雙休作業(yè)三 作平行線構(gòu)造相似三角形的四種常用技巧

方法技巧訓(xùn)練1作平行線構(gòu)造相似三角形的四種常用技巧第二十七章相似12345巧連線段的中點構(gòu)造相似三角形1．如圖，在△ABC中，E，F(xiàn)是邊BC的兩個三等分點，D是AC的中點，BD分別交AE，AF于點P，Q.求BP∶PQ∶QD.

1技巧解：連接DF.∵E，F(xiàn)是邊BC的兩個三等分點，∴BE＝EF＝FC.∵D是AC的中點，∴AD＝CD，DF是△ACE的中位線．∴DF∥AE，且DF＝

AE.∴DF∥PE.∴∠BEP＝∠BFD，∠BPE＝∠BDF.∴△BEP∽△BFD.∴

.∵BE＝EF，∴BF＝2BE.∴BD＝2BP，DF＝2PE.∴BP＝PD.∵DF∥AE，∴∠APQ＝∠FDQ，∠PAQ＝∠DFQ.∴△APQ∽△FDQ.∴

.設(shè)PE＝a，則DF＝2a，AP＝3a.∴PQ∶QD＝AP∶DF＝3∶2.∴BP∶PQ∶QD＝5∶3∶2.返回2．如圖，在△ABC中，AC＝BC，F(xiàn)為底邊AB上一點，BF∶AF＝3∶2，取CF的中點D，連接AD并延長交BC于點E.求

的值．2技巧過頂點作平行線構(gòu)造相似三角形解：過點C作CG∥AB交AE的延長線于點G.∵CG∥AB，∴∠DAF＝∠G.∵D為CF的中點，∴CD＝DF.在△ADF和△GDC中，∴△ADF≌△GDC(AAS)．∴AF＝CG.∵BF∶AF＝3∶2，∴AB∶AF＝5∶2.∵AB∥CG，∴∠B＝∠ECG，∠BAE＝∠G.∴△ABE∽△GCE.∴

.返回3．如圖，過△ABC的頂點C任作一直線，與邊AB及中線AD分別交于點F，E.求證AE∶ED＝2AF∶FB.證明：過點B作BN∥CF交AD的延長線于點N，則

，∠FCD＝∠NBD.∵∠CDE＝∠BDN，∴△EDC∽△NDB.∴

.∵BD＝CD，∴ED＝DN＝

EN.∴

.∴AE∶ED＝2AF∶FB.返回4．如圖，在△ABC中，AB＞AC，在邊AB上取一點D，在AC上取一點E，使AD＝AE，直線DE和BC的延長線交于點P.求證

.3技巧過一邊上的點作平行線構(gòu)造相似三角形證明：過點C作CF∥AB交DP于點F，則∠PFC＝∠PDB，∠PCF＝∠B.∴△PCF∽△PBD.∴

.∵AD∥CF，∴∠ADE＝∠EFC.∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED.∵∠AED＝∠CEP，∴∠EFC＝∠CEP.∴EC＝CF.∴

.返回5．如圖，在△ABC中，點M為AC邊的中點，點E為AB上一點，且AE＝

AB，連接EM并延長交BC的延長線于點D.求證BC＝2CD.4技巧過一點作平行線構(gòu)造相似三角形(1)作輔助線的方法一：證明：(1)過點C作CF∥AB，交DE于點F，則∠FCD＝∠B.∵∠D為公共角，∴△CDF∽△BDE.∴

.∵點M為AC邊的中點，∴AM＝CM.∵CF∥AB，∴∠BAC＝∠FCM.又∵∠AME＝∠CMF，∴△AME≌△CMF.∴AE＝CF.∵AE＝

AB，BE＝AB－AE，∴BE＝3AE，∴

.∴

，即BD＝3CD.又∵BD＝BC＋CD，∴BC＝2CD.(2)作輔助線的方法二：(2)過點C作CF∥DE，交AB于點F，則

.∵點M為AC邊的中點，∴AC＝2AM.∴2AE＝AF.∴AE＝EF.∵AE＝

AB，∴

＝2.∵CF∥DE，∴

＝2.∴BC＝2CD.(3)作輔助線的方法三：(3)過點E作EF∥BC，交AC于點F，則∠AEF＝∠B.∵∠A為公共角，∴△AEF∽△ABC.由AE＝

AB，知

，∴EF＝

BC，AF＝

AC.∵EF∥CD，∴∠MEF＝∠D，∠EFM＝∠MCD.∴△EFM∽△DCM，∴

.又∵AM＝MC，∴MF＝

MC.∴EF＝

CD.∴BC＝2CD.(4)作輔助線的方法四：(4)過點A作AF∥BD，交DE的延長線于點F，則∠F＝∠D，∠FAE＝∠B.∴△AEF∽△BED.∴