2.4 圓的方程（解析版）-2024-2025學(xué)年【暑假預(yù)習(xí)】高二數(shù)學(xué)（人教A版2019選擇性必修一）

.4圓的方程知識點一圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【【解題思路】直接法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程待定系數(shù)法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的一般步驟①設(shè)方程：設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程②列方程組：由已知條件建立a、b、r的方程組③解方程組：解出a、b、r④得圓的方程：將a、b、r代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(2)幾何法即是利用平面幾何知識，求出圓心和半徑，然后寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【例1】（24-25高二上·全國·假期作業(yè)）寫出下列圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)圓心為，半徑是；(2)圓心為，且經(jīng)過點.(3)圓心是，且過點；(4)圓心在y軸上，半徑為5，且過點；(5)過點和直線相切，并且圓心在直線上.(6)經(jīng)過點，圓心在軸上；(7)經(jīng)過直線與的交點，圓心為點.【答案】(1)(2)(3)(4)或(5)或(6)(7)【解析】（1）圓心在，半徑長是，故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）圓心在，且經(jīng)過點，故半徑為，故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（3），圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（4）設(shè)圓心為，則或，圓心為或，又，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為或.（5）圓心在上，設(shè)圓心為，設(shè)圓心到直線的距離為r.則，①又圓過點，②由①②得或圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為或.（6）設(shè)圓的方程為，由題意得：解得：，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（7）聯(lián)立與，解得：，所以交點為，則圓的半徑為，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【變式】（23-24高二上·廣東江門·期中）求滿足下列條件的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(1)圓心為，經(jīng)過點；(2)圓心在直線上，且與軸交于點，.(3)圓心為，過點；(4)與軸相交于、兩點，且半徑等于.(5)過點和點，半徑為．(6)經(jīng)過兩點，圓心在直線上．(7)圓心為，半徑；(8)圓心為，過點；(9)與軸相交于、兩點，且半徑等于．【答案】(1)(2)(3)(4)或(5)或(6)(7)(8)(9)或；【解析】（1）由兩點間的距離公式可得圓的半徑，故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）因為圓與軸交于點，，所以圓心在直線上.又圓心在直線上，所以圓心的坐標(biāo)為，所以圓的半徑，故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（3）由題意，圓的半徑為，又圓心為，所以圓方程為；（4）因為圓與軸相交于、兩點，故圓心在線段的垂直平分線上，又、，所以線段的垂直平分線為，不妨設(shè)圓心坐標(biāo)為，由半徑為且過點可得，解得；當(dāng)圓心為時，圓方程為；當(dāng)圓心為時，圓方程為；因此所求圓的方程為或.（5）設(shè)圓心坐標(biāo)為，則圓的方程為．因為是圓上的點，所以解得或，因此所求圓的方程為或．（6）（方法一）設(shè)圓心為，半徑為，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．由題意可得方程組．解此方程組，得，故所求圓的方程為．（方法二）如圖，由于圓心到點的距離相等（都等于半徑），因此圓心在的垂直平分線上，并且處于直線與直線的交點處．因為，所以是的法向量，故可設(shè)直線的方程為．①又直線過的中點，而的坐標(biāo)為，即，將其代入①式，解得．所以直線的方程為，即．圓心的坐標(biāo)是方程組的解，解此方程組，得．所以圓心的坐標(biāo)為．圓的半徑．故所求圓的方程為．（7）將圓心和半徑代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得圓的方程為；（8）易知圓的半徑為，所以圓方程為；（9）易知圓心在線段的垂直平分線上，不妨設(shè)圓心坐標(biāo)為，由半徑為可得，解得；當(dāng)圓心為時，圓方程為；當(dāng)圓心為時，圓方程為；因此所求圓的方程為或；知識點二圓的一般方程【【解題思路】圓的一般方程的辨析(1)由圓的一般方程的定義，若D2＋E2－4F>0成立，則表示圓，否則不表示圓．(2)將方程配方后，根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特征求解．【例2-1】（24-25高二上·上?！ふn堂例題）已知的三個頂點，，．那么三角形外接圓的方程是．【答案】【解析】設(shè)的外接圓方程為，則，解得，所以三角形外接圓的方程為.故答案為：【例2-2】（23-241高二上·山東泰安·階段練習(xí)）已知圓的圓心在直線上，且過點，，則圓的一般方程為.【答案】【解析】方法一：設(shè)所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由題意得:，解得：故所求圓的方程為，即.方法二：線段的中點坐標(biāo)為，即，直線的斜率為，所以線段的垂直平分線的斜率為，所以線段的垂直平分線方程為，即，由幾何性質(zhì)可知：線段的垂直平分線與的交點為圓心，聯(lián)立，得交點坐標(biāo)，又點到點的距離，即半徑為，所以圓的方程為，即.故答案為：【變式】1．（23-24高二下·湖南長沙·階段練習(xí)）過圓和的交點，且圓心在直線上的圓的方程為（

）A． B．．C． D．【答案】A【解析】由題意設(shè)所求圓的方程為，即，圓心坐標(biāo)為，代入中，即，解得，將代入中，即，滿足，故所求圓的方程為，故選：A2．（23-24高二上·浙江·期中）若直線與兩坐標(biāo)軸的交點為，則以為直徑的圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】直線與兩坐標(biāo)軸的交點為，則，則以為直徑的圓半徑為，圓心即為中點坐標(biāo)為，所以以為直徑的圓的方程為，化簡得：.故選：A3．（23-24高二上·上?！ふn后作業(yè)）求經(jīng)過、、三點的圓的方程．【答案】【解析】設(shè)過三點的圓的方程為：，則解得所求圓的方程為.知識點三圓的判斷【例3-1】（22-23高二上·遼寧錦州·期末）已知方程表示圓，則k的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意得，即，解得或，所以k的取值范圍是，故選：C.【例3-2】（23-24高二上·全國·課后作業(yè)）判斷下列方程分別表示什么圖形，如果是圓，求出它的圓心坐標(biāo)和半徑．(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)表示圓，圓心為，半徑為(2)表示點(3)表示圓，圓心為，半徑為(4)表示點【解析】（1）對于方程，，所以方程表示圓，圓心坐標(biāo)為，即，半徑為.（2）對于方程，即，.方程可化為，表示點.（3）方程，即，，所以方程表示圓，圓心坐標(biāo)為，即，半徑為.（4）方程即，故表示點.【變式】1．（2024黑龍江雙鴨山）方程x2＋y2＋4x－2y＋5m＝0表示圓的條件是（

）A．m<1 B．m>1C．m< D．<m<1【答案】A【解析】方程x2＋y2＋4x－2y＋5m＝0，標(biāo)準(zhǔn)形式，表示圓的條件是，解得．故選：A2．（22-23高二上·河北滄州·期中）若圓的面積是，則該圓的圓心坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】圓的半徑，即，，則，圓心坐標(biāo)為，即.故選：B.3．（2023高二上·全國·專題練習(xí)）下列方程各表示什么圖形？若表示圓，求出其圓心和半徑.(1).(2).(3).【答案】(1)方程表示圓，圓心為，圓的半徑2(2)方程表示一個點(3)方程不表示任何圖形【解析】（1）由方程可知：，,所以方程表示圓，又,所以圓心為，圓的半徑為.（2）由方程可知：，,所以方程表示點，又，所以方程表示的點的坐標(biāo)是.（3）原方程可化為由方程可知：，，所以該方程無實數(shù)解，方程不表示任何圖形.知識點四點與圓的位置關(guān)系【【解題思路】判斷點與圓位置關(guān)系的兩種方法(1)幾何法：主要利用點到圓心的距離與半徑比較大小．(2)代數(shù)法：把點的坐標(biāo)代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，判斷式子兩邊的大小，并作出判斷．【例4-1】（2023廣東東莞·階段練習(xí)）已知點和圓的方程，則它們的位置關(guān)系是（

）A．在圓心 B．在圓上 C．在圓內(nèi) D．在圓外【答案】D【解析】因為，所以點在圓外．故選：D．【變式】1．（2023山西晉中·期中）點與圓的位置關(guān)系為．（填“在圓上”“在圓外”“在圓內(nèi)”）【答案】在圓內(nèi)【解析】將點代入圓，可得，點在圓內(nèi)，故答案為：在圓內(nèi)2．（2024福建廈門·期中）點與圓的的位置關(guān)系是（

）A．在圓外 B．在圓內(nèi) C．在圓上 D．不確定【答案】A【解析】，因此，點在圓外.故選：A.4．（2024·全國·高二課時練習(xí)）若點（1，1）在圓的外部，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由題意可知，解得或a＞3，則實數(shù)a的取值范圍是，故選：C.知識點五與圓有關(guān)的軌跡問題【【解題思路】求與圓有關(guān)的軌跡問題的方程(1)直接法：直接根據(jù)題目提供的條件列出方程．(2)定義法：根據(jù)圓、直線等定義列方程．(3)代入法：找到要求點與已知點的關(guān)系，代入已知點滿足的關(guān)系式等．【例5】（24-25高二上·上?！ふn后作業(yè)）點與圓上任意一點連線的中點的軌跡方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】設(shè)圓上任意一點為，中點為，則，可得，代入得，化簡得．故選：D．【變式】1．（23-24高二上·吉林長春·期末）已知點，點在圓上運(yùn)動，則線段的中點的軌跡方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】設(shè)，由題意可知，所以，又因為，所以，化簡可得，所以的軌跡方程為，故選：A.2．（23-24高二上·北京大興·期中）已知圓經(jīng)過點和點，且圓心在直線上．(1)求圓的方程；(2)若線段的端點的坐標(biāo)是，端點在圓上運(yùn)動，求線段的中點的軌跡方程．【答案】(1)(2)【解析】（1）解：設(shè)圓的方程為，故圓心為，由題意得，解得，所以圓的方程為；（2）設(shè)點的坐標(biāo)是，點的坐標(biāo)是．因為點的坐標(biāo)是，且是線段的中點，所以．故．

①因為點在圓上運(yùn)動，所以點的坐標(biāo)滿足圓的方程，即．

②把①代入②，得，整理，得．【題組一圓的方程】1．（24-25高二下·全國·期末）以為圓心，為半徑的圓的方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可寫出，故選：A.2．（23-24高二下·云南昆明·階段練習(xí)）已知圓與圓關(guān)于直線對稱，則的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】圓的圓心為，圓的圓心為，所以、的中點坐標(biāo)為，又，則，所以直線的方程為，即.故選：A3．（23-24高二上·重慶萬州·期中）（多選）若，，，四點共圓，則m的值為（

）A．2 B． C． D．3【答案】AD【解析】根據(jù)題意可設(shè)圓方程為，將點，，代入可得，解得；即圓方程為，又點在圓上，所以，整理得，解得或.故選：AD4．（22-23高二上·廣東東莞·期中）求經(jīng)過點且圓心在直線上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【答案】【解析】若經(jīng)過點，，則圓心在直線上，又在直線l：上，令，則，故圓心坐標(biāo)為，半徑為，故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：.5．（23-24高一下·上?！て谀┢矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，以為圓心，且經(jīng)過原點的圓的方程為.【答案】【解析】設(shè)圓的半徑為，則圓的方程為，又圓過點，所以，所以圓的方程為.故答案為：6．（23-24高二上·全國·課后作業(yè)）寫出下列各圓的方程：(1)圓心在原點的單位圓；(2)圓心為，半徑是5；(3)圓心為，經(jīng)過點；(4)圓心在x軸上，經(jīng)過與兩點．【答案】(1)(2)(3)(4)【解析】（1）圓心為，半徑為1，圓的方程為．（2）圓心為，半徑為5，圓的方程為．（3）圓心為，半徑為，圓的方程為．（4）和兩點構(gòu)成的線段的中垂線所在的方程為，由于圓心在軸上，所以圓心為，所以半徑為，所以圓的方程為．7．（22-23高二·江蘇·課后作業(yè)）分別根據(jù)下列條件，求圓的方程：(1)過點，圓心為；(2)與兩坐標(biāo)軸都相切，且圓心在直線上；(3)過點，，且圓心在x軸上；(4)過點，和原點．【答案】(1)(2)或.(3)(4)【解析】（1）解：由題意，圓過點，圓心為，可得半徑，所以圓的方程為.（2）解：由題意，圓與兩坐標(biāo)軸都相切，且圓心在直線上，可設(shè)圓心為，則，解得或，若，則圓心為，半徑為，圓的方程為；若，則圓心為，半徑為，圓的方程為，所以圓的方程為或.（3）解：由題意，圓過點，，且圓心在x軸上可設(shè)圓心為，由，可得，解得，即圓心坐標(biāo)為，半徑為，所以圓的方程為.（4）解：由題意，圓過點，和原點，設(shè)圓的方程為，由，解得，所以圓的方程為.【題組二圓的判斷】1．（2024·全國·高二）已知“”是“”表示圓的必要不充分條件，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】若表示圓，則，解得.“”是“”表示圓的必要不充分條件，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：B2．（2023·江蘇·高二單元測試）已知方程表示的圓中，當(dāng)圓面積最小時，此時（

）A．-1 B．0 C．1 D．2【答案】B【解析】由，得，易知當(dāng)，圓的半徑最小，即圓的面積最小.故選：B3．（2024·甘肅）若方程表示一個圓，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，得，則.故選：A4．（23-24高二上·全國·課后作業(yè)）判斷下列方程分別表示什么圖形，如果是圓，求出它的圓心坐標(biāo)和半徑．(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)表示圓，圓心為,半徑(2)表示圓，圓心為,半徑(3)表示點(4)表示圓，圓心為,半徑【解析】（1）由可得,所以,故表示圓，且圓心為,半徑，（2）由可得,所以,故表示圓，且圓心為,半徑（3）由可得,所以,故表示一個點，不能表示圓，（4）由可得,所以,故表示圓，且圓心為,半徑5．（22-23高二·全國·課堂例題）下列方程是否表示圓，若表示圓，寫出圓心坐標(biāo)和半徑．(1)；(2)；(3)；(4)（）．【答案】(1)方程不表示圓(2)方程不表示圓(3)方程表示圓，圓心坐標(biāo)為，半徑(4)方程不表示圓【解析】（1）中與的系數(shù)不相同，故原方程不表示圓.（2）中含有項，故原方程不表示圓.（3）方法一：因為，所以方程表示圓，所以圓心坐標(biāo)為，即，半徑；方法二：方程可化為，所以方程表示以為圓心，為半徑的圓．（4）因為，，，則