)是﹣2，∴點M（1，2）關(guān)于x軸對稱點的坐標為（1，﹣2）．故選：D．【點評】本題考查兩點關(guān)于x軸對稱的坐標的特點：橫坐標不變，縱坐標互為相反數(shù)．3．（3分）用三角板作△ABC的邊BC上的高，下列三角板的擺放位置正確的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)高線的定義即可得出結(jié)論．【解答】解：B，C，D都不是△ABC的邊BC上的高，故選：A．【點評】本題考查的是作圖﹣基本作圖，熟知三角形高線的定義是解答此題的關(guān)鍵．4．（3分）如圖，為了估計池塘岸邊A，B兩點間的距離，小玥同學(xué)在池塘一側(cè)選取一點O，測得OA＝12米，OB＝7米，則A，B間的距離不可能是（）A．5米 B．7.5米 C．10米 D．18.9米【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理三角形兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊差小于第三邊可得12﹣7＜AB＜12+7，計算出AB的取值范圍可得答案．【解答】解：連接AB，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得12﹣7＜AB＜12+7，即5＜AB＜19，故選：A．【點評】此題主要考查了三角形的三邊關(guān)系，關(guān)鍵是掌握第三邊的范圍是：大于已知的兩邊的差，而小于兩邊的和．5．（3分）一個多邊形的內(nèi)角和是外角和的2倍，這個多邊形是（）A．四邊形 B．五邊形 C．六邊形 D．八邊形【分析】此題可以利用多邊形的外角和和內(nèi)角和定理求解．【解答】解：設(shè)所求多邊形邊數(shù)為n，由題意得（n﹣2）?180°＝360°×2解得n＝6．則這個多邊形是六邊形．故選：C．【點評】本題考查多邊形的內(nèi)角和與外角和、方程的思想．關(guān)鍵是記住內(nèi)角和的公式與外角和的特征：任何多邊形的外角和都等于360°，n邊形的內(nèi)角和為（n﹣2）?180°．6．（3分）如圖，△ABC≌△DEF，DF和AC，F(xiàn)E和CB是對應(yīng)邊．若∠A＝100°，∠F＝47°，則∠DEF等于（）A．100° B．53° C．47° D．33°【分析】根據(jù)全等三角形的對應(yīng)角相等、三角形的內(nèi)角和是180度來解答．【解答】解：∵△ABC≌△DEF，DF和AC，F(xiàn)E和CB是對應(yīng)邊，∴∠A＝∠FDE，又∵∠A＝100°，∴∠FDE＝100°；∵∠F＝47°，∠FDE+∠F+∠DEF＝180°，∴∠DEF＝180°﹣∠F﹣∠FDE＝180°﹣47°﹣100°＝33°；故選：D．【點評】本題主要考查的是全等三角形的對應(yīng)角相等，以及三角形的內(nèi)角和定理．根據(jù)相等關(guān)系，把已知條件轉(zhuǎn)到同一個三角形中然后利用三角形的內(nèi)角和來求解是解決這類問題常用的方法．7．（3分）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于點D，點E為AB的中點，若AB＝12，CD＝3，則△DBE的面積為（）A．10 B．12 C．9 D．6【分析】過D作DF⊥AB于F，由角平分線的性質(zhì)求出DF，根據(jù)三角形的面積公式即可求出△DBE的面積．【解答】解：過D作DF⊥AB于F，∵∠C＝90°，∴DC⊥BC，∵BD平分∠ABC，CD＝3，∴DF＝CD＝3，∵點E為AB的中點，AB＝12，∴BE＝6，∴△DBE的面積＝BE?DF＝×6×3＝9，故選：C．【點評】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，三角形的面積公式，掌握角平分線上的點到角兩邊的距離相等是解決問題的關(guān)鍵．8．（3分）如圖，正方形紙片ABCD：①先對折使AB與CD重合，得到折痕EF；②折疊紙片，使得點A落在EF的點H上，沿BH和CH剪下△BCH．則判定△BCH為等邊三角形的依據(jù)是（）A．三個角都相等的三角形是等邊三角形 B．有兩個角是60°的三角形是等邊三角形 C．三邊都相等的三角形是等邊三角形 D．有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)，翻折變換的性質(zhì)可得BH＝BC，因為EF是BC的垂直平分線，利用垂直平分線的性質(zhì)，可得BH＝CH，又根據(jù)折疊的性質(zhì)可知BH＝AB，故BH＝CH＝BC，因此是正三角形．【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝DA，由翻折變換可得，AB＝HB，∴BH＝BC，∵EF是BC的垂直平分線，∴BH＝CH，∴BH＝CH＝BC，∴△BHC是正三角形，故選：C．【點評】本題考查翻折變換，直角三角形的邊角關(guān)系以及等腰三角形的判定，掌握正三角形的判定方法是正確解答的關(guān)鍵．9．（3分）如圖，網(wǎng)格中的每個小正方形邊長均為1，△ABC的頂點均落在格點上，若點A的坐標為（﹣2，﹣1），則到△ABC三個頂點距離相等的點的坐標為（）A．（0，1） B．（1，0） C．（0，0） D．（1，﹣1）【分析】到△ABC三個頂點距離相等的點是AB與AC的垂直平分線的交點，進而得出其坐標．【解答】解：平面直角坐標系如圖所示，AB與AC的垂直平分線的交點為點O，∴到△ABC三個頂點距離相等的點的坐標為（0，0），故選：C．【點評】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，線段垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等．10．（3分）老師布置的作業(yè)中有這么一道題：如圖，在△ABC中，D為BC的中點，若AC＝3，AD＝4．則AB的長不可能是（）A.5B.7C.8D.9甲同學(xué)認為AB，AC，AD這條三邊不在同一個三角形中，無法解答，老師給的題目有錯誤．乙同學(xué)認為可以從中點D出發(fā)，構(gòu)造輔助線，利用全等的知識解決．丙同學(xué)認為可以從點C作平行線，構(gòu)造輔助線，利用全等的知識解決．你認為正確的是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．乙和丙【分析】延長AD到E使得AD＝ED＝4，利用倍長中線模型證明△ABD≌△ECD（SAS）得到AB＝EC，再由三角形三邊的關(guān)系即可判斷乙同學(xué)的說法；過C作CE∥AB交AD的延長線于E，證明△ABD≌△ECD（AAS），得AB＝EC，AD＝ED＝4，再由三角形三邊的關(guān)系即可判斷丙同學(xué)的說法．【解答】解：如圖，延長AD到E，使得ED＝AD＝4，則AE＝2AD＝8，延長AD到E使得AD＝ED＝4，∵D是BC的中點，∴BD＝CD，在△ABD和△ECD中，，∴△ABD≌△ECD（SAS），∴AB＝EC，在△ACE中，AE﹣AC＜EC＜AE+AC，即8﹣3＜EC＜8+3，∴5＜EC＜11，∴5＜AB＜11，∴AB的長不可能是5；過C作CE∥AB交AD的延長線于E，則∠BAD＝∠E，∵D是BC的中點，∴BD＝CD，在△ABD和△ECD中，，∴△ABD≌△ECD（AAS），∴AB＝EC，AD＝ED＝4，∴AE＝2AD＝8，在△ACE中，AE﹣AC＜EC＜AE+AC，即8﹣3＜EC＜8+3，∴5＜EC＜11，∴5＜AB＜11，∴AB的長不可能是5；綜上所述，甲說法錯誤，乙和丙說法正確．故選：D．【點評】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)以及三角形三邊的關(guān)系等知識，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．二、填空題（共24分，每題3分）11．（3分）蓋房子時，在窗框未安裝好之前，木工師傅常常先在窗框上斜釘一根木條，使窗框不變形，這樣做的數(shù)學(xué)原理是三角形的穩(wěn)定性°【分析】用木條固定矩形門框，即是組成三角形，故可用三角形的穩(wěn)定性解釋．【解答】解：加上木條后，原不穩(wěn)定的四邊形中具有了穩(wěn)定的三角形，故這種做法根據(jù)的是三角形的穩(wěn)定性．故答案為：三角形的穩(wěn)定性．【點評】本題考查三角形穩(wěn)定性的實際應(yīng)用．三角形的穩(wěn)定性在實際生活中有著廣泛的應(yīng)用，如鋼架橋、房屋架梁等，因此要使一些圖形具有穩(wěn)定的結(jié)構(gòu)，往往通過連接輔助線轉(zhuǎn)化為三角形而獲得．12．（3分）等腰三角形的兩邊長為4和6，則此等腰三角形的周長為14或16．【分析】分腰長為4和腰長為6兩種情況，再結(jié)合三角形三邊關(guān)系進行驗證，再求其周長即可．【解答】解：當(dāng)腰為4時，則三角形的三邊為4、4、6，滿足三角形三邊關(guān)系，此時三角形的周長為14；當(dāng)腰為6時，則三角形的三邊為6、6、4，滿足三角形三邊關(guān)系，此時三角形的周長為16；綜上可知該等腰三角形的周長為14或16．故答案為：14或16．【點評】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，掌握等腰三角形的兩腰相等是解題的關(guān)鍵，注意分類討論．13．（3分）如圖，點A、E、B、F在同一條直線上，AC∥DF，AC＝DF，要使△ABC≌△FED，則可以補充一個條件：AB＝EF．【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)，由AC∥DF，得∠A＝∠F，從而解決此題．【解答】解：補充條件：AB＝EF．∵AC∥DF，∴∠A＝∠F．在△ABC和△FED中，，∴△ABC≌△FED（SAS）．故答案為：AB＝EF．【點評】本題主要考查全等三角形的判定、平行線的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定、平行線的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．14．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，BD為∠ABC的平分線，則∠BDC＝75°．【分析】由AB＝AC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠ABC＝∠C，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠ABC＝∠C＝（180°﹣40°）÷2＝70°，然后利用角平分線的定義求出∠DBC，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可求出∠BDC．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵∠A＝40°，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣40°）÷2＝70°，而BD為∠ABC的平分線，∴∠DBC＝×70°＝35°，∴∠BDC＝180°﹣70°﹣35°＝75°．故答案為75°．【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)：等腰三角形的兩底角相等．也考查了三角形的內(nèi)角和定理．15．（3分）如圖，在三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點D，∠B＝30°，且AD＝1，那么BD＝3．【分析】利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)求解AB的長，再利用BD＝AB﹣AD計算可求解．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴AB＝2AC，∠A＝90°﹣30°＝60°，∵CD⊥AB，∴∠ACD＝90°﹣60°＝30°，∴AC＝2AD，∴AB＝4AD，∵AD＝1，∴AB＝4，∴BD＝AB﹣AD＝4﹣1＝3．故答案為：3．【點評】本題主要考查含30°角的直角三角形的性質(zhì)，求解AB的長是解題的關(guān)鍵．16．（3分）如圖，△ABC中，DE、FG分別是AB、AC的垂直平分線，BC＝4cm，∠BAC＝100°．則△ADF的周長是4cm，∠DAF＝20°．【分析】由在△ABC中，DE、FG分別為AB、AC的垂直平分線，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，可得AD＝BD，AF＝CF，繼而求得∠BAD＝∠B，∠CAF＝∠C，又由∠BAC＝110°，即可求得∠B+∠C，則可得∠BAD+∠CAF的度數(shù)，繼而求得∠DAF；由AD＝BD，AF＝CF，即可得△ADF的周長＝BC．【解答】解：∵在△ABC中，DE、FG分別為AB、AC的垂直平分線，∴AD＝BD，AF＝CF，∴∠BAD＝∠B，∠CAF＝∠C，∵∠BAC＝100°，∴∠B+∠C＝80°，∴∠BAD+∠CAF＝80°，∴∠DAF＝∠BAC﹣（∠BAD+∠CAF）＝20°，∴△ADF的周長＝AD+DF+AF＝BD+DF+CF＝BC＝4cm，故答案為：4，20．【點評】此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)．掌握線段垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等是解決問題的關(guān)鍵．17．（3分）如圖，∠A＝∠B，AB＝60，E，F(xiàn)分別為線段AB和射線BD上的一點，若點E從點B出發(fā)向點A運動，同時點F從點B出發(fā)沿射線BD運動，二者速度之比為3：7，當(dāng)點E運動到點A時，兩點同時停止運動．在射線AC上取一點G，使△AEG與△BEF全等，則AG的長為18或70．【分析】設(shè)BE＝3t，則BF＝7t，使△AEG與△BEF全等，由∠A＝∠B可知，分兩種情況：情況一：當(dāng)BE＝AG，BF＝AE時，列方程解得t，可得AG；情況二：當(dāng)BE＝AE，BF＝AG時，列方程解得t，可得AG．【解答】解：設(shè)BE＝3t，則BF＝7t，因為∠A＝∠B，使△AEG與△BEF全等，可分兩種情況：情況一：當(dāng)BE＝AG，BF＝AE時，∵BF＝AE，AB＝60，∴7t＝60﹣3t，解得：t＝6，∴AG＝BE＝3t＝3×6＝18；情況二：當(dāng)BE＝AE，BF＝AG時，∵BE＝AE，AB＝60，∴3t＝60﹣3t，解得：t＝10，∴AG＝BF＝7t＝7×10＝70，綜上所述，AG＝18或AG＝70．故答案為：18或70．【點評】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，利用分類討論思想是解答此題的關(guān)鍵．18．（3分）如圖，等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥DC于D，點O是線段AD上一點，點P是BA延長線上一點，若OP＝OC，則下列結(jié)論：①∠APO+∠DCO＝30°；②∠APO＝∠DCO；③△POC是等邊三角形；④AB＝OA+AP．其中正確的是①③④．【分析】①利用等邊對等角得：∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，則∠APO+∠DCO＝∠ABO+∠DBO＝∠ABD，據(jù)此即可求解；②因為點O是線段AD上一點，所以BO不一定是∠ABD的角平分線，可作判斷；③證明∠POC＝60°且OP＝OC，即可證得△OPC是等邊三角形；④證明△OPA≌△CPE，則AO＝CE，得AC＝AE+CE＝AO+AP．【解答】解：①如圖1，連接OB，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∠BAD＝∠BAC＝×120°＝60°，∴OB＝OC，∠ABC＝90°﹣∠BAD＝30°∵OP＝OC，∴OB＝OC＝OP，∴∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，∴∠APO+∠DCO＝∠ABO+∠DBO＝∠ABD＝30°，故①正確；②由①知：∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，∵點O是線段AD上一點，∴∠ABO與∠DBO不一定相等，則∠APO與∠DCO不一定相等，故②不正確；③∵∠APC+∠DCP+∠PBC＝180°，∴∠APC+∠DCP＝150°，∵∠APO+∠DCO＝30°，∴∠OPC+∠OCP＝120°，∴∠POC＝180°﹣（∠OPC+∠OCP）＝60°，∵OP＝OC，∴△OPC是等邊三角形，故③正確；④如圖2，在AC上截取AE＝PA，∵∠PAE＝180°﹣∠BAC＝60°，∴△APE是等邊三角形，∴∠PEA＝∠APE＝60°，PE＝PA，∴∠APO+∠OPE＝60°，∵∠OPE+∠CPE＝∠CPO＝60°，∴∠APO＝∠CPE，∵OP＝CP，在△OPA和△CPE中，，∴△OPA≌△CPE（SAS），∴AO＝CE，∴AC＝AE+CE＝AO+AP，∴AB＝AO+AP，故④正確；故答案為：①③④．【點評】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識，正確作出輔助線是解決問題的關(guān)鍵．三、解答題（共46分，第19題4分，第20-25題，每題5分，第26，27題，每題6分）19．（4分）如圖，已知∠BAD＝∠CAE，AB＝AD，AC＝AE．求證：∠B＝∠D．【分析】利用SAS判定△ABC≌△ADE，再根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等，即可證得∠B＝∠D．【解答】證明：∵∠BAD＝∠CAE，∴∠BAC＝∠DAE．∵AB＝AD，AC＝AE，∴△ABC≌△ADE（SAS）．∴∠B＝∠D．【點評】本題考查三角形全等的判定與性質(zhì)，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應(yīng)相等時，角必須是兩邊的夾角．20．（5分）如圖，AD平分∠CAE，∠B＝30°，∠CAE＝144°，求∠ADB與∠ACD的度數(shù)．【分析】根據(jù)角平分線的定義，由AD平分∠CAE，得∠EAD＝＝72°．根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，得∠EAD＝∠B+∠ADB，故∠ADB＝∠EAD﹣∠B＝42°．根據(jù)平角的定義，得∠CAE＝144°，那么∠BAC＝180°﹣∠CAE＝36°．根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，得∠ACD＝∠B+∠BAC＝30°+36°＝66°．【解答】解：∵AD平分∠CAE，∴∠EAD＝＝＝72°．∵∠EAD＝∠B+∠ADB，∴∠ADB＝∠EAD﹣∠B＝72°﹣30°＝42°．∵∠CAE＝144°，∴∠BAC＝180°﹣∠CAE＝36°．∴∠ACD＝∠B+∠BAC＝30°+36°＝66°．【點評】本題主要考查角平分線的定義、三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握角平分線的定義、三角形外角的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．21．（5分）已知：如圖，點B是∠MAN邊AM上的一定點（其中∠MAN＜45°），求作：△ABC，使其滿足：①點C在射線AN上，②∠ACB＝2∠A．下面是小兵設(shè)計的尺規(guī)作圖過程．作法：①作線段AB的垂直平分線l，直線l交射線AN于點D；②以點B為圓心，BD長為半徑作弧，交射線AN于另一點C；③連接BC，則△ABC即為所求三角形．根據(jù)小兵設(shè)計的尺規(guī)作圖過程，（1）使用直尺和圓規(guī)，補全圖形；（保留作圖痕跡）（2）完成下面的證明．證明：∵直線l為線段AB的垂直平分線，∴AD＝BD（線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點距離相等），（填推理的依據(jù)）∴∠A＝∠ABD，∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝2∠A；∵BC＝BD，∴∠ACB＝∠BDC（等邊對等角），（填推理的依據(jù)）∴∠ACB＝2∠A．【分析】（1）根據(jù)要求作出圖形即可．（2）利用線段的垂直平分線的性質(zhì)，以及等腰三角形的性質(zhì)解決問題即可．【解答】解：（1）如圖，△ABC即為所求．（2）∵直線l為線段AB的垂直平分線，∴AD＝BD（線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點距離相等），∴∠A＝∠ABD，∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝2∠A，∵BC＝BD，∴∠ACB＝∠BDC（等邊對等角），∴∠ACB＝2∠A．故答案為：線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點距離相等，∠ABD，等邊對等角．【點評】本題考查作圖﹣復(fù)雜作圖，線段的垂直平分線，等腰三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握五種基本作圖，屬于中考?？碱}型．22．（5分）如圖，在△ABC中，D是邊AB上一點，E是邊AC的中點，作CF∥AB交DE的延長線于點F．若∠B＝∠ACB，CE＝5，CF＝7，求DB的長．【分析】由ASA證△ADE≌△CFE，得CF＝AD＝7，再證AB＝AC＝10，即可得出結(jié)論．【解答】解：∵E是邊AC的中點，∴AE＝CE＝5，∴AC＝2CE＝10，∵CF∥AB，∴∠A＝∠FCE，在△ADE與△CFE中，，∴△ADE≌△CFE（ASA），∴CF＝AD＝7，又∵∠B＝∠ACB，∴AB＝AC＝10，∴DB＝AB﹣AD＝10﹣7＝3．【點評】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)等知識，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型．23．（5分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線l是第一、三象限的角平分線．已知△ABC的三個頂點坐標分別為A（3，0），B（5，3），C（6，1）．（1）若△ABC與△A'B'C'關(guān)于y軸對稱，畫出△A'B'C'；（2）若直線l上存在點P，使AP+BP最小，則點P的坐標為（3，3），AP+BP的最小值為5．【分析】（1）利用軸對稱的性質(zhì)分別作出A，B，C的對應(yīng)點A′，B′，C′即可；（2）作點B關(guān)于直線l的對稱點B″，連接AB″交直線l于點P，連接PB，此時PA+PB的值最小，最小值為線段AB″的長．【解答】解：（1）如圖，△A'B'C'即為所求；（2）如圖，點P即為所求．P（3，3），最小值為5，故答案為：（3，3），5．【點評】本題考查作圖﹣軸對稱變換，軸對稱最短問題等知識，解題的關(guān)鍵學(xué)會利用軸對稱解決最短問題，屬于中考?？碱}型．24．（5分）在學(xué)習(xí)完全等三角形及軸對稱的知識后，小明經(jīng)過思考得出猜想：“如果一個三角形一邊上的中點到另兩條邊的距離相等，那么這個三角形是等腰三角形”．老師說小明的猜想是正確的．請你幫助小明完成以上猜想的證明．已知：求證：證明：【分析】根據(jù)題意寫出已知，求證，然后根據(jù)題意，作出合適的輔助線，再根據(jù)HL可以證明Rt△DEB≌Rt△DFC，從而可以得到∠B＝∠C，再根據(jù)等角對等邊得到AB＝AC，從而可以判段△ABC的形狀．【解答】已知：在△ABC中，點D為BC的中點，點D到邊AB和AC的距離相等，求證：△ABC是等腰三角形．證明：作DE⊥AB于點E，作DF⊥AC于點F，則∠DEB＝∠DFC，由題意可得，BD＝CD，DE＝DE，在Rt△DEB和Rt△DFC中，，∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），∴∠B＝∠C，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形．【點評】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，寫出已知、求證和證明過程．25．（5分）如圖，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD⊥BC，垂足為D，判斷AB、CD和BD這三條線段的數(shù)量關(guān)系（用等式表示），并證明．【分析】在CDC截取DH＝DB，連接AH，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AB＝AH，即可證得∠AHB＝∠B，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)證得∠HAC＝∠C，即可證得AH＝CH，從而證得AB+BD＝CH+DH＝CD．【解答】解：AB+BD＝CD，證明：在CD上截取DH＝DB，連接AH，∵AD⊥BC，∴AB＝AH，∴∠AHB＝∠B，∵∠B＝2∠C，∴∠AHB＝∠C，∵∠AHB＝∠C+∠HAC，∴∠HAC＝2∠C，∴AH＝CH，∴AB＝CH，∴AB+BD＝CH+DH＝CD．【點評】本題考查的是等腰三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的性